Het effect van mindmaps bij het onderwerp Differentiaalrekening bezien vanuit het perspectief van 4VWO leerlingen met wiskunde B

Pamela Daccache

UNIVERSITEIT TWENTE | R.K. SCHOLENGEMEENSCHAP CANISIUS AUGUSTUS 2021

Het effect van mindmaps bij het onderwerp

Differentiaalrekening bezien vanuit het perspectief van 4VWO leerlingen met wiskunde B

ONDERZOEK VAN ONDERWIJS (10 EC)

Het effect van mindmaps bij het onderwerp

Differentiaalrekening bezien vanuit het perspectief van 4VWO leerlingen met wiskunde B

Onderzoek uitgevoerd door:

ir. P. (Pamela) Daccache

Educatie en Communicatie in de Bètawetenschappen – specialisatie Wiskunde s1603272

p.daccache@student.utwente.nl Onder begeleiding van:

E. (Ellen) Booijink Afdeling Wiskunde

R.K. Scholengemeenschap Canisius dr.ir. J.A.H. (Jos) Alkemade

dr.ir. M. (Mark) Timmer

Educatie en Communicatie in de Bètawetenschappen

Faculteit Gedrags-, Management- en Sociale Wetenschappen Universiteit Twente

Samenvatting

Het gebruik van mindmaps in het onderwijs biedt verscheidene voordelen als het structureren van informatie, het verwerken en leren van lesstof en het visualiseren van verbanden tussen verschillende concepten. Binnen het wiskundeonderwijs kunnen mindmaps leerlingen helpen om het netwerk van de verschillende wiskundige concepten beter te begrijpen. Het doel van dit onderzoek was om de ervaringen van leerlingen met het creëren en gebruiken van mindmaps bij het onderwerp Differentiaalrekening te onderzoeken. Dit onderzoek is uitgevoerd onder veertien 4VWO leerlingen die wiskunde B volgen. Deze leerlingen hebben ieder een individuele mindmap gemaakt en hebben deze mindmap gebruikt bij een formatieve toets. Vervolgens zijn de leerervaringen opgehaald middels een enquête en drie verdiepende interviews. Tevens heeft er een analyse van de mindmaps plaatsgevonden. De onderzoeksresultaten kunnen worden opgedeeld in twee categorieën: de rol van mindmaps en het creëren en gebruiken van mindmaps. Uit de resultaten blijkt dat leerlingen het creëren van een mindmap een tijdrovend proces vinden. Echter blijkt ook dat leerlingen het gebruik van een mindmap als positief ervaren tijdens het leerproces. Hierbij geven leerlingen aan dat mindmaps een overzicht bieden van de leerstof en als samenvatting gebruikt kunnen worden tijdens het leerproces.

Inhoudsopgave

Samenvatting ... 2

1. Introductie ... 5

1.1. Aanleiding onderzoek ... 5

1.2 Relevantie... 5

1.3. Leeswijzer ... 6

2. Theoretisch kader ... 7

2.1 Definitie mindmap en voordelen... 7

2.2 Mindmaps in het wiskundeonderwijs ... 8

2.3 Het gebruik van mindmaps in de les ... 10

2.4 Conclusie theoretisch kader ... 11

3. Onderzoeksopzet ... 12

3.1 Onderzoeksdoel en -vragen ... 12

3.2 Onderzoeksmodel ... 13

3.3 Instrumenten ... 15

3.4 Data-analyse ... 16

3.5 Validiteit ... 17

3.6 Afbakening ... 18

4. Resultaten ... 19

4.1 Mindmaps ... 19

4.2 Formatieve toets ... 21

4.3 Enquête ... 22

4.4 Interviews ... 25

5. Conclusie, discussie en aanbevelingen ... 28

5.1 Conclusies ... 28

5.2 Discussie ... 30

5.3 Limitaties en aanbevelingen ... 31

Referenties ... 33

Bijlage A – Lesvoorbereidingen ... 35

Bijlage B – Formatieve toets ... 43

Bijlage C - Enquête vragen Google Forms ... 46

Bijlage D – Interview vragenlijst ... 50

Bijlage E – Toestemmingsformulier onderzoek ... 51

Bijlage F – Toestemmingsformulier interviews ... 52

Bijlage G – Resultaten enquête ... 54 Bijlage H – Codering Interviews ... 58 Bijlage I – Rubriek beoordeling mindmaps ... 62

1. Introductie

In dit hoofdstuk wordt de aanleiding van dit onderzoek geschetst. Tevens wordt de leeswijzer van dit onderzoek gepresenteerd.

1.1. Aanleiding onderzoek

Wiskunde is opgebouwd uit een netwerk van onder andere theorieën, stellingen, axioma’s en definities (Brinkmann, 2003). Om leerlingen te helpen dit netwerk te begrijpen, is het van belang om de relaties tussen deze begrippen te laten zien (Kontrova, 2014). Grafische visualisaties van de verschillende wiskundige structuren kan leerlingen helpen om de wiskunde beter te begrijpen (Brinkmann, 2003). Drijvers et al. (2014) geven aan dat kennisgrafen, zoals mindmaps en begrippennetwerken als hulpmiddel kunnen dienen bij het Weten over weten zoals beschreven in hun inleidende hoofdstuk van het Handboek Wiskundedidactiek. Binnen zo’n kennisgraaf krijgen verschillende concepten met betrekking tot een onderwerp een plaats. Dit zou het makkelijker maken voor een leerling om overzicht te krijgen van de verschillende begrippen en hun samenhang.

Binnen de differentiaalrekening krijgen leerlingen veel te maken met verschillende concepten omtrent het onderwerp de afgeleide. Hierbij is het van belang dat er aandacht wordt besteed aan de verschillende toepassingen van de afgeleide en de daaraan verbonden concepten (Drijvers et al., 2014). Uit eigen ervaring is gebleken dat leerlingen vaak moeite hebben met het oplossen van vraagstukken die net in een andere context gevraagd worden, ondanks dat de oplossingsmethode vrijwel hetzelfde is. Roorda (2012) concludeerde in zijn proefschrift dat het zien van samenhang tussen aspecten en tussen procedures een belangrijke voorwaarde is voor het construeren van overeenkomsten tussen verschillende situaties. Dit betekent dat als leerlingen het verband tussen verschillende concepten niet zien, dat het lastiger voor hen wordt om in een nieuwe context een soortgelijk wiskundig probleem op te lossen. Tevens zijn de leerlingen gewend om routinematig sommen uit te werken, maar als hen de vraag wordt gesteld waar ze echt mee bezig zijn, dan weten ze vaak het antwoord niet. Zo vroeg ik een leerling uit 5HAVO met wiskunde B, tijdens het behandelen van een optimaliseringsprobleem, of hij voor mij de afgeleide van K = 0,75x² + 12x^-1 kon geven. Hierop verkreeg ik moeiteloos het antwoord ^𝑑𝐾_𝑑𝑥 = 1,5x – 12x^-2. Toen ik vervolgens vroeg wat de afgeleide betekende en hoe deze een rol speelt binnen het geschetste probleem, kreeg ik geen (relevant) antwoord. Drijvers et al. (2014) geven aan dat mindmaps en soortgelijke cognitieve schema’s leerlingen helpen bij het beter begrijpen van een onderwerp, doordat ze over verbanden moeten nadenken.

Onderzoeken van onder andere Ayal et al. (2016), Adodo (2013), Budd (2004) en Brinkmann (2003) schetsen verscheidene voordelen van het gebruik van mindmaps in het onderwijs. Zo zouden mindmaps helpen bij het beter onthouden van leerstof, helpen bij het overzicht creëren van de verschillende componenten van de leerstof en toonde een recent onderzoek van Ayal et al. (2016) aan dat het creëren van mindmaps een positieve bijdrage levert bij het ontwikkelen van redeneervaardigheden. Echter, het gebruik van mindmaps komt zelden voor in het wiskundeonderwijs (Brinkmann, 2003). Daarom luidt de hoofdvraag van dit onderzoek als volgt:

“Wat is het effect van mindmaps, bezien vanuit het perspectief van leerlingen uit een 4VWO wiskunde B klas, bij het onderwerp Differentiaalrekening?”

1.2 Relevantie

De relevantie van dit onderzoek kan worden onderverdeeld in twee delen: de maatschappelijke relevantie en de wetenschappelijke relevantie. Allereerst de maatschappelijke relevantie. Dit onderzoek richt zich op het verbeteren van het middelbaar wiskundeonderwijs. Dit onderzoek kan

daarom waardevol zijn voor docenten, leerlingen en scholen die geïnteresseerd zijn in het gebruik van mindmaps in de wiskundeles.

De wetenschappelijke relevantie blijkt uit het feit dat dat mindmaps over het algemeen weinig worden gebruikt in het wiskundeonderwijs (Brinkmann, 2003), ondanks de voordelen die onder andere in de onderzoeken van Ayal et al. (2016) en Adodo (2013) worden geschetst. Hierbij ligt de focus nog vaak op het traditioneel lesgeven uit een boek met opgaven (Ayal et al., 2016). Daarom zou dit onderzoek handvatten kunnen bieden voor vervolgonderzoek binnen dit gebied.

