In deze bijlage wordt de methode uit Artikel [5] in voor het berekenen van de reradiation van een perfect geleidende, eindig lange cilinder beschreven. Hier wordt een validatie uitgevoerd waaruit blijkt dat deze methode niet toepasbaar is in het mastmodel.
Reradiation van oneindige cilinders van Knight
In het artikel ‘Reradiation from masts and similar obstacles at radio frequencies’ [5] wordt een de reradiation van een perfect geleidende, eindig lange cilinder analytisch beschreven. Deze uitdrukking is niet gebruikt in het mastmodel. Om de reradiation te berekenen wordt parameter g(ɸ)
uitgerekend voor een oneindig lange mast. Dan worden enkele aannames gedaan om deze te bewerken, zodat deze geldig zou moeten zijn voor een eindig lange cilinder. De aannames zijn echter voor een brede toepassing van het model onterecht en in een enkel geval tegenstrijdig.
Allereerst zal de theorie uit artikel [5] worden beschreven. In het artikel wordt met een uitdrukking voor het elektrisch veld bij het obstakel toegewerkt naar een opnieuw uitgezonden (stoor)signaal dat van het obstakel afkomt. Hierbij wordt rekening gehouden met de hoek van inval van het elektrisch veld, de hoogte vorm en diameter van het object en de hoogte van de zender. In figuur 30 is een bovenaanzicht van te zien van een situatie waarin de gebruikte symbolen te zien zijn.
Figuur 30: Bovenaanzicht situatie met zender ontvanger en obstakel.
Parameter g(ɸ)
In de berekeningen wordt gebruik gemaakt van een parameter g(ɸ) van een oneindig lange, perfect geleidende cilinder. Deze hangt af van de vorm en grootte van het obstakel, zijn oriëntatie relatief tot de zender en de polarisatie van de invallende golf. In formule b1 is deze weergeven voor
verticaal gepolariseerde golven. Voor horizontaal gepolariseerde golven moeten de Bessel en Hankel functies voor hun afgeleide worden vervangen. Deze formule voor horizontaal gepolariseerde radiogolven wordt in het artikel niet gegeven.
𝑔𝑣𝑝(𝜙) =1𝜋(𝐻𝐽0(𝛽𝑎) 0(2)(𝛽𝑎) + 2 ∑ (−1)𝑛∙ 𝐽(𝛽𝑎) 𝐻𝑛(2)(𝛽𝑎)∙ cos(𝑛𝜙) ∞ 𝑛=1 ) (9)
Van deze parameter zijn in het artikel vele grafiek gegeven. Door deze grafieken te reproduceren kan worden onderzocht of de Matlab code overeen komt met de theorie uit artikel 8. De figuren bleken goed reproduceerbaar. In figuur 14 wordt het berekende resultaat van de parameter als functie van
ɸ vergeleken met het resultaat in het artikel. Het enige verschil is dat in het artikel de lijn 𝛽𝑎 = 20
vanaf 0.75 pi wordt afgekapt en verderop in het artikel vergroot wordt weergeven. In simulatie van Matlab loop de curve wel door.
Figuur 31: Reproductie van parameter g(ɸ) voor vaste waardes van ßa.
Complexe Fresnel integraal
De complexe Fresnel integraal is een integraal dat gebruikt wordt in berekeningen waar
elektromagnetische straling om een object buigt. Zo ook in deze berekening. Om de rekenduur van Matlab zo kort mogelijk te houden is deze uitgewerkt. Matlab kan niet met een errorfunctie werken als er imaginaire delen aanwezig zijn. Daarom moet het resultaat worden omgeschreven naar antwoord dat imaginaire errorfunctie in plaats van de reguliere errorfuncties. De uitgewerkte integraal is te zien in formule b2.
𝜓(𝑈ℎ) = ∫ exp (−𝑗𝜋 ∙𝑈ℎ 𝑡22) 𝑑𝑡 0 (b1) 𝜓(𝑈ℎ) =𝑒𝑟𝑓𝑖(√ 𝜋 2∙ 𝑈ℎ √𝑖) √2√𝑖 (b2)
Stoorsignaal en de verhouding tot het directe veld
Met de parameter g(ɸ) en de complexe Fresnel integraal wordt uiteindelijk toegewerkt naar een uitdrukking voor het stoorsignaal en de verhouding tot het directe veld. De waarde van het stoorsignaal is niet helemaal betrouwbaar en kan fluctueren bij kleine veranderingen van invoerparameters. Dit komt omdat er geen tijdsmiddeling wordt gedaan. Daarom wordt er een uitdrukking gemaakt voor de verhouding tot het directe veld. Dit is een alternatief om tijdsmiddeling te omzeilen. De uitdrukking voor het stoorsignaal is te zien in formule b3.
