Op deze avond zitten de niveaus 4 en 5 havo, 5 en 6 vwo en versneld havo/vwo bij elkaar. Er wordt gebruik gemaakt van twee lokalen. In het ene lokaal maken de leerlingen zelfstandig hun opgaven, met een stagiair als begeleider, in het andere lokaal wordt volgens een bepaald rooster elk uur aan een van de sub- groepen instructie gegeven. Voor elke groep is er een duidelijke studiewij- zer gemaakt waarin onder andere valt te lezen wat er elke week aan de orde komt, welke opgaven er moeten
worden gemaakt en wat de cursist op het eind van de week moet kunnen en kennen. Na zes weken wordt de module afgerond met een toets. De ervaringen van dit jaar met deze groepen zijn goed. De cursisten vin- den het prettig in hun eigen tempo te kunnen werken, ze maken dankbaar gebruik van de aanwezige deskundi- ge begeleiding en het blijkt ze met weinig huiswerk de studiewijzer kunnen bijhouden. De leerlingen die 4/5 havo of 5/6 vwo in één jaar wil- len doen hebben vaak wel moeite
met het hoge tempo. Op één avond wordt er zoveel nieuwe stof aan de orde gesteld dat men amper de tijd krijgt om het te laten bezinken. Ook voor mijzelf is het op zo’n avond hard werken. Omdat elke groep klas- sikaal aan de beurt moet komen, ben je de hele avond volop in de weer. Het gebruik van de computer zal in de toekomst steeds belangrijker wor- den in het wiskundeonderwijs. heb- ben jullie mogelijkheden om de com- puter in te schakelen bij de lessen?
Wat betreft het aantal beschikbare computers mogen wij niet klagen. De daggroepen hebben naast hun lessen voor elk vak werkgroepen, begeleid door een vakdocent. In een open leer- centrum krijgen de leerlingen volop de gelegenheid hun huiswerk te maken of om aan speciale opdrachten te werken (Tweede Fase!). In de ruimte die we daarvoor gebruiken zijn vele computers beschikbaar. We hebben al goede ervaringen opgedaan met programma’s als Ruimtemeet- kunde, Getal en Grafiek en Derive.
In de vernieuwde Tweede Fase komt er het Studiehuis. Hoe kijk je daar tegenaan?
Enerzijds merk ik in mijn lessen dat de manier van werken in de groep in de afgelopen jaren behoorlijk anders is geworden. Het frontaal lesgeven is steeds verder op de achtergrond geraakt. Leer- lingen moeten zelf actief aan het werk. Je dient als docent wel het tempo te bewaken. Anderzijds denk ik dat het leveren van onder- wijs op maat, zowel voor de cursist
als voor de maatschappij een goede ontwikkeling is.
J.A. van Maanen
Een complexe grootheid, leven en werk van Johann Bernoulli 1667 - 1748
Epsilon Uitgaven, Utrecht ISBN 90-5041-040-5
Van 1695 tot 1705 was Johann Bernoulli als hoogleraar verbonden aan de Universiteit van Groningen. Om dat te gedenken is er in 1995 vanuit de vakgroep Wiskunde van de Rijksuniversiteit Groningen een tal van activitei- ten georganiseerd. Een hiervan was het uitbrengen van het boek dat hier wordt besproken.
De auteur, als docent Geschiedenis van de Wiskunde verbonden aan de genoemde vakgroep, organiseerde in het cursusjaar 1991/1992 het seminarium ‘Johann Ber- noulli en zijn tijd’. De door de deelnemers samengestel- de teksten zijn door de auteur omgewerkt tot een door- lopend verhaal. Elk hoofdstuk behandelt een periode uit het leven van Bernoulli. Steeds wordt na een biografi- sche inleiding verder ingegaan op de wiskundige onderwerpen waar Bernoulli zich in die periode mee heeft beziggehouden.
We geven een overzicht:
[1667 - 1685] Johann wordt geboren als tiende kind in het huwelijk van Nikolaus Bernoulli en Margaretha Schönauer. Zijn vader was handelaar in kruiden en specerijen en zag in Johann zijn opvolger. Zijn 13 jaar oudere broer Jakob wijdde Johann in in de wiskunde van zijn tijd. Op 18-jarige leeftijd was Johann evenver in de wiskunde als zijn leraar. Zeker zijn ze op de hoogte van wat we nu als voorlopers van de differentiaal-reke- ning kunnen beschouwen: de dubbelwortelmethode van Descartes en de regel van Hudde. In 1684 publi- ceert Leibniz zijn ‘Nieuwe methode voor maxima en minima alsook voor raaklijnen etc.’