Verder zijn de vergelijkbare onderzoeken van Basic (2020) en Van der Vegt (2019) als naslagwerk gebruikt. Echter lag de focus binnen deze onderzoeken op de toepassing van begrippennetwerken binnen het wiskundeonderwijs, terwijl binnen dit onderzoek de focus ligt op de toepassing van mindmaps. Mindmaps en begrippennetwerken lijken in veel opzichten op elkaar, echter zitten er aanzienlijke verschillen in de structuren van beide kennisgrafen (Brinkmann, 2003). De verschillen zullen in §2.2.1 uitgebreider aan bod komen. Uit het onderzoek van Van der Vegt (2019) kwam de aanbeveling om leerlingen in een vervolgonderzoek hun begrippennetwerk gedurende een lessenserie te laten aanvullen, in plaats van in één keer een begrippennetwerk te laten maken. Deze aanbeveling is meegenomen en toegepast binnen dit onderzoek.

1.3. Leeswijzer

In hoofdstuk 1 worden de aanleiding en de relevantie van dit onderzoek besproken. In het tweede hoofdstuk wordt het theoretisch kader gepresenteerd. Hier worden verschillende termen vanuit de wetenschap toegelicht en wordt een literatuuronderzoek over mindmaps en het gebruik van mindmaps in het wiskundeonderwijs toegelicht. In het derde hoofdstuk wordt de onderzoeksopzet, de onderzoeksvragen en de gebruikte methoden uitgebreid besproken. Daarna volgen de onderzoeksresultaten voor ieder meetinstrument in het vierde hoofdstuk. Ten slotte worden in hoofdstuk 5 de conclusies en aanbevelingen van dit onderzoek gepresenteerd.

2. Theoretisch kader

Er zijn vele onderzoeken omtrent het gebruik van mindmaps in het onderwijs. In dit hoofdstuk wordt een literatuurstudie gepresenteerd omtrent het begrip mindmap en hoe een mindmap tot stand komt.

Tevens wordt er besproken welke rol mindmaps in het wiskundeonderwijs kunnen hebben.

2.1 Definitie mindmap en voordelen

Mindmapping is een techniek gecreëerd door Tony Buzan in 1970 (Mento et al., 1999). Een mindmap is een grafische representatie van een begrip en de bijbehorende interrelaties die de kennisstructuren in het hoofd van een individu weergeeft (Jonassen, Beissner & Yassi, 1993, geciteerd in Adodo, 2013).

Mindmapping is een techniek waarmee de geleerde stof samengevat kan worden en middels visualisatie het makkelijker maakt om problemen te begrijpen (Abi‐El‐Mona & Adb‐El‐Khalick, 2008;

Ayal et al., 2016). Hierbij leidt visualisatie tot een bepaald holistisch begrip die niet te verkrijgen is met alleen het gebruik van tekst en woorden (Lawson, 1994, geciteerd in Adodo, 2013).

Er zijn verschillende soorten mindmaps. De structuur van een mindmap wordt vaak beschreven als een boomstructuur. Hierbij staat er bij iedere mindmap een hoofdthema centraal en wordt deze uitgebreid met takken waar sub-thema’s omtrent het hoofdthema aan vast worden gehangen. Deze sub-thema’s kunnen vervolgens weer onderverdeeld worden en zo ontstaan er meerdere lagen. In figuur 1 wordt een mindmap gepresenteerd uit het onderzoek van Polat et al. (2017). In deze mindmap worden de regels voor het maken van een mindmap weergegeven. Het hoofdthema is dus ‘Regels voor het maken van een mindmap” en deze wordt centraal op het blad weergegeven. Vervolgens worden de eerste drie hoofdtakken getekend, ieder in een verschillende kleur. Zo leidt de blauwe tak tot het eerste deelonderwerp: duidelijkheid (“clarity”). Vervolgens wordt dit deelonderwerp weer onderverdeeld in concretere sub-thema’s als: woord lengte, dikgedrukt centrum, visualisaties en horizontaal papier. Met andere woorden, de maker van deze mindmap geeft aan dat het bij het maken van een mindmap van belang is dat de mindmap duidelijk is. Hierbij is het woord duidelijk een breed begrip. Daarom wordt dit concept weer onderverdeeld in concretere deelonderwerpen. Voor het verduidelijken van een mindmap horen bijvoorbeeld het gebruik van visualisaties. Tevens helpt het om het hoofdthema dikgedrukt te maken, zodat het meteen duidelijk is waar de mindmap over gaat. Zo volgen er uit dit figuur meerdere ‘regels’ om te hanteren tijdens het creëren van een mindmap. Zo benoemt de maker de woorden connecties, codes en kleur bij het deelonderwerp associatie. Met andere woorden, hetgeen wat je associeert met je hoofdthema geef je weer door middel van de connecties (ofwel de voorgenoemde takken). Het gebruik van kleuren in een mindmap zorgt voor een onderscheiding tussen de verschillende concepten en ideeën en stimuleert daarnaast het geheugen (Arulselvi, 2017).

Figuur 1. Regels voor het opstellen van een mindmap, geciteerd uit Polat et al. (2017)

Diverse auteurs (e.g. Brinkmann (2003), Davies (2011), Arulsevi (2017), Polat et al. (2017)) refereren naar de regels voor het maken van een mindmap zoals Buzan en Buzan (2000) ze hebben opgesteld:

1. Plaats het onderwerp centraal;

2. Geef de mindmap een hiërarchische structuur (van algemeen naar concreet);

3. Maak gebruik van verschillende kleuren in de mindmap om verschillende concepten weer te geven;

4. Maak gebruik van visualisaties zoals figuren, tekeningen en symbolen;

5. Gebruik sleutelwoorden om verschillende concepten aan te geven;

Polat et al. (2017) beschrijft nog een set aanvullende regels uit recentere literatuur refererend naar Buzan en Buzan (2015), Dottino & Israel (2012) en Buzan (2011):

6. Gebruik een groot vel blanco papier en plaats deze horizontaal:

7. Neem ongeveer 15-20 minuten de tijd voor het creëren va de mindmap.

Echter, de laatste “regel” wijkt bij verschillende auteurs af. Zo gaf Budd (2004) zijn leerlingen één uur de tijd voor het maken van een mindmap en beschrijft Brinkmann (2003) dat het een optie is om mindmaps aan te vullen zodra er nieuwe theorie is. De tijd voor het maken van een mindmap is dan ook een indicatie afhankelijk van de context waarin deze gemaakt wordt.

Er worden verscheidene voordelen in de literatuur genoemd van het gebruik van mindmaps in het onderwijs. Door het gebruik van mindmaps worden leerlingen gemotiveerder om de stof te onthouden en worden leerlingen creatiever (Buzan 2012, geciteerd in Ayal et al. 2016). Verder presenteert een mindmap informatie op een gestructureerde manier en helpt een mindmap bij het onthouden van informatie (Brinkmann, 2003; Adodo, 2013; Kontrova, 2014; Ayal et al., 2016; Arulselvi, 2017). Een studie uitgevoerd onder studenten van Rosciano (2015) toont aan dat studenten vonden dat het creëren van een mindmap bijdroeg aan het beter begrijpen van het onderwerp.

2.2 Mindmaps in het wiskundeonderwijs

Om leerlingen de wiskundige concepten en structuren (b.v. definities, axioma’s, algoritmes) beter te kunnen laten begrijpen, is het van belang om de verschillende relaties tussen de concepten te presenteren (Brinkmann, 2003; Kontrova, 2014). Hierbij kan de term begrip gecategoriseerd worden in relationeel begrip en instrumenteel begrip (Skemp, 1976). Skemp (1976) definieert relationeel begrip als weten wat je doet en waarom je het doet. Bij instrumenteel begrip daarentegen ligt de focus op reproductie van regels en methoden, in plaats van begrijpen waarom een bepaalde methode werkt.

Het gebruik van mindmaps binnen de wiskunde kan leerlingen helpen om connecties te leggen tussen de verschillende concepten die ze leren (Kontrova, 2014). Ofwel, mindmaps kunnen een positieve invloed hebben op het relationele begrip van de leerlingen. Echter, binnen het huidige wiskundeonderwijs staat het repetitief maken van opgaven voor het aanleren van wiskundige vaardigheden centraal, wat ervoor zorgt dat het leerrendement lager is en de schoolprestaties omlaaggaan (Ayal et al. 2016). Brinkmann (2003) beschrijft dat door het grafisch visuele karakter van een mindmap, de structuren binnen de wiskunde beter kunnen worden begrepen. Brinkmann (2003) beschrijft nog een aantal voordelen van het gebruik van mindmaps in het wiskundeonderwijs. Volgens Brinkmann (2003) helpt het gebruik van mindmaps bij:

• Het organiseren van leerstof op hiërarchische wijze;

• Het transparant maken van de cognitieve kennis van de leerling aan zowel de docent als de leerling zelf;

• Het onthouden van studiemateriaal;

• Het samenvatten en bestuderen van studiemateriaal;

• Het samenvatten van de verschillende ideeën van leerlingen;

• Het integreren van nieuwe kennis met bestaande kennis;

• Het introduceren van nieuwe kennis;

• Het laten zien van connecties tussen wiskunde en praktijk.

Ten slotte benadrukken Ayal et al. (2016) expliciet dat mindmapping het leren van wiskunde leuker maakt.

