Er voIgt nu een andere manier om voorgaande coding-schema's te beschrijven. Met deze beschrijving heeft men een methode om ingewikkelder coding-schema's nader te onderzoeken.
bernouilli
£2
=
(x2r1,···,x2rk)In.dit systeem (decoders niet getekend) zenden 2 onafhankelijke Bernouilli-sources hun bericht over het kanaal.
Elke y -component die gelijk is aan 0 veroorzaakt bij minstens een van de zenders onzekerheid omtrent het door de andere verzonden symbool.
Om deze onzekerheid weg te werken moe ten de x-componenten waarbij y
=
0 op een nader te bepalen manier herhaald worden.De manier waarop dit gebeurt noemen we een herhalings-strategie.
De vectoren £1 en £2 zijn de herhalingen.
De vraag is dus hoe deze herhalngen het efficientst gebeuren.
38
In het Hagelbarger schema bestaat de herhalings-strategie uit het inverteren van de x-componenten waarbij
y = o.
Bij de eerste serie Vqn n transmissies is de gemiddeld overgebrachte informatie in beide richtingen:
n.p.h(p) bits.
Gemiddeld zijn er rk
=
(1 - p2) herhalingen.In deze serie van herhalingen is de overgebrachte informatie in beide richtingen:
1/x1 .
=
0»r~
- n(1 - p).h(p) bits.
Dus de rate van het schema is
n.ph(p) + n(1 - p) .h(p) n + n(1 _ p2}
=
h(p)22 - p
.-~
In het Schalkwijk-schema z~Jn de herhalingen ingewikkelder.
De herhalingen bestaan nu mogelijk uit twee series.
Bij de eerste serie herhalingen wordt:
1e
: elke x-component die eerst 0 was, geinverteerd.
2e
: slechts een fractie q van x-componenten x = 1
••
uaarbij y
=
0 wordt geinverteerd ••
-Oit betekent dat er na deze eerste serie van herhalingen mogelijk nog een serie komt.
Immers als op de 1e herhaling een 1 wordt ontvangen dan weet degene die eerst een 0 zond nog niet of deze ontvangen 1 nu het gevolg is van een geinverteerde 0 of een niet
geinverteerde 1.
Bij de 2e serie herhalingen wordt nu een 1 gezonden indien in de 1e serie transmissies een 0 werd gezonden.
In de eerste serie transmissies is de overgebrachte informatie:
11 = n.p(x1i = 1).h(p(x 2i = 1»
= n.p.h(p)
De eerste serie herhalingen ( n(1 - p2» levert een bijdrage in de overgedragen informatie:
1/x1 . =
r~ 0»
= n'1 - p).h(pq) bits.
Het aantal herhalingen wit de 2eserie bedraagt:
= (),
Y .r~I=
1)=
2(1 - p)(1 - pq)De overgedragen informatie in deze serie is:
I I I I
1 ) • 13 = n.p(x 1 . = 1 , x1 . = 1 , x1 . =0,y . =
r~ r~ r~ r~
I I I I
=1»
• h(p(x2r~. = 1/ x1r~. = 1,x 1ri = O,y .r~
,,
Hiermee vinden we voor de gemiQdelde rate:
11 + 1
2 + 1 3
bits.
1 + (1 - p2) + 2(1 - p)(1 - pq)
40
Deze beschrijving is voor ingewikkelder coding-schema's waarschijnlijk handiger dan het opdelen van een vierkant.
Op een systematische manier kunnen nu een groet aantal verschillende herhalingsstrategieen, die steeds complexer worden, worden doorgerekend.
4.
EEN CODING-SCHEMA MET
K
4 STRATEGIEEN 4.1 INTRODUCTIE
Daar er geen converse voor het Schalkwijk coding-schema bestaat blijft dus de vraag of dit coding-schema nog verbeterd kan worden.
Om hier achter te komen kunnen we gaan zoeken naar andere schema's.
We kunnen ons hierbij laten leiden door de beste opdelingen die verkregen zijn voor K3 en K
4• Hierbij constateren we dat daarbij twee maal na elkaar een 0 wordt gezonden.
Dit gegeven kunnen we proberen te verwerken in een coding-schema.
Het kan ook benaderd worden vanuit de Shannon-strategieen.
Immers het Hagelbarger schema is gebaseerd op K2 en het Schalkwijk schema op K3-strategieen.
Het ligt dus voor de hand om eens te kijken naar
K4-strategieen. In het volgende wordt zorn schema gere-presenteerd. Ten opzichte van het Schalkwijk-schema is er een extra vrijheidsgraad.
42
4~2 Ar'tAL YSE SCHEMA
De verschillende toestanden uan het schema zullen nader bekeken worden.
