Zij V een genormeerde vectorruimte en T ∈ L(V ). De norm kT k van T is gedefinieerd als
kT k = sup
x6=0
kT (x)k
kxk = supkxk=1kT (x)k.
Als dim(V ) eindig is, dan bestaat het supremum. I.h.a. noemen we T begrensd als het supremum bestaat. Merk op dat als T begrensd is, voor alle x ∈ V geldt dat kT (x)k ≤ kT kkxk. In het bijzonder is een begrensde lineaire afbeelding T : V → V (t.o.v. de norm) een continue functie op
V : voor elke ² > 0 is er een δ > 0 zodat als kx − yk < δ, dan is kT (x) − T (y)k < ² voor δ = ² kT k.
Omdat de eenheidsbol kxk = 1 in een eindig-dimensionale vectorruimte compact (d.w.z. begrensd en gesloten) is, neemt de T (x) hier dan een maximum aan (immers een continue functie neemt op een compacte verzameling een maximum en een minimum aan). Als dim(V ) < ∞, dan kunnen we in de definitie van de norm dus het supremum vervangen door het maximum.
Propositie 6.1. De norm heeft de volgende eigenschappen (T, S ∈ L(V ), begrensd.): i. kT k ≥ 0 en gelijkheid geldt slechts als T de nulafbeelding is.
ii. kλT k = |λ|kT k voor λ ∈ K. iii. kT + Sk ≤ kT k + kSk iv. kT Sk ≤ kT kkSk.
Bewijs: Eigenschappen (i)-(iii) volgen uit de definitie en de eigenschappen van de norm in V .
Eigenschap (iv) bewijzen we als volgt: laat x ∈ V , x 6= 0. Dan is
kT S(x)k ≤ kT kkS(x)k ≤ kT kkSkkxk,
en dus is kT Sk = max
kxk=1kT S(x)k ≤ kT kkSk. ¦
Opmerking: Als V een inwendig product heeft en de norm is ge¨ınduceerd door het inproduct, dan
is voor T ∈ L(V ):
kT k = supkxk=kyk=1|(T (x), y)|. Hieruit volgt voor de geadjungeerde afbeelding: kT k = kT∗k (zie
opgave VI.3).
De norm van een n × n-matrix A kunnen we op geheel analoge wijze defini¨eren als kAk = maxkxk=1kAxk waarbij x ∈ Kn. Voor een re¨ele matrix A is het maximum hetzelfde indien we x ∈ Rn als indien we x ∈ Cn nemen (ga na).
Voorbeelden: 1. Laat P : V → V een orthogonale projectie zijn, P 6= O. Dan is kP k=1 (zie opgave
VI.3).
2. De norm van een orthogonale (resp. unitaire) afbeelding is 1.
Voor het berekenen van de norm van een lineaire afbeelding resp. een matrix is het volgende resultaat nuttig:
Propositie 6.2. Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte met inproduct en T : V → V een lineaire afbeelding. Dan geldt: kT k2= kT∗T k.
Bewijs: Laat x ∈ V met kxk = 1. Dan is
kT xk2= (T x, T x) = (T∗T x, x) ≤ kT∗T xk ≤ kT∗T k.
Neem nu in het linkerlid het supremum over alle x ∈ V met kxk = 1. Dan volgt kT k2 ≤ kT∗T k.
Omgekeerd is kT∗T k ≤ kT∗kkT k = kT k2. ¦
Opmerking: In hoofdstuk 7 zullen we zien dat voor een hermitese matrix (zoals T∗T ) de norm
gelijk is aan de modulus van de grootste eigenwaarde (zoals we zullen zien zijn de eigenwaarden van T∗T niet-negatieve re¨ele getallen). De (niet-negatieve) wortels van de eigenwaarden van T∗T
heten de singuliere waarden van T .
Conclusie: de norm van T is gelijk aan de grootste singuliere waarde van T .
Voorbeeld: Laat J = µ 0 1 0 0 ¶ . Dan is J∗J = µ 0 0 0 1 ¶
. De singuliere waarden van J zijn dus 0 en 1 en kJk = 1.
Het volgende verband geldt tussen de norm van een matrix en zijn elementen: Propositie 6.3. Zij A een m × n-matrix met elementen Aij. Dan geldt
max
i,j |Aij|2≤ kAk2≤X
i,j
|Aij|2. (6.1)
Bewijs: Aej is gelijk aan de j-e kolomvector van A. I.h.b. is dus maxn
i=1|Aij| ≤ kAejk ≤ kAk.