Zoals te zien in figuur 1, kan een mindmap bestaan uit verschillende kleuren en gebogen takken die interrelaties tussen verschillende elementen weergeven. Er zijn echter ook andere vormen van mindmaps, zoals te zien in figuur 2 en beschreven in de paper van Brinkmann (2003). Zo kunnen de interrelaties in een mindmap ook weergegeven worden met strakke lijnen en blokken zoals te zien in het linker figuur. In het rechter figuur is er een mindmap gemaakt omtrent de stelling van Pythagoras.

In dit figuur is te zien dat een mindmap opgedeeld is in verschillende takken met bijbehorende deelonderwerpen, ofwel de sub-thema’s. Zo is er hier een sub-thema wiskunde gecreëerd met als tweede laag driehoek. De driehoek is vervolgens weer onderverdeeld in een derde laag aan deelonderwerpen, namelijk hypothenusa (“schuine zijde”), rechthoekige driehoek en zijden. Een essentieel element van de mindmap is dus de gelaagdheid, waarin onderscheid gemaakt kan worden tussen de verschillende niveaus. Hierbij wordt het principe van abstract naar concreet gehanteerd (Brinkmann, 2003). Ofwel, in iedere laag van de mindmap wordt er dieper op de stof ingegaan. Ook Brinkmann (2003) beschrijft hierbij dat een mindmap vaak lijkt op het bovenaanzicht van een boom, waarbij de stam het onderwerp van de mindmap voorstelt en de lijnen de takken van een boom voorstellen. Net zoals bij de mindmap uit de paper van Polat et al. (2017), wordt er hier gestimuleerd om gebruik te maken van figuren. Tevens is te zien in figuur 2 dat er voorbeelden gegeven kunnen worden bij deelonderwerpen. Zo staat er bij de rechthoek de eigenschap dat alle hoeken gelijk zijn aan 90° (====°). Een wiskundige mindmap hoeft dus niet per sé te bestaan uit zinnen en woorden, maar concepten kunnen ook uitgedrukt worden in formules, vergelijkingen en figuren.

Figuur 2. Vormen van mindmaps uit Brinkmann (2003)

2.2.1 Verschillen met begrippennetwerken

Een begrippennetwerk (Engels: conceptmap) is een diagram waarbij verschillende concepten met elkaar zijn verbonden met lijnstukken, waarbij ieder lijnstuk een label heeft die de relatie tussen de twee concepten identificeert (Schroeder et al., 2018). Net zoals bij mindmaps, kunnen begrippennetwerken gebruikt worden voor o.a. het structuren en onthouden van informatie (Brinkmann, 2003). Davies (2011) vult aan dat als leerlingen relaties van verschillende concepten kunnen weergeven in een diagram, de kans groter is dat ze deze begrippen en diens relaties begrijpen

en kunnen analyseren. Kortom: mindmaps en begrippennetwerken kunnen met vergelijkbare doeleinden in het onderwijs ingezet worden.

Begrippennetwerken en mindmaps lijken in veel opzichten op elkaar, echter zijn er aanzienlijke verschillen. Ten eerste, begrippennetwerken kenmerken zich door verbindingswoorden bij de verbindingspijlen, bijvoorbeeld “leidt tot” of “kleiner dan” (Brinkmann, 2003). Bij mindmaps worden de relaties weergegeven met lijnen, maar daar wordt geen verdere betekenis aan gekoppeld.

Ten tweede zit er een verschil in de structuur van beide typen visualisaties. Begrippennetwerken kenmerken zich door hun hiërarchische structuur, waarbij er een onderwerp bovenaan staat met daaronder de bijbehorende sub-onderwerpen gerangschikt (Adodo, 2013). Daartegenover staat de vrije ‘boom’-structuur van een mindmap, waarbij het hoofdonderwerp centraal staat. Tevens is het bij begrippennetwerken ook mogelijk om ‘cross’-links tussen de verschillende concepten te beschrijven.

Een cross-link laat zien dat de maker inziet hoe een thema op de map in verband staat met een ander thema (Novak & Cañas, 2008). Bij begrippennetwerken is het dus gebruikelijk voor een sub-onderwerp om meerdere verbindingslijnen te hebben, die elk een andere relatie vertegenwoordigen (Adodo, 2013). Bij mindmaps heeft een sub-onderwerp echter maar één bovenliggend concept.

Ten derde, mindmaps zijn persoonlijker dan begrippennetwerken (Brinkmann, 2003; Adodo, 2013).

Een mindmap wordt ook wel beschreven als een individuele representatie van iemands kennis (Brinkmann, 2003; Davies, 2011). Adodo (2013) vult hierbij aan dat er meer flexibiliteit zit in de regels bij het maken van een mindmap. Voorbeelden hiervan zijn te zien in figuur 2. Zo bevatten sommige mindmaps rechte lijnen, en sommige gebogen lijnen. Tevens is het gebruik van kleuren en figuren ook toegestaan, indien gewenst. Begrippennetwerken daarentegen bevatten geen figuren en worden gekenmerkt door hun structuur, zoals hiervoor toegelicht. Wat een mindmap dus onderscheid van een begrippennetwerk, is de mate van vrijheid die een maker heeft tijdens het creëren.

2.3 Het gebruik van mindmaps in de les

Het toepassen van mindmaps in de les kan in verschillende vormen. Een docent kan ervoor kiezen om zelf een ‘expert’ mindmap te maken en te geven aan studenten als samenvatting. Echter, een docent kan ook de leerlingen zelf een mindmap laten maken. Tevens kunnen mindmaps gebruikt worden als hulpmiddel bij visualisaties, studeren, het maken van aantekeningen tijdens de les, brainstorming en presentaties (Mento et al., 1999). Tot slot voegt Arulsevi (2017) toe dat mindmaps door leerlingen gebruikt kunnen worden als een samenvatting ter voorbereiding op een toets. Kortom, er zijn verscheidene vormen te vinden waarbij mindmaps toegepast kunnen worden in de les. In ieder geval, moet er volgens de literatuur aan een aantal voorwaarden worden voldaan.

Allereerst benadrukt Budd (2004) dat brainstormen een belangrijk onderdeel is tijdens het creëren van een mindmap. Hiervoor raadt hij aan om de leerlingen in groepen te laten werken aan de opdracht en ze eerst te laten nadenken over het onderwerp voor ze beginnen met schrijven. Brinkmann (2003) vindt echter dat leerlingen individueel aan hun persoonlijke mindmap moeten werken. Zij benadrukt dat een mindmap een persoonlijke representatie is van diens kennis, en dat verschillende mensen verschillende associaties kunnen hebben bij hetzelfde onderwerp, en dus verschillende mindmaps maken. Echter, de regels voor het maken van een mindmap, zoals besproken in §2.1, blijven hetzelfde.

Ofwel, de mindmap bevat een centraal onderwerp, meerdere lagen en heeft een hiërarchische structuur. In het onderzoek van Budd (2004) werd er voorafgaand aan de opdracht een presentatie gegeven aan de leerlingen waarbij er instructies voor het creëren van een mindmap werden gegeven.

Echter, het is vooral aan de leerling om te bepalen hoe zijn of haar mindmap eruit komt te zien.

Verder is het van belang dat leerlingen genoeg tijd krijgen voor het maken van de mindmaps. In het onderzoek van Polat (2017) wordt er een richtlijn van 15-20 minuten gegeven. Echter Budd (2004) gaf

zijn leerlingen één uur de tijd voor het maken van hun mindmaps. De tijd die de leerlingen krijgen voor het maken van de mindmap is afhankelijk van de voorkennis van de leerlingen met betrekking tot het wiskundige onderwerp en de beschikbare lestijd. Zo wordt er in het onderzoek van Ayal et al. (2016) beschreven dat de leerlingen pas aan de slag gaan met het maken van een mindmap wanneer ze genoeg kennis hebben over het onderwerp (Pandley, 1994, geciteerd in Ayal et al., 2016). Verder is het van belang dat tijdens het creëren van de mindmaps, de docent rondloopt en leerlingen helpt indien nodig (Budd, 2004).

2.4 Conclusie theoretisch kader

In deze paragraaf worden de conclusies van de uitgevoerde literatuurstudie samengevat en de keuzes besproken die gemaakt zijn voor dit onderzoek op basis van het theoretisch kader.

Allereerst, mindmaps en begrippennetwerken lijken in veel opzichten op elkaar, echter zijn er aanzienlijke verschillen (Brinkmann, 2003). Het grootste verschil zit in de structuur van beide type kennisgrafen. Uit het onderzoek van Van der Vegt (2019) kwam de aanbeveling om leerlingen in een vervolgonderzoek hun begrippennetwerk gedurende een lessenserie te laten aanvullen, in plaats van in één keer een begrippennetwerk te laten maken. Echter, Brinkmann (2003) beschrijft dat mindmaps, ten opzichte van begrippennetwerken, zich meer lenen voor het aanvullen van nieuwe informatie dankzij de open structuur van een mindmap. Dit maakt het makkelijk om een nieuw deelonderwerp erin te verwerken. Er is daarom er bewust voor gekozen om voort te borduren op de aanbeveling van Van der Vegt (2019), maar dan met mindmaps in plaats van begrippennetwerken.