De rate wordt berekend zoals in hoofdstuk 2 de bijdragen tot de overgedragen informatie berekend werden aan de hand van oppervlakten. Om hieruit de rate in een bepaalde
toestand (bij de coding-schema's wordt een toestand
gekarakteriseerd door het gemeenschappelijke verleden van de twee zenders, dus door de outputs) te bepalen worden de bijdragen tot de overgedragen informatie gedeeld door de oppervlakte van die toestand.
Toestand 1.
Dez e toestand komt overeen met het leggen van een drempel in een vierkant.
Zend:
elders
De rate op deze transmissie is dan
Wordt ontvangen y ,
=
0, dan gaan we naar toestand 2 met overgangskans:=
1 _ d 21 Toestand 2.
d -2
1
d1
fig.4.2. opdeling in toestand 2
Zend in toe stand 2 :
als d2~ e~ 1 elders.
Het gebied waar y
=
1 is gearceerd. Dit is toestand 3. Hetander~ stuk is toestand 4.
De rate in deze toestand wordt gegeven door:
en de overgangskans P23 door
(1-d2) (1-d2+2d3) P23
=
1 d 2- 1
Toestand 3.
,
U
d2
1·
d
3
-[j
d~!-- _
o -
r
1
fig. 4.3. opdeling van toestand 3.
Zend in toestand 3:
,
als d3~e~1
elders.
Het gebied waar y
=
1 is gearceerd. Dit is toestand 8.Wordt y = 0 ontvangen dan gaan we terug naar toestand 1~
De rate in deze toestand wordt gegeven door:
-(1-d2)(1-d2+d3)·h(1-d2+d3-d;)/(1-d2+d3») R3
( 1- d 2 ) ( 1 - d 2+2 d 3 )
44
De overgangskans P38 is:
( 1-d
2) 2 •
(f
-1)(1-d2)(1-d2+2d3) waarin f3 gegegeven wordt door:
Toestand 4.
d - ....-"""'i/
3
I
1
d
I
2 d1fig.4~4. opdeling van toestand 4 In toestand 4 zendt men:
\
-1 a1s d 5~ 0 ~d 4 x
=
lJ elders.I n he t g.e~rc e e r d e 9 e b i e d w0 r d t Y = 1 0n t van 9 en. 0 i t i s toestand 5. Als 'y
=
0 dan zitten we toestand 6.De rate in toestand 4 wordt gegeven door:
en de overgangskans P45 door:
(d2-d1)(d2+d1-2d5) + 2(d 4-d 2 )(d 2-d 3 )
P45 = 2
(1-d1) - (1-d2)(1-d2+2d3)
To~stand 4 is evenals toestand 3 een toestand waarin de rate verbeterd kan warden met behulp van Slepian-Wolf.
Dit voIgt eenvoudig uit het feit dat in het gedeelte van toestand 4 waarin een 0 wordt gezonden geen onzekerheid heerst met betrekking tat het door de ander zijn
verzonden symbool, zodat geIdt:
en dit is voor de uiteindeIijke parameters zodanig dat R4 Rs ' met Rs de gemiddelde rate van dit schema.
Toestand 5
t t - dS
d 2 d
1
fig.4.5. opdeling van toestand 5.
In toe~tand 5 zendt men:
x =
1 ~
aI s d1~.
(}~
d Zo
eiHlers.'Als y
=
1 komen we in toe stand 9 terecht en als y=
0 intoestand 7.
De rate in toestand 5 wordt gegeven door:
waarin
+
°PP5
(d1-d3)(d4-d1)·h(d4-dZ)/(d4-d1»)
°PP5
46
De overgangskans PS9 wordt gegeven door:
Indien
d2 - d1 d3
=
d 2-1 . -d - 1
dan is toestand 9 gelijk aan toestand 2, vanwege de gelijkvormigheid die dan optreedt.
Toestand 6 I
I
d
5 -L5-d,
o
I
td2 d
1
fig.4.6. opdeling van toestand 6.,
,
Toestand 6 bestaat uit 2 L-vormen en deze zijn niet
gekoppeld. Oaarom zijn ze als 2 aparte l-vormen weergegeven.
Om het aantal toestanden enigszins beperkt te houden, wordt elk van deze L-vormen zodanig opgedeeld dat er of weI een toestand 8 of een toestand 1 verschijnt, zoals in toestand 3.
Hiertoe moet dan gelden:
en
= f3
Hiermee voIgt voor de rate R6:
(d2-d,)(1-d4+dS)·h(1-d4)/~(1-d4+dS»)
R6 =
- 2(d2-d1)('-d4+dS)+2(1-d4)(d,-d3)
(1-d4)(d2-d3)·h(d2-d1)/~(d2-d3»)
+
2(d2-d1)(1-d4+dS)+2(1-d4)(d1-d3)
en voor de overgangskans P6B
Oak in deze toestand is extra coding te realiseren, hetgeen men eenvoudig na kan gaan.
