Enkele methoden voor het meten van polaire figuren van lineaire bemonsterde processen

Enkele methoden voor het meten van polaire figuren van

lineaire bemonsterde processen

Citation for published version (APA):

Dekker, G. (1966). Enkele methoden voor het meten van polaire figuren van lineaire bemonsterde processen. Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1966

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

AFDELING DER TECHNISCHE NATUURKUNDE

ENKELE METHODEN VOOR HET METEN

VAN POLAIRE FIGUREN VAN LINEAIRE BEMONSTERDE PROCESSEN

Ir. G. Dekker

"/

-ENKELE METHODEN VOOR HET METEN VAN POLAIRE FIGUREN VAN LINEAIRE BEMONSTERDE PROCESSEN

SAMENVATTING

In het nu volgende artikel zullen enkele methoden uitgewerkt worden om polaire figuren van lineaire, bemonsterde processen te meten met behulp van standaard analoge rekenelementen. Nagegaan zal worden wat de invloed is van de monsterduur op de meetresultaten. Voor- en nadelen van de

verschillende methoden zullen genoemd worden. Volgens het principe van een der behandelde methoden is een "polair plotter" gebouwd9 welke

polaire figuren kan tekenen van processen die op de snelle processimulator zijn nagebootst. Enkele van de polaire figuren welke op deze manier

verkregen zijn, zullen in het kort worden toegelicht.

INLEIDING

De procesoverdracht van een lineair, bemonsterd proces voor een frequentie w wordt gegeven door de vormg

0

oe

P*(jwo)

=

~

L

P( jw ₀ + jkw ) _s • • • • 0 • • • • 0 0 0 0 0 q 0 0 . 0 0 . 0 . 0 (J 0 Q 0 (1)

K:: -co

Hieruit volgt dat P*(jw.) te verkrijgen is uit de niet-bemonsterde proces-a

overdracht P(jw) door de complexe som te bepalen van P(jw) voor w ::: w , 0

w = w + w ' w = w

0 s 0 + 2w s ••••• , w

=

w - w 'w 0 s

=

w 0 - 2w s ooo••••• enzo Deze som is bijvoorbeeld grafisch te bepalen uit de polaire figuur van P(jw) (zie figuur 1). I I w - 2w =---. 1 0 s -.. I w + 2w :--.. 0 s / I w - w 0 s

'

_'

"

"

_"

'

_{',,...__ P(-w)}

"

Indien de bandbreedte van het proces echter groot is ten opzichte van w , is deze werkmethode zeer t:ijdrovend, daar veel 11_{zj,Jöanden." dienen te}

s

worden meegenomen; dat wil zeggen de som moet gemaakt worden over een groot aantal k-waarden. Teneinde dit te verm:ijden z:ijn enkele methoden ontwikkeld om de polaire figuren van bemonsterde systemen met behulp van analoge rekentechnieken automatisch te kunnen tekenen.

Om een goede aansluiting te kr:ijgen b:ij de behandeling van deze methoden, zal eerst de overdracht van een ideale monsternemer (impulse sampler) bekeken worden voor sinusvormige signalen.

OVERDRACHT VAN EEN IDEALE MONSTERNEMER VOOR SINUSVORMIGE SIGNALEN

2.

Een ideale monsternemer is een element dat op t:ijdstippen t

=

nT (n geheel en positief) een impuls afgeeft, waarvan de grootte overeenstemt met het ingangssignaal van de monsternemer op het moment van deze impuls. In formulevorm is dit:

signaal

v•.(t) _~

=

V.(t).!'(t- nT)_~ 0 · ·· •••••••••••• (2) voor n geheel en positief

T

figuur 2.

2T

3T

4T

5il

uitgangssignaal monsternemer

Overdracht van een ideale monsternemer: V. • ( t)

=

V. ( t - nT)

~ ~

In het t:ijddomein maakt de monsternemer dus het produkt van het ingangs-signaal en een reeks Diracpulsen; de t:ijd tussen twee opeenvolgende Dirac-pulsen is T sec. Laplace getransformeerd geeft dit produkt de complexe convolutie, welke voor V.

=

sinwt wordt:

~ c+joo V. ( s)

₌

1

J

w 1 dy y / 2 • -Ty ~ 211 j (s - + w 1 - e •••o••••••••••(3) C -jOO

De oplossing van deze integraal is met w s

00

=

~ ~

K:: -co

hetgeen na enig omwerken 00 1

L

V!'(s)

₌

~ T K== -co w (s - jkw )2 s oplevert: w +kw s 2 (w + kw s + 2 ' + w )2 s

Teruggetransformeerd naar het tijddomein geeft dit:

00

(sinwt)*

=;

~

K=-oo

sin(w + kw )t

s ••••••••••e•••••••eo••oooo(4)

Hieruit volgt dat een impulsbemonsterde sinus te beschrijven is als de som van oneindig veel sinusvormige signalen met gelijke amplituden

<i

van de oorspronkelijke), gelijke fasehoeken (gelijk aan de fasehoek van de oorspronke-lijke sinus) en met frequenties, welke een veelvoud vande.monsterfrequentie verschoven zijn ten opzichte van de frequentie van de oorspronkelijke sinus.

