Een bekende puzzel gaat als volgt. Start met een getal k en laat f(k) de som van de kwadraten van de cijfers (tientallig geschreven) zijn. Voorbeeld: f(1) = 1,
f(1933) = 12 + 92 + 32 + 32 = 100. Pas nu
op het getal f(k) dezelfde operatie toe, en herhaal dit. In figuur 1 ziet u hoe dit afloopt voor de startwaarden 3 en 5. De bedoeling is om te onderzoeken hoe de rij van de geïtereerden zich gedraagt, in het bijzonder: welke cykels optreden voor diverse startwaarden.
Er bestaan talloze variaties op deze puzzel. In plaats van kwadraten kun je derde, of nog hogere, machten nemen. Een andere mogelijkheid is het gebruik van een ander talstelsel. Nob Yoshigahara bekeek de kwadraten 100-tallig! 1933 gaat dan over in 192 + 332 = 361 + 1089 = 1450.
H.J. te Riele heeft een mooi overzichts- artikel over dergelijke afbeeldingen geschreven; zie Nieuw Archief voor Wiskunde
(4), Volume 1 (1983), pp. 345-360.
Voor gebruikelijke functies lopen de geïtereerde waarden niet naar oneindig, maar naar een vast punt, of ze vormen een cykel. Maar hoe ver moet je gaan om alle cykels te vinden?
Voor een gegeven functie is het gewoonlijk niet moeilijk om een getal M te vinden zodanig dat geldt:
a. als n ≥ M, dan is f(n) < n, b. als n < M, dan is f(n) < M.
Heb je eenmaal zo’n M, dan kun je die stapsgewijs verscherpen.
In ons eerste voorbeeld kun je zo snel tot 200 komen. Dat betekent dus voor die functie dat alle cykels uitsluitend getallen kleiner dan 200 bevatten.
[ Frits Göbel ]
Na deze lange inleiding slechts één opgave, maar wel een opgave die u, al of niet voorzien van een programmeerbaar rekendoosje, hopelijk enige tijd aangenaam bezig zal houden.
Opgave
Bepaal alle cykels als f de som van de machten van 2 van de cijfers is. Een voorbeeld:
f(305) = 23 + 20 + 25 = 8 + 1 + 32 = 41.
Oplossingen kunt u mailen naar
a.gobel@wxs.nl of per gewone post sturen
naar F. Göbel, Schubertlaan 28, 7522 JS Enschede. Er zijn weer maximaal 20 punten te verdienen met uw oplossing. Wie dan bovenaan de ladder staat, ontvangt een boekenbon van 30 euro. De deadline is 1 september 2007.
Veel plezier! Een complicatie wordt gevormd door de
‘aanloopstukken’ van een cykel. In figuur 1 ziet u wat hier wordt bedoeld. Als je met 3 of 5 begint, kom je daar nooit meer terug. Weliswaar kun je een cykel herkennen door alle gegenereerde waarden op te slaan, maar als de aanloopstukken en de cykellengten erg groot worden, is er een probleem. Gelukkig is er een elegante methode, afkomstig van Floyd, die zelfs voor programmeerbare rekenapparaatjes geschikt is. Hierbij worden, uitgaande van een startwaarde a, voor n = 1, 2, 3, … de waarden f n(a) en f 2n(a) bepaald. Zodra
deze twee geïtereerden aan elkaar gelijk zijn, behoren ze tot een cykel! De lengte daarvan is dan een deler van n. De waarde van f n(a)
kan nu als startwaarde worden gebruikt om de cykel te bepalen. Het vereiste aantal geheugenplaatsen is dus onafhankelijk van de grootte van de aanloopstukken.
Euclid
E
s
2
7
9
Euclid
E
s
3
2
8
oP L o S S I n G 826
Heron en
descartes
Er waren 14 inzendingen. De volgende zes mensen hadden de vier opgaven helemaal of bijna helemaal goed: Hans Klein (weer heel snel), Cees Otto (welkom!), Lieke de Rooij, Ton Kool, Gerhard Riphagen en Herm Jan Brascamp.
Opgave 1
Na 13, 14, 15 (met oppervlakte 84 en niet 21) is 51, 52, 53 het volgende drietal opvolgende getallen waarvoor de formule van Heron een geheel getal oplevert. De opgave is heel goed proberenderwijs op te lossen, met of zonder computer. De middelste waarden (4, 14, 52, 194, …) van mogelijke drietallen voldoen aan de recursie
bn + 1 = 4bn – bn - 1
Wobien Doyer loste de opgave op met ‘the method of descent’, zoals die in het Engels heet.
Opgave 2
Het resultaat is 1 2 2 2 2 2 2 2 a b +a c +b c
.
Dit fraaie antwoord is zonder al te veel rekenwerk te vinden met de stelling van Pythagoras en bovengenoemd resultaat van Heron.
Opgave 3
Het resultaat is a2 + ab + b2.
Velen lieten de wortelvorm staan, maar dat levert niet een uitkomst waaraan je kunt zien dat er een geheel getal uitkomt. Dat was namelijk wél de bedoeling, wat ik trachtte te suggereren met de inleidende tekst.
Opgave 4
De waarden van n waarvoor n = xy + xz +
yz geen oplossing < 500 heeft zijn: 1, 2, 4,
6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330 en 462.
Sommigen losten deze opgave op met de hand, maar vonden het toch beter om
het antwoord even met de computer te controleren.
Omdat n + x2 = (x + y)(x + z), is er wél
een oplossing als n + x2 te ontbinden is in
factoren groter dan x. Dit schakelt snel een flink aantal getallen uit als je x = 1, 2, … invult.