Toestand 7
d3-~• - d g d
-5
T T
d2 d
1
o o
fig.4.7 opdeling van toestand 7.
Ook hier worden we geconfronteerd met twee L-vormen die niet gekoppeld zijn.
De opdeling is hetzeIfde als VOGr toestand 6.
De drempels dB en dg worden ook weer zodanig gekozen dat:
en
= ~
48
De rate R
7 in deze toestand wordt gegeven door:
(d2-d1)(d4-d2+d3-d5)·h(d4-d2)/~(d4-d2+d3-d5))
+
°PP7
(d4-d2)(d2-d3)·h(d2-d1)/~(d2-d3))
OPP7 en de overgangskans P79 door:
•
Hierin is oPP7 gelijk aan:
oPP7
=2~d2-d1)(d3-d5)+(d2-d3)(d4-d2))
Het gedeelte waar y
=
1 wordt ontvangen is ook weer gearceerd. In deze toestand is extra"coding zinvol.Toestand 8
De toestanden van waaruit een overgang naar toestand 8 mogelijk is, zijn 3,6 en 7.
Toestand 8 en de opdeling ervan zijn gegeven in fig.3.8.
L 2
'\.
~L2
fig.3.8. opdeling van toe stand 8
Vanwege de speciale afmetingen hebben we hier te maKen met een outerbound-situatie. Het gebied waarin een 1 wordt ontvangen is weer gearceerd.
De overgang van uit toestand 3 naar toestand 8 levert een symmetrische figuur Ope Vanuit toestand 6 en 7
hebben we in beide gevallen te maken met twee niet-symme-trische figuren. Het gaat echter om de verhouding van de afmetingen en men kan eenvoudig nagaan dat de rate
in alle voorkomende gevallen gegeven wordt door:
h(§ ) Z - 13
Vanuit toestand 8 wordt een overgang gemaakt naar toestand 1.
Toestand 9
d -10
= /3
d - '
-3 id Td
2 1
f~~~4.9. opdeling van toe stand 9.
In deze toestand"zendt men:
a1s d10~8.!S 1
elders.
Voor de rate in deze toestand geldt:
(d Z-d 1 )(d Z-d 3)·h ((d Z-d 1 )//3(d Z-d 3 )) (dZ-d1)(d1+dZ-Zd3)
In deze toestand kan oak weer extra coding worden toegepast.
Overgangen kunnen worden gemaakt naar toe stand 8 en toestand 1.
Voor de overgangskans P98 geldt:
(dZ-d 1)
=
(d Z-d 1 )(d 1 -d 3+ § )P9~ (dZ-d1)(d1+dZ-Zd3)
De verschillenae toestanden zijn nu toegelicht.
Bij de berekening van de gemiddelde rate van dit schema werd in eerste instantie uitgegaan van een paar vereen-voudigingen, die er op neer komen dat niet alle vrijheids-graden die dit schema levert worden benut.
50
Zo werd aangenomen:
d4
(d2-d1)
+ d1
=
f3
dS
(d3-d1)
+ d1
=
f3
Dit leidt na wat rekenwerk tot het coding-schema volgens fig.4.10
fig.4.10 vereenvoudigd coding-schema.
Onder deze aanname worden de toestanden 6 en 7 beiden een toestand 3 en toestand 9 wordt een toestand 2.
De rates worden gegeven door:
h ( J3 ) 2 - J3
De overgangskansen in fig.4.10 worden gegeven door:
P12
=
1 d- 12(1-d2)2 P23
=
(1-d 1) 2
P38 =
(1-d1)(~
-1)1 + d1
( (d -d ) )
2(d2-d
1) 1- 2 1 J3(1-d1) P43 =
(1-d2) 2 (1d 1 )
-(1-d1) J3
PS2
=
2 - J3 .
De toestanden waarin extra coding zinvol is zijn aangegeven door ~ •
'\.
52
De rate R wordt gegeven door:
R
=
waarin q. de stationaire kansen zijn.
~
Maximalisa tie -levert op:
R
=
0.63055525hetgeen hetzelfde is als in het Schalkwijk coding-schema.
Dit maximum wordt bereikt voor:
d1
=
0.69071d 2
=
0.7864f3
=
0.5828\lerder geldt:
R1
=
0.616356 R4=
0.589856R2
=
0.616356 R5=
0.691594R3
=
0.5B9856 R8=
0.691594q1
=
0.36091 q4=
0.109135q2
=
0.20869 q5=
0.048553q3
=
0.18873 q8=
0.08396De toestanden 1 en 2 z~Jn vergelijkbaar met toestand i uit het Schalkwijk schema. Zo zijn 3 en 4 hetzelfde als toestand m en toestand 5 en 8 zijn hetzelfde als toestand 0
uit het Schalkwijk-schema. Ook de stationaire kansen komen overeen.