PRINCIPE VAN DE MEETMETHODE.

Met behulp van de onder (4) gevonden vorm wordt het in figuur 3 getekende schema onderzocht. sinw t 0 monsternemer monsternemer

x

middeling over t

4.

Het ingangssignaal A van het systeem is sinw t, zodat het signaal B gel~k 0 is aan: 1 B

=

T 1<::.-co sin(w + kw )t. 0 s

Dit signaal staat aan de ing~ng van het lineaire proces met overdracht P(w). Aan de uitgang van het proces zal hierdoor weer een som van sinusvormige signalen ontstaan met frequentie w + kw • De amplituden en fasehoeken van

0 s

de diverse sinussen uit deze reeks z~n echter niet meer gelijk, doch veranderd met de procesoverdracht behorend b~ de respectieve frequenties w + kw • Voor het totale signaal C geldt dan:

0 s

jP(w +kw

)~in

{<w +kw )t +

~

.

(w

+kw ) }

0 s 0 s 0 s

K:-w

Dit uit oneindig veel sinussen opgebouwde signaal C is het ingangssignaal van een monsternemer. Daar voor een monsternemer het superpositiebeginsel geldt (als T constant is), mag dus ook elk van de sinussen uit C bemonsterd worden en daarna opgeteld. Signaal D wordt dan:

K=-oa ex> + kws)IL sin { (w 0 + kws + m.:-00 mw )t +

~(w

+ kw )} s 0 s • • • • • • • • • • • 0 (

5

:

In figuur

4

is schematisch aangegeven hoe de frequentiespectra (met fase-hoek) van de signalen A, B, C en D eruit zien.

Wat er in wezen gebeurt is het volgende:

1) Signaal A= sinw t geeft na bemonstering signaal B, bestaande uit

0

een aantal sinussen met gel~ke amplituden en fasehoeken, en wel voor alle frequenties (w +kw ),

0 s

2) Elk van de sinussen uit signaal B wordt op een b~ de frequ~ntie w +kw behorende manier verzwakt en in fase gedraaid (C).

0 s

3) Ten gevolge van het bemonsteren van C geeft een siÎlUs uit C een b~-drage in elke z~band van die betreffende sinus. Dit gebeurt met alle sinussen, zodat het resultaat is dat in alle z~banden signalen

Signaal A Signaal B w - 3w 0 s Signaal C Signaal D

1

w - 2w 0 s w -0 w s 0 w 0 0 0 0 w 0 w 0 + w s w 0 + 2w s w-as w-as w-as w-as

figuur

4.

Frequentiespectrum van de in het systeem voorkomende signalen.

(De polaire figuur en de monsterperiode zijn gelijk aan die waarvoor figuur 1 geschetst is).

6.

In D zal hierdoor de sinusvormige component Dw met frequentie w als

0 0

volgt opgebouwd worden:

D

=

2

I

P ( w )

I

sin{w t +

\.f (

w ) } +

1

2

I

P ( w + w )

I

sin {w t +lp ( w + w )} + w 0 T2 o o o T o s o o s +

2

IP(w - w

)I

sin {w t

+\.V

(w - ws)} + T2 o s o o

...

+

1

I

P ( w + kw )

I

sin {w t + t.p ( w + kw )} T2 o s o o s of: ()() jP(w +kw )!.sin {w t + ~ (w 0 s 0 0 0 • • • • • • • ( 6) K:::-oo

Soortgel~ke uitdrukkingen zijn ook op te stellen voor de sinussen met andere frequenties ( w + (m + k)w bij m

.J

-k) o Vergelijking (5) is dan ook te schrijven

0 s

als de som van oneindig veel reeksen. Elk van die reeksen bevat slechts sinussen met één bepaalde frequentie.

Na vermenigvuldiging van D met sinw t zullen weer sinusvormige signalen 0

ontstaan, zodat het produkt gemiddeld over de tijd nul oplevert. Dit geldt echter niet voor de reeks met frequentie w (reeks (6) dus); hier geeft

0 het produkt: 00 . t 1 s~nw • -2 o T

I

P(w 0 00 K::-co

L [

IP(w₀ +kw )l.cos _s ~ (w ₀ +kw)+ _s K:: -co

... I

P( w 0 + kw s ) I • cos { 2w 0 t +

~

( w 0 + kw s ) }

J

Het tweede gedeelte van de reeks in het rechter lid is gemiddeld nul, zodat het totale gemiddelde uitgangssignaal wordt:

00

L

IP(w +kw )l. cos ~ (w +kw),

0 s 0 s

evenzo na vermenigvuldiging met cosw t en middeling over de tijd:

0

00

L

jP(w +kw )j. sin

\f

(w +kw).

0 s 0 s

?.

Door te vermenigvuldigen en te middelen worden uit het signaal D de Fouriercomponenten voor de frequentie w gefilterd. Het gebruikte

0

actieve filter wordt daarom ook wel ''FOURIER FILTER" genoemd.

