We zouden ook alle termen van orde 3 en hoger kunnen weglaten. Dan krijgen we de 2e orde benadering van de
kromme die we noteren als y = p2(x), zie figuur 1.
Raaklijnen in een ander punt dan voor x = 0
De raaklijn in punt (0, a0) is dus heel eenvoudig te vinden. Maar wat nu als we de raaklijn in een ander punt willen weten? Laten we bijvoorbeeld weer p(x) = 1 – 2x + 4x2
– x3 bekijken. Stel dat we de raaklijn in P(2, p(2)) willen
bepalen, zie figuur 2 (links).
Raaklijnen aan polynomen in x = 0
Laten we kijken naar de polynoom p(x) = 1 – 2x + 4x2 – x3.
De methode om de raaklijn aan de grafiek van p(x) te vinden in het punt x = 0 gaat in de meeste leerboeken met behulp van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn die we vinden via de afgeleide van de functie. Dat is hier dus: p’(x) = -2 + 8x – 3x2. Met x = 0 geeft dit: p’(0) = -2.
We weten nu de richtingscoëfficiënt voor x = 0. De verge- lijking van de raaklijn is nu: y = -2x + b. De raaklijn gaat door het punt (0, 1) dus moet gelden: 1 = 0 + b. Waaruit volgt b = 1 en de gevraagde raaklijn is dus: y = 1 – 2x.
Als we goed naar de polynoom kijken dan zien we dat de raaklijn bepaald is door de uitdrukking 1 – 2x, precies het lineaire deel (de constante en de eerste orde term) van de polynoom. We zullen dit deel van de polynoom p1(x) noemen, de 1e orde subpolynoom van p(x) We hadden ons
dus de moeite van het differentiëren en het oplossen van een vergelijking kunnen besparen. Het antwoord ligt als het ware al op de plank. Deze waarneming kunnen we veralgemeniseren.
Stelling:
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van polynoom p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a
3x3 + … + anxn voor
x = 0 is: y = a0 + a1x , ofwel y = p1(x).
Anders gezegd, de raaklijn aan de grafiek van de polynoom in x = 0 is de benadering van de kromme door weglating van alle termen van orde 2 en hoger.
38
EUCLIDES 92 | 7
figuur 1
figuur 2
Dan werkt het weglaten van hogere orde termen niet zonder meer. Gelukkig is dit geen moeilijk probleem. Als we het assenstelsel 2 naar rechts transleren, dan ligt het punt van interesse weer op de y-as, zie figuur 2 (rechts). De translatie geeft polynoom
pT(x) = 1 – 2(x + 2) + 4(x + 2)2 – (x + 2)3. Of in machten
van x: pT(x) = 5 + 2x – 2x2 – x3. Waarna volgt dat de
vergelijking van de raaklijn aan y = pT(x) in x = 0 gelijk is aan y = 5 + 2x, zie figuur 3 (links). Nu rest ons nog het assenstelsel terug te transleren:
p(x) = 5 + 2(x – 2) – 2(x – 2)2 – (x – 2)3. De vergelijking
van de raaklijn aan p(x) voor x = 2 is dan: y = 5 + 2(x – 2) = 1 + 2x, zie figuur 3 (rechts).
Raaklijnen aan een willekeurige polynoom bij x = c
Wat we voor x = 2 deden, kunnen we voor iedere waarde voor x doen, zeg voor x = c, en voor een willekeurige polynoom p(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn met
an ≠ 0.
Stap 1 Transleer assenstelsel
Vervang x door x + c: pT(x) = a0(x + c)0 + a
1(x + c)1 +
a2(x + c)2 + a
Stap 2 Zet gelijke machten van x bij elkaar
De termen ai(x + c)i uitvermenigvuldigen en daarna
gelijke machten bij elkaar zetten kan een hoop werk opleveren waarbij rekenfouten op de loer liggen. De coëfficiënten van (x + c)n zijn echter binomiaalcoëffici-
enten die we handig kunnen noteren in de vorm van een driehoek van Pascal met horizontaal oplopende machten van c en verticaal oplopende machten van x, zie tabel 1.
Bijvoorbeeld de coëfficiënten van de term a3(x + c)3 =
a3x3 + 3a
3x2c + 3a3xc2 + a3c3 vinden we door de getallen
langs de diagonaal 1a3, 3a3, 3a3, 1a3 te vermenigvuldigen met de getallen c0, c1, c2, c3 bovenaan in hun kolom.
