Digitale Zwillingsmodelle zur optimalen Auslegung und Regelung von bedingt robusten Blechumformprozessen

𝐴₈₀ 𝐶_𝑝 𝐶_𝑝𝑘 𝐹_𝐺 𝐹_𝑁 𝐹_𝑁𝐻 𝐹_𝑅 ℎ_𝑤 𝑘_𝑓 𝑘_𝑓𝛼′ 𝑘_𝑓𝛾 𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ 𝑘_𝑓𝑔𝑒𝑠 𝑛_𝐸𝑥𝑝 𝑄_{𝑐𝑟𝑖𝑡} 𝑟₀, 𝑟₄₅, 𝑟₉₀ 𝑟_𝑏

𝑅_𝑚 𝑅_𝑝0.2 𝑇_𝑟𝑒𝑓 𝑣_𝑟𝑒𝑙 𝑣_𝑟𝑒𝑓 𝑉_𝑀 𝑉_𝑀0 𝑊_𝑝𝑙 𝛼 𝛼′ 𝛽 𝛾 𝜀 𝜀̇ 𝜂 𝜅 𝜆 𝜇 𝜈 𝜌 𝜎 𝜎_𝐻 𝜎_𝑁 𝜎_𝑠𝑎𝑡 𝜎_𝑉 𝜎_0.2 𝜏_𝑅

𝜏_𝑆 𝜑 𝜑₀ 𝜑_𝑔𝑙 𝜑_𝑉 𝜑̇

(Quelle: zeno.org) (Quelle: pinterest.com)

(Quelle: wikimedia.org) (Quelle: ancud.de)

1. Mechanisierung 2. Industrialisierung

      Design Optimierung Regelung

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - η - - - - - - - -

Riss

Einschnürung Faltenbildung 2. Art

Faltenbildung 1. Art Nachlaufkante

Umformsimulation Randwerte Temperatur, WZ-Elastizität, Wärmeübergangskoeff., Prozessgrössen Niederhalterkraft, Ziehleistenkräfte, Platinenzuschnitt, Platinenbeölung Materialkennwerte Anisotropie, Fliessspannung, Zugfestigkeit, E-Modul

RP0,2 [N/mm2] Rm[N/mm2] rnormiert [-] BHP [N/mm2_] 1300kN F_NH 1 400kN F_NH 2 Design Variables

Prozessgrenzen mit Hypercubes Prozessbalken mit AutoForm

F_NH 2 F_ N H 1 Prozessgrenze A Prozessgrenze B Prozessgrenze C

FLC Reisser Sicher Aufdickung Ungenügende Ausdünnung H auptf orm ä nd eru ng (w ahre D ehnung)

Nebenformänderung (wahre Dehnung)

a b 20% H auptf orm ä nd eru ng (w ahre D ehnung)

Nebenformänderung (wahre Dehnung)

𝑀𝑎𝑥. 𝐹𝑎𝑖𝑙𝑢𝑟𝑒 (𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟) =𝑎

                    

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 ₅ 6 7 8 9 10 11 2 4 6 8 9 10 Induktive Spule Rollkugelsensor Longitudinaler Lastmessbolzen Entgegeng. Linearwegaufnehmer Laserdistanzsensor Optischer Sensor Piezo-elektrischer Kontaktsensor 3-komponentiger Kraftaufnehmer Kraftmessdose Taktiler Linearwegaufnehmer Boroskop Schnitt Draufsicht

             

Stempel Werkzeugtisch Matrize Pinolen Niederhalter Platine Hydraulische Zylinder Ziehkissen Ziehkissen-platte

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Multiple Gasdruckfedern Multiple hydraulische Aktuatoren Piezoelektrischer Aktuator Hydraulische Kavität

Segmentierte hydraulische Module Aktive Ziehsicke Schnitt Draufsicht 1 2 3 4 5 6 Stössel Matrize Niederhalter Stempel Hydraulische Zylinder Pressentisch Niederhalter

