1 . Inlei lin»;.
Hoo riusüenuüul y se io LftiigZRjnerh&nd een al belegen dat.n-anuly ti^chc-lt'-'^^^ en gemeengoed i n de i -o.' uia ! -wetenscliapp«! i jke literatuur. i'ir ! igt nat; hoofdüSacMHim l y se evenwel geen theorie over île gegeven:! t.en grondslag, in t.e,.vi.:.t el l ing tot bijvoorbeeld Faktoranalyse wti>u-f e n - zij het zeer gJohule - theorie over de gegevens beotuat. bij hoofdassenaniUyue zoykt. men slechts uuar die l i n e a i r e konbinatie l vun de oorspronkelijke v n r i abelen die, sueoesievelijk en unaflmnke--lijk van elkaar, een . f >'"0t mogelijk gedeelte van de' in dt gogevena a&nwe/.ige totale v a r i m i L J e voor hun rekening nemen.
Een undere, voor de s o c i a l e wetenschappen nilichien ifta gebruike-lijkere formulering van het. hoofdassenprobleem ia de volgende. Stel wij hebben een r.xju mutrix 7. met gegevens, bijvoorbeeld de i . , van r\ proefpersonen op ni variabelen. We zoeken nu een inxp .irthonur-maLe matrix K, de xgn. "'Ifomponent ladingen" en een rixp koefficienten-matrix A, de zgn. "kcjraponenl. scores" valt, zodanig dat 'L *• AF' en dat, A'A een diagonale matrix is waarvan de elementen op de hcxirddiiign-naal van groot naar klein gerangschikt zijn. L)e eerste kolom van F zal dan korresponderen met die lineaire kombinatie van di> koJ ommen vun 'L die het grootste gedeelte van de totale variantie vertegenwoordigt. Veelal is men niet geïnteresseerd in alle hoofdassen (i.e. alle kolom-men van F), maar alleen in die r hoofdassen, die het grootste deel van de variantie van 'L voor hun rekening nemen. Men kan ook slechts de eerste il r i r of vier hoofdassen willen bekijken om een inzicht te krijgen van de belangrijkste Strukturen die in de gegevens te vinden zijn. De rang van F (*r) is in dit soort gevallen dan veel kleiner dan de rung van Z. Een exakte faktorisering van Z in AI1" is in een dergelijke .:.'.' untie doorgaans niet meer mogelijk en men zal genoegen moeten nemen met een beste benaderende faktorisering, hopelijk zonder verlies van enige rele-vante informatie.
Van recentere datum is de poging om technieken te ontwikkelen die inge-wikkelder gegcvmil standen aankunnen. Bij de hierboven geschetste hoofd-as Henanalyse beperkt men zich tot de analyse van gegevens die tweevoudig geklassificeerd zijn, bijvoorbeeld door middel van (proef)peraonen en door variabelen. Verschillende onderzoekers verzamelen evenwel gegevens die drie- of meervoudig geklassificeerd kunnen worden.
HDNJ SUJS
T1 1' 'KAL;; , ' : Ken hoofd»B»en»n»ljr»e voor drieweggegevena.
i'ieter Kroonenberg Pedagogisch Instituut Jan de Leeuw
A M i ' l i n g Datatheorie Kakulteit der Sociale Wetenschappen
Rijksuniversiteit Leiden.
In this paper wc present a principal component analysis for three-mode data. The three-model used - christened the Tucker 2 three-model - is an asymmetric variant of the general Tucker three—mode model, i.e. the principal components of just two of the three modes are present in the model. The Tucker 2 model can be seen as a
'. generalization of the ItfDSCAL.model. The alternating -least .i.'l'iares principle lu u.;eH to estimate the parameters of the model(
;i algorithm is outlined for computing the estimates. Two : ,es from the Dutch political scene of 1968 are uaed to
'rate the functioning of the programme TUCKALG 2 written f-^or i t hm.