De signalen X en Y zijn juist het reële en imaginaire deel van de in figuur 1 geconstrueerde som. Hiermee is dus aangetoond dat het mogelijk is direct een punt van het polaire diagram van een lineair bemonsterd proces te meteno Door de signalen X en Y met de X- respectievelijk Y-ingang van een XY-schrijver te verbinden en vervolgens w langzaam

0

een bepaald frequentiegebied te laten doorlopen, wordt op de XY-schrijver het polaire diagram over dit betreffende frequentiegebied geschreven. De complete opstelling is in figuur 5a nogmaals getekend.

cosw t __________ ~ 0 c osw 0 t -sinw t~ 0 a. c. figuur 5. D cosw t _ . / 0 sinw 0t ~ cosw t 0 sinw t 0 b. d.

Verschillende configuraties voor het meten van de bemonsterde procesoverdracht met behulp van bemonsterde signalen.

ANDERE CONFIGURATIES

Uit figuur 5a is te zien dat het produkt slechts gemaakt wordt op de monstermomenten (immers D

=

0 voort InT). Het andere -ingangssignaal van de vermenigvuldiger (sinw

0t resp. cosw0t) hoeft dus in principe

ook alleen maar op de monstermomenten aanwezig te zijn, zodat de con-figuratie volgens figuur

5b

equivalent is aan die van figuur 5a. Maar dan zijn ook de opstellingen volgens figuur 5c en 5d toegestaan. Voor de exacte berekening hiervan wordt verwezen naar de appendix.

In het voorafgaande werd aangenomen dat de produkten gemaakt werden in een oneindig kleine tijd. Is deze tijd niet oneindig klein maar wel zo klein dat gedurende deze tijd de signalen niet veranderen, dan wordt de vermenigvuldiging volgens figuur

6

verkregen. Gemiddeld over de monsterperiode levert dit produkt op: v₁

.v

₂ .~/T.

nT nT V

t

figuur

6.

1 1

Cn

+ 1 )T t t

D

t

Vermenigvuldiging over een zeer kleine tijd ~

waarin de signalen constant blijven.

Met een houdcircuit is het mogelijk

v

1 en v2 gedurende T seconden constant, en wel gelijk aan

v

1 _nT resp.

v

2 _nT , te houden, zodat het gemiddelde produkt

v

1

.v

2 wordt. Deze waarde is evenredig met

~ nT nT T

V1nT.v2nT·

T •

De proportionele versterking is~. Inplaats van de bemonsterde signalen aan de vermenigvuldigers toe te voeren, mag

dus ook gebruik gemaakt worden van de vastgehouden signalen. Op deze manier worden de configuraties welke in figuur ?a en 7b geschetst zljn verkregen.

,---,c=:J--r---<

y. houd cosw t _{0 ~} ---_·~----~ ~ sinw t _o

---r----

---11

_proces a. ---1 proces b.

,l;

1-l..---o X

,

;;b

houd ~I oY

J:

,J:

houd ~x

Ir

,I,

figuur

7.

Meetmethoden met behulp van houdcircuits.

PRAKTISCHE VERWEZENLIJKING

Monsternemers die Dirac-impulsen afgeven, bestaan in werkelijkheid niet. Meestal heeft men te maken met componenten die gedurende een eindig

t~dsinterval p (de monsterduur of pulsbreedte) een signaal afgeven, waarvan de grootte evenredig is met het ingangssignaal.

p T figuur

8.

----p T '

'

Overdracht van een monsternemer met eindige pulsbreedte.

10.

t

Stellen we de evenredigheidsfactor gelijk aan één, dan is het bemonsterde signaal te schr~ven als het produkt van het ingangssignaal en een puls-reeks waarvan de pulshoogte 1, de pulsbreedtepen de herhalingsfrequentie

~

is. Voor sinusvormige signalen wordt dit: (sinw t)*

=

sinw t.(pulsreeks)

0 p 0

Laplace getransformeerd geeft dit de complexe convolutie:

(sinw t)*

=

0 p 1 2Tlj C+JOO

I

C-j oo w 0 + w 0 2 1 - e-py -Ty y(1 - e ) dy.

De oplossing van deze integraal wordt gevonden door de som van de residuen van de integrand te bepalen voor de polen van:

1 - e-py

-Ty y(1 - e )

De polen z~n: Ty

=

2njk, dus: 21\jk T = jkw

zodat gevonden wordt: 00 (sinw₀t);

= ;

~

K=--oO w 0 (s - jkw )2 s + w 0 2 -jkw p s 1 - e 'kW J s

=

sink:ws

~

kw ~ s 2

2j

(e - e ) + [ -s

jkws~

-jkws~

s2 + (w + kw )2 0 s + 2 2 s + (w + kw ) 0 s

Vereenvoudiging en transformatie naar het tijddomein geeft:

of (sinw t)• 0 p =

~ sinkw

8

~

• kw~ s2 K=-oo • 11 • ••••••••••••• ( 7)