Dus met nog slechts een extra vrijheidsgraad t.a.v.
net Schalkwijk-schema treedt geen verbetering Ope
5.
RESULTATEN
In dit hoofdstuk volgen de resultaten die verkregen
werden door het opdelen van een vierkant, zoals beschreven in hoofdstuk 2. De programma's zijn terug te vinden in de appendix.
Het blijkt dat bij K
2 de gemiddelde rate niet buiten het inner-bound-gebied komt.
Als maximale waarde wordt gevonden R
=
0.6169486Dit levert dus een punt o~ de inner-bound Ope
Voor K3 zijn 3 verschillende oplossingen gevonden.
R
=
0.~169486R = 0.6194622 R = 0.61965
Deze verdelingen vinden we terug in fig.5.1, fig.5.2, fig.5.3.
De bes±e opdeling is bovendien nog eens gegeven in fig.5.4.
In fig.5.4. is ten opzichte van fig.5.3 geschoven met bepaalde gebieden. Het zal duidelijk zijn uit hoofdstuk 2 dat het toegestaan is om met gebieden te sGhuiven omdat
:~, in fei te slechts de breedte waaraver een.1 lotordt gezonden in dat gebied van belang is en niet de positie. We moeten bij dit verschuiven aIleen rekening houden met de
voorgeschiedenis, die natuurlijk hetzelfde moet blijven.
In fig.5.3 zien we dat drempel d
6 samenvalt met d2•
Dit betekent dat deze oplossing op de rand van het domein van de functie ligt. Het domein is voor K
3 een 9-dimensionale ruimte.
Dit betekent ook dat dus niet noodzakelijk de partiele afgeleiden naar d6 en d2 6 zijn.
54
Omdat d9 en d8 samenvallen met de rand van het vierkant, en dus ook een waarde aannemen op de rand van het domein,
kunnen we verwachten dat decbijbehorende afgeleiden
F
G.Dit wordt gedemonstreerd in fig.5.5 en fig.5.6.
Het betreft hier 1-dimensionale doorsneden~van de beste oplossing.
Horizontaal is de waarde van de drem~els uitgezet.
Deze wa~rden zijn genormeerd. Elke drempel mag zich in een
bepaald interval bewegen (vanwege de constraints). De lengte van dit interval is genormeerd op 1.
Verticaal komt 1.0 overeen met R = 0.62;
a.o
komt overeen met R=
0.58.Fig.5.5 betreft doorsneden van niet-samenvallende drempels.
In fig. 5.7 is een 2-dimensionale doorsnede gegeven van de beste oplossing.
Er is ook ~agegaan welke oplossingen er voor K
3 zijn als er extra coding volgens Slepipn en Wolf wordt toegepast. Dit is mogelijk als de drempels d
2
en d4 allebei de waarde 1 krijgen.Het blijkt nu dat oak hier de gemiddelde rate toeneemt en da~ ook in dit geval meerdere maxima optreden.
Er wordt gevonden:
R
=
0.617098 R=
0.622752Deze opdelingen vinden we terug in fig.5.8 en fig.5.9.
We zien dus nogmaals dat deze extra coding een krachtig middel is. Tevens vestigt dit ook onze aandacht op het
feit dat er twee verschillende aspecten aan het and-channel zitten.
Het ene is zuiver spel-theoretisch van aard en betreft het opdelen van een vierkant. Het andere heeft een zuiver
informatie-thsoretisch karakter.
De extra coding volgens Slepian en Wolf laat zich moeilijk inpassen in het spel-theoretische karakter. Men kan het weI expliciet in de te maximaliseten functie aanbrengen zoals in de twee voornoemde oplossingen werd gedaan.
Voor de beste K3 opdeling is gekeken naar de rates in de diverse toestanden (toestanden gekarakteriseerd door outputs).
Dit levert op:
De rate op de 1e transmissie is 0.6135245.
Als Y1 = 1 dan volgen er 2 transmissies in het subvierkant met rate
De opdeling van het vierkant is zodanig dat extra coding in geen enkele toestand zinvol is, hetgeen men eenvoudig nagaat door H(X
1/0
2, 5 ) te berekenen voor de diverse toestanden 5.
Om te kijken hoe de functie-waarde verandert bij een verandering van de input parameters werden op de oplossingen random verstoringen aangebracht.
Dit geeft een beter inzicht in de nauwkeurigheid van de, parameters. Het blijkt dat random verstoringen van de
drempelwaarden in- de orde grootte van 10-4 reeds aanleiding geven tot veranderingen in de functiewaarden die in de
orde-grootte van 10-6.liggen. Hierbij zijn de v.srsta.ringen van de drempelwaarden relatief.