iloo t'luSüenu!:uJ y se i.- L&ngZäjnerh&na een al belegen datti-aïuily t.i uehe techniek en gemrrngoeii in de lOCiul-wetenschappelijke literatuur. Kr 1 igt aati hoofdttsaenanalyse evenwel geen theorie over de gegevi-ns l.en grondslag, in (,.•,•<•!.;,i el ling tot l ' t .iv.'.irl-eeJd faktoranalyr.e wu-u-«en - zij het '/.et.'r globale - theorie over de gegevcnu beat,nul,. hi,; hoofdusseniuiH) yi;e /.nekt mi-u slechts niittr die lineaire koitihinu' vun de oorspronkelijke vin-i ul>el en d i e , buceesiuveli jk en uiiuflmnko-lijk van elkaar, <,-en -/.c- groot mogeuiiuflmnko-lijk gedeelte van de in rtf tfe aanwezige totale var i u n t i e voor hun rekening nemen.
Een andere, voor d* e wetenschappen m i a s e h i e n it'trt ^fbi'iuke-lijkere formulering van het hoofdaasenprotileem ia de vnlgende. Stel wij hebben een nxin matrix Z met gegevens, bijvoorbeeld d>.' BCorei van n proefpersonen op m variabelen. We zoeken nu een raxp orthonor-male matrix K, de zgn. "Component ladingen" en een nxp 1-oet'I'i.eit'i ' matrix A, de zgn. "Kumponerit scores" valt, zodanig dat / * AK' en dat, A'A een diagonale matrix ia waarvan de elementen op de hool'ddi naai van groot naar k J e i n gerangschikt zijn. Ue eerste kolom van F zal dan korresponderen met die lineaire kombinatie van do koJomraen vun ü die het grootste gedeelte van de totale variantie vertegenwoordigt. Veelal is men niet geinteresseerd in alle hoofdassen (i.e. aL.le kulotn-men van F), maar alleen in die r hoofdassen, die het grootste deel van de variantie van Z voor hun rekening nemen. Men kan ook slechts dt eorste drie of vier hoofdassen willen bekijken om ctn inzicht te krijgen van de belangrijkste Strukturen die in de gegevens te vinden zijn. Ue rang van ¥ (=r) is in dit soort gevallen dan veel kleiner dai; d« ra.ng van ?.. Eeti exakte faktorisering van 'L in AP' is in een dergelijke s i t u a t i e doorgaans niet meer mogelijk en men zal genoegen moeten nomen met een beste benaderende faktorisering, hopelijk zonder verlies van enige rele-vante informatie.
Van recentere datum is de poging om technieken te ontwikkelen die inge-wikkelder gegevensbestanden aankunnen. Bij de hierboven geschetste hoofd-nsyenanalyse beperkt men zich tot de analyse van gegevens die tweevoudig geklassificeerd zijn, bijvoorbeeld door middel van (proef)personen en door variabelen. Verschillende onderzoeker» verzamelen evenwel gegevens die drie- of meervoudig geklasaificeerd kunnen worden.
Hieronder volgen enkele voorbeelden van zulke gegevens:
- Een klassiek voorbeeld van drievoudig geklassificeerde gegeven;; is te vinden bij het onderzoek van Osgood, Guci en Tannenbaum (I9r;7), waarbij zij hun semantische differentiaal ontwikkelden.
In hun geval werden de oordelen verkregen van een aantal i n d i v i d u e n over de betekenis van bepaalde koncepten, met b e h u l p van bipolaire schalen.
- Endier, Hunt en Rosenstein (196;?) verzamelden de gegevens voor hun onderzoek door een "Stimulus-Response inventarisatie van anticipa-• angst" af te nemen bij 1f>9 studenten. De inventarisatie bestond hieruit dat de ondervraagde moest schatten hoe intens; hij zou reage-ren in elf verschillende (penibele) situaties wat betreage-ren "Ik vn.n de
•'.Len mogelijke antwoordkatagoriën. De situa1 rbeeld (.'-iat voor het eerst met een meisje uit". "Je gaal naar '-''n solli-citatiegesprek voor een belangrijke baan", etc.; de antwoorden waren !• !.l voorbeeld: "hart slaat sneller", "zweten", "verheug me op de uit-daging", etc.
