Pierre van Hiele zegt in [2] dat ‘structuren de grond slag vormen van ons denken. Door structuren wordt de wereld leef baar en ook bespreekbaar. Men is door middel van structuren in staat adequaat en met intentie te handelen in een nieuwe situatie.’ Zoals de voorbeelden hier voor laten zien bepalen situatie, vraag, proces om tot een antwoord te komen en antwoord samen een (lokale) structuur waarbinnen de optredende getallen betekenis hebben. Als er precies gerekend moet worden wint het proces om tot een antwoord te komen aan belang ten koste van de situatie, maar alleen maar voor dat moment. Zodra het antwoord er is, komt de situatie weer volledig in beeld.
Naar het rekenen met de natuurlijke getallen kan vanuit verschillende structuren gekeken worden. In [1] behandelt Freudenthal er vier: tellen, aantallen, maatgetallen en rekengetallen. Bij deze laatste gaat het vooral om de eigenschappen van getallen die bij het rekenen relevant zijn. Bij kinderen gaat het meestal in deze volgorde, maar dat hoeft niet per se. Het rekenen kan al beginnen als ze over de telrij beschikken, via doortellen of terugtellen. De telrij opnoemen en opschrijven, 1, 2, …, 9, 0 en 1 links er van (dus ‘10’), enzovoorts, kunnen ze al heel snel. De relatie leggen tussen vier in de telrij en vier als aantal (vaak vier concrete voor werpen) is de volgende stap. Op dat moment kan het rekenen
3 1 1
uitgebreid worden door te manipuleren met de aantallen in concrete verzamelingen. De overgang naar maatgetallen is een volgende stap. De start is eenvoudig. Er is een voor werp waar van je een of ander aspect, bijvoorbeeld hoe groot het is, de lengte, nader wilt onderzoeken en waarbij je niet kunt volstaan met uitspraken over groter dan, kleiner dan of even groot als. De gebruikelijke procedure is: kies een maatstaf of eenheid en ga na hoe vaak die er op past. Past die maatstaf precies een heel aantal keren dan ben je klaar. Het maatgetal is dat aantal keren. Kom je te kort dan ga je één stap terug en houd je iets over dat kleiner dan je maatstaf is. Verdeel die maatstaf in een gelijk aantal delen. In eerste instantie ligt in tweeën delen voor de hand. Het kan zijn dat het begrip ‘de helft’ al bekend is of hier juist geleerd wordt. Lukt dat, dan ben je klaar. Lukt het niet, dan kun je ook met drie of vier gelijke delen aan de slag gaan. Maar al snel zul je een algemeen werkend principe moeten hebben. Bijna overal is voor 10 gelijke delen gekozen en ga je na met hoeveel van die ééntienden je het restant kunt overdekken. Lukt dat precies, dan ben je klaar en de bijbehorende schrijfwijze ligt voor de hand. Lukt het niet, dan herhaal je dit proces met ééntienden van die ééntiende. Op deze manier komen zowel breuken van de vorm a
b als de tiendelige op een natuurlijke
wijze aan de orde. Uiteraard moet ook het verband met delen en verdelen gelegd worden.
Nu lijkt het misschien zo dat Freudenthal de getallenlijn niet noemt. Dat is niet zo, integendeel. Nadat hij over grootheden heeft geschreven zegt hij het volgende. ‘I saved the most attractive aspect of the measuring number till the end. (…) In teaching (…), from an early up to an advanced level, one model of magnitude should be outstanding. According to our axioms all magnitudes are isomorphic; indeed knowing one means knowing all of them provided they are recognized as such. (…) Among all magnitudes the most mathematical is length; in fact it is one of the fundamental concepts of geometr y.’
Nu kan men zich af vragen of die getallenlijn niet slechts een visualisering is van de structuur van de getallen die bij grootheden horen, uitgebreid met de negatieve getallen. In mijn ogen overstijgt de getallenlijn die ver. Het is de meest concrete structuur waarin van de vorige structuren
geabstraheerd is. Ook de rekenkundige bewerkingen kunnen ermee ondersteund worden. Het is daardoor een van de belangrijkste didactische hulpmiddelen.
En verder
Getallen los van hun schrijfwijze betekenis geven – ’laten krijgen’ is wellicht een betere manier van zeggen – is essentieel. Die schrijfwijze ligt, globaal gesproken, vast, maar wat er in de praktijk wordt opgeschreven hangt er maar vanaf. Op school wordt terecht veel nadruk op dat opschrijven gelegd.
Naast het communicatieve aspect, leraar met leerling of met de klas, is er het didactische aspect. Het kunnen opschrijven versterkt het leren, het goed kunnen opschrijven is een leerdoel. Ook voor het gebruik van hulpmiddelen als rekenmachine en spreadsheet is inzicht in de schrijfwijze onontbeerlijk.
Voor het proces van betekenis geven is een zekere structuur nodig. Voor getallen en rekenen zijn de relevante structuren die van de telrij, die van (in onze wiskundige terminologie) het aantal elementen van verzamelingen, waarbij uiteraard het idee hoort dat voor bijvoorbeeld het getal vier de samenstelling van de bijbehorende verzameling er niet toedoet, die van de maatgetallen en als sluitstuk die van de getallenlijn. Betekenis geven aan getallen binnen een structuur is voor waarde om ermee te kunnen rekenen. Dat rekenen, waarbij ook het gebruik van elektronische hulpmiddelen hoort, is een onderdeel van elke structuur. Rekenen is meer dan alleen volgens regels getalvormen omvormen. Het is een mengsel van inhoud en vorm, af hankelijk van de situatie, de vraag, de eigen er varing, de noodzaak (of wens) er met anderen of jezelf over te communiceren.
Bronnen illustraties
Figuur 1: NAP bij Woerden, Wikipedia Commons (GNU Free Documentation License)
Figuur 2 en fi guur 3: Digitale leeromgeving van College De Brink, Laren (http://www2.cdb.gsf.nl/dedigitalebrink/)
Literatuur
[1] H. Freudenthal: Mathematics as an Educational Task. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company (1973). [2] P.M. van Hiele: Structuur. Zutphen: Thieme (1997). [3] G. Lakoff, R.E. Nunez: Where mathematics come from. New York: Basic Books (2000).
[4] H. Pot: Breuken, wat zijn dat eigenlijk voor dingen? In: Euclides 81-2 (2005), pp. 51-55.
[5] H. Sterk, J. Perrenet: Kunnen (wij op) onze kinderen rekenen? In: Euclides 81-2 (2005), pp. 63-65.
[6] L.B. Resnick: Learning In School and Out. In: Educational Researcher 16(9) (1987), pp. 13-20.
Over de auteur
Bert Zwaneveld is hoogleraar ‘professionalisering van de leraar, in het bijzonder in het onderwijs in de wiskunde en de informatica’ aan de Open Universiteit Nederland.