Het gebruik van mindmaps in het wiskundeonderwijs biedt verscheidene voordelen zoals beschreven door Brinkmann (2003), Kontrova (2014) en Ayal et al. (2016). Zo speelt het gebruik van mindmaps een rol bij het verwerken en onthouden van informatie en dragen mindmaps bij aan de begripsontwikkeling bij een leerling. Op basis van het literatuuronderzoek zijn de lessen en de opdracht voor de leerlingen vormgegeven. Allereerst, om een mindmap te kunnen creëren, is het essentieel dat leerlingen over genoeg kennis van het onderwerp beschikken (Pandley, 1994, geciteerd in Ayal et al., 2016). Brinkmann (2003) vult aan dat een mindmap zich leent voor het aanvullen van nieuwe informatie, door de open structuur van het diagram. Omdat het onderzoek is gestart bij aanvang van het hoofdstuk Differentiaalrekening, is er daarom voor gekozen om de leerlingen elke les hun mindmap te laten aanvullen met nieuwe theorie. Deze aanvulling werd onderdeel van het huiswerk, naast de reguliere opdrachten.

Verder zijn er bepaalde eigenschappen waar een ‘goede’ mindmap aan moet voldoen. Echter, hoe deze eigenschappen worden vormgegeven is aan de maker van de mindmap. Daarom is het van belang dat bij de instructie die de leerlingen krijgen bij aanvang, deze eigenschappen aan bod komen. Hierbij zal de leerling ook voldoende ontwerpvrijheid gegeven moeten worden, om te waarborgen dat de mindmap een reflectie wordt van diens creativiteit en kennis.

Ten slotte, het literatuuronderzoek toont aan dat mindmapping een proces is waarbij brainstormen een belangrijk onderdeel is (Budd, 2004). Tegelijkertijd is een mindmap een individuele en persoonlijke creatie van iemands kennis (Brinkmann, 2003; Davies, 2011). Daarom hebben leerlingen binnen dit onderzoek de toestemming gekregen voor overleg en brainstorming, maar kregen de leerlingen de opdracht om ieder een eigen mindmap te creëren.

3. Onderzoeksopzet

In dit hoofdstuk wordt de onderzoeksopzet gepresenteerd. Eerst worden het onderzoeksdoel en de onderzoeksvragen besproken. Vervolgens wordt er ingegaan op de onderzoeksprocedure en de gebruikte instrumenten en wordt de data-analyse toegelicht. Ten slotte worden de validiteit en afbakening van dit onderzoek besproken.

3.1 Onderzoeksdoel en -vragen

Het doel van dit onderzoek was om te onderzoeken hoe mindmaps in een wiskundeles kunnen worden ingezet en hoe dit door leerlingen wordt ervaren. De hoofdvraag van het onderzoek is als volgt:

“Wat is het effect van mindmaps, bezien vanuit het perspectief van leerlingen uit een 4VWO wiskunde B klas, bij het onderwerp Differentiaalrekening?”

Om de hoofdvraag te kunnen beantwoorden, zijn er drie deelvragen opgesteld. De deelvragen en de toelichting volgen hieronder.

(1) Welke rol spelen mindmaps in het wiskundeonderwijs en hoe kunnen deze in de les toegepast worden?

De eerste deelvraag heeft betrekking op de literatuur omtrent mindmaps en toepassingen van mindmaps in het onderwijs. Middels deze deelvraag heeft de onderzoeker inzichten vergaard in wat mindmaps precies zijn en hoe mindmaps gecreëerd worden. Tevens heeft deze vraag als input gediend voor de verdere onderzoeksopzet.

(2) Voor welk doel gebruiken de leerlingen een mindmap bij het onderwerp Differentiaalrekening?

Een mindmap kan verscheidene functies hebben. Zo kan een mindmap gebruikt worden als samenvatting, tijdens het brainstormen of voor het maken van aantekeningen. Daarom is de tweede deelvraag opgesteld om als onderzoeker inzicht te krijgen in hoe de leerlingen hun mindmaps hebben gebruikt tijdens het leren van de lesstof. Op basis hiervan kon een conclusie worden getrokken omtrent de rol van mindmaps in het wiskundeonderwijs.

(3) Wat vinden de leerlingen van het creëren en gebruiken van een mindmap bij het onderwerp Differentiaalrekening?

De derde deelvraag heeft betrekking op hoe de leerlingen het creëren en gebruiken van een mindmap ervaren bij het onderwerp Differentiaalrekening. Middels deze vraag heeft de onderzoeker inzicht gekregen in de persoonlijke ervaringen van leerlingen tijdens het mindmapping proces. Op basis hiervan konden conclusies getrokken worden over de persoonlijke voorkeuren van leerlingen omtrent het creëren en toepassen van mindmaps bij een wiskundig onderwerp.

Samenvattend zijn de hoofdvraag en de bijbehorende deelvragen als volgt geformuleerd:

“Wat is het effect van mindmaps, bezien vanuit het perspectief van leerlingen uit een 4VWO wiskunde B klas, bij het onderwerp Differentiaalrekening?”

1. Welke rol spelen mindmaps in het wiskundeonderwijs en hoe kunnen deze in de les toegepast worden?

2. Voor welk doel gebruiken de leerlingen een mindmap bij het onderwerp Differentiaalrekening?

3. Wat vinden de leerlingen van het creëren en gebruiken van een mindmap bij het onderwerp Differentiaalrekening?

3.2 Onderzoeksmodel

In figuur 3 wordt het onderzoeksmodel gepresenteerd. Het onderzoek was praktijkgericht en kwalitatief van aard. Zoals te zien in dit model, is het praktijk gedeelte van het onderzoek in het groen gestart met een introductiepresentatie aan de klas. Deze presentatie zal nader worden toegelicht in

§3.2.2. Voorafgaand heeft er een literatuurstudie plaatsgevonden, die als input heeft gediend voor het creëren van deze presentatie. Vervolgens zijn de leerlingen aan de slag gegaan met het maken van een mindmap. De opdracht was dat na elke les de leerlingen hun mindmap zouden aanvullen met de nieuwe theorie. De leerlingen kregen hiervoor tot aan het einde van het hoofdstuk de tijd. Toen heeft er een formatieve toets plaatsgevonden over het behandelde hoofdstuk. De formatieve toets diende ter voorbereiding op het daadwerkelijke proefwerk die de leerlingen in toetsweek vier zouden krijgen.

De leerlingen werden niet becijferd voor deze toets en ze mochten hun mindmap erbij houden. Na de toets werden de mindmaps verzameld voor analyse. Hoe de data-analyse heeft plaatsgevonden wordt in §3.4 toegelicht. Ten slotte werden de ervaringen van de leerlingen opgehaald middels een anonieme enquête in de klas en zijn er nog drie aanvullende interviews geweest met leerlingen voor extra inzichten.

3.2.1 Respondenten

Het onderzoek is uitgevoerd in een 4VWO wiskunde B klas met in totaal veertien leerlingen. Er is bewust gekozen voor deze groep door het geringe aantal leerlingen. Dit maakte het voor de onderzoeker mogelijk om, in de gelimiteerde tijdsspanne, meer individuele data op te halen.

Verschuren and Doorewaard (2007) beschrijven drie type informatie resource rollen: de respondent, de informant en de expert. Hierbij verschaft

• De respondent informatie over zichzelf;

• De informant informatie over anderen, bepaalde situaties en processen;

• De expert kennis over bepaalde thema’s.

Het doel van dit onderzoek was niet om in kwantiteit data te verzamelen, maar om meer inzicht te vergaren in hoe de leerlingen het creëren en gebruiken van mindmaps ervaren. Daarom vervulden de leerlingen de rol van respondent in dit onderzoek.

Op het moment van uitvoering kregen de leerlingen les uit Getal & Ruimte 12^e editie deel 2 hoofdstuk 6 Differentiaalrekening (Dijkhuis et al., 2020). Binnen dit hoofdstuk staat de toepassing van de afgeleide centraal. Verder is dit hoofdstuk een vervolg op hoofdstuk 2 De afgeleide functie, dus de leerlingen waren al bekend met de afgeleide en de differentieerregels hiervoor (met uitzondering van de kettingregel).

Figuur 3. Onderzoeksmodel

3.2.2 Lesvoorbereidingen

In bijlage A worden de lesvoorbereidingen die gebruikt zijn voor de lessen weergeven. In de lessen worden de voorwaarden voor het gebruik van mindmaps in de les zoals beschreven in §2.3 gebruikt.

Allereerst hebben de leerlingen, bij aanvang van hoofdstuk 6 Differentiaalrekening, een presentatie gekregen over wat mindmaps zijn en hoe ze deze kunnen maken. De presentatie hiervoor is de vinden in bijlage A in de eerste lesvoorbereiding. In verband met de Covid-19 maatregelen volgden een deel van de leerlingen de les digitaal. Deze leerlingen zouden de volgende les weer op school komen, dus is aangegeven dat zij dan de A3-vellen zouden krijgen. Tevens is er toestemming gegeven voor het digitaal maken van een mindmap, zolang er de mogelijkheid was om een geprinte versie ervan te krijgen.

Eerst kregen de leerlingen een introductie over wat een mindmap is. Hierbij kregen leerlingen ook voorbeelden te zien van verschillende vormen van mindmaps. Hierbij is o.a. figuur 2 op het bord geprojecteerd. De leerlingen werd vervolgens gevraagd of hen iets opviel aan de mindmaps in figuur 2. Hierbij was het aan de leerlingen om in te zien dat de verbindingslijnen tussen de verschillende concepten in de ene mindmap gebogen waren en in de andere mindmap rechte lijnen waren. Er werd vervolgens aan de leerlingen benadrukt dat er verschillende vormen van mindmaps zijn en dat een mindmap dus een individuele creatie is zoals benoemd door Brinkmann (2003). Hierbij werd aan de leerlingen meegegeven dat ondanks dat het onderwerp hetzelfde kan zijn, dit toch resulteert in verschillende soorten mindmaps. Vervolgens werden er nog een aantal vormen van mindmaps gepresenteerd. Steeds werd er aan de leerlingen gevraagd om dingen op te noemen die hen opvielen.