••r, en Young ('972) verzamelden gegevens over de sociale struktuur van een kleine, gessloten en natuurlijk gevormde groep (staf en
stu-.ten van een psychologisch instituut).
•:', studenten en ander personeel van het instituut gaven hun
oor-r>-f".r de gelijkenis tussen de leden van de wetenschappelijke staf
eri enkele doktoraal studenten, waarbij de gelijkenis v.'in "Ik mogelijk werd aangegeven op een zevenpuntschaal. Dit soort gegevens worden '.ypisch geanalyseerd met meerdimensionale schaalmodellen, of modellen voor individuele verschillen (e.g. TNDSCAL, Carrol & ChonK, l''ÏO). - Van de Geer (1974) geeft een voorbeeld van tijdreeks gegevens,
waar-r-"l«.t. Lef •!'•"} variabelen en weinig meetpunten in tijd voorkomen. ••'. zgn. ziekenhuisprojekt zijn gegevens b e s c h i k b a a r over 188 1 •"•rih'J i 7.en t.a.v. ?T variabelen, gemeten op 11 opeenvoJ i-V" i > ' .jaren.
' l" i - ;venstaande gevallen ir; er nprake var. < l r i " W T , fy^ven w n a r b i j -en weg </ed e[' i n i eerd in a l s een Lndexverzameling waardoor de ^«.^r-vorr: geklussi riceerd kunnen wrden. In bovenstanndo v i m r - l i e ' ' l den / 1 . r !•• •!r i<-'w«'^ori pespekticvo] ijk
- i n d i v i d u e n , kntir)"p*.en, schalen
- beuurde l u: 11'. , .• ' Lmulus/personen, ( . - 1 Luuü UB /personen - '.', \ t-kcriin. i ..-'il, /ariubeleni tijdstippen•
Ho t'c r'L* or<K' K l t i-.-. i t' i c--i!, i ca kunnen natuur l i j k ook vu, - r k > HUM.. ' • •'.. i. r b i,i \ ' ' . • . als non het Osgood e t*, exper inuiit 7.0u her hul t'ii bij v e r o c h i 11 M i . l i - k u l ! urci:. In d j t a r t i k e l ;-.ul l « - n w«. echt ui* u l l t - i - n niet drieweggegevena vi\ de hoordkasenanalyi • • ei'/a houd t? 11. Duur b i j nu l t « -n wc viias uu k n i el v i - r ^ u r i nguiui ^\> tuiclei'i
t e c h n i e k e n z c u i s cie t-.trukturele kovariantie»nialyBe van Jörei * '. • O» Werts t J ore uk D,'. '< I i n n i 1 '>'(V ) ; het individu«!« v t - r u . - l . i 11 t-n i u . , . i c ; vaii
v.ior de hüol'ciu.jse: van ii r i eweggegevens werd gelegd loor Pucker (1903, 1'>'<'', Ï'J>>1', }'ff,'). 't'uc:ker echter koncentreerde u i c h voornamelijk up he!, fakt.orana.1 y se model, terwijl wij hier onü u i t , s l u i t e n d bezig zullen houden met de hoofdassenanalyae model en
-.:•;£ inet een vereenvoudigde versie daarvan.
'>a. i e en t>-r:ninol-Ogie
We zullen de k lusse van alle reële n bij in matrices aanduiden met rt . Verder duiden we de klasse van alle reële n bij m matrices, : van de kolommen orthonormaal zijn, aan met K , waarbij de
raak geldt dat n^ m.
fer d er definiëren w n drievegnatrix 2 als de kollektie eleineni.ei
i = 1...1; j = 1,..., m; k = 1,...,n J. In de wiskundige
literatuur noemt men 'L tensor. Deze elementen kunnen in een blok geplaats worden met de index i
langs de vertikale as, de index j langs de 'jntale as en de index h langs
dl 'diepte' as.
irieweg matrix kan ook opgevat worden als een kollektie 'normale' (•"tweeweg) matrices. Dit kan op drie
, waarvan de nu eerst ge-r in het vege-rvolg vege-rge-reweg
te voor zal l:'.men. 1...J...m
•-]_ D r i r w c ' i / n i ï i l . r ix Z
(U£.b:2
bri'; v e r n i h i i .i ernle mitr.ieren om de driewegraatrix Z te zien al . KO L lekt, ie t.weewegraatricea .