[1685 - 1690] In deze periode proberen de broers de nieuwe methode van Leibniz te doorgronden. Ook Leib- niz’ publicatie, waarin hij de integraalrekening introdu- ceert, maken ze zich eigen. Ze lossen diverse proble- men op, onder andere het probleem van de ‘kettinglijn’: welke vorm neemt een aan twee uiteinden opgehangen ketting aan? In dit hoofdstuk wordt verder aandacht besteed aan het leven en werk van Leibniz, in het bijzon- der aan zijn ‘Nova Methodus’.
[1690 - 1692] Johann kan in Basel geen werk vinden op het terrein van de wiskunde. Hij gaat op reis en komt via Geneve en Lyon in Parijs aan. Daar ontmoet hij De l’Hos- pital, aan wie hij de nieuwe analyse onderwijst. Dit onderwijs is zo goed, dat De l’Hospital er een beroemd (leer-)boek over kon schrijven. Grote delen hiervan zijn nagenoeg identiek aan de aantekeningen van Bernoul- li’s lessen. Dit hoofdstuk gaat verder in op de inhoud van Johanns aantekeningen. We leren hem kennen als iemand die meer geïnteresseerd is in de kracht van een methode dan in de theoretische fundering.
[1692 - 1695] Johann is terug in Basel alwaar hij stadsin- genieur wordt. Na veel onderhandelingen aanvaardt hij een benoeming aan de universiteit van Groningen. In deze periode start de zeer uitvoerige correspondentie met Leibniz. Dit hoofdstuk behandelt verder uitgebreid het conflict dat Bernoulli heeft gehad met de Groningse theologen naar aanleiding van zijn opvatting dat ‘je niet hetzelfde lichaam hebt als een jaar geleden’.
[1695 - 1705] De jaren in Groningen, met als wiskundig hoogstandje de oplossing van het brachystochroon- probleem: welke vorm moet een glijbaan hebben opdat een massa onder invloed van zijn eigen gewicht in zo kort mogelijke tijd van punt A naar punt B beweegt? Johann daagt zijn collega’s uit dit probleem op te los- sen. Er komen inderdaad oplossingen: Johann, Jakob, Leibniz en Newton. De oplossingen van Johann en van Newton worden in dit hoofdstuk beschreven. Johann verlaat Groningen om terug te keren naar Basel. Onder- weg krijgt hij te horen dat zijn broer Jakob is overleden. Johann wordt Jakob’s opvolger.
[1705 - 1727] In Basel is het bed gespreid. Johann ver- vult daar een groot aantal ambten, zowel binnen de uni- versiteit als daarbuiten. Vanuit het buitenland worden diverse pogingen ondernomen Bernoulli voor een hoog- leraarspost te interesseren. Steeds bedankt hij, vaak na lange onderhandelingen. De rest van dit hoofdstuk is gewijd aan de conflicten die Johann Bernoulli in grote
aantallen heeft gehad met diver- se mensen. Opmerkelijk is de relatie met zijn oudere broer Jakob. Aanvankelijk werken ze samen aan het toegankelijk maken van de nieuwe analyse. Maar al gauw probeert hij Jakob de loef af te steken en zichzelf in de schijnwerpers te plaatsen. Herhaaldelijk meldt hij dat zijn broer een probleem niet heeft kunnen oplossen, terwijl hijzelf in korte tijd de oplossing heeft gevonden. Ook het succes van zijn zoon Daniel viel bij vader Johann niet goed.
[1727 - 1748] Rond 1727 is er nieuwe generatie wiskundigen aangetreden: Nikolaus en Daniel Bernoulli en Johann’s meest fameuze leerling: Leon- hard Euler. Aan deze laatste wordt in dit hoofdstuk uitgebreid aandacht besteed, zowel aan zijn biografie als aan de wiskun- de waarmee hij zich heeft bezig- gehouden. Hoofdstuk 8 (Kleine Bernoulli Encyclopedie) wijkt wat opzet betreft af van de andere hoofdstukken. Uitgaande van de stamboom wordt van diverse leden van de Bernoulli- familie beschreven welke onderwerpen men heeft bestu- deerd en welke ontdekkingen naar hen zijn genoemd. Het boek wordt afgesloten met hoofdstukken waarin de noten zijn opgenomen en een biblio- grafie. Al met al een boek dat de persoon Johann Bernoulli, zijn werk en de positie van zijn per- soon en zijn werk in de tijd dui- delijk beschrijft. En dat in een zeer prettig leesbare vorm.
Harm Bakker