Dit kon kleurgebruik zijn, visualisaties, voorbeelden en dergelijke. Dit werd opgevolgd met een instructie over de componenten van een mindmap. Deze componenten zijn gebaseerd op criteria voor het beoordelen van mindmaps zoals beschreven door Evrekli et al. (2010). Dit wordt in §3.4.1 verder toegelicht.

Daarna kregen de leerlingen informatie over de voordelen van het gebruik van een mindmap. Deze voordelen waren gebaseerd op literatuur van o.a. Brinkmann (2003) en Ayal et al. (2016) en zijn uitgebreider aan bod gekomen in het theoretisch kader in §2. Naar aanleiding hiervan werd de opdracht voor de komende lessen aan de leerlingen gepresenteerd. Namelijk: het maken van een mindmap bij het hoofdstuk Differentiaalrekening. Hierbij was het de bedoeling dat de leerlingen na elke les hun mindmap zouden aanvullen met de nieuwe theorie van het hoofdstuk. Het was aan de leerlingen om te bepalen hoe de mindmap eruit kwam te zien en hoe ze de verschillende concepten in de mindmap zouden verwerken. De leerlingen mochten hierover overleggen en brainstormen zoals geadviseerd door Budd (2004), zolang ze maar wel hun eigen mindmap zouden inleveren.

De tweede lesvoorbereiding is tevens in bijlage A te vinden. In deze les kregen de leerlingen een formatieve toets over het hoofdstuk Differentiaalrekening. De leerlingen kregen 30 minuten de tijd om deze toets te maken. Op het moment van afname volgden nog steeds een deel van de leerlingen de les digitaal. Voor deze leerlingen stond de toets online klaar en werden er instructies voor hen geprojecteerd. Er is expliciet door de onderzoeker benadrukt dat er geen beoordeling aan deze toets verbonden is en dat het niet toegestaan is om het boek, aantekeningen of dergelijke te gebruiken. De enige toegestane hulpmiddelen waren een grafische rekenmachine en de mindmap. De leerlingen die digitaal de les volgden waren verplicht om de camera aan te zetten en goed zichtbaar te zijn. Zo is zoveel mogelijk getracht om een correcte afname te waarborgen. Na afloop heeft de onderzoeker de toets en de mindmaps van de leerlingen in de klas verzameld. De overige leerlingen hebben de toets digitaal bij de onderzoeker ingeleverd, en zijn geïnstrueerd om de volgende les de mindmap bij de onderzoeker in te leveren.

3.3 Instrumenten

Binnen dit onderzoek is gebruik gemaakt van een aantal instrumenten. In deze sectie worden de verschillende instrumenten toegelicht en beschreven hoe ze gebruikt zullen worden om de deelvragen te beantwoorden.

3.3.1 Literatuuronderzoek

Allereerst is een literatuurstudie uitgevoerd omtrent het gebruik van mindmaps in het wiskundeonderwijs. Voor het vinden van geschikte artikelen is een tabel opgesteld met verwante, algemenere en specifiekere termen die gebruikt kunnen worden als zoektermen, zoals te zien in tabel 1. Als databases zijn Google Scholar, Scopus en Web of Science gebruikt. Hierbij heeft de focus gelegen op onderzoeken binnen het voortgezet onderwijs en het vak wiskunde. Tevens is er gebruik gemaakt van referenties van relevante artikelen voor het vinden van aanvullende onderzoeken. Op basis hiervan is er een les ontworpen waarbij de leerlingen een introductie kregen over het maken van een mindmap.

Tabel 1. Zoektermen voor het literatuuronderzoek

Term Verwante termen Algemenere term Specifiekere termen

Mindmap Structuur denken,

gedachteverbeelding

Visuele weergave Diagram

Samenvatting Overzicht, uittreksel Context Relatie, verbanden

leggen

Wiskundeonderwijs Wiskundeopleiding Onderwijs, middelbare

school, bètaonderwijs

Wiskundeles, instructie

Met behulp van het literatuuronderzoek is de eerste onderzoeksvraag beantwoord. Tevens heeft het literatuuronderzoek als input gediend voor de lesopzet.

3.3.2 Mindmaps

Het tweede deel van de datacollectie bestond uit de gemaakte mindmaps van de leerlingen. De leerlingen kregen tot aan het einde van het hoofdstuk de tijd om hun mindmap te maken. Hiervoor moesten ze na elke les hun mindmap aanvullen met de nieuwe theorie. De gemaakte mindmaps zijn hierna door de onderzoeker verzameld en beoordeeld middels een opgestelde rubriek. Dit zal nader worden toegelicht in §3.4.1. De gemaakte mindmaps zijn gebruikt om als onderzoeker inzicht te vergaren in de functie die de mindmap volgens de leerlingen heeft en de verschillen tussen de gemaakte mindmaps kenbaar te maken. Hierbij kan gedacht worden aan verschillen in kleurgebruik, structuur en visualisaties tussen de mindmaps. De mindmap analyse heeft hiermee als input gediend voor het beantwoorden van de tweede deelvraag.

3.3.3 Formatieve toets

Nadat alle stof behandeld was, kregen de leerlingen een formatieve toets. Hierbij mochten ze hun mindmap gebruiken. De toets is te vinden in bijlage B. Bij de eerste vraag van de toets moesten de leerlingen met behulp van de afgeleide extreme waarden berekenen bij een gegeven functie en moeten ze rekenen met buigpunten. Bij de tweede vraag moesten de leerlingen exact het domein en bereik berekenen van een functie en werken met raaklijnen. In de laatste vraag moesten de leerlingen de coördinaten van een punt P berekenen bij twee lijnen die elkaar loodrecht snijden. In alle vragen kwamen kernbegrippen voor als extreme waarden, domein, raakt, loodrecht en bereik. Als leerlingen deze kernbegrippen (juist) hadden verwerkt in hun mindmap, dan konden ze hun mindmap raadplegen indien nodig. Zo zouden ze een sub-tak gecreëerd kunnen hebben tussen extreme waarden en afgeleide nul stellen. Voor deze toets kregen de leerlingen geen beoordeling, echter moesten ze wel een kruisje zetten bij elke vraag waarbij ze de mindmap gebruikt hebben. Dit gaf de onderzoeker

informatie over de mate waarin de leerlingen beroep hebben gedaan op hun mindmap per vraag.

Tevens kon er inzicht worden vergaard in het type vragen waarbij de leerlingen hun mindmap hebben geraadpleegd. De resultaten van de formatieve toets hebben als input gediend voor het beantwoorden van de tweede deelvraag.

3.3.4 Enquête

Een veel gebruikt onderzoeksinstrument voor dataverzameling zijn enquêtes (Van der Donk & Van Lanen, 2016). Aan het einde van het onderzoek is een enquête afgenomen in de klas. Het doel van deze enquête was om te achterhalen hoe de leerlingen zowel het creëren als het gebruik van de mindmaps hebben ervaren, of het geholpen heeft bij het maken van de formatieve toets en of ze vaker een mindmap zouden willen maken en/of gebruiken binnen de wiskundeles. De gebruikte enquête is te vinden in bijlage C. De enquête bestond uit zowel gesloten als open vragen. Van der Donk & Lanen (2016) raden af om zelf vragenlijsten op te stellen in verband met de waarborging van validiteit van de vragen, daarom zijn bestaande vragen uit het onderzoek van Van der Vegt (2019) en Rosciano (2015) ten grondslag gebruikt. Verder is voor de gesloten vragen een vijf-punts Likert schaal gebruikt. Ten slotte is, om anonimiteit te waarborgen, de enquête anoniem afgenomen. Door middel van anonimiteit is getracht om een zo’n eerlijk mogelijk respons van de leerlingen te ontvangen. De enquêteresultaten zijn gebruikt voor het beantwoorden van zowel de tweede als de derde deelvraag.

3.3.5 Interviews

Ter aanvulling op de enquête hebben er nog drie semigestructureerde interviews plaatsgevonden met leerlingen voor extra verdieping. De leerlingen zijn gekozen op vrijwillige basis. Bij deze interview vorm hoort een vooraf opgestelde vragenlijst met thema’s en concepten die als richtlijn dienen tijdens het interview (Kajornboon, 2005). Echter is de onderzoeker bij deze interview vorm niet gebonden aan deze vragenlijst (Kajornboon, 2005). Dit betekent dat de volgorde van vragen verschillen en dat vervolgvragen gesteld kunnen worden die niet op de vragenlijst staan, afhankelijk van de antwoorden die gegeven worden. De gebruikte vragenlijst wordt weergegeven in bijlage D. Het doel van de interviews was om als onderzoeker een dieper begrip te krijgen van hoe de leerlingen het creëren en gebruiken van mindmaps hebben ervaren. De vragenlijst is opgedeeld in drie domeinen: (1) creëren van een mindmap, (2) gebruiken van de mindmap en (3) mindmaps bij wiskunde. Dit onderscheid is gemaakt om te waarborgen dat er zowel voor de tweede als derde onderzoeksvraag data wordt verzameld. In het eerste domein werden de leerlingen gevraagd in te gaan op hoe ze het creëren van de mindmap hebben ervaren. Was er voldoende instructie om hiermee aan de slag te gaan? Waren ze gemotiveerd om hiermee aan de slag te gaan? Hierbij lag met name de focus op hun ervaring rondom het creatie proces. Het tweede domein gaat specifiek in op het gebruik van de mindmap. Hierbij werden de leerlingen gevraagd naar hun ervaring omtrent het toeppassen van hun gemaakte mindmap. De focus lag hier met name op of de mindmap heeft bijdragen bij het maken van de formatieve toets en zo ja, hoe de mindmap hierin heeft bijgedragen. Hierbij kwam ook de rol van de mindmaps aan bod. In het derde domein werden de leerlingen gevraagd of ze vaker mindmaps willen gebruiken bij het vak wiskunde en wat hun algemene ervaring was bij het toepassen van een mindmap bij Differentiaalrekening. De interviewdata zijn gebruikt voor het beantwoorden van zowel de tweede als de derde deelvraag.