a. de verzaJiiel i n g v. lOrvJ u k k e n : il = ( 14. J . "ie i ' i ^ u n r ;_'-;> A b. de v t r z u m e l ii.g b o v n v l u k k e n : Z •{ Z . l , , , z i e i ' i g u u i . ' -i l 1 1 • • • » • c. de v e r z t u n e l i i i g z i j v J u k k e n : Z •{ /.. } .... zie f i g u u r . Tenslotte d u i d t I i l i > n l u j n e e n h e i d a m u l r i x n u n . 3. H e t , TUCKKK m u d e l H e t algemene d r i e w e g h u o f d a n u l y s e r n o . I e l van T u c k < T i : ; n i s v ^ lt/ l ljl "-del'inieerd :
/.ij 'L * { z . . | een driewegmatr i x , dun kun deze .' gel'ak Uoriiseerd
ijk
worden als:
( 3 . 1 . )
Zi j k = a SioVk/aey i = 1 ' • J = ' "
k=1 n
met s,t en u het aantal komponont.fn v:m resp. > l c 'vr:;tc, n flerde wc/'
be koefficienten &. .h; p > L'k z iJn elementen vun de mul,riuu:i G, l i , •.
De koen'ioieriten beschrijven de scores van de oorspronkelijke variabelen op de Komponenten. De koefficienten c oijn de elementen van de driewegmatrix C, de zgn. kernmatrix. In de originele matrix Z representeerde ieder element v t i matrix een specifieke kombinatie van kategorien vari de oor-spronkelijke variabelen. Op dezelfde manier stelt i e
element in de kernmatrix een unieke kombinatie van kut,, van de komponenten voor. Men kan zich voorstellen dat de kern matrix de basis relaties beschrijft die bestaan tussen de verschillende verzamelingen variabelen.
'i, HoQfdasEenana,lyse volgens Tucker.
De oplossing die Tucker voorgesteld heeft is in wezen erg simpel en recht toe recht aan. Kort samengevat komt deze op het volgende neer:
Voor elk van de wegen apart worden de hoofdassen berekend. Hiertoe vormt men eerst de gesommeerde kruisprodutten voor elk van de wegen:
k=1 m ; weg 2 : j Z.Z! , Z. , K'"X" ;
i-1 i i ' i '
weg j: Z.Z!, Z.( K •' -l 11*1ra.b.v. elk van deze gesommeerde kruisproduktenmatrices worden dan de "issen berekend voor elk van de wegen. Ueze procedure is identiek aan de procedure waarbij men eerst een nieuwe matrix, £, konstrueert op de i n f i g u u r h-1 aangegeven wijze en dan voor 7,7,' de hoofdassen be-rekent.
De hoofdassen worden berekend met behulp van de eigenwaarden - eigen-vektoren dekompositie net zoals bij een gewone hoofdassenanalyse. (Voor verdere details zie met name: 'Pucker, 1966)
De door Tucker voorgestelde procedure kent twee nadelen en/of komplika-ties :
:igezien zeer vaak een van de wegen uit individuen bestaat en dit er nogal veel kunnen zijn in een enigszins goed opgezet
oiuK-r-'. oplossen van het eigen probleem wel eens een dure zaak worden. T'ioker zag dit probleem in en bedacht dan ook een iets ge-wijzigde procedure die echter een aantal nadelen heeft, nauw samen-hangend met het volgende.
U. /olang alle eigenvektoren gewenst zijn - wat in de praktijk nooit '1.1 is - valt er niet veel aan te merken op de gevolgde pro-. • pro-. Wanneer men echter slechts een,twee,drie of vier eigenvectoren [••r w.; w i ! h<-i'ti'>n, dan komt men snel in moeilijkheden. Het weg-Luti.-n van k l e i n e eigenwaarden en bijbehorende faktoren geschiedt
/ i , if'hii.'ikH ijk van ejkaar bij elk van de wegen.
