Geschatte geaggregeerde Value-At-Risk

In de praktijk is men vaak ge¨ınteresseerd in de geaggregeerde At-Risk, i.e. de Value-At-Risk van de som van risico’s. In deze sectie schatten we de Value-Value-At-Risk van het geag-gregeerde risico op twee manieren, het betreft de variantie-covariantie matrix methode en een vine copula benadering.

2.4.3.1 Variantie-covariantie matrix methode

Beschouw n risico’s Y₁, . . . , Y_nen noteer het geaggregeerde risico als Y = Y₁+ . . . + Y_n. Indien (Y1, . . . , Yn) een gecentreerde elliptische verdeling volgt met paarsgewijze lineaire correlaties ρ_i,j, i.e.

ρ_i,j = ρ(Y_i, Y_j), dan wordt V aR_p^ce(Y ) gegeven door de formule

V aRp^ce(Y ) = v u u t n X i=1 (V aRp^ce(Yi))²+ 2 ^X 1≤i<j≤n ρi,jV aRp^ce(Yi)V aRp^ce(Yj), (2.7)

waarbij de bovenindex ’ce’ duidt op de gecentreerde elliptische verdeling.

De Value-At-Risk bekomen a.d.h.v. formule (2.7), geeft vaak geen goed beeld van de realiteit omdat de data ondersteld wordt een eenvoudige verdelingsfunctie te bezitten, namelijk een gecentreerde elliptische verdeling zoals een multivariate normale verdeling of een multivariate Student-t verdeling. De echte verdelingsfunctie van de data is echter in de praktijk vaak veel complexer.

In ons geval is n = 5 en stellen de kansvariabelen Y₁ t.e.m. Y₅ onze vijf verzekeringstakken voor. De onderstelling van een multivariate gecentreerde elliptische verdeling impliceert een elliptische verdeling voor elke Yj. In voorgaande secties bleek echter dat Y1 gammaverdeeld en dat de overige Y_j een lognormale verdeling volgen. Formule (2.7) kan dus niet gebruikt worden voor de berekening van de geaggregeerde Value-At-Risk. We kunnen wel gebruik

maken van een benadering van de formule, bekomen door formule (2.7) toe te passen voor Y_j − E(Y_j). Deze kansvariabele is niet elliptisch verdeeld, maar wel gecentreerd. Daar de Value-At-Risk translatie-invariant is, wordt onze benaderende formule gegeven door

V aR_p(Y ) ^∼= n X i=1 E(Y_i) + v u u t n X i=1 (V aRp(Yi) − E(Yi))2+ 2 ^X 1≤i<j≤n

ρi,j(V aRp(Yi) − E(Yi))(V aRp(Yj) − E(Yj)). (2.8)

De verwachte schade E(Y_j) voor tak j wordt als volgt bekomen:

E(Yj) = (Verwachte loss-ratio voor tak j voor 2011) × (verdiende premie in 2011 voor tak j). De gebruikte verwachte loss-ratio’s betreffen E(X17,1) uit tabel 2.8 voor tak 1 en E(X17,j) uit tabel 2.3 voor tak j ∈ {2, 3, 4, 5}. De verwachte schade per tak wordt weergegeven in tabel 2.28. De totale verwachte schade bedraagtP5

j=1E(Y_j) = 252180.4.

Tak j 1 2 3 4 5

E(Y_j) 128207.4 86685.19 19486.88 6250.527 11550.36 Tabel 2.28: Verwachte schade per tak.

De Value-At-Risk voor de som van de vijf takken, berekend a.d.h.v. formule (2.8) m.b.v. de empirische lineaire correlaties uit tabel 2.11, wordt weergegeven in tabel 2.29. Er werd hier-voor gebruik gemaakt van de gesimuleerde V aR_99.5%(Yj) uit tabel 2.27 en van de theoretische V aR_99.5%(Y_j) uit tabel 2.26.

V aR_99.5%(Y ) Op basis van gesimuleerde V aR_99.5%(Yj) 288766.2

Op basis van theoretische V aR_99.5%(Yj) 289589.1

Tabel 2.29: V aR_99.5%(Y ) op basis van de empirische lineaire correlatiematrix volgens de variantie-covariantie matrix methode.

Om een idee te krijgen van de grootte van de bekomen Value-At-Risk schatting, bekijken we twee bijzondere gevallen. Indien de verzekeringstakken onafhankelijk zouden zijn, dan zijn alle lineaire correlatieco¨effici¨enten nul. Formule (2.8) herleidt zich dan tot

V aRp(Y ) = v u u t n X i=1 (V aRp(Yi) − E(Yi))2+ n X i=1 E(Yi).

Indien de verzekeringstakken perfect positief lineair afhankelijk zouden zijn, dan zijn alle li-neaire correlatieco¨effici¨enten tussen de verzekeringstakken gelijk aan 1. Formule (2.8) herleidt zich dan tot

V aR_p(Y ) =

n

X

i=1

HOOFDSTUK 2. ANALYSE VAN AFHANKELIJKHEID TUSSEN

NIET-LEVENSVERZEKERINGSTAKKEN 60

wat gewoon de som is van de Value-At-Risk per tak en dus overeenkomt met comonotoni-citeit. De resultaten voor deze bijzondere gevallen worden weergegeven in tabel 2.30. Er werd hiervoor gebruik gemaakt van de gesimuleerde V aR_99.5%(Yj) uit tabel 2.27 en van de theoretische V aR_99.5%(Y_j) uit tabel 2.26.

ρ_i,j = 0 ∀i, j ρ_i,j = 1 ∀i, j Op basis van gesimuleerde V aR_99.5%(Y_j) 281102 298921.9

Op basis van theoretische V aR_99.5%(Y_j) 281909.3 310272.4

Tabel 2.30: V aR_99.5%(Y ) voor onafhankelijkheid en perfecte positieve lineaire afhankelijkheid volgens de variantie-covariantie matrix methode.