Uit deze vergelijking blijkt dat een sinusvormig signaal dat bemonsterd wordt door pulsen met eindige breedte9 evenals in het ideale geval, te beschrijven

is als een som van sinusvormige signalen, waarvan de frequenties een veel-voud van de monsterfrequentie zijn versc}loveh :t. o-o v. die van het niet bemonster<

signaal. De amplituden en fasehoeken van de sinussen uit de z~öanden krijgen echter een correctieterm. Deze correctieterm is:

'nkw ~ S1 S2

kws~

voor de ampDtude van de k

0 _z~öand

en - kw ~ rad. voor de fasehoek van de k0 zijband. S2

Wordt het in vergelijking

(7)

gevonden resultaat toegepast op het in figuur

3

geschetste systeem, dan wordt gevonden:

signaal A

₌

sinw t. 0 00 . k ~ signaal B ~

L

s1n w 52 sin {(wo + kw 5) t - kw

s~

}

=

_T

.

.

kws~

K:-oo

00

"nk E

signaal

c

;I

S~ WS2 ·I P(w₀ + kws)

I

sin {<w₀ + kws)t -

kws~

+\f (w

0 + kws)}

=

_p kws2 1<:: -00 00 'kw~ oO

_einmws~

signaal D

₌

~I

s~.n 52 _{·IP(wo + kws)l}

'I'

kw~ ~

52

l1J =-co mw52

K= -oo

Vermenigvuldiging van signaal D met sinw t resp. cosw t levert weer

sinus-o 0

vormige signalen op met frequenties (k + m)w • Deze signalen z~n gemiddeld

s

over de tijd nul, tenz~ -m

=

k, in welk geval geldt:

X

=

(Dsinw t) o gem 2 Y

=

(Dcosw t) · -E-o gem - ₂T2 oo [ • kw

EJ

2 s~n s2 \ IP(w +kw

)I

cos~(w

+kw ) . ~ kw~ 0 s 0 s K:::-oo s2 [ . k

~]

2 s~n ws 2

I

P(w +kw

)I

sinl:?(w +kw). kw 1 0 5 y 0 S . S2

De X en Y z~n weer het reële en imaginaire deel van de in figuur 1 gemaakte som, echter met een correctieterm:

2

Hierin is ~ een proportionele factor die de vorm van X en Y niet aantast; het tweede ged~elte van de correctieterm tast de vorm echter wel aan en zal dus zo goed mogel~k gel~k gemaakt moeten worden aan 1; dat wil zeggen

(sinkws~)/(kws~)~1 of kws~

=

k~~ moet klein z~n.

In de appendix zal worden aangetoond, dat de in figuur 5 getekende con-figuraties evenzeer geschikt z~n voor bemonstering met eindige pulsbreedte. Voor de schema's met houdcircuits is de afleiding iets ingewikkelder.

Alvorens op deze berekening in te gaan, zal eerst de complexe rekenw~ze

BEPALING VAN DE OVERDRACHT MET BEHULP VAN COMPLEXE REKENWIJZE

Voor het uitgangssignaal van een monsternemer, met als ingangssignaal een sinus, werd gevonden:

00

sinkws~

(sinw t)*

=

.E.

I

.

_{sin {<wo +} kw _{)t -}

kw

5

~}

,

0 p _{T kws.E.} s K:-oo 2 evenzo geldt: 00

sinkws~

(cosw t)*

!L

cos {<w 0 + kw )t -

kws~}

•

=

0 0 p

kws~

s ~::-00

Vermenigvuldiging van de eerste vergel~King met j en optelling b~ de tweede geeft:

()0

jw₀t *

.E.

I

sinkws~

-jkw .E. S2 j(w +kw )t 0 s

(e )

=

e .e •••o•••••o(8)

p _T

kws~

K: -oo

Het uitgangssignaal van het proces wordt dan:

co

sinkw .E. -jkw .E. j (w +kw )t

I

s2 s2 0 s

c

₌

.E. 0 e

.

P(w + kw )

.

e

T kw .E. 0 s

K: -oo s2

P(w + kw ) is hier de complexe overdrachtsfunctie van het proces en is

0 s "lO( kw )

dus gel~'k aan IP(w + kw

)1.

eJT Wo + s

0 s

Bemonsterd levert C het signaal D op, waarvoor geldt:

00

-jkws~

D

₌

~I: sinkw5~

P(w + kw ) T2 k .E. e • 0 s "s2 K:-ao -jmw .E. _S2 j (w + kw + mw )t 0 s s

.

e

.

e 00

sinmws~

I:

.E. l'n:: -oO mwS2

Dit signaal wordt vermenigvuldigd met sinw t en cosw t

0 0 en gemiddeld over

de t~do Complex komt dit neer op vermenigvuldiging met (ejwot) o toeg. Door de vermenigvuldiging met de toegevoegd complexe

van het signaal in reëel en imaginair deel op.

14 •

.

.

Het uitgangssignaal van de vermenigvuldiger wordt:

• P(w + kw )

0 s •••••••••••••••••••o••oo•e(9)

. 2

Dit is, afgezien van de correctiefactor gegeven overdracht.