|𝐸𝑟| = |4𝐾𝑔(∅) ∙ℎ𝑑1ℎ2 1 2𝑑 2 2∙ 𝛽𝑑 ∙ ( 𝝀𝑑 2) 1 2∙ (ѱ(𝑢 𝐻) − 𝑢ℎexp(−𝑗𝜋 ∙ 0,5 ∙ 𝑢𝐻2))| (b3) Waarin:
K factor voor elektrisch veld [?]
h1 hoogte van zender tot grondvlak [m]
h2 hoogte van ontvanger tot grondvlak [m]
d1 Afstand zender tot obstakel [m]
d2 Afstand obstakel tot ontvanger [m]
uH Formule [-]
d d1d2 / (d1+d2 ) [m]
48
𝛽 2𝜋/λ [Rad/m]
Deze formule wordt nu geschaald met het directe veld. Dit gebeurd omdat er anders een
tijdsmiddeling gedaan zou moeten worden. Dit hoeft niet als het opnieuw uitgezonden stoorsignaal als verhouding van het directe signaal gegeven wordt.
|𝜌(𝜙)| = |2𝑔(𝜙) ( 𝑑0
𝑑1∙𝑑2)
2
∙ 𝑑√𝜆𝑑2 ∙ (𝜓(𝑢𝐻) − 𝑢𝐻∙ exp (−𝑗𝜋𝑢𝐻
2))| (b4)
Aannames en voorwaarden in model P. Knight
Om tot de uitdrukking in formuleb4 te komen moeten veel voorwaardes worden gesteld en
aannames worden gedaan. In het model wordt namelijk van de bekende formule voor een oneindig lange cilinder in de vrije ruimte naar een eindige cilinder op een grondvlak gewerkt. In figuur 15 is een zijaanzicht te zien van de situatie en van de paden worden meegenomen in de berekening.
Reflectiecoëfficiënt van grondvlak
Het grondvlak wordt beschouwd als vlakke spiegel met reflectiecoëfficiënt -1. Dit is volgens het artikel aannemelijk voor alle hoeken van inval (𝜎) bij horizontale polarisatie en voor hoeken groter dan 70⁰ bij verticale polarisatie. Dit betekend dat er een zekere minimale afstand d1 moet zijn die afhangt van de hoogte van het obstakel.
Afstanden zender tot obstakel tot ontvanger
De afstand d2 moet vele malen groter zijn dan d1. Er wordt niet gespecificeerd wat vele malen groter is. Verderop wordt aangenomen dat de zender ver van het object afstaat dat de veldsterkte lineair toeneemt met de hoogte. Deze aanname kan in conflict komen met de eerste, omdat de ontvanger dan weer vele malen verder dan ver van het obstakel af moet staan. De ontvanger staat zo ver van het object dat de lineaire hoogte-gain relatie verzadigd is. Schaduw verliezen zijn in deze situatie niet significant ten opzichte van het opnieuw uitgezonden stoorsignaal.
Hoogte zender en ontvanger
Bij een verticaal geplaatste cilinder moeten de zender en ontvanger zich ongeveer op dezelfde hoogte bevinden.
Hoogte en diameter object
De hoogte H van het object moet minstens 2𝜆 zijn. De diameter van de cilinder moet minstens 2 keer de golflengte zijn.
Conflicterende beweringen in artikel
Het artikel bevat conflicterende beweringen. In de inleiding wordt geschreven dat er gebruikt is gemaakt van bekende formules voor uitstraling van de mast waarbij de zender dicht bij een obstakel. In de aannames moet afstand d2 vele malen groter zijn dan d1. Dit kan aangezien d1 klein is. Aan het eind concludeerd Artikel [5] dat reradiation van een cilindrisch obstakel wordt beschreven als de zender op korte afstand geplaatst is.