Daar tegen het einde van het maximaliseren de functie-veranderingen slechts in de grootte-orde liggen van 10-11 zijn de gevonden drempelwaarden tach weI nauwkeurig tot op 4 cijfers.
56
Herhalen van het programma van uit een andere initialisatie bevestigt dit.
Als zou blijken dat de drempelwaarden minder nauwkeurig
zijn, dan moeten we bedenken dat hier weinig aan te doen is.
De nauwkeurigheid van de drempels wordt hoofdzakelijk bepaald door het al of niet vlak verlopen van de functie.
Hoe vlakker een functie verloopt, hoe slechter de nauw-keurigheid wordt~van de parameters.
In veel mindere mate speelt ook het afbreekcriterium een zekere role Omdat men dit zelf in de hand heeft is de invloed van het te vroeg beeindigen van het programma verwaarloosbaar klein te maken.
De nauwkeurighetd van de functiewaarden zelf wordt bepaald door de nauwkeurigheid waarmee de entropie-functie berekend wordt.
Oe random verstoringen geven bovendien een bijkomende garantie cat de gevonden maxima inderdaad maxima z~Jn.
Als namelijk het optimaliseren afgebroken zou zijn in een punt dat geen locaal maximum is dan zou dit door de
random verst~ringen opgemerkt kunnen worden.
R
=
0.6192359R
=
0.6192285 R = 0.6198974 R<= 0.6195023 R=
0.6169486Deze opdelingen z~Jn hierna ~eerg8geven.
Ook hier ip met random verstoringen nagegaan of er verbeteringen mogelijk waren. Dit bleek niet mogelijk te zijn.
58
r-'~
,._._._.- r---'-"
,_._._._._._._._._._.-. .
I~
.
<OIIl!...~-'Iu....--,.-I----,Ir----.,.I....L.---rI----r--I-_...-I--....,r----.,.---,.-- <5. .
GO
.
•
fig.5.2 R
=
0.619462. ' I
011
•
X 1- 8.6723..63;.D .8 X 2- 8.;83e46"3"0 .e X 3- '.2366617720 . . X ..
-
•. 1...0 .1 X 5- •• 8868835.;0 . .X 6- '.i83."6..3..0 e.
X 7- '.5"273';130 e.
x 8- 8.8882388230-11 X g- 1.153'825580-88
drempelwaarden behorende
)( 8- 8.19717&475D 88 X g- 8.1"568939510-e9
drempelwaarden behorende
1
62
-000
011
.' 01 0
001
-=
-K2
000
-.:;-
.
o1 0
1
o 'fig.S •• beste opdeling van K3
R
=
0.61965H--h""'----...---r---...--..---.r---.----...---r-t---"T"-.---~
•
'.1
•••
'.8
MIAJELE • 3
••1
MJAKLE I
""1) MJM£LE 1
~.
10• MJM£LE
..1
•tIl tIl
•• 1
~
.-
0-I~.
3
e.s
CO ::J
(JI 0>
•0-
e.1
(,J0 0
~
(JI
....
::J
«l \
0- \
"
CO
::J
'.3
.. .
',' f
, J~
•• 3
.
.;;;.
/. Ja '.68S686nSD . . I. 2a ••"""gnD . .
Yo Ja •• 223&76sn4D . .
X
.. -
•• 1. . . .0 81>: 5- '."'116&830 . . X
s-
•• 8181InSilSilD . . X 7- '.541418'722D . .X 8- •• 18S8S1782D-e3
X I- '.536883417D-l'
drempels uit fig.5 .. 9 R '= 0 .. 622752
X 1- '.7t31e8138D II X 2- e.ilnnliiD . . X 3- • •136243816D II X
.. -
•• 1. . . .D .1 X 5- e.Sllli746771) . . Xs-
e.88&5"34&1) . . X 1- '.535eJ.tlS2D Ie)(
.-
'.13&243M11) . . X I- '.13&243816D . . . drempels wit fig.5.8R = 0.617098
68
I
.a
._._.__
~.._._._._._ I
_._._._.~._.-!-i i i
...
-- ~
~
e.?
...
R 2
...
_______1.__: f--- ~
. II I
8.1
1.'
R IL-_~_--;.---_--.-_---,_ _--.-_---, -.I_ _...,I_ _..,I_JoL-Ll....L...i:
Irt1
~~'.1 1.8 1.1
R 2
.--_._._._._-_.+._._.-t-._._.t-.,
I I -~_._--t-~--H It ' I I ' I I • I :
I'
_______________~_-_-__~_-_-_-~--~ I I ---~-~-+~
,
I • I I • I I • I :
I'
, I
...~
10•
•tfI N
+>-::0 II
•o en...
UJ N U tfI UJ
8.51
e.8
0.7
e.6 e.s
0 ...
e.3
8.2
e.l e.e
e.e
0.2e.3 e... e.s e.7
I P. 1(X)...