~

[stnkw

s~]

T kw~ , juist de in (1)

S2

MEETMETHODE MET HOUDCIRCUITS EN EINDIGE MONSTERDUUR

Het houdcircuit kan opgebouwd gedacht worden uit twee gedeelten (zie figuur 9),nl: ·

1. Pulsgedeelte over p seconden.

2. Impuls-houdgedeelte over T-p seconden.

-

----

---

_--

_-...

-

-

--

_-

-~

-

-

-_,. _,. _... ~ "'

-"'

-"'

-

-"

-

-"

-"

''"

0 _/1

V

p T ~ 2T 4T p T 3~

_~

pulsgedeelte houdgedeelte

figuur 9. Houdcircuit met eindige pulsbreedte.

Het pulsgedeelte geeft aanleiding tot overdrachten zoals hierboven

afgeleid zijn; het houdgedeelte geeft aanleiding tot nieuwe overdrachten. Een impuls-houdcirc'.iit over T-p seconden heeft een overdracht

-s(T- p)

t

H(s)

=

1 - e ••oo•o•••o•o•••••••••o••••••••••••••(10)

s

of voor een sinusvormig signaal met frequentie w:

-jw(T-p)

1 - e

H ( w) =

Het ingangssignaal van het houdcircuit is echter geen enkelvoudige sinus, maar een op tijdstippen nT + p impuls-bemonsterd sinusvormig signaal (fig. 10),

T T + p 2T 2T + p

figuur 10. Impulsbemonstering op nT + p.

Met behulp van een complexe convolutie is het uitgangssignaal van een monsternemer, welke bemonstert op tijdstippen nT + p, te berekenen. Deze berekening levert:

00 jw t ₁

L

-jkw p j (w + kw )t 0 s 0 s e

._.

e e T K=-co

Het uitgangssignaal van het houdcircuit ten gevolge van het houdgedeelte bij een ingangssignaal ejwot

i~

dus:

~L

e -jkw p s • 1 - e K=-oo -j(w +kw )(T-p) 0 s j(w +kw ) 0 s • e j(w +kw )t 0 s •••••••• ( 12) jw t

Het ingangssignaal is echter niet e 0 maar het uitgangssignaal van de vermenigvuldiger (verg. fig. ?b), dus:

-jmw E 52 • e • P(w + mw ). 0 s jmw t e 5

(de reeks met frequentie 2w + :nw is weggelaten,

0 6

1b..

zodat het uitgangssignaal van het houdcircuit ten gevolge van de houdactie wordt: 00 -jmws~ • e • P ( w + mw ) • 0 s • - j ( mw + kw )( T - p ) e s s j(mw +kw ) s s • e j(mw +kw )t s s

Dit signaal is gemiddeld nul, tenz~ k =-m. In dat geval wordt het uitgangs-signaal van het houdcircuit (nog steeds alleen maar ten gevolge van het houdgedeelte): p(T - p) T2 K:-PO

sinkws~

jkws~

• e • P(w +kw ). 0 s

Het totale meetresultaat voor het houdcircuit(pulsgedeelte plus houd-gedeelte) wordt dus:

H X, y

=

p2

~

[sinkws~J

2 P(w + kw )+ P

~

L

kw~

0 _s 1<.:-oO S2 L p u l s g e d e e l t e

_

I

ex> "nk p "kw p +J2(T- p)

L

s~ ws2 J s2 • P(w +kw ) + T2

_kws~

• e 0 s K=-ro h 0 u d g e d e e 1 t e oe ( 13)

De eerste term van (13) is voor kleine p te verwaarlozen ten opzichte van de tweede, waaruit blijkt dat de methode met houdcircuits extra fasedraaiing geeft in de zijbanden. Uiteraard voldoet ook hier weer de methode welke geschetst is in figuur ?a.

VERGELIJKING VAN DE VERSCHILLENDE MEETMETHODEN

De verschillen in de behandelde methoden zitten in de signalen welke de vermenigvuldigers toegevoerd krijgen. Deze signalen zien er voor de diverse methoden als volgt uitg

Methode Ia Een bemonsterd en een niet bemonsterd signaal

(signaal A en D in figuur 5a).

17.

Methode Ib

Methode Ie

Twee bemonsterde signalen (signaal B en D in figuur 5b). Een bemonsterd en een niet bemonsterd signaal

Methode Id

Methode IIa Methode IIb

(signaal B en C in figuur 5c)o

Twee niet bemonsterde signalen ·(signaal A en C in fig. 5d). Twee vastgehouden signalen (figuur ?a).

Twee continue signalen (figuur 7b).

In groep I treden steeds bemonsterde signalen op, terwijl de signalen uit groep II vastgehouden signalen zijn (het ingangssignaal van het proces is voor beide groepen bemonsterd).

