α) van (1) en toon aan dat voor alle α &gt

Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen

Woensdag 4 januari 2017, 10:00 - 13:00 uur

• Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer.

• Elk antwoord dient gemotiveerd te worden met een (korte) berekening, redenering of een verwijzing naar de theorie.

• Dit tentamen bestaat uit vier opgaven die allevier ongeveer even zwaar tellen.

1. Beschouw voor t≥ 0 en α ∈ R de inhomogene eerste orde vergelijking,

(t²+ 1) ˙x + 2αtx = f (t), (1)

waarin f : R→ R continu differentieerbaar is.

(a) Beschouw eerst het homogene probleem f (t) ≡ 0. Bepaal de algemene oplossing x_h(t; α) van (1) en toon aan dat voor alle α > 0, limt→∞x_h(t; α) = 0.

(b) Neem α = 1 f (t) = t. Bepaal de algemene oplossing x_in(t; 1) van (1) en toon aan dat limt→∞x_in(t; 1) = ¹₂.

(c) Bepaal een expliciete uitdrukking voor de algemene oplossing x_in(t; α) van het al- gemene inhomogene probleem (1).

(d) Neem aan dat ^f(t)_t naar een constante waarde F gaat als t → ∞, ofwel: neem aan dat lim_t→∞^f(t)_t = F . Laat voor alle α > 0 zien dat voor iedere oplossing x_in(t; α) van (1) geldt dat limt→∞x_in(t; α) = _2α^F .

Hint. Volgens de definitie geldt het volgende voor f (t): er is voor iedere ε > 0 een T >0 zodanig dat voor alle t > T geldt dat (F − ε)t < f(t) < (F + ε)t.

2. Beschouw voor t > 0 en voor n∈ N – met N zo dat 0 ∈ N – de singuliere vergelijking,

t²x¨− t ˙x + 4tⁿx= 0 (2)

(a) Neem n = 0 en bepaal twee onafhankelijke oplossingen φ₀(t) en ψ₀(t) van (2). Laat zien dat voor deze oplossingen geldt dat lim_t↓0φ₀(t) = lim_t↓0ψ₀(t) = 0 maar dat zowel lim_{t↓0 dt}^dφ₀(t) als lim_{t↓0 dt}^dψ₀(t) niet bestaan.

(b) Laat φn(t) en ψn(t) twee onafhankelijke oplossingen van (2) zijn (voor algemene n∈ N). Beredeneer dat voor n ≥ 3 φⁿ(t) en ψn(t) als volgt kunnen worden geschreven,

φ_n(t) =

∞

X

n=0

a_ntⁿ en ψn(t) = t²ψ˜_n(t) met ˜ψ_n(t) =

∞

X

n=0

b_ntⁿ,

waarbijP_∞

n=0a_ntⁿen P_∞

n=0b_ntⁿ convergente machtreeksen zijn.

(c) Neem n = 4, schrijf ψ₄(t) als t²ψ˜₄(t) – zoals beschreven in (b) – en bepaal de machtreeksontwikkeling van ˜ψ₄(t). Kies b₀ = 1 en laat zien dat hieruit volgt dat ψ₄(t) = sin t².

Hint. Schrijf ook sin t² als t²ψ˜₄(t) en bepaal ook op deze manier een machtreeksont- wikkeling voor ˜ψ₄(t).

Z.O.Z.

3. A. Beschouw voor t≥ 0 de 1-dimensionale vergelijking,

˙x =√ xg(√

x), (3)

waarbij g(X) minstens continu differentieerbaar is als functie van X ∈ R.

A(i). Neem eerst g(X) = 1 + X en laat zien dat de vergelijking (minstens) 2 verschillende oplossingen heeft die voldoen aan de beginwaarde x(0) = 0.

Opmerking. Voor deze g(X) wordt (3) dus ˙x =√

x(1 +√ x).

A(ii). Laat ook voor algemene functies g(X) zien dat als g(0)6= 0 vergelijking (3) (minstens) 2 oplossingen heeft die voldoen aan de beginwaarde x(0) = 0. Wat gaat er mis – of juist goed – als g(0) = 0?

B. Laat voor β ∈ R ~x^∗β(t) de oplossing zijn van het lineaire systeem,

˙~x = d dt~x=

 β 1

0 −1



~

x, (4)

waarvoor geldt dat ~x^∗_β(0) = (1,−2). Voor welke β geldt dat limt→∞~x^∗_β(t) = (0, 0)?

4. Beschouw voor γ > 0 de tweede orde vergelijking,

¨

x+ x− ˙x(1 − γ ˙x²− x²) = 0. (5) (a) Schrijf (5) als een 2-dimensionaal stelsel in (x, y = ˙x). Bepaal – voor alle γ > 0 – de

kritieke punten en hun stabiliteit.

(b) Neem γ > 1 en laat zien dat vergelijking (5) minstens ´e´en (niet-constante) periodieke oplossing (xp(t), yp(t)) heeft.

(c) Een in (b) gevonden periodieke oplossing (x_p(t), y_p(t)) vormt een gesloten kromme Cγ ={(x, y) = (xp(t), yp(t)), t∈ R} in het fasevlak R². Definieer de open ‘elliptische schijf’E^γ⊂ R² als E^γ={(x, y) ∈ R² : x²+ 3γy²<1}. Toon voor alle γ > 1 aan dat de gesloten kromme Cγ de open schijfEγ moet doorsnijden, ofwel dat Cγ∩ Eγ 6= ∅.