In puzzel 90-4 zagen we dat alle punten die een gelijke afstandssom hebben tot de zijden van een veelhoek een te construeren rechte lijn vormen. En de iso-afstandslijnen, de lijnen die alle punten met gelijke afstandssom verbinden, zijn evenwijdige rechte lijnen. In de uitwerking van 90-4, zie volgende pagina, kunt u nalezen hoe u die lijnen kunt construeren en dat mag u gebruiken voor deze puzzel. Voor sommige driehoeken geldt dat een bijzondere lijn in de driehoek een iso-afstandslijn is.
Opgave 1 - Toon aan dat een van de bissectrices in de driehoek met zijden a, b en c als (a,b,c) =
(3,4,5), een van de iso-afstandslijnen is.
In de volgende opgaven wordt steeds de constructie van een driehoek gevraagd waarbij een bepaalde bijzondere lijn in de driehoek een iso-afstandslijn is. Het is ook voldoende om de constructie te beschrijven. Er zijn in alle gevallen vele driehoeken mogelijk. Er zijn steeds twee elementen gegeven (een hoek en een zijde of twee zijden). U kiest zelf steeds welke elementen dat zijn. Het zal blijken dat er beperkingen zijn aan de waarden die die elementen kunnen aannemen. We vragen u ook om aan te tonen dat uw constructies kloppen.
Behalve de 3-4-5 driehoek zijn er meer driehoeken waarvan alle punten op een van de bissectrices een gelijke totale afstandssom hebben.
Opgave 2a - Bepaal een constructie (met bewijs) van een driehoek ABC, waarvan een van de
iso-afstandslijnen de bissectrice is uit C. Tip: U kunt gebruikmaken van de constructiemethode uit puzzel 90-4 opgave 3 en de bissectrice-stelling die zegt dat in driehoek ABC met bissectrice CD en
D op AB geldt dat AD/DB = AC/BC.
Opgave 2b - Als een bissectrice iso-afstandslijn is, dan is er een verrassend eenvoudige relatie
tussen de zijden a, b en c. Welke? Uit dat resultaat zal blijken waar punt C kan liggen als A en B bekend zijn.
Opgave 3 - Idem voor een hoogtelijn of, en dat is hetzelfde, voor een middelloodlijn. Hierbij is
ook een relatie te bepalen tussen a, b en c, maar die is minder mooi en daarom optioneel voor de liefhebbers.
Opgave 4 - Idem (constructie + relatie) voor een zwaartelijn. Inzenden oplossingen
Gehele of gedeeltelijke oplossingen kunt u weer mailen naar liekewobien@hotmail.nl of sturen naar Lieke de Rooij, Oudeweg 27, 2811NN Reeuwijk. Er zijn weer 20 punten te verdienen voor de ladder- wedstrijd en extra punten als wij uw idee voor een nieuwe puzzel gebruiken. De aanvoerder van de ladder ontvangt een boekenbon ter waarde van 20 euro. Inzendingen moeten uiterlijk op 20 juni 2015 binnen zijn.
PuZZeL 90-6
vervoLG oP 90-4: BiJZonDere
iso-aFstanDsLiJnen
Lieke de Rooij
Wobien Doyer
INSIDEGa naar www.mathplus.nl voor het gratis
beoordelingspakket of een demonstratie op school.
Tijd voor een nieuwe
Voor een convexe n-hoek werd de afstandssom d(P) als volgt gedefi nieerd: De som van de kortste afstanden van punt P tot de zijden die de n-hoek insluiten. Daarbij werd de afstand tot een zijde positief genomen als P en het binnengebied van de n-hoek aan dezelfde kant van die zijde liggen, anders negatief. Voor een gelijkzijdige driehoek is die afstandssom overal in het vlak gelijk, wat eenvoudig te bewijzen is met behulp van oppervlakten.
Opgave 1 - Welke andere n-hoeken hebben deze eigenschap?
De meesten noemden onder andere gelijkzijdige n-hoeken, niet per se regelmatig (bewijs met opper- vlakten) en n-hoeken (n even) waarbij paren overstaande zijden evenwijdig zijn (bewijs: de som van de afstanden tot twee overstaande zijden is dan constant). Maar er zijn er meer.
We kunnen alle oplossingen verkrijgen door van gelijkzijdige n-hoeken een of meer van de zijden evenwijdig te verschuiven zodat we n-hoeken krijgen die niet meer gelijkzijdig zijn. Zie fi guur 1. Het verschil tussen de afstandssom van P tot ABCDE en tot ABFGE is de afstand tussen de evenwijdige lijnen FG en CD, en dus onafhankelijk van P.
Dat dit alle oplossingen zijn, blijkt onder andere uit de analytische aanpak van J. Meerhof. Voor een n-hoek stelt hij een uitdrukking op voor de afstandssom van een punt P(x,y). Uit de eis dat die onafhankelijk moet zijn van x en y, volgt een vergelijking waaruit blijkt dat de zijden van de n-hoek loodrecht moeten staan op n eenheidsvectoren met som 0. Hij construeert die n eenheidsvectoren met som = 0 in de eenheidscirkel en kan dan de daarop loodrecht staande zijden gemakkelijk tekenen. Dat evenwijdige verschuiving van de zijden van een gelijkzijdige n-hoek dezelfde oplossingen oplevert, is eenvoudig te zien door de zijden van de gelijkzijdige n-hoek te zien als vectoren van gelijke lengte, die in een cykel liggen en dus is hun som 0. Roteren we ze over 90° en verschuiven we ze zodat ze in hetzelfde punt beginnen dan is de som nog steeds 0 en hebben we de constructie van Jan Meerhof.
Opgave 2 - ABCD is een convexe vierhoek met drie gelijke zijden. CD is de afwijkende – kortste –
zijde. Bewijs dat d(C) = d(D) en dat de lijn door C en D de meetkundige plaats is van alle punten P met d(P)=d(C).
Laat AB = BC = DA = 2 en CD = 2k < 2, zie fi guur 2. Kies P in het inwendige van de vierhoek. Trek PA, PB, PC en PD zodat de vierhoek in vier driehoeken wordt verdeeld. d(P) is gelijk aan de som van de (blauwe) loodlijnen op de zijden van de vierhoek, en dit zijn tevens hoogtelijnen in de vier driehoeken. We noemen de lengten van die hoogtelijnen hAB enzovoort. Door de oppervlakten van de driehoeken op te tellen, krijgen we dan:
OppABCD = hAB + hBC + hAD + k·hCD = d(P) + (k – 1)hCD. Of: d(P) = OppABCD + (1 – k)·hCD. Dit is constant voor alle punten met gelijke hCD en dus voor alle punten op lijnen evenwijdig aan CD en dus ook voor CD zelf. q.e.d.