'• w.-yen zelf zijn evenwel niet onafhankelijk en er i.3 geen garantie tat !'• t/evonden oplossing de optimale is (Tucker, 1966, p.296). l ' i t K" l d l, in L'i'n nog sterkere mate voor de hierboven genoemde ge-w l j/ i^ U- rn"thod'.'.
Uv tfev'.ii'Ien hoofdassen zijn dan ook geen kleinste kwadraten schat-leri voor 'l»; model parameters.
Tucker merkt ten uni..lien van deze j.rot \ ematiek up dut een kl. kwadraten oplosaing van het schattingsprobleem een (ekonpliccerde <>!"•••:.volging van 1 enti.irr i ngen noodzakelijk maakt.
Konstruktie van Z
Juist de klein:;t. r kw.'nloii en oplossing vim het drievegproldet.'m is nel doel van ons projekt. Op dit moment hebben WH een ( nog n i ' ' ej baar) computer programma ontwikkeld voor een gedee] tel i; •- , i ug van het dr iewegprobleem.
Het gedeeltelijke zit hem in het feit dat slechts voor twee ifan i drie wegen de hoofdassen worden berekend. Afgezien vin, het feit 'int ie konstruktie van dit komputerprogramma een aardi^i' v i n « i - i - i n - r e i i i UK, is voor de algehele oplossing van het dr iewegmodel , heeft hel,
vereen-voudigde model ook toepassingen als kontrole op het nitnii l [ - i j »."'n
imn-tal meerdimensioriele schaalmodellen, zoals PAHAFAC , ]HI)i'.i;A[, .:n ILii'i-SCAL. Ken diskussie over de relatie tussen het algemene' Tukker dl wegmodel (m. n. de meerdimensionele schaal versie ervan) en de an I genoemde modellen is te vinden in Carroll en Wish (19Y'i) en Tukune, Young en De Leeuw
(1977)-'). Het Tucker :-' mode] .
In plaats van het alyemene Tucker model direkt aan te pakken hebben wu eerst de vereenvoudiging doorgevoerd, dat E gelijk gekozen wurdt uu:, de eenheidsmatrix, m.a.w. we hoeven slechts voor twee van driewegen de hoofdassen te berekenen.
Zonder verlies aan algemeenheid zullen wij hiervoor altijd de eerste en de tweede weg kiezen.
Onafhankelijk van elkaar hebben eerder leraelssont 19t>9), Jennrich (19Ï2) en Carroll en Chang(l970) dit model voorgesteld.
Het. vereenvoudigde - door ons Tucker 2 gedoopte - model is dus als voUjt g.T''fmu l >'erd :
.'. = {;•,. . \ een drieweg matrix, dan kan deze Z gefaktoriüerrd worden M
'i.k -j, j,^V^
i
'
1
--I --I . matrix notatie wordt dit:
(5.1.)
*' W k=,,...,n' \£ K^ en ZK = GCkU-, waarbij
g. ,h.„ en c „ de elementen z i j n van respectieveli ik G.II.C, .
Bicx' jfci agk k
lie C kunnen verzameld worden in de kernmatrix C= C
Inste kwadraten hoofdassenanalyse voor het 'l'uckt^r 2 model. " • behulp van een kleinste kwadraten procedures zoeken we du;; de grootste 8 '-n t hoofdassen voor het Tucker 2 model, waarbij aange-nomen mug worden dat s en t klein zijn vergeleken met de rijen-,
.> l ijk kolommen rang van de Z 's. Meestal zullen s en t , i i,l' 'i zijn. L)e nette formulering van het kleinste kwadraten pro
. volgt:
.Ixm en laat s en t zodanige ge-'V k=l,...,nm e t Zkt K
ballen zijn d a t 1 < s < 1 e n l i t ^ m .
benadering voor het Tucker y model is dan de oplossing :•• minimalisering van: l.ll.C) - l T r ( ZR - G CkH ) ' ( over a l l e GtKU B , HcK""1 en C - G CRH ' ra»t C . t H K sxt.
ir rr "UIL-M '.•(>; '-n I)e I,eeuw (1977) hebben wij het volgende aangaande • l i t . niniiMliiatieproblera bewezen:
R. Er beütaat a l t i j d een • | : . < : < s i i ! g vun net BtinUWtlisatic m.a.w. er best.nut a l t i j d een beute benadering voor i.'» van de vorm Z = l/.,} niet ", * GO, H'.