𝑘 𝑙

𝑛_𝐸𝑥𝑝

𝑛_𝐸𝑥𝑝 = 𝑙𝑘 _(3.2)

 o o o    

𝑅𝑀𝑆𝐸 = √∑(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖)2 𝑛_𝑠 𝑛𝑠

𝑖=1

𝑥_𝑗 𝑥_𝑗 = 𝐺_𝑗(sin[𝜔_𝑗𝑠]) 𝜔_𝑗 𝑥_𝑗 𝑦 𝑥_𝑗 𝑦 𝜔_𝑗

𝜔_𝑗 𝑦 𝑦 𝑦̅𝑟 _{= lim} 𝑡→∞ 1 2𝑡∫ 𝑦𝑟(𝑥1(𝑠), … , 𝑥𝑛(𝑠)) 𝑑𝑠 𝑡 −𝑡 = lim 𝑡→∞ 1 2𝑡∫ 𝑦𝑟(𝑠) 𝑑𝑠 𝑡 −𝑡 – 𝜋 𝜋 𝑦̅𝑟 ₌ 1 2𝜋∫ 𝑦𝑟(𝑠) 𝑑𝑠 𝜋 −𝜋 𝑦(𝑠) = ∑[𝐴_𝑘cos(𝑘𝑠) + 𝐵_𝑘sin(𝑘𝑠)] , 𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 𝐴_𝑘 = 1 2𝜋∫ 𝑦(𝑠) cos(𝑘𝑠) 𝑑𝑠 𝜋 −𝜋 𝐵_𝑘 = _2𝜋1 ∫ 𝑦(𝑠) sin(𝑘𝑠) 𝑑𝑠_−𝜋𝜋 𝑦(𝑠) 𝐷̂_𝑗 𝐷̂ 𝑆̂_𝑗𝐹𝐴𝑆𝑇 =𝐷̂𝑗 𝐷̂ 𝑥_𝑗 𝑦

𝐶_𝑝 𝐶_𝑝𝑘 𝐶_𝑝 = 𝑂𝐺 − 𝑈𝐺 6𝜎 𝐶_𝑝𝑘 = min (𝑂𝐺 − 𝜇 3𝜎 ; 𝜇 − 𝑈𝐺 3𝜎 ) 𝜎 𝜇 𝐶_𝑝 𝐶_𝑝𝑘

α

𝜎_𝑧

𝜕𝑉_𝑀 𝜕𝜑 = 𝑓(𝑇, 𝑉𝑀) 𝑉_𝑀 = ∫ 𝜕𝑉𝑀 𝜕𝜑 ∙ 𝜕𝜑 𝜑 0

𝑝 𝜕𝑉_𝑀 𝜕𝜑 = 𝐵 𝐴 ∙ 𝑒 𝑄 𝑇 ∙ (1 − 𝑉𝑀 𝑉_𝑀 ) 1+𝐵 𝐵 ∙ 𝑉_𝑀 𝑝 ∙ [0.5 ∙ (1 − tanh(𝐶 + 𝐷 ∙ 𝑇)]

𝛿(𝑑, 𝑉̃_𝑀) = 𝑓₂(𝑉̃_𝑀) ∙ 𝑒𝑓1(𝑉̃𝑀)/𝑑 𝑓₁(𝑉̃_𝑀) = 𝑎₁+ 𝑏₁∙ 𝑉̃_𝑀 + 𝑐₁ ∙ 𝑉̃_𝑀 2 _{+ 𝑑} 1∙ 𝑉̃𝑀 3 𝑓₂(𝑉̃_𝑀) = 𝑎₂+ 𝑏₂∙ 𝑉̃_𝑀 + 𝑐₂∙ 𝑉̃_𝑀 2 _{+ 𝑑} 2∙ 𝑉̃𝑀 3 𝑉_𝑀 = 𝛿 ∙ 𝑉̃_𝑀 𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ 𝑑₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑐₂ 𝑑₂

𝑉_{𝑀 𝑟𝑒𝑎𝑙} = 1.7 ∙ 𝑉̃_{𝑀 𝐻ä𝑛𝑠𝑒𝑙}

𝑉_𝑀0 𝜑₀

𝜑₀ 𝜑₀(𝑇) = 𝜑_𝑆 + ∆𝜑 ∙ (𝑇 − 273 10 ) 𝑛 𝑛 = 1 𝜑_𝑆 = 0.012; ∆𝜑 = 0.00437; 𝑛 = 2.266

α 𝑘_𝑓𝑔𝑒𝑠 𝜑 𝑇 𝑉_𝑀 𝑓₁(𝜑) 𝑓₂(𝑇) 𝑓₃(𝑉_𝑀) 𝑘_𝑓𝑔𝑒𝑠 = 𝑓(𝜑, 𝑇, 𝑉_𝑀) 𝑘_𝑓𝑔𝑒𝑠 = 𝑓₁(𝜑) ∙ 𝑓₂(𝑇) + 𝑓₃(𝑉_𝑀)

𝒇_𝟏(𝝋) 𝐵_𝐻𝑆 𝒇_𝟐(𝑻) 𝑘_{𝑓 𝐺ℎ𝑜𝑠ℎ} = 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝜑)𝑛_{− 𝐶} 𝑘_{𝑓 𝐻𝑆} = 𝐵_𝐻𝑆 − (𝐵_𝐻𝑆 − 𝐴_𝐻𝑆) ∙ exp(−𝑚 ∙ 𝜑𝑛₎ 𝑘_{𝑓 𝑉𝑜𝑐𝑒} = 𝜎_𝑠𝑎𝑡 − (𝜎_𝑠𝑎𝑡 − 𝜎_0.2) ∙ 𝑒−𝑚∙𝜑

𝑚 𝑁/𝑚𝑚2 𝑇 𝐾 𝒇_𝟑(𝑽_𝑴) 𝛾 𝛼′ 𝑓₂(𝑇) = [1 − 𝐾 ∙ (𝑇 − 293)] 𝑓₂(𝑇) = [1 − 𝐾 ∙ (𝑇 − 353)] 𝑘_𝑓𝑔𝑒𝑠 = 𝑘_𝑓𝛾 ∙ 𝑉_𝛾 + 𝑘_𝑓𝛼′ ∙ 𝑉_𝑀 𝑘_𝑓𝛼′ = 𝑘_𝑓𝛾+ ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ 𝑘_𝑓𝑔𝑒𝑠 = 𝑘_𝑓𝛾 ∙ (𝑉_{⏟ 𝛾}+ 𝑉_𝑀) = 1 + ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ ∙ 𝑉_𝑀

𝒌_𝒇𝒈𝒆𝒔 𝜑 𝑇 𝑉_𝑀 𝑇_𝑟𝑒𝑓 = 353 𝐾 𝐴_𝐻𝑆 𝐵_𝐻𝑆 𝑚 𝑛 𝐾 ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ 𝜕𝑘𝑓 𝜕𝜑 = 𝑘𝑓 → 𝐴𝐻𝑆, 𝐵𝐻𝑆, 𝑚, 𝑛 𝑇_𝑟𝑒𝑓 = 353 𝐾 → 𝐾, ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ 𝐴_𝐻𝑆 𝐵_𝐻𝑆 𝑚 𝑛 𝐾 ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ 𝑘_𝑓𝑔𝑒𝑠 = [𝐵_𝐻𝑆 − (𝐵_𝐻𝑆 − 𝐴_𝐻𝑆) ∙ 𝑒−𝑚∙𝜑𝑛_{] ∙ [1 − 𝐾 ∙ (𝑇 − 𝑇} 𝑟𝑒𝑓)] + ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ ∙ 𝑉_𝑀

𝐾 ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ 𝑘_𝑓𝑛𝑒𝑢 = 𝑘_𝑓𝑚𝑒𝑠𝑠 ∙ [1 − 𝐾 ∙ (𝑇𝑚𝑒𝑠𝑠 _{− 293)] + ∆𝑘} 𝑓𝛾→𝛼 ′ ∙ (𝑉_𝑀𝑟𝑒𝑓 − 𝑉_𝑀𝑚𝑒𝑠𝑠₎