R 2
'--,,----r-'---rl·--"""TI---.'r---T"I
--I 4-..-. >
0.3 e.4 e.5 e.6 e.7 8.8 8.9 1.' P I
P. I
1.'
R 1._._._._._L___ I til
I
I I,' 1I I 1'.5'77U&474O . . ..13II&'41&5D . .
•• 14T71118ID . . ...3lUD ..
•• ntll53&SD . .
•• i'72'7S4443D . .
•• Hl73IMSD . . '.6111P2fiD . .
•• 1IIItI&26D . . '.Hl73IenD . . '.23I&S~6T). . '.23~5J). .
•• 111SItW7D . . '.32&'71457t1l . .
•• 1. .H12<t2D-t1
•• 13t'?1H'43D-1.
..
~,..
•• 9342'J1181" . . . •• 777R'7I'tS1D"
1.tt'74714Z3D . . 1.83I212&32D . . 1.11A421,4D . .
••HN833UD . . '.l52t13I22D . . ,.141'733S31D . . , . , . . I. .ID . . '.H'?4'l423D . . '.H7471423D . . '.134161111 . . '.681114331D . . 1.7eI4SM78D . . '.134216818D "
'.845312S31D . .
•• ll&2..21....D "
• •4i8U",331D I I 1.382'o4fS53D
I'
..sa48811t3D . . '.1574"'124D . .
•• ISZM3122D . .
drempels uit fig.S.10 R
=
0.5208791c.. drempels wit fig. 5.15 R
=
0.6207982<w.,
cr.,
27-'.688318287D . .
'.~I;7"57D. . ....86618114D . .
'.~H61""7D. . 8.836868357D . . ... g15a1378D . . 8.5781398230 . .
•• a"26853730 . . 8.1"68945650 . . '.99D4C!6-4670 . . 8.99861....70 "
8.5172"'2870 . . 8.92g191..57D . . 8.688318287D e.
8.79282621gD . . e.92...9827SD ee e.8..92288....D . . e.9158813"'D
ee
'.688318287D
ee
....866183150 . . 8.S2728~3D. . '.242&t5373D . . 1.2<426e5373D ••
1.118687SS4D . .
'.3)M"~lD. . 1.3733151680 . . l.gga711846D . . ..83H..92..9D
ee
•• ge7Ve57810 . . '.559287822D . . '.1-42335111D . .
•• 1..26311 ....D . .
e.~l1"lD. . '.5151865511820 ee e.51g86g2..28D . .
•• 925822g2.D . . e.&83678123D 8.
e.765C!&3937D . . e.g25913.11D . . e.83....5..'.2D ee
•• g878S9261D . . e.&83..68222D . . 8.377173355D . . 8.51236..131D . . 8.14.7768..0 . . l.l"2331618D ee
'.lSlMS89UD-84 '.38"286'46D . .
I.152262286D-83
'.122331~D-es
,\.
drempels uit fig.5.16 drempels uit fig.5~'7
.~
X 1= O. 6705838240 00 X 1'"' O. 669Tt:',J17'71.l 00 X 2.: 0.9661553330 00 X 2=- o. 966:10:",4350 00 X 3= O. 2645200740 00 X 3:0=; 0.2392363190 00 X 4= O. 999974983D 00 X 4= O. 1000000000 01
X 5= 0.8606435740 00 X 5=- 0 861266554D 00
X 6= O. 8785133700 00 X 6'0 O. 87B38~,0500 00 X 7= O. 5304840670 00 X 7"" O. 5300090940 00
X 8= O. 584362424D-Ol X 8= 0.3639428260-09
X 9= O. 1860982700 00 X 9"" O. 1823748260 00 X 10"" 0.1000002170 01 X 10"" O. 1000000000 01 X 11"" O. 9999745020 00 X 11 :: O. 1000000000 01 X 12= 0.9999744750 00 X 12= O. 9663054350 00
-, X 13= 0.9659533470 00 X 13= O. 9660695860 00
X 14= 0.6962851650 00 X 14= 0.6965528060 00 X 15= O. 7949067240 00 X 15= O. 82819;;0390 00 X 16= O. 9661466710 00 X 16= O. 9663054350 00
j
X 17"" 0.8785218730 00 X 17"" O. 8783860500 00 X 18"". 0.8785110450 00 X 18= 0.8783860500 00 X 19= O. 6705575700 00 X 19= O. 6697466520 00 X 20= 0.3120559820 00 X 20= O. 3096978230 00
'.---..
X 21= 0.4471835980 00 X 21= O. 4734310100 00
---X 22= O. 5843656470-01 X 22= O. 7484266890-02 X 23= O. 5844732300-01 X 23= 0.3638864330-09 X 24= O. 1613245100-05 X 24"" 0.3638864330-09 X 25"" O. 1860977230 00 X 25= o. 18;;'3748270 00
_.