Het optellen van de termen met dezelfde macht van x komt nu overeen met het optellen van de getallen langs een horizontale lijn. De term met x2 heeft bijvoorbeeld
opgeteld de coëfficiënt D2 = (1a2c0 + 3a
3c1 + 6a4c2
+ 10a5c3 + …). Bijna zonder rekenwerk kunnen we nu
opschrijven: pT(x) = D0 + D1x + D2x2 + D 3x3 + D4x4 + … + Dnxn waarin D0 = (a0c0 + a 1c1 + a2c2 + … ) D1 = (a1c0 + 2a 2c1 + 3a3c2 + … ) D2 = (a2c0 + 3a 3c1 + 6a4c2 + … )
De vergelijking van de raaklijn voor x = 0 is nu het lineaire deel van pT : y = D0 + D1x. Merk op dat de algebraïsche coëfficiënten Di(c) en de niet-algebraïsche ie afgeleide van p(x) in c aan elkaar gerelateerd zijn:
( )
( )i!( )
i p c D c i = . figuur 3 c0 c1 c2 c3 c4 cn-1 cn x0 1a 0 1a1 1a2 1a3 1a4 1a5 ←D0 x1 1a 1 2a2 3a3 4a4 5a5 ... ←D1 x2 1a 2 3a3 6a4 10a5 ... ←D2 x3 1a 3 4a4 10a5 ... ←D3 x4 1a 4 5a5 ... ←D4 ... xn-1 1a n-1 ←Dn-1 xn 1a n ←DnStap 3 Transleer assenstelsel terug
Vervang x door x – c: p(x) = D0 + D1(x – c) + D2(x – c)2
+ … + Dn(x – c)n. Dit is weer de polynoom p(x), maar nu
geschreven in machten van (x – c). De vergelijking van de raaklijn voor x = c is nu: y = D0 + D1(x – c).
Laten we tot slot van deze uiteenzetting ons voorbeeld, waarin de raaklijn in x = 2 aan de grafiek van
p(x) = 1 – 2x + 4x2 – x3 werd bepaald, ‘narekenen’ met
de driehoek van Pascal. De coëfficiënten van pT staan in tabel 2: c0 c1 c2 c3 c4 x0 1 -2 4 -1 ←D 0 x1 -2 8 -3 ←D 1 x2 4 -3 ←D 2 x3 -1 ←D 3
We lezen nu af (de 2e kolom of 2e rij):
D1(c) = -2 + 8c – 3c2 hetgeen overeenkomt met de eerste
afgeleide van p(x) voor x = c. De vergelijking van de raaklijn voor x = 2 wordt: y = D0(2) + D1(2)(x – 2) = (1 – 4 + 16 – 8) + (-2 +16 – 12)(x – 2) = 5 + 2x – 4 = 1 + 2x, zoals we eerder al hadden gevonden.
Lessenserie
De geschetste techniek met translaties om raaklijnen te vinden is in een lessenserie toegepast die in een havo 4 wiskunde D klas werd gegeven. In deze lessen wordt veelvuldig gebruik gemaakt van GeoGebra. Leerlingen ontdekken hiermee eigenschappen van polynomen en kunnen de transformaties makkelijk uitvoeren, ook voor polynomen die ingewikkelder waren dan die in het voorbeeld. In de lessenserie worden ook de productregel en de kettingregel afgeleid, waarmee het rekenwerk voor standaardfuncties aanzienlijk wordt versimpeld. De lessenserie is te downloaden van de Euclides-site.
tabel 1
40
EUCLIDES 92 | 7
Toepasbaarheid
Raaklijnen vinden met behulp van translaties zonder gebruik te maken van afgeleiden werkt niet alleen voor polynomen. In de lessenserie komen ook functies als f(x) = √x, f(x) = x -3 en f(x) = ex aan bod. Ook bepalen
leerlingen raaklijnen aan andere krommen dan de grafieken van functies, zoals aan de cirkel en aan het Lemniscaat van Huygens.
Conclusie
Leerlingen ontdekten de werking van GeoGebra sneller dan dat de docent het ze kon uitleggen. Het lesma- teriaal konden de leerlingen grotendeels zelfstandig doorwerken. De leerlingen gaven aan de stof, vooral aan het begin, niet zo moeilijk te vinden, ondanks de vrees van de auteur dat de notaties weleens intimiderend zouden kunnen blijken.
Leerlingen hebben bestaande kennis (translaties en binomiaal coëfficiënten) opgehaald, verdiept en verbonden met een nieuw onderwerp (raaklijnen). De methode kan wellicht in het wiskunde D curriculum gebruikt worden voor een andere kijk op de begrippen afgeleide en raaklijn en het bepalen van raaklijnen en raakvlakken aan allerhande interessante 2D of 3D objecten. Het gebruik van de computer maakt het praktisch mogelijk ingewikkelder en misschien interes- santere formules te onderzoeken.
Met dank aan: Leerlingen havo 4, collega’s van Rijnlands Lyceum Sassenheim, Peter Kop voor zijn suggesties en Norman Wildberger voor een aantal van de gebruikte ideeën (http://www.youtube.com/watch?v=fKi5wGTw31g)
vakbladeuclides.nl/927fortgens
Over de auteur
Cor Fortgens is docent aan het Amstelveen College te Amstelveen en De Vinse School te Amsterdam. E-mail: cor.fortgens@gmail.com