2.4.3.2 Vine copula methode

Bij de vine copula methode worden observaties gegenereerd van de geconstrueerde vine co-pula. Dit betreft een matrix met getallen gelegen in het interval [0, 1], met dimensie k × d, waarbij k opnieuw het aantal simulaties voorstelt en d de dimensie van de geconstrueerde vine copula is. In ons geval is dus d = 5. Noteer kolom j van deze matrix als v_j, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Doordat deze kolommen gesimuleerd zijn op basis van de geconstrueerde vine copula, zit de afhankelijkheid in deze matrix vervat. Rekening houdend met de verdeling per tak en de ver-diende premies en Loess-schattingen m.b.t. het simulatiejaar 2011, kunnen deze observaties getransformeerd worden naar schadelasten per tak.

Voor de j-de tak geldt dat v_i,j = F_Zj(z_i,j), waarbij F_Zj weergegeven wordt in tabel 2.23. De observaties zi,j nemen een gelijkaardige vorm aan als de quasi-observaties gegeven door de relaties (2.5) en (2.6). De loss-ratio’s voor tak 1 kunnen hieruit als volgt afgeleid worden:

(loss-ratio tak 1)i = FZ1

−1

(vi,1) × E(X17,1) i = 1, . . . , k.

Voor de overige takken geldt een gelijkaardige werkwijze. Zo wordt de loss-ratio voor tak j ∈ {2, 3, 4, 5} bekomen door:

(loss-ratio tak j)i = FZ2

−1

(vi,2) × exp(E(ln(X17,j))) i = 1, . . . , k.

Om de schadelasten te verkrijgen, vermenigvuldigen we de verkregen loss-ratio’s met de ver-diende premie in 2011.

Tabel 2.31 geeft de geschatte Value-At-Risk aan kansniveau 0.995 per tak weer, bekomen op basis van k = 10000 simulaties van V.

Tak 1 Tak 2 Tak 3 Tak 4 Tak 5

V aR_99.5%(Y_j) 154880.3 98656.13 24349.11 8050.137 13907.13 Tabel 2.31: Geschatte Value-At-Risk per tak op basis van 10000 simulaties van V.

Voor de som van de vijf verzekeringstakken geldt V aR_99.5%(Y ) = 285301.1. Dit werd bekomen door de schadelasten per tak te sommeren en deze daarna te sorteren van klein naar groot, waaruit onmiddellijk de Value-At-Risk bepaald kan worden.

We dienen echter op te merken dat de gebruikte vine copula V, geen onafhankelijkheidsco-pula’s toelaat. De afhankelijkheid tussen elk paar takken bleek echter vrij zwak te zijn. Op basis van de vine copula V^∗∗die de afhankelijkheid tussen tak 1 en tak 2 modelleert m.b.v. een Clayton copula en met alle andere takken van de vine onafhankelijkheidscopula’s associeert, bekomen we voor de som van de vijf verzekeringstakken V aR_99.5%(Y ) = 284022.3

Om terug een idee te krijgen van de grootte orde van deze Value-At-Risk-waarden, bekijken we opnieuw twee bijzondere gevallen. We berekenen de Value-At-Risk eens voor een vine copula met alleen onafhankelijkheidscopula’s, genoteerd als V^⊥. Verder doen we de berekeningen ook eens voor een vine copula met allemaal comonotoniciteitscopula’s, i.e. Fr´echet-Hoeffding bovengrenzen, welke corresponderen met perfecte positieve afhankelijkheid. Comonotonici-teitscopula’s zijn tegenwoordig nog niet beschikbaar in R in de context van vine copula’s, maar een goede benadering kan bekomen worden door gebruik te maken van normale co-pula’s met afhankelijkheidsparameter θ = 0.9999999999. De limiet voor θ gaande naar 1 van een bivariate normale copula is immers precies de Fr´echet bovengrens (zie voorbeeld 1.29 uit hoofdstuk 1). We noteren de corresponderende vine copula als V^M. De resultaten voor deze bijzonder gevallen op basis van 10000 simulaties, worden weergegeven in tabel 2.32.

V⊥ VM

V aR_99.5%(Y ) 280998.9 297944.2

Tabel 2.32: Value-At-Risk voor onafhankelijkheid en perfecte positieve afhankelijkheid volgens de vine copula methode op basis van 10000 simulaties.

We zien dat de Value-At-Risk bekomen a.d.h.v. V of V^∗∗, het dichtst ligt bij de Value-At-Risk die met V^⊥ correspondeert. Dit weerspiegelt nogmaals het feit dat onze vijf verzekeringstak-ken niet zo’n sterke afhankelijkheid vertonen.

Op basis van tabel 2.21 en tabel 2.22 concludeerden we dat vine copula V^∗∗, binnen de ver-zameling van de beschouwde vine copula’s, de data het best modelleert. In de praktijk dient dan ook best rekening gehouden te worden met de Value-At-Risk die met deze vine copula correspondeert.

In deze thesis werd de procedure uiteengezet voor de schatting van de Value-At-Risk a.d.h.v. vine copula’s. Voor andere risicomaten, zoals de Conditional Tail Expectation (CTE) en de Tail Value-At-Risk (TVaR), kan t.g.v. de relaties met de Value-At-Risk (zie hiervoor bijvoor-beeld Dhaene, Vanduffel, Tang, Goovaerts, Kaas en Vyncke [8]), een gelijkaardige procedure gevolgd worden.

HOOFDSTUK 2. ANALYSE VAN AFHANKELIJKHEID TUSSEN

NIET-LEVENSVERZEKERINGSTAKKEN 62