3.4 Data-analyse

Zoals hierboven beschreven, zijn er verschillende type data verzameld. In deze sectie wordt beschreven hoe de data van ieder onderzoeksinstrument geanalyseerd is.

3.4.1 Mindmaps

Voor het analyseren van de mindmaps is een scoremodel opgesteld conform wetenschappelijke literatuur. Anohina and Grundspenkis (2009) beschrijven drie manieren die gebruikt kunnen worden voor de beoordeling van mindmaps van leerlingen: (1) het evalueren van de componenten, (2)

vergelijking met een ‘expert’-mindmap en (3) een combinatie van (1) en (2). Voor dit onderzoek is ervoor gekozen om gebruik te maken van een evaluatie van de componenten van de mindmap, zoals beschreven door Anohina and Grundspenkis (2009). Hierbij wordt specifiek gekeken naar de verschillende componenten waaruit de mindmap bestaat. Uit hoeveel lagen bestaat de mindmap?

Worden er juiste relaties weergegeven? Wordt er gebruik gemaakt van figuren? Door naar de componenten van de mindmap te kijken, kon de onderzoeker een oordeel vellen over de mate waarin de leerlingen diepgang hebben aangebracht in hun mindmap, maar ook de mate van creativiteit die is toegepast bij het maken van de mindmap. Voor het evalueren van de componenten is het scoresysteem zoals ontwikkeld door Evrekli et al. (2010) als input gebruikt. Dit scoresysteem is gebaseerd op het evalueren van de componenten van een mindmap. Hiervoor worden de volgende criteria gebruikt: gelaagdheid, voorbeelden, relaties, kleur, visualisaties en correctheden. Evrekli et al.

(2010) hebben kwantitatief de criteria gescoord, echter de insteek van de beoordeling binnen dit onderzoek was niet om leerlingen een “cijfer” te geven voor hun mindmap. Het doel van de beoordeling was om als onderzoeker inzicht te vergaren in hoe de leerlingen hun mindmap hebben gestructureerd en gevisualiseerd. De beoordeling was kwalitatief van aard en voor het creëren van het beoordelingsmodel is het scoresysteem van Evrekli et al (2010) en de rubriek voor het beoordelen van mindmaps zoals gemaakt door Rosciano (2015) als input gebruikt. In bijlage I wordt de opgestelde rubriek weergegeven.

3.4.2 Formatieve toets

Omdat het meenemen van toets resultaten en kwantitatieve leerling prestaties niet tot de scope van dit onderzoek behoren, werd de formatieve toets niet beoordeeld met een cijfer. Echter, de formatieve toets bladen zijn wel door de onderzoeker verzameld en er is een frequentietabel opgesteld per vraag met het aantal kruisjes bij ieder hokje.

3.4.3 Enquête en interviews

De interviews zijn opgenomen voor het schrijven van een transcript, met toestemming van de geïnterviewde. Voor zowel de analyse van de interviewtranscripten en de enquêteresultaten is er voor de open vragen gebruik gemaakt van de software Atlas.ti. Dit is software waarbij kwalitatieve data van o.a. interviews en enquêtes kan worden geanalyseerd door middel van codering. Hierbij zijn de technieken open en axiaal coderen toegepast. Bij open coderen wordt er een label toegekend aan een bepaald statement. Bij axiaal codering worden vervolgens de labels gegroepeerd om categorieën te vormen. Op deze manier worden zowel de enquêteresultaten als de interviewresultaten vergeleken door middel van patroonvergelijking en kunnen er conclusies worden gevormd. Bijvoorbeeld als er in de enquête en/of de interviews door een leerling iets gezegd werd over maken van de mindmap, dan viel dit onder het label creëren mindmap. Voor de antwoorden van de gesloten vragen van de enquête is er een frequentietabel opgesteld voor elke variabele om een overzicht te krijgen van de resultaten en conclusies hieruit te trekken.

3.5 Validiteit

Om de begripsvaliditeit van dit onderzoek te waarborgen is gebruik gemaakt van meerdere databronnen. Het gebruik van meerdere databronnen heet data triangulatie en helpt bij het versterken van de betrouwbaarheid van het onderzoek (Yin, 2014). Ten tweede, is er rekening gehouden met de interne validiteit. Deze vorm houdt in dat er correct geredeneerd is en dat de waargenomen conclusies als waar kunnen worden aangenomen. Dit is in dit onderzoek gewaarborgd door de verschillende databronnen met elkaar te vergelijken en zowel vergelijkbare als concurrerende resultaten toe te lichten. Tot slot beschrijft Yin (2014) het waarborgen van de externe validiteit. Deze vorm houdt in dat de onderzoeksresultaten gegeneraliseerd kunnen worden, ongeacht de gebruikte onderzoeksmethode (Yin, 2014). Dit onderzoek is echter maar in één wiskunde B klas uitgevoerd, wat betekent dat de resultaten gebaseerd zullen zijn op de ervaringen van slechts één klas. Dit beïnvloedt de generaliseerbaarheid van de onderzoeksresultaten. Echter, de externe validiteit in dit onderzoek is

gewaarborgd door het uitgebreid beschrijven van de onderzoeksprocedure en transparantie te bieden in de gemaakte onderzoekstappen. Dit geeft een andere partij de mogelijkheid het onderzoek te reproduceren met vergelijkbare onderzoeksresultaten als gevolg.

3.6 Afbakening

Door de gelimiteerde omvang en tijdsspanne van het onderzoek, is ervoor gekozen om te focussen op één wiskunde onderwerp, dat behandeld werd op moment van uitvoering (Differentiaalrekening). Om voldoende tijd te hebben voor de beoordeling van alle mindmaps, is er tevens voor gekozen om dit onderzoek maar in één klas uit te voeren. Verder lag de focus van dit onderzoek op de leerervaringen van de individuele leerling, en niet op het vergelijken van verschillende klassen, leerniveaus of dergelijke.

4. Resultaten

In dit hoofdstuk worden de resultaten van ieder meetinstrument gepresenteerd. Allereerst zullen de resultaten van de mindmap analyse besproken worden. Daarna worden de resultaten van de formatieve toets gepresenteerd. Ten slotte volgen de resultaten van zowel de enquête als de interviews.

4.1 Mindmaps

Na afloop van de formatieve toets zijn de mindmaps verzameld door de onderzoeker en beoordeeld door middel van het beoordelingsmodel in bijlage I. De resultaten hiervan staan samengevat in een frequentietabel, zie tabel 2.

Tabel 2. Frequentietabel criteria beoordeling mindmaps

Categorie Frequentie score

Afwezig Incidenteel Structureel

Gelaagdheid 4 2 8

Relaties 2 2 10

Kleur 7 2 5

Voorbeelden 4 10

Visualisaties 12 2

Correctheden 3 11

Gelaagdheid

Niet alle leerlingen hebben gebruik gemaakt van meerdere lagen in hun mindmap. Er zijn twee leerlingen die hun mindmap hebben opgedeeld in vier kwadranten: 6.1, 6.2, 6.3 en 6.4. Ofwel de vier paragrafen van het hoofdstuk. Hierbij hebben ze eigenlijk een samenvatting gemaakt van wat er in iedere paragraaf staat. De meeste leerlingen hebben in totaal twee lagen in hun mindmap. In figuur 4 wordt een voorbeeld gegeven van een leerling die een aparte tak heeft gemaakt voor de buigpunten.

Vervolgens in de tweede tak heeft de leerling f’(x) heeft een extreme waarde neergezet. In de derde tak heeft de leerling aangegeven dat hierbij de tweede afgeleide is nul hoort en tot slot dat er een schets gemaakt moet worden. Deze leerling heeft dus in totaal gebruik gemaakt van vier lagen. Een ander voorbeeld van gelaagdheid is te zien in figuur 5. Hier is te zien dat een leerling een tak parameters heeft gecreëerd en deze vervolgens weer heeft opgedeeld in vier sub-takken met voorbeelden. Hierbij is te zien dat de leerling de takken in sleutelwoorden weergeeft, maar bij de voorbeelden complete zinnen gebruikt.

Figuur 4. Voorbeeld A - Gelaagdheid Figuur 5. Voorbeeld B - Gelaagdheid

Relaties

Vrijwel alle mindmaps bevatten verbindingslijnen om de relaties tussen de begrippen weer te geven.