18s, 0.155 35s, 0.328 43s, 0.449

𝑟_𝑏 𝑟_𝑏 𝑟_𝑏 𝑟_𝑏 𝑟_𝑏 𝑟_𝑏 𝑟_𝑏 𝑀 = 8 𝑀 = 6

𝒓_𝟎 𝒓_𝟒𝟓 𝒓_𝟗𝟎 𝒓_𝒃

𝑘_𝑓 = 𝐴 ∙ 𝜑𝑛 𝑛 𝛽 𝛽 = 𝜑₂₂/𝜑₁₁ = −0.4466 𝛽 = 0 𝜑₁₁𝑓𝑎𝑖𝑙𝑢𝑟𝑒 = 𝑛 𝑛 = 0.406 𝜑₁₁𝑓𝑎𝑖𝑙𝑢𝑟𝑒 = 𝑛 1 + 𝛽

𝛽 𝑀_{𝑐𝑟𝑎𝑐𝑘} = 2 𝜕𝜎₁₁ 𝜕𝜑₁₁[1 + 𝑡 2𝜌+ 𝐸0( 𝑡 𝑡₀) 𝑛 ] +𝜕𝜎11 𝜕𝛽 𝜕𝛽 𝜕𝜑₁₁+ 𝜕𝜎₁₁ 𝜕𝜑̇ 𝜕𝜑̇ 𝜕𝜑₁₁ ≥ 𝜎11

𝑅_𝑝0.2 [𝑀𝑃𝑎] 𝑅_𝑚 [𝑀𝑃𝑎] 𝐴₈₀ [%]

Blech Niederhalter Stempel

3

1

4

2

Ziehkissen y x

12

0

[M

𝜇 𝑝/𝑝_𝑟𝑒𝑓 𝑣_𝑟𝑒𝑙 𝑣_𝑟𝑒𝑓 𝑒 𝑎 𝜇_𝑒𝑓𝑓 = 𝜇 ( 𝑝 𝑝_𝑟𝑒𝑓) 𝑒−1 − 𝑎 ∙ lnmax(𝑣𝑟𝑒𝑙, 𝑣𝑟𝑒𝑓) 𝑣_𝑟𝑒𝑓

𝑆_𝑖 𝐺_𝑖

Typ A Typ B Typ C

𝜇 = 𝑓 ∙ (𝑘₁∙ 𝑣_𝑟𝑒𝑙𝑘3 _{+ 𝑘} 2) ∙ (1 − 𝑎 ∙ 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑘3 ∙ 𝑒 𝑏 𝑇+𝑐) 𝑆₁− 𝐺₁ = 𝐵 + 𝑅 + 𝑁 𝑆₂− 𝐺₂ = 𝐵 + 𝑁 𝑆₃− 𝐺₃ = 𝐵

𝜇 𝑇₁ = 23 °𝐶 𝑣1 = 20 𝑚𝑚/𝑠 𝑝1 = 26.3 𝑀𝑃𝑎 𝑇₂ = 40 °𝐶 𝑣2 = 100 𝑚𝑚/𝑠 𝑝2 = 28.4 𝑀𝑃𝑎 𝑇₃ = 60 °𝐶 𝑣3 = 300 𝑚𝑚/𝑠 𝑝3 = 31.0 𝑀𝑃𝑎 𝜇 = 2 𝜋 ∙ ln ( 𝑆 −1_{2 𝐵} (𝑆 −1_{2 𝐵) − 𝑅})

𝑒 = 1

S01 vorne S02 hinten

S04 links S03 rechts

𝜇 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑓

1.05 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 [mm] AutoForm R7 Coulomb 0.65 0.71 0.60 0.67 0.71 0.80 0.84 0.61 0.95 0.80 0.70 GOM ATOS 0.65 0.71 0.59 0.68 0.73 0.81 0.83 0.60 0.95 0.84 0.71 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.10 [mm]

0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.10 [mm]

Reisser Scherrisse Welligkeiten

OP 20 OP 10 Nebenformänderung [-] Nebenformänderung [-] Haupt for m änder ung [ -] Haupt for m änder ung [ -]

Thinning 0.1 -0.3 Max. Failure 1 0 Plastic Strain 1.2 0

Surface Lows 1 -1 [mm] 0.004 0 Wrinkles

 𝐹_𝐺(𝐴)

 𝐹_𝐺(𝐵)

 