Echter om tot de formule te komen de berekeningen te kunnen doen, wordt een conflicterende aanname gedaan. Er wordt namelijk aangenomen dat de afstand d1 van zender tot obstakel groot moet zijn zodat de lineaire hoogte-gain relatie verzadigd is. Terwijl de formules gelden voor een zender dicht bij een obstakel moet zijn. Buiten dat moet de afstand d2 dan nog eens vele malen groter zijn dan d1, dus komt de zender op een gigantische afstand te staan. Er wordt niet omschreven van welke ordegrote ‘klein’, ‘groot’ en ‘vele malen groter’ zijn. Maar deze aannames lijken te
conflicteren.
Resultaten berekening
Het model blijkt maar voor een zeer beperkt aantal situaties realistische uitkomsten te hebben. Dat zal in dit hoofdstuk worden aangetoond. Omdat het model maar voor zo weinig situaties geldig lijkt en deze beperkingen niet in het artikel worden genoemd, kan ook worden getwijfeld aan de betrouwbaarheid van de realistische resultaten.
Tabel 1: ingestelde waarde bij alle voorbeelden, tenzij anders vermeld. H = 14.1 m K = 1 λ = 5 m a =16 m d1 =150 m d2 = 500 m h1 = 10 h2 = 10
Eerst is getracht figuur 16 uit het artikel te reproduceren. In het artikel zijn niet alle ingestelde waarden gegeven, daarom is het niet mogelijk een exacte reproductie te krijgen. De verstoring is alleen voor horizontaal gepolariseerde radiogolven berekend. De formules hiervoor zijn niet uitgewerkt in het artikel. Daarom is bij de reproductie de wel uitgewerkte verticale
polarisatierichting gebruikt. Dit zal ook een afwijking van het origineel veroorzaken.
De manier van plotten is ook verschillend bij de reproductie. Als het figuur uit het artikel wordt bestudeerd lijkt er een grenswaarde van een maximaal tolereerbare hoogte van de ratio storing tot direct veld genomen. Dan wordt een lijn getrokken op een afstand om het obstakel waar deze grens zich bevind. Deze waarde wordt ook niet gegeven. Bij de reproductie is het elektrische veld in een vaste straal (d2) om het object geplot. Ook wordt een homogene bron gebruikt in tegenstelling tot het artikel. Ondanks deze verschillen kan het figuur nog redelijk worden gereproduceerd. Dit is te zien in figuur 4.
50
Figuur 33: Reproductie figuur uit artikel P.Knight (links artikel, rechts reproductie).
Nu zullen een paar situaties worden beschreven waar de formules in het artikel op zouden moeten gaan, maar dit duidelijk niet het geval is. Hierbij wordt eerst bestudeerd wat er gebeurd als een zender en ontvanger op 10.000 meter hoogte word geplaatst en daartussen een cilindrische paal van 10 meter. De verwachting is dat er dan geen verstoring is, omdat er praktisch geen obstakel tussen de zender en ontvanger is. Als dit met de theorie uit het artikel wordt berekend blijkt er een gigantisch hoog signaal te ontstaan met een flinke verstoring (zie figuur 17). Dit ontstaat omdat het elektrisch veld evenredig toeneemt met de hoogte van de zender en ontvanger. Dit is niet reëel. In het artikel is niets geschreven over deze beperking, dus ook niet over vanaf welke hoogte van zender en ontvanger deze optreed.
Het artikel is gebaseerd op bekende formules die gelden voor een oneindige cilinder in vrije ruimte. Als deze situatie met de bewerkte theorie wordt nagebootst blijken hier totaal irrealistische
waarden uit te komen. De hoogte van het elektrisch veld zou dan in een ordegrootte van 108 mV/m
Figuur 34: Onverstoord en verstoord signaal bij zender- en ontvanger hoogte n 10.000 meter en cilindrisch object van 10 meter hoogte.
liggen. Hierbij is dan een obstakel van 20.000 meter hoog tussen een zender en ontvanger op 10.000 meter hoog geplaatst. Dit zou de oneindige cilinder in de vrije ruimte redelijk moeten benaderen.
Als een reëele situatie word nagebootst van een windturbine, waarbij een zender en ontvanger op 10 meter hoogte geplaatst zijn en er een cilindrische paal van 70 meter hoog tussen staat, zijn de uitkomsten wederom niet reëel. Als resultaat blijkt ook de verstoring het signaal achter de paal hoger te maken.
Het lijkt er dus op dat in het artikel een situatie is heeft genomen waarbij er realistische waarde uit lijken te komen. Deze waarden zijn niet gevalideerd. Als er van deze situatie wordt afgeweken gaan de formules overduidelijk niet meer op.
52