Er zijn twee leerlingen die hun mindmap hebben opgedeeld in vier kwadranten, en dus officieel geen verbindingslijnen hebben toegevoegd in de mindmap. Hoe de relaties worden weergegeven verschilt per leerling. De ene leerling heeft gekozen voor strakke lijnen, zoals te zien in figuur 5, een andere leerling heeft de takken gebogen gemaakt zoals in figuur 6.

Kleur

De mate van kleurgebruik is redelijk verdeeld over de leerlingen. De leerlingen die kleur hebben gebruikt in hun mindmap, hebben dit met name ingezet om de takken van hun mindmap van elkaar te onderscheiden. Zo is in figuur 6 te zien dat een leerling verschillende kleuren voor verschillende deelonderwerpen heeft toegekend. Er is één leerling die zijn mindmap heeft ingedeeld in vier kwadranten, waarbij iedere kwadrant in een andere kleur wordt weergegeven. Een andere leerling heeft kaders gemaakt rondom elk begrip en alle begrippen die bij elkaar horen (dus onder dezelfde tak vallen) dezelfde kleur gegeven, zoals te zien in figuur 7. In totaal hebben zeven leerlingen geen kleur gebruikt in hun mindmap. Deze mindmaps waren vaak volledig met potlood of pen gemaakt, een voorbeeld hiervan is te zien in figuur 4.

Voorbeelden

De meeste leerlingen hebben voorbeelden gegeven bij de verschillende begrippen. Deze voorbeelden bestonden met name uit formules en voorbeelden zoals deze gegeven worden in hun wiskundeboek.

Eén leerling heeft de voorbeelden uit het boek gekopieerd en geplakt in zijn mindmap zoals te zien in figuur 7. Opvallend is dat meerdere leerlingen met name de verschillende rekenregels en formules als een soort samenvatting op hun mindmap hebben weergegeven. Zo heeft een leerling alle regels van de afgeleide op zijn/haar mindmap weergegeven, zie figuur 6. Tevens hebben leerlingen complete stappenplannen vermeld in hun mindmap.

Visualisaties

In totaal hebben er twee leerlingen gebruik gemaakt van visualisaties in hun mindmap. Twee leerlingen hebben de figuren uit de theorieblokken van het wiskundeboek gekopieerd en bij de verschillende sub- thema’s geplakt. Een voorbeeld hiervan is te zien in figuur 8. In de figuur is te zien dat de leerling bij het sub-thema loodrecht snijdende grafieken het bijbehorende figuur, zoals weergegeven in het wiskundeboek, heeft toegevoegd. Bij de overige leerlingen worden geen visualisaties weergegeven.

Figuur 6. Voorbeeld A - Kleur Figuur 7. Voorbeeld B - Kleur

Correctheden

Er zijn vrij weinig incorrectheden in de mindmaps te vinden. Aan de formulering van de inhoud van de mindmaps is te zien dat de leerlingen informatie hebben overgenomen uit hun wiskunde boek¹. Hieruit valt te verklaren dat er weinig incorrecte verbanden of aantoonbare fouten in de mindmaps te vinden zijn. Er is één leerling die een verkeerd voorbeeld geeft bij het differentiëren met behulp van de kettingregel en een andere leerling die de regel voor loodrecht snijdende functies in een punt (f’(x)*g’(x) = -1) verkeerd heeft opgeschreven. De overige fouten waren incidentele slordigheden met het opschrijven van regels of het vergeten van accenten.

Conclusie

Er zijn in totaal veertien mindmaps beoordeeld met behulp van de rubriek in bijlage I. Bij de componenten gelaagdheid, relaties, voorbeelden en correctheden is het vaakst de beoordeling structureel gegeven. Ondanks dat de inhoud van de mindmaps erg op elkaar lijken (leerlingen hebben veel gebruik gemaakt van wat er letterlijk in het boek staat), zijn de mindmaps erg verschillende van elkaar qua structuur en opmaak. Sommige leerlingen hebben gewerkt met strakke lijnen en kaders rondom de begrippen, andere leerlingen hebben gewerkt met gebogen lijnen en wolkjes. Hetzelfde geldt voor het kleurgebruik. De ene leerling heeft systematisch met één kleur gewerkt, en de andere leerling heeft alle takken een andere kleur gegeven. In totaal hebben twee leerlingen hun mindmap opgedeeld in vier kwadranten waarbij er geen relaties worden gegeven. Deze twee leerlingen hebben daarmee een samenvatting van het hoofdstuk gemaakt, in plaats van een mindmap gecreëerd die verbanden tussen verschillende concepten laat zien.

4.2 Formatieve toets

In bijlage B wordt de formatieve toets weergegeven. De leerlingen mochten bij deze toets alléén hun mindmap gebruiken. In tabel 3 wordt een frequentietabel weergegeven waarin voor elke vraag aangegeven staat hoe vaak het hokje is aangevinkt.

Tabel 3. Frequentietabel resultaten formatieve toets

Toetsvraag Frequentie hokjes aangevinkt

1a 3

1b 6

1c 9

2a 6

2b 1

2c 8

3 10

1 Getal en Ruimte (2020). Hoofdstuk 6 Differentiaalrekening. VWO wiskunde B deel 2. 12^e editie.

Figuur 8. Voorbeeld visualisatie

In verband met de maatregelen werd de formatieve toets deels fysiek in de klas en deels online afgenomen. In totaal zijn de leerlingen veertig minuten bezig geweest met de formatieve toets. Tabel 3 laat zien dat bij elke vraag er minstens één leerling is geweest die de mindmap erbij heeft gepakt. Bij de vragen 1c, 2c en 3 is het vaakst een beroep op de mindmap is gedaan. Deze drie vragen waren de meeste punten waard en bevatten de meeste denkstappen. Bij de vragen 1a en 2b is er het minst vaak beroep op de mindmap gedaan. Deze vragen waren redelijk rechttoe-rechtaan en de leerlingen waren al een tijd bekend met de begrippen domein, bereik en extreme waarde.

4.3 Enquête

In deze sectie worden de enquêteresultaten gepresenteerd.

4.3.1 Resultaten gesloten vragen

In bijlage G wordt een frequentietabel weergegeven van resultaten van de gesloten vragen. Hieronder volgt een samenvatting van de resultaten in deze tabel. De resultaten kunnen gecategoriseerd worden in twee groepen: (1) creëren/gebruik van mindmaps bij wiskunde en (2) toepassen van de mindmap bij de formatieve toets.

(1) Creëren/gebruik van mindmaps bij wiskunde

De meerderheid van de leerlingen heeft aangeven in staat te zijn een mindmap te maken bij een onderwerp. Er zijn vier stellingen waarbij de meerderheid van de leerlingen “eens” of “helemaal eens”

hebben geantwoord:

- Ik weet hoe ik een mindmap bij een bepaald onderwerp kan maken;

- Ik vind het handig om een mindmap te gebruiken bij wiskunde;

- Mindmaps helpen bij het structureren en overzichtelijk maken van de lesstof bij wiskunde;

- Mindmaps zijn handig als samenvatting voor de toets voor wiskunde.

Verder zijn leerlingen verdeeld over de stelling of een mindmap maken leuk is. Vijf leerlingen hebben hier “oneens” of “helemaal oneens” ingevuld, vier leerlingen “eens” of “helemaal eens” en de overige leerlingen hebben “neutraal” ingevuld. De leerlingen zijn ook verdeeld bij de stelling “Dankzij de mindmap heb ik een beter overzicht op het onderwerp Differentiaalrekening”. Hierbij hebben drie leerlingen “oneens” gescoord, vier leerlingen “neutraal” en zeven leerlingen “eens”. Tevens heeft de meerderheid van de leerlingen aangegeven niet hun mindmap na elke les met nieuwe theorie te hebben aangevuld. Ten slotte geven zeven leerlingen aan dankzij de mindmap beter overzicht te hebben op het onderwerp Differentiaalrekening. Drie leerlingen waren het oneens met deze stelling en de overige leerlingen hebben ‘neutraal’ geantwoord.

(2) Toepassen van de mindmap bij de formatieve toets.

De meerderheid van de leerlingen geeft aan dat de mindmap hen geholpen heeft om de formatieve toets te maken. Hierbij is er één leerling die het “helemaal oneens” was bij deze stelling. Opvallend is dat bij de stelling “de mindmap heeft mij geholpen om een begin te maken aan bepaalde opgaven op de toets” er in totaal tien leerlingen “eens” of “helemaal eens” hebben aangegeven. Bijna alle leerlingen (13/14) geven aan dat ze de formatieve toets moeilijk vonden. Daarnaast geeft de meerderheid van de leerlingen (9/14) “oneens” of “helemaal oneens” aan bij de stelling “de mindmap heeft geen invloed gehad op mijn resultaat bij de formatieve toets”. Hieruit kan geconcludeerd worden dat de meerderheid van de leerlingen van mening was dat de mindmap een effect heeft gehad op hun resultaten bij de formatieve toets.

4.3.2 Resultaten open vragen

In bijlage G wordt de ruwe data van de open vragen gepresenteerd in tabellen 10-14. In deze sectie wordt per vraag een frequentietabel weergegeven van de open vragen. Hierbij zijn de resultaten onderverdeeld in drie categorieën: niet, neutraal en wel. In de derde kolom wordt de gegeven reden

van de leerling gegeven voor de categorie en in de laatste kolom wordt de frequentie van de gegeven reden weergegeven.