     𝐹_𝐺(𝐴) 𝐹_𝐺(𝐵) 𝑥_{𝑏𝑙𝑎𝑛𝑘} 𝜇 𝑇 𝑟₀, 𝑟₄₅, 𝑟₉₀ 𝑡_{𝑏𝑙𝑎𝑛𝑘}

MaxFailure 0.8 MaxFailure 0.8 PotWrinkles 0.0018 Thinning -0.25 Thinning -0.25 𝑓_{𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡}(… ) = 𝑓_{𝑇ℎ𝑒𝑟𝑚𝑜}(𝐹₁ , 𝐹₂, ∆𝐹, … ) + 𝑓_{𝑖𝑠𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚}(𝑅_𝑝0.2, 𝑅_𝑚) 𝑘 = 1 + 𝑝 + 𝑝 +(𝑝 − 1) ∙ 𝑝 2 = 1 2(𝑝 + 2) ∙ (𝑝 + 1) 𝑘, 𝑝 ∈ ℕ0

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Max. Failure Thinning

Pot. Wrinkles S-01 S-05 S-03 S-02 S-06 S-04

MaxFailure 0.8 MaxFailure 0.8 PotWrinkles 0.0018 Thinning -0.25 Thinning -0.25 Posco Reibung x -Plat ine

𝐹_𝐺(𝐴)

𝐹_𝐺(𝐴)

𝐹𝐺(𝐴) +30 %

𝐶_𝑝𝑘 σ 𝜇 𝑇 𝑟₀, 𝑟₄₅, 𝑟₉₀ 𝑡_{𝑃𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑒} 𝐶_𝑝𝑘

MaxFailure 0.8 MaxFailure 0.8 PotWrinkles 0.0018 Thinning -0.25 Thinning -0.25 𝑟₀ 𝑟45 𝑟₉₀ 𝜎0.2 𝜎_𝑡𝑠 +10% +10% +10% −25 a −50 pa Materialeigenschaften: Reibung [-] x -Plat ine [m m ]

𝜇 = 0 𝜎 = 1 𝜇 = 0 𝜎 = 1 𝜇 = 0 𝜎 = 1 𝜇 = 0 𝜎 = 1

𝑆

₁

𝑆

₂

𝑆

_𝑛

𝑄

_{𝑀𝑒𝑡𝑎−𝑀𝑜𝑑.}

(𝑆

₁

, 𝑆

₂

, … )

𝑄

_{𝑐𝑟𝑖𝑡}

𝑆

₁

𝑆

₂

𝑆

_𝑛

𝑄

_{𝑐𝑟𝑖𝑡} 𝑂𝑏𝑠𝑣 = 1 − 𝑅𝑀𝑆 𝑙𝑒𝑎𝑣𝑒 𝑜𝑛𝑒 𝑜𝑢𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑠𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑄_{𝑐𝑟𝑖𝑡} − 𝑄_{𝑀𝑀 𝑐𝑟𝑜𝑠𝑠 𝑎𝑙} = ∆𝑒 400 200 0 -200 -400 -400 2 00 0 -200 -400 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 x-Achse [mm] y -Ac hs e [mm ] S-01 S-05 S-03 S-02 S-06 S-04

𝑑𝑆 𝑑𝑥_𝑖 2.5 0.5 𝑑𝑆 𝑑𝑥_𝑖 2.5 𝑑𝑆 𝑑𝑥_𝑖 0.5 𝑆 𝑆 𝑆 𝑥_𝑖 𝑥_𝑖 𝑥_𝑖

𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑑𝑆 𝑑𝑥_𝑖 = 2.0 𝜎 𝜎 𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑑𝑆 𝑑𝑥_𝑖 = 0.5

Störgrösse Solleinzug nicht erreichbar

Solleinzug bedingt erreichbar, abhängig von anderen Störgrössen

Solleinzug immer erreichbar

-5 mm 15 mm 900 kN 1700 kN 110 kN 710 kN 50 kN 300 kN Stellgrössen (S01) 0.775 mm 0.825 mm 25ºC 40ºC 0.05 0.09 -10% +10% Störgrössen (S01: 63.6 mm) FG-bis95vorUT FG-ab75vorUT