Neem nu het maximum over j = 1, . . . , n. Hieruit volgt de eerste ongelijkheid. Voor de tweede ongelijkheid laat kxk = 1. Dan is
kAxk2≤ n X i=1 n X j=1 |Aijxj| 2 ≤ n X i=1 n X j=1 |Aij|2 n X j=1 |xj|2= n X i,j=1 |Aij|2.
De tweede ongelijkheid in bovenstaande uitdrukking is precies de ongelijkheid van Schwarz. ¦ Gevolg 6.4. Laat {A(n)}∞
n=1 een rij m × n- matrices zijn met elementen A(n)ij . Dan geldt: lim
n→∞A(n)ij = 0 voor alle i, j ⇔ lim
n→∞kA(n)k = 0.
We hebben in het vorige hoofdstuk gezien dat een inwendig product op een vectorruimte een norm induceert d.m.v. kvk =p(v, v). Deze norm heet de Euclidische norm of de 2-norm. Er zijn ook vectorruimten met een norm die niet van een inwendig product afkomstig zijn. We noemen twee voorbeelden van normen op Kn:
2. De sup-norm (of maximum-norm) op Kn: kxk = maxi=1,...,n|xi|.
In het geval van een eindig-dimensionale vectorruimte V zijn alle normen equivalent, d.w.z. als
k k1en k k2twee normen zijn, dan bestaan er positieve getallen a en b zodanig dat voor elke x ∈ V geldt dat akxk1 ≤ kxk2≤ bkxk1. In het geval van oneindig-dimensionale vectorruimten geldt dit i.h.a. niet. Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is, heet een genormeerde vectorruimte. Voor een lineaire afbeelding T : V → W tussen genormeerde vectorruimten V en W kunnen we de norm van T analoog aan de Euclidische norm defini¨eren als supkxk=1kT (x)k. In het geval dat de
dimensies oneindig zijn, is het mogelijk dat kT k = ∞.
Banach- en Hilbertruimten. Convergente rijen van lineaire
afbeeldin-gen.
Zij V een genormeerde vectorruimte met norm k k. Een rij {xj}∞
j=1 in V heet een Cauchyrij of
fundamentaalrij als er voor elke ² > 0 een N bestaat zodanig dat kxj − xkk < ² voor j, k ≥ N . We zeggen dat een rij {xj}∞
j=1 in V convergeert indien er een x ∈ V bestaat zodanig dat limj→∞kx − xjk = 0. Een vectorruimte V heet volledig of compleet indien elke Cauchyrij in V
convergeert. Een volledige genormeerde vectorruimte noemen we ook wel een Banachruimte. Alle eindig-dimensionale genormeerde vectorruimten zijn Banachruimten.
Een vectorruimte V met een inwendig product ( , ) is i.h.b. een genormeerde vectorruimte. Indien
V volledig is t.a.v. de door het inproduct ge¨ınduceerde norm, dan heet V een Hilbertruimte.
Voorbeelden van Hilbertruimten zijn:
1. V = `2(K), de vectorruimte van oneindige rijtjes (x1, x2, . . .) (met xi ∈ K) met de
com-ponentsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging, zodanig dat P∞j=1|xj|2 convergeert. Het inproduct is gedefinieerd als (x, y) =P∞i=1xiyi. Merk op dat uit de ongelijkheid van Schwarz (voor het eindig-dimensionale geval) volgt dat de reeks convergeert.
2. De vectorruimte L2([a, b], K) van kwadratisch integreerbare re¨ele resp. complexe functies op het interval [a, b] met inproduct (f, g) =
Z b
a
f (x)g(x)dx.
Andere voorbeelden van genormeerde vectorruimten:
3. V = `p(K) (waarbij p ≥ 1)), dit is zoals in (1) de vectorruimte van oneindige rijtjes (x1, x2, . . .)
maar nu zodanig datP∞j=1|xj|pconvergeert. De norm van het rijtje x = (x1, x2, . . .) is gedefinieerd
als kxkp= (P∞j=1|xj|p)1/p. Als p ≥ 1 is dit een norm op V , d.w.z. de driehoeksongelijkheid
kx + ykp ≤ kxkp + kykp geldt. Deze ongelijkheid voor p-normen wordt de ongelijkheid van
Minkowski genoemd.
4. Analoog is de vectorruimte Lp([a, b], K) van K-waardige functies op [a, b] zodanig datRab|f (x)|pdx
bestaat voor p ≥ 1 een genormeerde vectorruimte met norm kf k = (Rab|f (x)|pdx)1/p
5. De vectorruimte C([a, b], K) van K-waardige continue functies op [a, b] is een genormeerde vectorruimte met de sup-norm kf k = sup[a,b]|f (x)|. Convergentie t.a.v. de sup-norm wordt ook
wel uniforme convergentie genoemd. Omdat een uniform convergente Cauchyrij van continue functies convergeert naar een continue functie, is de vectorruimte C([a, b], K) volledig.
