4. Verwerking 19
4.2. Docent 2
4.2.1 Les 1
Lesdoelen: Symmetrie zien in een cirkel door het draaien en spiegelen van
een punt. Tevens de bijbehorende hoeken (in graden) kunnen bepalen en
deze koppelen aan de sinus.
Connectie met sensible mathematics: De windmolen (Fig. 4.1) is het icoon
van de symmetrie in de (eenheids)cirkel.
Verloop
Eerst haalt de docent voorkennis op over de bijzondere driehoeken ‘1, 1,
p
2’ en ‘1, 2,p
3’, de Stelling van Pythagoras en SOSCASTOA. Dan plaatst
hij de tweede bijzondere driehoek in een assenstelsel waarna samen met
de leerlingen de coördinaten van de drie hoekpunten worden bepaald. De
windmolen wordt dan getekend en de leerlingen dienen de coördinaten
van de andere punten op Werkblad 1 te schrijven. Daarna laat de docent
zien hoe de sinus en cosinus met SOSCASTOA in de eenheidscirkel kunnen
worden toegepast. De leerlingen bepalen vervolgens zelf de sinus van een
aantal hoeken op het werkblad. Hierna wordt een hoek van 120
◦getekend
en zet de docent de leerlingen aan het nadenken over de sinus van deze
hoek. De docent vertelt hierbij dat er een probleem ontstaat omdat deze
driehoek geen hoek van 90
◦heeft. Daarna deelt de docent Werkblad 2
uit met de eenheidscirkel waarop een driehoek met een hoek van 20
◦staat
afgebeeld. De leerlingen moeten zo veel mogelijk andere punten op de
een-heidscirkel vinden waarvan zij de coördinaten kunnen bepalen. Dit mogen
zij daarna thuis af maken. De volgende keer zal er gezamenlijk bekeken
worden wat er uit de figuur te halen valt.
Observaties
De leerlingen lijken het invullen van de coördinaten wat lastiger te vinden
dan de leerlingen van Docent 1. Zo vond een leerling het niet logisch dat
de afstanden van het molentje allemaal hetzelfde zijn. Dit staat op het
blad ook niet vermeld. Toch melden de leerlingen bij het nabespreken wel
dat het erg makkelijk was. Als zij de sinus van een aantal hoeken moeten
bepalen begrijpen de leerlingen eerst niet zo goed hoe ze dit aan moeten
pakken, maar met wat hulp lukt het wel. Bij het invullen van Werkblad
2, waarbij de docent zegt dat ze zo veel mogelijk coördinaten en sinussen
moeten opschrijven, begrijpen de leerlingen niet wat de sinus ermee van
doen heeft. Zij hebben nog niet ontdekt dat de sinus gelijk is aan de hoogte
en de docent zegt hier ook niks over. Een leerling vraagt zich af of hij de
Stelling van Pythagoras moet gebruiken.
Discussie
De docent had gehoopt dat de leerlingen zelf het verband tussen de sinus
en de hoogte zouden ontdekken als hij zelf niet te veel sturing gaf. Helaas
bleek in deze les dat zij met deze opdrachten juist te veel in het diepe
wa-ren gegooid. Dit zal de reden zijn dat de les wat chaotisch is verlopen en de
lesdoelen niet zijn behaald. De docent had ook bewust de bewoordingen
‘spiegeling’ en ‘draaiing’ niet gebruikt, in tegenstelling tot Docent 1. Het is
mogelijk dat de leerlingen het daarom lastiger vonden om de coördinaten
van het windmolentje te vinden. Het idee van de windmolen was
über-haupt niet aangeslagen bij de leerlingen. Ze gebruikten het niet om meer
punten te genereren op het tweede werkblad. De koppeling tussen de
co-ördinaten en de hoeken werd niet gemaakt. De sinus heeft in deze les voor
de leerlingen geen nieuwe betekenis gekregen.
Om de lesdoelen wel te bereiken zal een koppeling tussen de werkbladen
moeten worden gemaakt. Bovendien moet er iets met een draaiing worden
gebruikt omdat dit erg belangrijk is voor het toewerken naar de sinus. De
molen ziet er hiervoor niet vloeiend genoeg uit. Er wordt geopperd om een
waterrad als icoon te gebruiken. Daarnaast zou de docent met de leerlingen
ook meer moeten discussiëren over de hoogte.