0.775 mm 0.825 mm 25ºC 40ºC 0.05 0.09 -10% +10% Störgrössen (S01: 83.6 mm) 0.775 mm 0.825 mm 25ºC 40ºC -10% +10% 0.076

S01 S02 S05 S06 S08 S07 S09 S10 S12 S11

Blech Niederhalter Stempel

3

1

4

2

Ziehkissen y x

𝐹_𝐺(𝐴) 𝐹_𝐺(𝐵) 𝑥_{𝑏𝑙𝑎𝑛𝑘} 𝜇 𝑇 𝑟₀, 𝑟₄₅, 𝑟₉₀ 𝑡_{𝑏𝑙𝑎𝑛𝑘}

𝑖 𝑞 𝑛 𝑙_𝑖 𝑤_𝑞 Reisser Scherrisse Welligkeiten 1 2 y x 𝑐_𝑞,𝑖 = 𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑙_𝑖 , 𝑤_𝑞) = 𝑐𝑜𝑟𝑟 ( [ 𝑙_𝑖,1 𝑙_𝑖,2 𝑙_𝑖,𝑛] , [ 𝑤_𝑞,1 𝑤_𝑞,2 𝑤_𝑞,𝑛 ])

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Major Strain Thinning

S-01 S-05 S-03 S-04 S-02 S-06

Thinning 1 -0.25 Thinning 2 -0.25 PotWrinkles 0.005 MajorStrain 0.77 y x Thinning 1 -0.25 Thinning 2 -0.25 PotWrinkles 0.005 MajorStrain 0.77 𝑟0 𝑟₄₅ 𝑟90 𝜎0.2 𝜎𝑡𝑠 +10% +10% +10% −25 a −50 pa Materialeigenschaften:

σ 𝜇 𝑇 𝑟₀, 𝑟₄₅, 𝑟_{90 𝑟0 = 0.861} 𝑟₄₅ = 1.333 𝑟₉₀ = 0.807 𝑡_{𝑃𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑒} Q.-Crit. Cpk PPM

-5 mm 10 mm 60 kN 240 kN 1050 kN 1850 kN 1000 kN 1800 kN Stellgrössen 0.775 mm 0.825 mm 25ºC 40ºC 0.05 0.09 -10% +10% Störgrössen (S06: 62.5 mm)

 



     





𝜑_𝑆 ∆𝜑 𝑛 𝑉_𝑀0 𝐴_𝐻𝑆 𝐵_𝐻𝑆 𝑚 𝑛 𝐾 ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ 𝒓_𝟎 𝒓_𝟒𝟓 𝒓_𝟗𝟎 𝒓_𝒃 𝝈_𝟎 𝝈_𝟒𝟓 𝝈_𝟗𝟎 𝝈_𝒃 𝑴 𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ 𝑑₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑐₂ 𝑑₂

𝜑_𝑆 ∆𝜑 𝑛 𝑉_𝑀0

𝐴_𝐻𝑆 𝐵_𝐻𝑆 𝑚 𝑛 𝐾 ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′

𝒓_𝟎 𝒓_𝟒𝟓 𝒓_𝟗𝟎 𝒓_𝒃

𝜑_𝑆 ∆𝜑 𝑛 𝑉_𝑀0 𝐴_𝐻𝑆 𝐵_𝐻𝑆 𝑚 𝑛 𝐾 ∆𝑘_𝑓𝛾→𝛼′ 𝒓_𝟎 𝒓_𝟒𝟓 𝒓_𝟗𝟎 𝒓_𝒃 𝝈_𝟎 𝝈_𝟒𝟓 𝝈_𝟗𝟎 𝝈_𝒃 𝑴 𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ 𝑑₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑐₂ 𝑑₂

𝑚𝑊 𝑚𝑚2_𝐾

𝑚𝑊 𝑚𝑚2_𝐾

𝑚𝑊 𝑚𝑚2_𝐾

𝑦̂ = 𝛽₀+ ∑ 𝛽_𝑖𝑥_𝑖 𝑘 𝑖=1 + ∑ 𝛽_𝑖𝑖𝑥_𝑖2 𝑘 𝑖=1 + ∑ ∑ 𝛽_𝑖𝑙𝑥_𝑖𝑥_𝑙 𝑘 𝑙=1,𝑖<𝑙 𝑘 𝑖=1

𝑦̂(𝑥₀) = 𝜇 + ∑ 𝑏_𝑖 ∙ 𝑔_0𝑖(‖𝑥₀− 𝑥_𝑖‖) 𝑛𝑟 𝑖=1 𝜇 𝑔_0𝑖(‖𝑥₀− 𝑥_𝑖‖) 𝑥₀ 𝑥_𝑖 𝑏_𝑖

𝑍(𝑥) 𝐺(𝑥) 𝑍(𝑥) 𝜎_𝑧2 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑖, 𝑥_𝑗) 𝑥_{𝑛𝑜𝑟𝑚} =𝑥 − 𝑥̅ 𝑠_𝑥 ; 𝑥̅ = 1 𝑛∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑠_𝑥 = √ 1 𝑛 − 1∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 𝑛 𝑖=1 𝑦(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑍(𝑥)

𝑅(𝜃, 𝑥_𝑖, 𝑥_𝑗) 𝜃 𝑅 𝑹(𝜽, 𝒙_𝒊, 𝒙_𝒋) 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑖, 𝑥_𝑗) = ∏𝑘_𝑙=1𝑚𝑎𝑥{0, 1 − 𝜃_𝑙|𝑥_𝑙,𝑖 − 𝑥_𝑙,𝑗|} 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑖, 𝑥_𝑗) = 𝑒𝑥𝑝[− ∑𝑘 𝜃_𝑙|𝑥_𝑙,𝑖 − 𝑥_𝑙,𝑗| 𝑙=1 ] 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑖, 𝑥_𝑗) = ∏𝑘_𝑙=11 − 1.5𝜉_𝑙 + 0.5𝜉_𝑙3 𝜉_𝑙 = 𝑚𝑖𝑛{1, 𝜃_𝑙|𝑥_𝑙,𝑖 − 𝑥_𝑙,𝑗|} 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑖, 𝑥_𝑗) = ∏𝑘_𝑙=11 − 3𝜉_𝑙 + 2𝜉_𝑙3 𝜉_𝑙 = 𝑚𝑖𝑛{1, 𝜃_𝑙|𝑥_𝑙,𝑖 − 𝑥_𝑙,𝑗|} 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑖, 𝑥_𝑗) = { 1 − 15𝜉_𝑙2+ 30𝜉_𝑙3 𝑓ü𝑟 0 𝜉_𝑙 0.2 𝜃_𝑙|𝑥_𝑙,𝑖 − 𝑥_𝑙,𝑗| 1.25(1 − 𝜉_𝑙)3 _{𝑓ü𝑟 0.2 𝜉} 𝑙 1 0 𝑓ü𝑟 𝜉_𝑙 ≥ 1 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑖, 𝑥_𝑗) = 𝑒𝑥𝑝 [− ∑𝑘_𝑙=1𝜃_𝑙(𝑥_𝑙,𝑖 − 𝑥_𝑙,𝑗)2] 𝑥_𝑛𝑒𝑢 𝑦̂ = 𝑥_𝑛𝑒𝑢𝑇_{𝛽 + 𝑟}𝑇_𝑅−1_{(𝑦 − 𝑋𝛽)} 𝑋 𝑦 𝑟(𝑥_𝑛𝑒𝑢) 𝑅

𝑟(𝑥_𝑛𝑒𝑢) = [ 𝑅(𝜃, 𝑥₁, 𝑥_𝑛𝑒𝑢) 𝑅(𝜃, 𝑥₂, 𝑥_𝑛𝑒𝑢) 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛𝑒𝑢) ] 𝑅 = [ 1 𝑅(𝜃, 𝑥₁, 𝑥₂) … 𝑅(𝜃, 𝑥₁, 𝑥_𝑛) 𝑅(𝜃, 𝑥₂, 𝑥₁) 1 … 𝑅(𝜃, 𝑥₂, 𝑥_𝑛) ⋱ 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑛, 𝑥₁) 𝑅(𝜃, 𝑥_𝑛, 𝑥₂) … 1 ] 𝜃 𝛽 𝜃 𝜎2

   

            

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