Vraag 3: Waarom vind je het gebruik van mindmaps bij wiskunde wel/niet nuttig?

Tabel 4. Frequentietabel vraag 3 van de enquête

Frequentie Reden Frequentie reden

Niet 1 Kost te veel tijd 1

Neutraal 2 Zelfde als samenvatting 2

Wel 11 Beter onthouden 1

Gemakkelijk informatie terugvinden 3 Informatie overzichtelijk maken 5

Links/verbanden leggen 1

Samenvatting van de stof 1

De meerderheid van de leerlingen (11/14) geeft bij de derde vraag van de enquête aan het gebruik van mindmaps wel nuttig te vinden. De meest gegeven reden hiervoor is dat een mindmap een overzicht biedt van de stof. Tevens hebben drie leerlingen aangeven dat het vinden van informatie in een mindmap makkelijker is, omdat ze dan niet door hun boek hoeven te bladeren. Bij de categorie

“neutraal” geven twee leerlingen aan dat het gebruik van een mindmap hetzelfde voor hen is als een samenvatting. Er is één leerling die aangeeft een mindmap niet nuttig te vinden, omdat het te veel tijd kost om een mindmap te maken.

4. Waarom heeft het maken van de mindmap wel of niet geholpen bij het beter begrijpen van de stof?

Tabel 5. Frequentietabel vraag 4 van de enquête

Frequentie Reden Frequentie reden

Niet 5 Geen invloed 2

Alleen kernpunten 1

Begrip door les/huiswerk 1

Neutraal - - -

Wel 9 Opnieuw nadenken/opschrijven stof 2

Stappenplannen beter leren 1 Informatie overzichtelijk maken 3

Links/verbanden leggen 1

Samenvatting van de stof 2

Negen leerlingen geven aan dat de mindmap wel heeft geholpen bij het beter begrijpen van de stof.

Hierbij vallen verscheidene redenen als informatie overzichtelijk maken, verbanden en links leggen, stappenplannen beter leren en het hebben van een samenvatting van de stof. Eén leerling geeft aan dat het maken van een mindmap ervoor zorgt dat er opnieuw wordt nagedacht over de stof. Een andere leerling benoemde dat het helpt, omdat de stof een keer wordt opgeschreven. Daartegenover vinden vijf leerlingen dat de mindmap niet heeft geholpen bij het beter begrijpen van de stof. Twee leerlingen hebben ingevuld dat de mindmap geen invloed heeft gehad op het begrip. Eén leerling is van mening dat het begrip kwam van de lessen en het huiswerk, en niet door de mindmap. Een andere leerling heeft aangegeven dat een mindmap alleen de kernpunten bevat en dat in het boek de stof uitgebreider aan bod kwam. De vijfde leerling die onder deze categorie valt heeft geen reden gegeven.

5. Waarom heeft de mindmap wel/niet geholpen bij het maken van de formatieve toets?

Tabel 6. Frequentietabel vraag 5 van de enquête

Frequentie Reden Frequentie reden

Niet 2 Toetsniveau te hoog 2

Neutraal 1 Handig, zonder ook gelukt 1

Wel 11 Begin maken 4

Informatie gebruiken 7

Elf leerlingen geven aan dat de mindmap wel heeft geholpen bij het maken van de formatieve toets.

De redenen hiervoor kunnen worden gecategoriseerd in twee groepen: begin maken en informatie gebruiken. Vier leerlingen benoemen dat de mindmap heeft geholpen bij het begin maken van een opgave. Zeven leerlingen zeggen informatie, zoals stappenplannen/werkschema’s en rekenregels, van de mindmap te hebben gebruikt tijdens de formatieve toets. Eén leerling vond de mindmap wel handig, maar geeft aan dat het zonder ook zou zijn gelukt. Twee leerlingen vonden de toetsvragen te moeilijk en kwamen er met de mindmap ook niet uit.

6. Ga je de mindmap gebruiken ter voorbereiding op de toets wiskunde in de aankomende toetsweek? Leg uit waarom wel of niet.

Tabel 7. Frequentietabel vraag 6 van de enquête

Frequentie Reden Frequentie reden

Niet 2 Overbodig 1

Niet uitgebreid/af 1

Neutraal 1 Misschien/denk het 1

Wel 11 Overzicht/samenvatting van de stof 9

Het helpt 1

Even naar kijken 1

Elf leerlingen geven aan de mindmap wel te gaan gebruiken ter voorbereiding op hun toets in de toetsweek. De meerderheid van deze elf leerlingen geeft als reden dat de mindmap een overzicht/samenvatting biedt van alle stof. Eén leerling benoemt dat de mindmap helpt en een andere leerling zegt er even naar te gaan kijken. Eén leerling laat het nog in het midden of hij/zij de mindmap zal gaan gebruiken. Twee leerlingen rapporteren de mindmap niet te gaan gebruiken. Hiervan geeft de ene leerling aan de mindmap niet af te hebben en de ander de mindmap overbodig te vinden.

7. Ga je vaker gebruik maken van een mindmap bij wiskunde? Leg uit waarom wel of niet.

Tabel 8. Frequentietabel vraag 7 van de enquête

Frequentie Reden Frequentie reden

Niet 8 Kost te veel tijd 5

Andere format makkelijker 1

Neutraal 3 Afhankelijk van de tijd 1

Afhankelijk van het hoofdstuk 1

Wel 3 Het is leuk 1

Het scheelt tijd 1

De meerderheid van de leerlingen geeft aan niet vaker een mindmap te gaan gebruiken bij wiskunde.

De meest gegeven reden hiervoor is dat een mindmap maken te veel tijd kost. Eén leerling vindt het

fijner om een samenvatting te maken in plaats van een mindmap en twee leerlingen geven geen verdere reden. Drie leerlingen laten het nog in het midden met als reden dat het afhankelijk is van de beschikbare tijd en het hoofdstuk dat op dat moment behandeld wordt. Eén leerling geeft aan misschien vaker een mindmap te gebruiken, maar geeft geen reden. Drie leerlingen hebben aangegeven wel een mindmap te gaan gebruiken bij wiskunde in de toekomst. Eén leerling geeft als reden dat een mindmap maken erg leuk is en de ander dat het tijd scheelt. Eén leerling geeft geen reden.

4.4 Interviews

In totaal hebben er drie verdiepende interviews plaatsgevonden ter aanvulling op de enquête. De codering van de interviews is te vinden in bijlage H. De interviewresultaten zijn onderverdeeld in de volgende categorieën: (1) input, (2) mindmap, (3) formatieve toets, (4) voordelen, (5) nadelen en (6) algehele ervaring. Ieder onderdeel zal hieronder toegelicht worden waarbij de meest relevante quotes uit het interview ter onderbouwing zijn toegevoegd.

Input

Uit de interviewresultaten blijkt dat de leerlingen de uitleg die ze vooraf hebben gekregen duidelijk vonden en dat ze aan de hand van deze uitleg met de opdracht aan de slag konden. Eén leerling gaf als suggestie om vooraf een mindmap van een wiskundig onderwerp te laten zien.

I1: “De uitleg die u toen gaf was goed. U gaf duidelijk een aantal voorbeelden en daar stond het heel kort op.”

I2: ”Misschien had u ook nog een voorbeeld van een mindmap van wiskunde kunnen laten zien.”

Mindmap

Het creëren van de mindmap ervaarden de leerlingen als tijdrovend. Alle drie de leerlingen hebben in het interview aangegeven dat ze de mindmap niet na elke les hebben aangevuld. Twee leerlingen gaven hierbij aan dat het prettig is om een mindmap later in het leerproces te maken. De ene leerling gaf aan dit prettig te vinden omdat de leerling dan meer kennis heeft over het onderwerp. De andere leerling gaf aan dat dit het fijner was met indelen van de mindmap.

I1: “Zoveel mogelijk in één keer gedaan. Vond ik prettiger, voor de indeling en zo. Dan kan ik het beter indelen en nadenken over het onderwerp, in plaats van opeens een mindmap maken.”

I2: “Het is wel handig om ermee bezig te gaan als u uitleg heeft gegeven en ik meer kennis over het onderwerp heb.”

I3: “Ik dacht eerst “ik ga het per paragraaf doen’, maar uiteindelijk was ik het vergeten. De laatste drie heb ik toen in één gedaan, maar dat is dan wel handig dat ik het al weet.”

Twee leerlingen gaven in het interview aan dat de mindmap geholpen heeft om het onderwerp Differentiaalrekening te begrijpen. Eén leerling gaf als reden dat mindmap geholpen heeft bij het combineren van verschillende theorieblokken met elkaar. Een andere leerling gaf aan dat het heeft geholpen, omdat je de stof nog een keer herhaald en doordat je er bewust mee bezig bent het helpt om het onderwerp beter te begrijpen. De leerling uit het eerste interview vond niet dat de mindmap geholpen had om het onderwerp beter te begrijpen, maar vond het wel fijn om bij dit onderwerp een mindmap te maken omdat hij/zij dan niet door het boek hoefde te bladeren.

I1: “Wel fijn om te maken. Mijn eerste reactie was niet yay, maar ook niet vervelend. Meer van oh een opdracht. Achteraf gezien vond ik het wel fijn om te doen. Het geeft namelijk duidelijkheid van het aantal formules die je hebt. Het is overzichtelijker, je hoeft namelijk niet de hele tijd door het boek te bladeren.”