4.2.2 Les 2
Lesdoelen:De leerlingen maken een koppeling tussen de sinus, de
symmetrie-eigenschappen en de eenheidscirkel. Daarnaast zullen zij de grafiek van de
sinus kunnen tekenen en begrijpen.
Connectie met sensible mathematics: De windmolen (Fig. 4.1) is het icoon
van de symmetrie in de (eenheids)cirkel.
Verloop
Eerst bespreekt de docent het werkblad van de vorige keer, waarbij de
leer-lingen coördinaten en sinussen van nieuwe punten moesten vinden. Hierbij
laat hij bewust ook leerlingen aan het woord met onjuiste antwoorden. De
docent vraagt of er ook leerlingen zijn die bij deze opdracht gebruik
heb-ben gemaakt van de eerste opdracht met het windmolentje. De link tussen
de beide opdrachten zal hiermee voor iedereen duidelijk worden gemaakt.
De docent legt uit dat de sinus gelijk is aan de hoogte in de eenheidscirkel.
Vervolgens introduceert de docent de hoogtegrafiek. Deze wordt dan door
de leerlingen zelf getekend aan de hand van een tabel.
Observaties
Naar aanleiding van het werkblad van de vorige keer wordt een leergesprek
gevoerd waarin leerlingen hun antwoorden delen. Leerlingen haken
spon-taan op elkaar in en leren van elkaar. De link tussen de werkbladen wordt
gelegd door een slimme leerling die ook gezien heeft dat sin 20
◦= cos 70
◦,
vanwege het spiegelen. De onafgemaakte discussie uit Les 1 over het
be-staan van de sinus van een hoek van 120
◦lijkt een leerlinge de verkeerde
kant op te hebben gestuurd. Zij dacht dat het bij het werkblad de bedoeling
is geweest om zoveel mogelijk hoeken te tekenen totdat ze een hoek van
120
◦had gevonden. De leerlingen hebben bij de sinus nog steeds het beeld
uit de onderbouw. De docent geeft één voorbeeld waarin te zien is dat de
sinus van een hoek gelijk is aan de hoogte van een punt in de
eenheidscir-kel bij diezelfde hoek. De docent geeft sin 30
◦=
12
als voorbeeld en dat dit
gelijk is aan de hoogte in de eenheidscirkel. Hiermee probeert de docent de
leerling een zetje te geven om de gewenste denkstappen te maken, maar
ze komen niet op dit idee. Een leerling merkt op het erg ingewikkeld te
vinden: “Hoe kun je dat nou weten? Ik heb tot nu toe alles gesnapt, maar
dit gaat mij te ver”.
Na de nieuwe definitie van de sinus discussiëren de leerlingen over de
vorm van de grafiek en tekenen hem dan individueel. Een leerling tekent
de grafiek met kaarsrechte lijnen. Na de vraag van één van de observanten
of deze lijnen inderdaad recht moeten zijn, rondt hij de topjes af. De andere
leerlingen neigen er ook naar de grafiek met rechte lijnen en afgeronde
toppen te tekenen, als een soort zaagtand. Het is niet helemaal duidelijk of
de koppeling met de eenheidscirkel voor de leerlingen nu duidelijk is omdat
de leerlingen de grafiek veelal met behulp van een tabel hebben getekend.
Één leerling merkt op de de x-coördinaat ook minder wordt, wat een mooie
stap lijkt naar de cosinus.
Discussie
De docent vond dat de lesdoelen waren bereikt. Hij vond dat hij de
leerlin-gen wel erg veel moest coachen, maar dat de leerlinleerlin-gen uiteindelijk wel zelf
de grafiek hebben kunnen tekenen. Toch blijft de vraag hoeveel gevoel de
leerlingen voor de grafiek hebben ontwikkeld. Dat de leerlingen een tabel
gebruiken kan ervoor zorgen dat het een invuloefening is waarmee geen
gevoel voor de grafiek verkregen wordt.
In document
Professionalisering van de wiskunde-docent door middel van lesson study
(pagina 32-36)