Rond 1995 had ik bedacht dat de unitaire symmetrische functies van de graad 2 een aardige variatie op de welbekende partities zouden zijn. Ik noemde ze ‘fragmentaties’. (Die bommen waren me toen nog niet bekend.) Bovenstaande rij bestaat dus uit (de) getallen waarvoor het aantal drie- termige fragmentaties gelijk is aan 0. Ze blijken heel andere eigenschappen dan de partities te hebben.
Drie oplossers wezen er op dat ook in ‘The On-line Encyclopedia of Integer Sequences’ (www.research.att.com/~njas/sequences/) bovengenoemde rij voorkomt, dat er tussen 500 en 1011 geen verdere n-waarden zijn, en
daarna misschien nog één!
ladderstand
De top van de ladder ziet er nu als volgt uit: W. van den Camp 416
H.J. Brascamp 412 J. Meerhof 395 L. de Rooij 274 G. Riphagen 232 L.H. van den Raadt 167 H. Klein 153
N. Wensink 135 W. Doyer 116
De zomerprijzen zijn deze keer toegekend aan Lieke de Rooij en Herm Jan Brascamp, die een boekenbon ter waarde van 20 respectievelijk 15 euro ontvangen. Gefeliciteerd!
Euclid
E
s
329
SErvICEPaGIna
Pu B L I C at I E S
va n
d E nE d E r L a n d E
vE r E n I G I n G
va n WI S K u n d E L E r a r E n
Zebraboekjes 1. Kattenaids en Statistiek 2. Perspectief, hoe moet je dat zien? 3. Schatten, hoe doe je dat? 4. De Gulden Snede5. Poisson, de Pruisen en de Lotto 6. Pi
7. De laatste stelling van Fermat 8. Verkiezingen, een web van paradoxen 9. De Veelzijdigheid van Bollen 10. Fractals
11. Schuiven met auto’s, munten en bollen 12. Spelen met gehelen
13. Wiskunde in de Islam 14. Grafen in de praktijk 15. De juiste toon 16. Chaos en orde 17. Christiaan Huygens 18. Zeepvliezen 19. Nullen en Enen 20. Babylonische Wiskunde
21. Geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde
22. Spelen en Delen
23. Experimenteren met kansen 24. Gravitatie
25. Blik op Oneindig
Zie verder ook www.nvvw.nl/zebrareeks.html en/of www.epsilon-uitgaven.nl
Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwo
Dit rapport en oude nummers van Euclides (voor zover voorradig) kunnen besteld worden bij de ledenadministratie (zie Colofon).
Wisforta – wiskunde, formules en tabellen
Formule- en tabellenboekje met formule- kaarten havo en vwo, de tabellen van de binomiale en de normale verdeling, en toevalsgetallen.
Honderd jaar wiskundeonderwijs, lustrumboek van de NVvW
Het boek is met een bestelformulier te bestellen op de website van de NVvW:
www.nvvw.nl/lustrumboek2.html
Voor overige NVvW-publicaties zie de website:
www.nvvw.nl/Publicaties2.html Voor overige internet-adressen zie www.wiskundepersdienst.nl/agenda.php Voor Wiskundeonderwijs Webwijzer zie www.wiskundeonderwijs.nl vr. 24 en za. 25 augustus, Eindhoven (Tu/e) vr. 31 augustus en za. 1 september, Amsterdam (cWi) Vakantiecursus 2007: Wiskunde in beweging Organisatie CWI vrijdag 14 september, Eindhoven (Tu/e)
2e ronde Nederlandse Wiskunde Olympiade 2007
Organisatie Stichting NWO
vrijdag 21 september, Nijmegen
Wiskundetoernooi
Organisatie FNWI, Radboud Universiteit Nijmegen wo. 17 t/m wo. 24 oktober, diverse locaties WetenWeek 2007 Organisatie NCWT zaterdag 10 november, Nieuwegein Jaarvergadering/Studiedag 2007 Organisatie NVvW
Zie pag. 325 in dit nummer.
vrijdag 23 november, op de scholen
Wiskunde A-lympiade en Wiskunde B-dag Organisatie FIsme
2008
vrijdag 25 januari, op de scholen
1e ronde Nederlandse Wiskunde Olympiade 2008
Organisatie Stichting NWO
wo. 23 t/m vr. 25 januari, Noordwijkerhout
26e Panama conferentie Organisatie FIsme
vr. 1 en za. 2 februari, Noordwijkerhout
14e Nationale Wiskunde Dagen Organisatie FIsme
do. 13 en vr. 14 maart, Garderen
Finale Wiskunde A-lympiade Organisatie FIsme
vrijdag 11 april, op de scholen
Wiskunde Kangoeroe
Organisatie Stichting Wiskunde Kangoeroe
Ka L E n d E r
In de kalender kunnen alle voor wiskunde- docenten toegankelijke en interessante bijeenkomsten worden opgenomen. Relevante data graag zo vroeg mogelijk doorgeven aan de hoofdredacteur, het liefst via e-mail (redactie-euclides@nvvw.nl). Hieronder vindt u de verschijningsdata van Euclides in de lopende jaargang. Achter de verschijningsdatum is de deadline vermeld voor het inzenden van mededelingen en van de eindversies van geaccepteerde bijdragen; zie daarvoor echter ook
www.nvvw.nl/euclricht.html. Voorlopige data 83e jaargang nr. verschijnt deadline 1 20 september 24 juli 2 1 november 18 september 3 20 december 6 november 4 7 februari 11 december 5 6 maart 22 januari 6 17 april 4 maart 7 29 mei 8 april 8 30 juni 15 mei