Laat nu V, W genormeerde vectorruimten zijn, en W bovendien volledig. Zij {Tj : V → W }∞ j=1
een Cauchy-rij van begrensde lineaire afbeeldingen, m.a.w. voor elke ² > 0 is kTj − Tkk < ² zodra j, k ≥ N . Daar voor x ∈ V geldt dat kTj(x) − Tk(x)k ≤ kTj − Tkkkxk, is de rij {Tj(x)}∞
j=1 voor elke x ∈ V een Cauchyrij, en daar W volledig is, is de rij convergent. De limiet noemen we T (x). Het is niet moeilijk om aan te tonen dat T : V → V een lineaire afbeelding is. T heet de limiet van de rij {Tj}∞
j=1. Op dezelfde manier kan ook de som van een convergente reeksP∞j=1Tj worden gedefinieerd als de limiet van de rij van parti¨ele sommen {Pnj=1Tj}∞
n=1.
Voorbeelden: 1. Zij V een Banachruimte en T : V → V lineair met kT k < 1, dan is de afbeelding idV − T injectief: immers uit T (v) = v en v 6= 0 volgt dat kvk = kT (v)k ≤ kT kkvk < kvk.
De reeks idV + T + T2+ . . . is een Cauchyreeks (aangezien kTm+ Tm+1. . . + Tnk ≤ kT
mk
1 − kT k en het rechterlid willekeurig klein wordt als m → ∞) en convergeert dus. De limiet is gelijk aan (idV − T )−1. 2. Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte en T : V → V willekeurig. De reeks P∞
j=0Tj/j! convergeert (op V kunnen we altijd een norm defini¨eren). De limiet noemen we eT of exp(T ).
De e-macht van een matrix. Op dezelfde manier als in het laatste voorbeeld is voor een willekeurige n × n-matrix A de e-macht eA gedefinieerd als In+ A + A2/2! + . . .. Verder zijn sin(A)
en cos(A) gedefinieerd d.m.v. sin(A) = e
iA− e−iA
2i en cos(A) =
eiA+ e−iA
2 . Voor kAk < 1 is log(In+ A) = A − A2/2 + A3/3 + . . . gedefinieerd en er geldt: elog(A)= A.
Merk op dat i.h.a. niet geldt: eA+B = eA· eB; als A en B commuteren (dus AB = BA), dan geldt eA+B = eA· eB echter wel. Het bewijs verloopt op dezelfde manier als voor re¨ele of complexe getallen. Als A een willekeurige n × n-matrix is, dan is A te schrijven als een som B + N van een diagonalizeerbare matrix B en een nilpotente matrix N en BN = N B (verg. hoofdstuk III). In dit geval geldt eA = eB · eN. Daar Nn = O, is eN = I + N + . . . + 1
(n−1)!Nn−1 een polynoom van hoogstens graad n − 1; eB is als volgt te berekenen: omdat B diagonaliseerbaar is, is er een inverteerbare matrix U zodat B = U DU−1 waarbij D een diagonaalmatrix is (U is een matrix van eigenvectoren van B). Dan geldt: eB = U eDU−1(vergelijk opgave VI.7). Als D = diag(a1, . . . , an), dan is eD = diag(ea1, . . . , ean) (ga dit na).
Voorbeeld 1: Zij A =
µ 2 1 1 2
¶
. A heeft eigenwaarden 1 en 3 met eigenvectoren µ −1 1 ¶ resp. µ 1 1 ¶ .
A is dus diagonaliseerbaar (dus B = A en N = O). Verder is A = U DU−1met U = √1 2 µ 1 −1 1 1 ¶ en D = µ 3 0 0 1 ¶
, dus (merk op dat U orthogonaal is)
A = U eDU−1= 1 2 µ 1 −1 1 1 ¶ µ e3 0 0 e ¶ µ 1 1 −1 1 ¶ = 1 2 µ e3+ e e3− e e3− e e3+ e ¶ . Voorbeeld 2: Zij A = µ 0 −1 4 −4 ¶
µ −2 0 0 −2 ¶ en N = µ 2 −1 4 −2 ¶ . Nu is eN = I + N dus eA= eD· eN = µ e−2 0 0 e−2 ¶ µ 3 −1 4 −1 ¶ = e−2 µ 3 −1 4 −1 ¶ .