Uit de vormen

(8)

en (12) volgt dat de bandbreedte van de bemonsterde

signalen veel groter is, dan die van de vastgehouden signalen. De correctie-factor in de zi,]èanden van bemonsterde signalen is nL ( sinkw

5

~ )/(kws~), terwijl deze van vastgehouden signalen gelijk is aan (sin (w +kw )(T- p)/2)/

0 s

(w +kw )(~- p)/2o Vergelijk hiervoor de in figuur 11 getekende bandbreedte-a s krommen. signaalgrootte in de z:i,]nanden

l

w₀ - 1 Ows figuur 11. vastgehouden bemonsterd w

Verzwakking in de z:i,]banden van bemonsterde,

Dat wil dus zeggen, dat de in groep I gebruikte signalen (uitgezonderd die van Id) door hun grote bandbreedte zeer hoge eisen aan de vermenig-vuldigers stellen. De vastgehouden signalen stellen met hun kleine band-breedte veel minder eisen aan de apparatuur~

Een tweede nadeel bij het gebruik van bemonsterde signalen is de zeer kleine energie-inhoud. Na elke pulsmonsternemer moet een versterker geschakeld worden, welke uiteraard weer een grote bandbreedte moet hebben. De energie-inhoud van de vastgehouden signalen is (T- p)/p maal zo groot als die der bemonsterde, zodat ook hierdoor de houdactie beter is. Een nadeel van methode II is de fasecorrectie in de zj,Jbanden. Indien echter de pulsbreedte p klein is ten opzichte van T, wordt deze correctie ook klein. Voor methode

Id geldt alleen het nadeel van de kleine energie-inhoud, daar er bij die

methode geen bemonsterde signalen aan de vermenigvuldigers worden toegevoerd. Het uitgangssignaal van het proces zelf kan echter zeer breedbandig zijn, bijv. bij eerste orde processen met kleine tijdconstanten. In dat geval worden bij bijna alle meetmethoden hoge eisen aan de apparatuur gesteld. Alleen methode !Ia maakt de bandbreedte van het signaal door de houdactie kleiner. Deze methode is dan ook het beste te instrumenteren.

Om een indruk te krijgen, hoe groot de afwijkingen zijn voor methode I en II, zijn in figuur 12 6.P* en

6lf •

als functie van de frequentie uitgezet voor beide meetmethoden. Hierin is:

De overdrachten zijn berekend voor een tweede orde proces met gelijke tijd-constanten van 1 seconde; de monsterperiode was 1,1 seconde en de puls-breedte 50 msec.

0 6P*

-5

-10

-15

0 bemonsterd vastgehouden ~---~---~---~---.---~r---~~--.---r--~=-w 0,5 figuur 12. 1

1,5

2

2,5

3

Fouten in de absolute waarde en fasehoek ten gevolge van bemonstering met eindige monsterduur

BESPREKING VAN ENKELE FIGUREN, DIE MET DE SNELLE PROCESSIMULATOR ZIJN OPGENOMEN

20.

Bij de polaire diagrammen die met de snelle processimulator zijn opgenomen, werd gebruik gemaakt van de meetmethode met houdcircuits voor de vermenig-vuldigers (methode IIa).

Een tweetal diagrammen zal besproken worden, nl:

1e het polaire diagram van een eerste orde proces,

2e het polaire diagram van een tweede orde proces met gelijke tijdconstanten.

Om een indruk te geven van het tijdgedrag van de machine, volgen hier enkele karakteristieke grootheden.

a. De tijdconstanten van gesimuleerde processen kunnen ingesteld worden tussen 0,01 msec en 10 msec. Een eventueel gebruikte dode tijd kan ingesteld worden tussen 0,01 msec en 1 msec.

b. De monsternemer heeft een vaste monsterduur van 0,01 msec; de monsterperiode is in te stellen tussen 0,1 msec en 3 msec. De inleestijd van de houdcircuits is minder dan 0,2psec; de houdtijdconstante is ongeveer 10 sec.

c. De vermenigvuldigers hebben een stijgtijd van minder dan 0,03 msec.

De ideale (impulsbemonsterde) overdracht van een eerste orde proces laat zich gemakkelj;J"k berekenen. Het polair diagram voor 0 < w <w /2 is een

0 S

halve cirkel onder de reële as door de punteng

1/(1 -

e-Tk

)t _{voor w}

=

_{0 en 1/( 1} + e -T~ )t voor w

=

w /2.

S

Het middelpunt van de cirkel ligt op de reële as.

Voor het geval dat hier besproken wordt, werd gekozen t

=

0,4 msec, T

=

0,2 msec, zodat de snijpunten met de reële as 1562,5 en 6250 zijn.

In figuur 13 is zowel dit ideale als het gemeten polaire diagram getekend. Het berekende diagram is echter vermenigvuldigd met een schaalfactor T, het gemeten diagram met een

schaalfactor{p(T;p)}~

1

T .

Het gemeten diagram lijkt uit het ideale te zijn ontstaan door:

1. een verschuiving naar links (vooral voor hoge frequenties). 2. een extra fasedraaiing + frequentieafhankelijke verzwakking. De onder 1 genoemde verschuiving is in werkelj;]Xheid niet het gevolg van de meetmethode, doch het effect van parasitaire tijdconstanten (bijv. tijd-constanten van de gebruikte optellers, welke in de orde van groott~ van enkelepsec liggen en de tijdconstanten van de houdcircuits).

