Topologie, voorjaar 2015 Opgaven werkcollege 6
16 maart 2015
1. (Runde, 3.1.7.) Zij (X, TX) een topologische ruimte, en zij S een deelverzameling
van X. Bewijs dat X \ S◦
= X \ S en X \ ¯S = (X \ S)◦
. 2. Laat zien dat er voor de euclidische topologie op Rn
een aftelbare basis bestaat. 3. Zij (X, T ) een topologische ruimte, en zij B een basis voor T . Zij Y een deelruimte
van X. Laat zien dat {U ∩ Y | U ∈ B} een basis voor de deelruimtetopologie op Y is. 4. Zijn (X, TX) en (Y, TY) topologische ruimten, en zij B een basis voor TY. Zij f : X → Y
een afbeelding. Laat zien dat f continu is dan en slechts dan als voor elke U ∈ B de verzameling f−1
U open is in X.
5. Zijn (X, TX) en (Y, TY) topologische ruimten zodanig dat TX de triviale (=
chaoti-sche) topologie op X is en (Y, TY) een Hausdorffruimte is. Bewijs dat elke continue
afbeelding f : X → Y constant is.
6. (Runde, 3.2.10.) Zijn (X, TX) en (Y, TY) topologische ruimten, en zij D ⊆ X een
dichte deelverzameling. Zijn f, g: X → Y twee afbeeldingen waarvoor geldt f |D = g|D.
(a) Neem aan dat (Y, TY) een Hausdorffruimte is. Bewijs dat f en g gelijk zijn.
(b) Geef een voorbeeld van een situatie als boven (met Y geen Hausdorffruimte) waarbij f en g ongelijk zijn.
In de onderstaande opgaven is een product X ×Y van topologische ruimten steeds voorzien van de producttopologie TX ×Y.
7. Zijn X en Y discrete topologische ruimten. Laat zien dat X × Y discreet is.
8. Zijn (X, TX) en (Y, TY) topologische ruimten, zij BX een basis voor TX, en zij BY
een basis voor TY. Laat zien dat {U × V | U ∈ BX, V ∈ BY} een basis voor de
producttopologie TX ×Y is.
9. Zij X een verzameling, zijn T1 en T2 topologie¨en op X, zij B1 een basis voor T1, en zij B2 een basis voor T2.
(a) Stel dat er voor alle x ∈ X en alle U1 ∈ B1 met x ∈ U1 een U2 ∈ B2 bestaat met x ∈ U2 en U2 ⊆ U1. Bewijs dat T2 fijner is dan (of gelijk is aan) T1, d.w.z. T1 ⊆ T2.
(b) Bewijs dat de producttopologie op R × R gelijk is aan de euclidische topologie op R2.
10. Zij X een topologische ruimte. Laat zien dat X een Hausdorffruimte is dan en slechts dan als de diagonaal
∆X = {(x, x) | x ∈ X}
een gesloten deelverzameling van X × X is.
11. Zij X een topologische ruimte. Laat zien dat X een Hausdorffruimte is dan en slechts dan als X × X een Hausdorffruimte is.
