Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1

, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1

, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks.

Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1

, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs:

merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1

, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1

, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1

, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0

zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ

voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N.

Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N

en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n.

De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert

, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |a_n|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |a_n| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1

, dan is |an|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |an| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1, dan is |an|1/n> 1 voor oneindig veel n.

Maar dan geldt ook |an| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1, dan is |an|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |an| > 1

, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1, dan is |an|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |an| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1, dan is |an|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |an| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1

, bijv. bij reeksen als P1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |an|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks. Bewijs: merk op α = lim_N→∞sup_n>N|a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan is er δ > 0 zodat sup_n>N|a_n|1/n < 1 − δ voor voldoende grote N. Dan geldt |a_n|1/n < 1 − δ voor n > N en dus |a_n| < (1 − δ)n. De reeksP(1 − δ)n

convergeert, dus met het vergelijkingscriterium ook P a_n.

2 Als α > 1, dan is |an|1/n> 1 voor oneindig veel n. Maar dan geldt ook |an| > 1, dus geldt niet an→ 0.

Merk op: de test geeft geen informatie als α = 1, bijv. bij reeksen alsP1

n enP 1 n2.

Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks.

Stelling 12.2

Zij (a_n) een rij getallen ongelijk nul. Dan geldt lim inf     an+1 a_n    

≤ lim inf |a_n|^1/n ≤ lim sup |a_n|^1/n ≤ lim sup     an+1 a_n     .

Quoti¨entcriterium (14.8, ratio test)

ZijP a_n een reeks. Er geldt:

1 Als lim supan+1

an



< 1, dan convergeertP a_n.

2 Als lim infan+1

an



Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks.

Stelling 12.2

Zij (a_n) een rij getallen ongelijk nul. Dan geldt lim inf     an+1 a_n    

≤ lim inf |a_n|^1/n ≤ lim sup |a_n|^1/n ≤ lim sup     an+1 a_n     .

Quoti¨entcriterium (14.8, ratio test)

ZijP a_n een reeks. Er geldt:

1 Als lim supan+1

an



< 1, dan convergeertP a_n.

2 Als lim infan+1

an



Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks.

Stelling 12.2

Zij (a_n) een rij getallen ongelijk nul. Dan geldt lim inf     an+1 a_n    

≤ lim inf |a_n|^1/n ≤ lim sup |a_n|^1/n ≤ lim sup     an+1 a_n     .

Quoti¨entcriterium (14.8, ratio test)

ZijP a_n een reeks. Er geldt:

1 Als lim supan+1

an



< 1, dan convergeertP a_n.

2 Als lim infan+1

an



Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks.

Stelling 12.2

Zij (a_n) een rij getallen ongelijk nul. Dan geldt lim inf     an+1 a_n    

≤ lim inf |a_n|^1/n ≤ lim sup |a_n|^1/n ≤ lim sup     an+1 a_n     .

Quoti¨entcriterium (14.8, ratio test)

ZijP a_n een reeks. Er geldt:

1 Als lim supan+1

an



< 1, dan convergeertP a_n.

2 Als lim infan+1

an



Criteria voor convergentie

Wortelcriterium (14.9, root test)

ZijP a_n een reeks en definieer α = lim sup |a_n|1/n.

1 Als α < 1, dan convergeert de reeks.

2 Als α > 1, dan divergeert de reeks.

Stelling 12.2

Zij (a_n) een rij getallen ongelijk nul. Dan geldt lim inf     an+1 a_n    

≤ lim inf |a_n|^1/n ≤ lim sup |a_n|^1/n ≤ lim sup     an+1 a_n     .

Quoti¨entcriterium (14.8, ratio test)

ZijP a_n een reeks. Er geldt:

1 Als lim supan+1

an



< 1, dan convergeertP a_n.

2 Als lim infan+1

an



In document Analyse: van R naar R (pagina 89-112)