hf, gi = Z

Aanvulling Analyse 3NA.

1. De onzekerheidsrelatie.

Laat L₂(R) de vectorruimte van kwadratisch intregreerbare functies zijn: f ∈ L₂(R) als de inte- graal

Z _∞

−∞

|f (x)|²dx. bestaat. Op L₂(R) kunnen we een inwendig product defini¨eren d.m.v.

hf, gi = Z _∞

−∞

f (x)g(x)dx.

Dan geldt de ongelijkheid van Schwarz:

|hf, gi|²≤ hf, f ihg, gi. (1)

De Fouriergetransformeerde ˆf van f is gedefinieerd en volgens de identiteit van Parseval is hf, f i =

Z _∞

−∞

|f (x)|²dx = Z _∞

−∞

| ˆf (ω)|²dω = h ˆf , ˆf i. (2)

We nemen aan dat de functie f op 1 genormeerd is: hf, f i = 1. Dan is volgens (2) ook h ˆf , ˆf i = 1.

f en ˆf kunnen we dus opvatten als kansdichtheden. Nu zijn de verwachting ¯x en de spreiding (of standaardafwijking) ∆x van x gedefinieerd als resp.

¯ x =

Z _∞

−∞

x|f (x)|²dx, (∆x)²= Z _∞

−∞

(x − ¯x)²|f (x)|²dx.

Analoog zijn de ¯ω en ∆ω gedefinieerd. Nu geldt:

Propositie 1 (de onzekerheidsrelatie): Onder de hierboven gedane aannamen geldt: ∆x · ∆ω ≥ 1 2. Bewijs: We kunnen zonder beperking der algemeenheid aannemen dat ¯x = 0. De Fouriergetrans- formeerde van xf (x) is i ˆf⁰(ω). We moeten dus aantonen:

Z _∞

−∞

| ˆf⁰(ω)|²dω · Z _∞

−∞

(ω − ¯ω)²| ˆf (ω)|²dω ≥ 1 4. In termen van het inproduct is dit

h ˆf⁰, ˆf⁰i · h(ω − ¯ω)f, (ω − ¯ω)f i ≥ 1 4.

We kunnen afgeleide nemen en vermenigvuldigen met ω − ¯ω als lineaire operatoren D, Ω op (een lineaire deelruimte W van) de vectorruimte L₂(R) beschouwen: Dh = h⁰ en Ωh = (ω − ¯ω)h. De operatoren zijn niet op de gehele vectorruimte L₂(R) gedefinieerd omdat niet elke h ∈ L₂(R) een afgeleide in L₂(R) heeft en omdat vermenigvuldiging van een L₂-functie met x niet een L₂-functie hoeft op te leveren. Er geldt voor h, k ∈ W , omdat lim

x→±∞h(x) = lim

x→±∞k(x) = 0:

hDh, ki = Z _∞

−∞

h⁰(x)k(x)dx = − Z _∞

−∞

h(x)k⁰(x)dx = −hh, Dki (3a) 1

en, omdat ω − ¯ω re¨eel is,

hΩh, ki = Z _∞

−∞

(ω − ¯ω)h(x)k(x)dx = hh, Ωki. (3b)

Nu geldt, volgens (1) en (3a,b), en volgens |z| ≥ |Re(z)| = |(z + ¯z)|/2 voor z ∈ C:

h ˆf⁰, ˆf⁰i · h(ω − ¯ω)f, (ω − ¯ω)f i ≥ |h ˆf⁰, (ω − ¯ω) ˆf )|²= |hD ˆf , Ω ˆf i|²≥

≥ 1 4

³

hD ˆf , Ω ˆf i + hD ˆf , Ω ˆf i

´₂

= 1 4

³

hD ˆf , Ω ˆf i + hΩ ˆf , D ˆf i

´₂

=

= 1

4h(ΩD − DΩ) ˆf , ˆf i²= 1

4h− ˆf , ˆf i²= 1 4, waarbij we in de laatste regel hebben gebruikt dat

(ΩD − DΩ) ˆf (ω) = (ω − ¯ω) ˆf⁰(ω) − d

dω((ω − ¯ω) ˆf (ω)) = − ˆf (ω). ¦

2. De stelling van Nyquist-Shannon en de somformule van Poisson. Als f = f (t) een func- tie van de tijd t is, dan is de Fourier-getransformeerde ˆf (ω) op te vatten als de amplitude-dichtheid van f (t) bij frequentie ω. De waarden van ˆf (ω) bepalen dus het (frequentie-)spectrum van f . Om het spectrum te kennen, moeten we derhalve alle waarden van f (t) kennen. In de praktijk beschikt men echter slechts over een discrete verzameling waarden. De stelling van Nyquist-Shannon zegt dat als de bandbreedte kleiner is dan een zekere B, d.w.z. als ˆf (ω) = 0 voor |ω| ≥ B, dan kan de functie f (t) (en dus de Fouriergetransformeerde ˆf (ω)) geheel gereconstrueerd worden uit de discrete verzameling waarden {f (nT )}^∞_n=−∞, mits T ≤ π/B. We geven twee bewijzen:

Bewijs 1: Omdat ˆf (ω) = 0 als |ω| ≥ B, is ˆf (ω) op [−B, B] in een Fourierreeks te ontwikkelen:

f (ω) =ˆ X∞ n=−∞

c_ne^πinω/B (4)

waarbij de Fourierco¨effici¨enten gegeven worden door c_n = 1

2B Z _B

−B

f (ω)eˆ ^−πinω/Bdω = 1 2B

Z _∞

−∞

f (ω)eˆ ^−πinω/Bdω =

√2π

2B f (−πn B ).