" - w _{0 s} , ~ \ \ \ \ \--\ 0,5 21.

'w

= 0 1) ideaal bemonsterd 1° orde proces '\ w figuur

13.

a. figuur 14~

'\.

w=f

"

~ /

-

--2) gemeten met houdcircuits

Polaire diagrammen van een bemonsterd 1° orde systeem: 1) berekend, 2) gemeten.

(uitgezet is T.P• voor het berekende diagram en{p(T;p)}:1P • voor het gemeten diagram)

T P

b.

Ontstaan van fouten in P * ten gevolge van de correctietermen: P

sinkw

₈

~

jkws~

en e kw~

22.

Bfj ideale bemonstering zouden deze tijdconstanten het polaire diagram tot in het derde kwadrant trekken; daar ze hier veel kleiner zijn dan de puls-breedte, geven ze aanleiding tot een geringe verschuiving. Wordt aan het eerste orde proces een extra tijdconstante toegevoegd, welke niet veel kleiner is dan de pulsbreedte, dan komt het polair diagram inderdaad in het derde kwadrant.

De onder 2 genoemde extra fasedraaiing is een fout welke aan de meetmethode kleefto Hij is ontstaan uit een fout ten gevolge van de correctieterm

. ~ ~ jkwsE .

(s~nkws

₂

)/kws

₂

en ten gevolge van e 2 . Be~de invloeden zullen apart bekeken worden.

Zoals in de inleiding al gezegd is, kan het polair diagram van P* punts-gewijs geconstrueerd worden uit P door de som te bepalen van P voor w + kw ,

0 s

waarin k van ·+ oo tot - OQ loopt. Is de bandbreedte van het proces klein ten opzichte van w₅, dan is het voldoende om slechts enkele z~banden mee te

nemen. In figuur 14a is de constructie uitgevoerd voor één z~band en de hoofdband (dus k

=

-1 en 0). Uit deze figuur blijkt duidelijk, dat de ver-zwakkingsfactor in de z~band (sinws~)/ws~ in het uiteindelijke resultaat aanleiding geeft tot een geringe fasedraaiing en verzwakking. De fout, ten gevolge van de factor (sinkw ~

2

)/kw ~

2

, treedt zowel bij methode I als

s s "k E

methode II op (vergelijk fig. 12). De correctieterm eJ •s-z geeft evenals de sin correctieterm ook aanleiding tot een extra fasedraaiing en een geringe verzwakking. Alhoewel de positieve e-macht te denken geeft dat de fasedraaiing die erdoor ontstaat positief is, moet wel bedacht worden dat de z~banden die het meeste effect hebben, die zijn waarvoor k negatief is ·(met name k

=

-1). De ten gevolge van de e-macht ontstane fasedraaiing is in figuur 14b geconstrueerd.

Na de behandeling van het eerste orde proces behoeft het tweede orde proces weinig toelichting. De polaire figuren (ideaal en gemeten) zijn geschetst in

figuur 15. Hier is t

1

=

t 2

=

0,2 msec, T

=

0,22 msec en p

=

0,01 msec.

Opgemerkt zij nog dat bij een tweede orde proces de ideale bemonstering beter benaderd wordt door de afvlakkende werking, terwijl parasitaire tijdconstanten veel minder invloed hebben dan bij de eerste orde processen.

I

J / w _s

w=1b

1 - - 1) berekend - - - - 2) gemeten

·w--- - -

_s

·

-W=s

figuur 15. Polaire figuren van een bemonsterd 2° orde proces: 1) berekend, 2) gemeten.

(uitgezet is. T.l'• voor het berekende diagram en{p(:; p)}:1 Pp • voor het gemeten diagram)

A-1.

APPENDIX

---AFLEIDING VAN DE HOOFDFORMULES VOOR MONSTERNEMING

Is de overdracht P(s) van een proces gegeven, dan is op een eenvoudige manier te berekenen wat de overdracht P*(s) is, als dit proces bemonsterd wordt. Per definitie geldt:

p•(s)

₌

u•(s) I*(s) •

Indien I(t) een impuls is, is I*(t) ook weer een impuls, zodat I*(s)

=

1. In dat geval is P*(s)

=

u•(s); dat wil zeggen dat de P*(s) gevonden wordt door het uitgangssignaal van het proces ten gevolge van een impuls aan de ingang te bemonsteren.