1 k k = 1 , i k k
De grote lijnen van hel buvija zijn a l b v o l g t :
i . voor v a s t e G en H wordt ( o. l ) gem i n inul iseerd do. r . C C = G1'/ H te kiezen en de minimal isut i <• ovttr C
K k k
afhankel ijk van de m i n i m a l iüat.ie over G en 11, ii. dus kan (o.l) herschreven worden als:
n 0(0,H) = l Tr(Z - GG'^HH' ) ' (.'R - UU'V^HII') en verder alj: n ö(G,Il) = y Tr 'L'ï, - p(G,H), met . . K K
l
n p ( G , H ) = l T r G ' Z H U ' 2 ü k = 1111.dus IL; l i e t minimalisâtieprobleejn vari o equivalent met het maximal i:,at ieprobleem van p.
iv. p is g e d e f i n i e e r d op de k o m p a k t e deelverzaaeling
\ / r, ,, \ l ir-1^^ ,,ITUC1> . . l L J l n t l L) = { ( G , H ) | G e K en H t K u i t de H
v. p is een k o n t i n u e begrensde i'unktie op Ei en d u u heel'1 j een supremum in S en neemt dit aan.
n n
b. Zij P ( G ) = Y Z' C Ï Ü ' Z en Q ( H ) = V '/ H H ' Z ' . . .
k=1 k=1
p neemt zijn maximum aan voor (G,H) dan en slechts dan ui s G (H) een orthonormale rotatie is van de eigenvektorenmatrix behon-i. !•• bij de s (t) grootste eigenwaarden van Q(H) (P(G)).
c. Onder bepaalde voorwaarden kan er een exakte oplossing gevon.i worden, maar omdat in dat geval de oplossing van volledige rang is, is deae in vrijwel alle praktische gevallen niet erg interessant.
7. 'J L' alternerend kleinste kwadraten benadering.
Hel i. a d u i d e l i j k dut. wi- een zodanig algoritme voor de maximal laut i e van p zouden w i l UMI konstrueren dat het konvergeert naar het g l o i mit.< i mum van p. Ongelukkig genoeg is p een kruisprodukt term vuri cm
ultivariaat popynoom. Voor dit soort niet-lineaire pro-n is het, ipro-n het, algemeepro-n pro-niet mogelijk om algoritmepro-n te kopro-n- kon-leren, waarvan te bewijzen valt dat ze nuar een globaal maximum konvergeren.
lier l i t . het geval. Wanneer er dan ook van konvergent it; sprake : m bedoelen we dat het algoritme naar een van de stationaire
n van p konvurgeert, dat geen minimum is.
Kthode die wij gebruikt hebben om de beste benadering te vinden van het Tucker 2 model, maakt gebruik van een zogenaamde alternerende kleinste kwadraten (ALS - Alternating Least Squares) methode. De meest karakteristieke eigenschap van ALS methoden is dat optimaliserings-problemen waarbij meer dan êtn verzameling parameters bij betrokken
is, opgelost worden door iedere verzameling op zijn beurt te schatten met konstant houden van de andere verzameling(en).
it elke verzameling eenmaal geschat is wordt de procedure steeds nerhaald tot dat een stationair punt van de te maximaliseren
•-.•reikt is. Deze techniek is natuurlijk al veel langer bekend, .. . bij het van parameters in regressievergelijkingen, waarin de sturingstermen met zichzelf gekorreleerd zijn (cf.Cochrane
!Ut1 , l ''r>). Verdere details en toepassingen in multivariate analyse . nadering kunnen, bijvoorbeeld, gevonden worden i t i Young, De Leeuw en Takane (1977) en een voorbeeld werd in een
nummer van MlJll gegeven door De Leeuw en Van Rijckevorsel (1977). f i t> het J . u U i g e probleem inderdaad sprake van een kleinste • -iten pr'it.lr-ciii volgt, uit de formuleringen (6.2) en (6.3) van het ."., n i m - i l iiiutic prut;l een.