Door c_n weer in (4) in te vullen vinden we, met T = π/B:

f (ω) =ˆ T

√2π X∞ n=−∞

f (nT )e^{−inT ω}.

Uit de omkeerformule voor Fouriertransformatie volgt nu f (t); omdat ˆf (ω) = 0 voor |ω| ≥ B integreren we slechts over [−B, B]:

f (t) = 1

√2π Z _B

−B

f (ω)eˆ ^iωtdt = T 2π ·

X∞ n=−∞

f (nT ) Z _B

−B

e^{iω(t−nT )}dω =

2

= X∞ n=−∞

f (nT ) · sinc(π( t

T − n)). ¦

Het tweede bewijs is wiskundig minder precies maar geeft een beter begrip van de voorwaarde T ≤ π/B. We leiden eerst een verband af tussen de periodieke som van waarden van een functie f en van zijn Fouriergetransformeerde:

Propositie 2 (de somformule van Poisson): Laat f continu en absoluut integreerbaar zijn op R (d.w.z. de integraalR_∞

−∞|f (t)|dt bestaat). Dan is voor t, T ∈ R en T > 0 de reeks X∞ n=−∞

f (t + nT ) (absoluut) convergent en verder geldt

X∞ n=−∞

f (t + nT ) =

√2π T

X∞ m=−∞

f (ˆ 2πm

T )e^2πimt/T. (5)

Bewijs: De (absolute) convergentie van de reeks volgt onmiddellijk uit de absolute integreer- baarheid van f (teken een plaatje!). Laat F (t) =

X∞ n=−∞

f (t + nT ). De functie F (t) is periodiek met periode T en is in een Fourierreeks te ontwikkelen:

F (t) = X∞ n=−∞

cne^2iπnt/T

waarbij

c_n= 1 T

Z _{T /2}

−T /2

F (u)e^−2iπnu/Tdu = 1 T

X∞ m=−∞

Z _{T /2}

−T /2

f (u + mT )e−2iπn(u+mT )/Tdu =

= 1 T

Z _∞

−∞

f (u)e^−2iπnu/Tdu =

√2π

T · ˆf (2πn T ).

Invullen in de Fourierreeks levert het gewenste resultaat:

X∞ n=−∞

f (t + nT ) = F (t) =

√2π T ·

X∞ n=−∞

f (ˆ 2πn

T )e^2πimt/T.

Bewijs 2 van N.-Sh.: Toepassing van de somformule van Poisson op de Dirac-kam F (t) = T ·

X∞ n=−∞

δ(t + nT ) levert de volgende uitdrukking:

T · X∞ n=−∞

δ(t + nT ) =√ 2π ·

X∞ m=−∞

δ(ˆ 2πm

T )e^2πimt/T = X∞ m=−∞

e^2πimt/T (6)

waarbij gebruikt is dat ˆδ(ω) = 1/√ 2π.

3

Laat nu f een functie zijn met Fouriergetransformeerde ˆf zodanig dat ˆf (ω) = 0 voor |ω| ≤ B. Zij T = π/B. We tonen aan dat ˆf (ω) geheel bepaald wordt door de rij {f (nT )}^∞_n=−∞. We defini¨eren de sampling functie f_s(t) = T ·

X∞ n=−∞

f (t)δ(t + nT ). f_s(t) is geheel bepaald door de waarden van f (nT ); i.h.b. is fs(t) = 0 als t 6= nT voor zekere gehele waarde van n. We laten nu zien dat ˆf (ω) afgeleid kan worden uit ˆf_s(ω). Inderdaad is

fˆ_s(ω) = 1

√2π Z _∞

−∞

f_s(t)e^−iωtdt = X∞ m=−∞

f (t)e2πimt/T −iωtdt =√ 2π ·

X∞ m=−∞

f (ω −ˆ 2πm T ), waarbij formule (6) is gebruikt. Het spectrum ˆf_s(ω) van f_s(t) is dus (op een factor √

2π na) gelijk aan oneindig veel kopie¨en van het spectrum ˆf (ω) van f (t) die onderling telkens over een afstand van 2π/T = 2B verschoven zijn. Omdat ˆf (ω) = 0 als |ω| ≥ B, overlappen deze verschillende kopie¨en elkaar niet en dus is het spectrum van f (t) geheel te herleiden uit dat van de sampling functie f_s(t). ¦

4