In het tijddomein is deze bemonstering een vermenigvuldiging met een impuls-reeks Ö(t- ni), hetgeen Laplace getransformeerd een complexe convolutie oplevert. p•(s)

=

u•(s)

=

of P*(s)

=

U*(s)

=

1 2ll j c., +) 00

j

P(s c,-j oo

c-.joo

"'

J

P(w) c-j oo .1. - w). 1 dw, -Tw 1 _{- e} 1 dw. 1 - e -T(s-w)

Oplossing van de eerste integraal geeft:

00

p•(s)

=;

L

P(s + jkw ) _s •••••••••••••••• (tweede hoofdformule van bemonstering) K:-oo

De tweede integraal kan opgelost worden als P(w) bekend is. e

Voor een 1 orde proces bijv. wordt gevonden:

1 p•(s)

=

t 1 . . . 1 . e· -T( s

+

-t) 1 -••••••••••••••••• (eerste hoofdformule van bemonstering)

Deze overdrachten gelden slechts voor impulsbemonstering. In het vooraf-gaande is besproken dat ten gevolge van bemonstering met eindige pulsbreedte correctietermen optreden als: _·kwE

sl.n 52

kws~

-jkws~

A-2.

Hoe deze correctietermen doorwerken in het eindprodukt bij de diverse meet-methoden zal in het nu volgende bekeken worden.

Voor de configuratie volgens figuur 5a is afgeleid:

P*(jw) p gemeten

=

:~

f: [

sinkws~

J

2 kw~ K=-oo s2 P(w +kw ). s

Voor de configuratie volgens figuur 5b gaat de afleiding als volgt: het produkt moet gemaakt worden van signaal B en D, hetgeen oplevert:

00 ·kw~ p I s~n S2 T

kws~

K=-oo 00 . ~ p2

.I

s~nmws

2

2 ~ T _mws2 m=-DO K:-oo 00

n:

-oo e

+jkws~

-jmw ~ S2 e -J·nw _S2 ~ e -j(w+kws)t e 00

_.

~ _-jnws~ P(w + mw 8)

.I

j(w+mw +nw )t s~nnws₂ e s s e

i

nws2 11::-oo

-jmws~

e P(w + mw ) •• s

m:::

-oo • e

dit is een sinusvormig signaal met frequentie n + m - k dat nul als gemiddelde waarde heeft, tenzij: n + m - k

=

0.

In dat geval komt er:

00 ·kw~ .k ~ 00 i ~ . ~ p 3 I s~n s2 J ws2 I s _nmws2 ~ _-Jmws2 P(w + mw 8) . e e T3

_kws~

~ K::-oo tn:-oo mws2 ..

~

sin(k-

m)ws~

L-

(k-

m)ws~

-j(k - m)ws~ e = K-tn::~oo 00 E. ; , \ _sinmws2

TL

mw~

2

rn:-

oo K:-oo

sinkws~

sin(k- m)ws~ kw E. S2 • (k- m)ws~

De laatste reeks is als volgt te schrijven: sin(k- m)ws~ (k- m)ws~ =

{--1..+

km 1 } sinkw

s~

sin (k- m)w

s~

=

m(k- m) (X)

=

mw~~

L

-sinkws~ sin(k- m)ws~ kw ~ S2 K=-oo 1

~

sinkws~

sin (k-

m)ws~

+ - - L

mws~

(k-m)ws~

K

=-

oo 00 sinkw s~ sin(k + m)ws~ 1

L

+

=

.E.

_kws~

mws2 K::-oo 00 . k ~ + = 1 r : 2 s~n w 52

_.

_~ coskw

₅

~

=

s~nmw₆₂

=

~

_kws~

mws2 K::-oo

.

~ 00 _2sinmw

6

~ s~nmw₅₂ r : sinkw.P ₁₁ s

=

2

₌

.

--~ _{kw P} ~ _wsP mwB2 K=-oo s mws2 Dit ingevuld in de oorspronkel~ke vorm geeft:

=

T s~nmws. ~ ₂ P

mw

5

~

p2

~

[

sinmw

6

~]

2 2 ~ ~ P(w T mws₂

+ mw ), hetgeen identiek is aan s

tl1 = -oo

Bij de configuratie volgens figuur 5c moet het produkt gemaakt worden van signaal B en C.

Dit levert op:

I<:-00

sinkws~

kw E s2 .;:- sinmw

5

~

L

mw E s2 rn:-oo -jkw E S2 e P(w +kw ). e -j(w + e s mw )t s j (w +kw )t 5

Gemiddeld over de tijd wordt alleen een bijdrage verkregen voor k

=

m, zodat voor het gemiddelde uitgangssignaal van de vermenigvuldiger weer dezelfde waarde gevonden wordt als boven, nl:

00 2

p2

I

[sinkw

s~

J .

_{P(w + kw )}

~

kw E s

K= -oo s2

Voor de configuratie volgens figuur 5d wordt het uitgangssignaal van de vermenigvuldiger bemonsterd, hetgeen geeft:

[ P -jwt

T

e 00 00

sinkws~

I

K:::-CO

sinkws~

kw E s2 kw E s2 e -jkw E S2 j(w P(w + kw )e s

sinmws~

mw

E

s2 m::::.-oo + kw₆

)t]

-jmws~

e

•

e

gemiddeld wordt wederom alleen een bijdrage verkregen voor k

=

-m. Deze bijdrage is:

P(w + kw ) s

Ook deze vorm is gel~K aan de hierboven afgeleide vormen.

=

j(kw + mw )t