X 26"" O. 1207221830-04 X 26= 0.2183568230-0'i X 27"" O. 1074416070-05 X 27= 0.3288267410-0'"
drempels uit fig.5.18 drempels uit fig.5.19
88
X 1~ 0.6905789410 00 X I."'" O. 6738::>03'/60 00 X 2= O. 913~3001BO 00 X ~=- O. ?8258~034D 00 X 3 .. O. 423722273n 00 X 3= O. 23:J6856961) 00 X 4= O. 9995220950 00 X 4~ O.99999841.1D 00 X 5= O. 7759167930 00 X 5>= 0 88666531.1D 00 X 6= O. 9009997100 00 X 6= o.8910358830 00
X 7= 0.6648389280 00 X 7= O. 5438284740 00
X 8>= O. 119518072D 00 X 8= 0.2473192170-01 X 9= 0.150693117D 00 X 9"'- O. 1679181550 00 X 10= O. 999522219D 00 X 10== O. 999'i993300 00 X 11= 0.9736898500 00 X 11= O. 9948362990 00
)( 12= O. 9995220950 00 X 12= O. 9999984110 00 X 13= 0.8718926090 00 X 13= O. 9541461850 00 X 14>= O. 7612570600 00 X 14= O. 8235460480 00
)( 15= 0, 6905789410 00 X 15= 0.8185938620 00 X 16= O. 9132300180 00 X 16= O. 982582034D 00 X 17= 0.8358444520 00 X 17"- 0.8910358830 00 X 18= 0.9009997100 00 X 18= 0.891035883D 00 X 19= 0.6816820120 00 X 19= 0.6352839270,00 X 20= O. 5964594460 00 )( 20= 0.4533380510 00
X 21= 0.6648389280 00 )( ...-.----~--..,
--21= 0.4494420580 00 X 22= - 0.3373618620 00 X 22= 0.1752194010 00
)( 23= 0.1195180710 00 X 23= 0.24731139830-01 X 24= O. 1668412850-09 X 24= 0.4180754500-11 X 25= 0.3420347000 00 X 25= O. 1679181. 550 00 X 26= O~3472904500-09 X 26= O. 4893751890-09 X 27= O. 1402563360-09 X 27~ O. 2706261400-09
drempels uit figS.20 drempels uit fig.S. 21
X 1.. O. 6905053850 00 X 1'" 0.6925268170 00
X 2= 0.8915189480 00 X 2= O. 9501078080 00
X 3= O. 3614227690 00
X 3= O. 5351540970 00 X 4= O. 9998080650 00
X 4 .. 0.9875710280 00 X 5= 0.8624989730 00
X 5= 0.8915187570 00 X 6= 0.9283244170 00
X 6= 0.831917739D 00 X 7= O. 5959385540 00
X 7= O. 5876543890 00 X 8= O. 5047768290-01
X 8= 0.2183011660 00 X 9 .. O. 1402043350 00
X 9= 0.3764928720 00 X 10= O. 1000000000 01
X 10=- O. 1000000000 01 X 11= O. 9849827280 00
X 11=- O. 9503482920 00 X 12= 0.9765160050 00
X 12= O. 9875710280 00 X 13=- 0.9240216720 00
X 13= 0.8915189480 00 X 14= 0.8123933960 00
X 14= O. 8548878040 00 X 15= 0.8201924030 00
X 15= O. 8915187560 00 X 16= 0.9501078080 00
X 16= O. 8738478150 00 X 17= 0.8555571940 00
X 17= O. 7899882210 00 X 18... 0.9283244170 00
X 18= O. 7899898470 00 X 19= 0.663759469D 00
X 19=- 0.6499243850 00 X 20= O. 5267273870 00
X 20= 0.5351540990 00 X 21= 0.5327781730 00
X 21= 0.5351540970 00 X 22= O. 2696693740 00
X 22= 0.4712381850 00 X 23= 0.4080471110-09
X 23=- O. 4339467651>-09 X 24= O. 5047768280-01
X 24= O.367776~300-08
X 25= O. 2920315710 00
X 25= 0.4881125230 00 X 26= 0.3459106780-09
X 26= O. 2648660900 00 X 27= 0.4000000000-12
X 27= O. 264865765D 00
uit fig.5.22 drempels uit fig.5.23 drempels
90
'
..
