Cover Page
The handle
http://hdl.handle.net/1887/137985
holds various files of this Leiden University
dissertation.
Author:
Berghout, S.
Samenvatting
Dit proefschrift presenteert resultaten over kansmaten gedefinieerd op rooster-systemen, waarbij aan ieder punt op een rooster L een element uit een eindige verzamelingA wordt toegekend. De verzameling van toestanden is in dit geval gegeven door AL. Discrete tijd stochastische processen zijn een bekend
voor-beeld, waarbij L = Z of L = Z+ = {0, 1, 2, ...}. Meer algemene roosters worden
gebruikt in modellering binnen de informatietheorie, dynamische systemen en statistische mechanica.
Een bekend voorbeeld is de Markovketen, waarbij op een gegeven tijdstip de kansverdeling voor het volgende tijdstip is bepaald door de huidige toestand, on-afhankelijk van het verleden. Een veralgemenisering hiervan is een proces waarbij de voorwaardelijke kansen voor de huidige toestand, gegeven het verleden, om-schreven kunnen worden door een functie die continu is in de producttopologie. Dit betekent dat de invloed van het verre verleden verdwijnt. In dynamische sys-temen worden kansmaten opALmet dergelijke eigenschappen bestudeerd onder
de naam g-maten.
Vergelijkbare kansmaten worden opAZd, d≥ 1, gebruikt voor de modelering
van thermodynamische systemen onder de naam Gibbsmaten. Hierbij represen-teert het rooster gewoonlijk niet tijd maar plaats. In dit geval zijn de voorwaarde-lijke kansen voor een positie in het rooster, gegeven de configuratie op alle andere roosterposities, continu.
Het eerste hoofdstuk is een introductie en samenvatting van de resultaten. In het tweede hoofdstuk vergelijken we g-maten met Gibbsmaten in één di-mensie. Een recent resultaat laat zien dat er g-maten zijn die niet ook een Gibbs-maat zijn. Met andere woorden, een Gibbs-maat met eenzijdig continue voorwaardelijke kansen heeft niet noodzakelijk tweezijdig continue voorwaardelijke kansen. Het voornaamste resultaat uit het tweede hoofdstuk is een voldoende en noodzake-lijke voorwaarde op de eenzijdige voorwaardenoodzake-lijke kansen van een g-maat zodat deze g-maat ook een Gibbsmaat is. Daarbij bestuderen we ook de gevolgen van dit criterium. We bespreken onder andere een aantal bekende uniciteitscriteria
150
voor g-maten waaruit volgt dat de maat een Gibbsmaat is. Aan de andere kant laten we zien dat uniciteit niet noodzakelijk is voor een g-maat om een Gibbsmaat te zijn. In dit hoofdstuk behandelen we tevens het vergelijkbare probleem of een
g-maat een g-maat blijft onder het inverteren van tijd. Met andere woorden, zijn de voorwaardelijke kansen in de omgekeerde richting ook continu? Hier lossen we het open probleem op of een g−maat met een potentiaal log g in de Bowen klasse een g-maat blijft onder het inverten van tijd.
In het derde hoofdstuk bestuderen we toepassingen van de relaties tussen voor-waardelijke kansen in g-maten en Gibbsmaten. Een groot aantal algoritmes is in staat om de voorwaardelijke kansen voor de volgende toestand van een proces te schatten, gegeven de vorige toestanden. Dit kan worden gezien als het schat-ten van de voorwaardelijke kansen van een g-maat. Deze algoritmes kunnen ook de voorwaardelijke kansen van een Gibbsmaat schatten via de relaties die zijn ge-bruikt in het tweede hoofdstuk. Een toepassing hiervan in informatietheorie is dat een compressiealgoritme gebruikt kan worden als een algoritme dat ruis van een discreet signaal verwijdert. In het derde hoofdstuk vergelijken we zes verschil-lende algoritmes, die normaal gebruikt worden voor compressie of voorspelling, wanneer ze worden toegepast voor het schatten van tweezijdige kansen. Hierbij beoordelen we de algoritmes gebruikmakend van een metriek op de ruimte van kansmaten en ook via de geschiktheid voor het verwijderen van ruis. De data waarop we dit bestuderen is grotendeels kunstmatig, maar de algoritmes worden ook toegepast op engelse tekst.