"X 1-= O. 6905393600 00 X 1= O. 693115;></70 00 X 2= 0.9378141710 00 X 2"" 0.9469842710 00
X 3= 0.3878659390 00 X 3= O.375~/830600 00
X 4= O. 9673113170 00 X 4'" O.977208~200 00
X 5= 0.8771320310 00 X 5= O. 87652b2240 00
X 6= 0.9224772260 00 X 6= O. 9274724720 00
X 7"" 0.6130194480 00 X 7'" O. 5999308510 00
X 8 .. 0.3878659370 00 X 8= 0.3759827020 00
X 9= 0.1421142780 00 X 9,.- O. 1426877670 00
X 10= O. 1000000000 01 X 10.. O. 9921065570 00
X 11= 0.9673113170 00 X 11= 0.9469842790 00
X 12= 0.9585651370 00 X 12= 0.9682464620 00
X 13- 0.898077631D 00 X 13= 0.9290479380 00
X 14= 0.8771320310 00 X 14= 0.8366292080 00
X 15= 0.8218088500 00 X 15= 0.8221463380 00
X 16= 0.9319062540 00 X 16= 0.9469842710 00
X 17= 0.8546960990 00 X 17= 0.8550053270 00
X 18= 0.922477226D 00 X 18= O. 927472472D 00
X 19- 0.6460483690 00 X 19= 0.6685483550 00
X 20= 0.6130194480 00 X 20= O. 5452842130 00
'..., X 21= O. 5462636070 00" X 21= O. 5335319870 00
X 22= 0.3878659380 00 X 22= 0.3759830600 00
X 23= O. 5737724080-08 X 23= 0.2796439990 00
X 24= 0.2728711860 00 X 24= 0.2645142400 00
X25= 0.3158871840 00 X 25= 0.3037720310 00
X 26= O. 127279999D 00 X 26= O. 1442450360-09
X 27'" 0.6391825860-11 X 21'= O. 4000000000-12
drempels uit fig. 5.26 drempe-ls uit fig.5.27
92
fig.5.28 beste opdeling voo.r K 4 R
=
0.62087911
o
Dit verslag geeft een overzicht van verschillende methoden welke gebruikt kunnen worden am het
capaciteitsgebied van het and-channel nader te bepalen.
De methode van de Shannon-strategieen is hierbij de minst geschikte voor numerieke berekeningen.
De methode van het and-chgnnel als beslissingsprobleem of het opdelen van een vierkant, levert resultaten op welke buiten het inner-bound gebied liggen.
Vanwege de vele maxima die optreden wordt oak deze methode voor hog ere orden van het afgeleide kanaal
minder gsschikt. Het ziet er niet naar uit dat er op deze manier rate-pairs gevonden kunnen worden die de rate van het Schalkwijk coding-schema benaderen.
WeI kunnen de verkregen opdelingen van het vierkant nader geanalyseerd worden.
Het blijft echter de vraag of de inzichten die hier-mee verkregen worden representatief zijn voor hog ere orden van het afgeleide kanaal.
Een andere mogelijkheid is am coding-schema's te zoeken in de vorm van Markov-chains. Dit is zeker geen eenvoudige opgave. In het coding-schema van hoofdstuk 4 kunnen
echter nag weI een paar extra vrijheidsgraden worden ,verwerkt, door minder aannamen te doen.
REFERENCES
[1] C~E. Shannon, "TwoTway communication channels", Proc. 4th Berkeley Symp. Math. Statist. and Prob, vol. 1, pp. 611-644, 1961.
~1 J.P.M. Schalkwijk, "The Binary Multiplying Channel-A Coding Schema that Operates Beyond Shannon's
Innerbound Region", IEEE TraQs. Inform. Theory, vol. IT-2B, pp 107-110, jan 1982.
~] J.P.M. Schalkwijk, "On a Nontrivial Extension of an Achievable Rate Region for the Binary Multiplying Channel", to be pUblished in IEEE Trans. Inform.
Theory.
~] G. Dueck,"The Capacity Region of the Two-way Channel can Exceed the Inner Bound", Inform. Contr., vol 40 pp. 258-266, Ma~ 1979.
~] Do Slepian and J.K.Wolf," ~oiseless Coding of
Correlated Information Sources", IEEE Trans. Inform.
Theory, vol. I~-19, ·pp.471-480, July 1973.
~] R.E. Blahut," Computation of Channel Capacity and Rate-Distortion Functions", IEEE Trans. Inform.
Theory, vol. IT-18, pp.460-473, July 1972.
~].M. Horstein," Sequential Transmission using Noiseless Feedback", IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-9, pp.136-143, July 1963.
~J J.P.M. Schalkwijk," A Class of Simple and Opti~al Strategies for Block Coding on the Binary Symmetric Channel with Noiseless Feedback", IEEE Trans. Inform.
Theory, vol. IT-17,pp.283-287, May 1971.
Het is hier op z1Jn plaats am een dankwoord te richten aan aIle leden van de vakgroep informatie-theorie.
Dit vanwege de collegiale omgang en het feit dat men
op elk moment be reid is am tijd ter beschikking te stellen voor het bespreken van allerlei zaken.