' : ' l ' i i d f l ijk dat de verzamelingen parameters hier G en H zijn en u i i" minimalisâtia van a , en dus de maximalisatie van p, over O • i . l •; vast n<;t. une kleinste kwadratenprobleem is en dat de minimali-.,V, i'• vu, o , -TI du a de maximalisatie van p, over H met G vast het
Hoe het maximal i sat ieprubleew vun p opge l »;;1 moei warden j :, t. u nok duidelijk. K i e s eerst een willekeurige (o l' een sijruue) II , m a x i m a -liseer p over G met. de.r.e vaste M , maximali seer varvolgena net. je
gevonden (i vast over H, etc. Uit het bewijs vun punt o.k. vol,;' 'in' de ojil.os:; i ngen van de maximalisatie:; n i e t s ander;; i i. in dun d, V i k t o r e n matrices P en Q. Her stap zoeken we n a t u u r l i j k die ei(<<n-vektoren d i e behoren hij Je grootate H en t e i g r h v i i : i r d i ' i i vun j en l'. 'uidat. we muur een paar eigenvektoren m « l i g h e b b e n , w i l l e n we , gebruik muken van een techniek die e f f i c i e n t i ü in het /iiulen \ u i , enkele vun een mogelijk groot aantul eigenvektoren,
Iri onze situatie hebben we gebruik gemaakt van de • ijaul LHiie Ltur-utiemethode van Bauer-Hutisliuuser (Hutishaus«r,
IvO'O-De maximalisatie vun p bestuat dus u i l een in p r i n c i p e on, n : iterutief procej, wuarin bij iedere itup t. wee
einenwuardc-i,-.-Vektoren problemen moeten worden op^eloat. Hik vnn deze e]i;eiiwuurden eigenvektoren problemen wordt aungepukt met een in p r i n c i p e < > n e i n d i g iteratieve methode. Deze geneste itérât ieproeedures dn -i|V n , u l :s We ze zonder meer zouden toepassen, zeer lange rekentijden te vereen. Om dit probleem te omzeilen voeren we slechts één enk e. l e :-Lap uit
Ie berekening van de eigenwaarden-e j genvektoren prold i-im-n , in plaats van de gehele iteratie. Een soortgelijke aanpak i., rf''lnnkl, door De Leeuw c. s. bij hun toepassingen van de ALL; ti'chi;
ervaringen hiermee waren dat het uitvoeren van de K om de eigenvektoren te vinden uitsluitend de a l g e h e l e el':
verlaagde, muar geen effekt had op het u i t e i n d e l i j k e konvi rgenl Le-punt (cl', ïuung, De Leeuw en Takane, 19TT).
8. Het TllCKAU; ? algoritme
Veronderstel weei- dat 'L - \'L\ een gegeven d a t a m a t r i x i ü , . k k—l,..*,n
en laten Gciv31 en He 1C* iteratiematrices zijn. Als we C, en H v.uals
ze zijn na i iterutieatappen van het algoritme aanduiden met dan wordt een iteratie stap van het TUCKALS 2 algoritme gedel'ini-als: G subatup «i * j, ZkHiHiZk J. O. -L
V k/** i/
1
(8.1)
(8.2)
k=1
11. , = P.H. (H!P?H. )~S i+l i i i i i
(8.3)
(8. U)
De regels (H.:1) i/n (8.U) zijn in feite verkorte schrijfwijzen voor •:ikele sta]) van de Bauer-Rut i »hauser methode, (zie Kroonenberg en bc I.eruw, l'/TÏ, ji. '(-3). De inverse wortel in (8.2) en (8.U) wordt berekend via een Jacobi eigenroutine. Zeer kleine eigenwaarden en singularitéitun vormen een potentieel gevaar voor het algoritme. Kr zijn dan ook in het programma een aantal kontroles ingebouwd om ze te signaleren en maatregelen om ze in bepaalde gevallen op te vangen.
In Kroonenberg en De Leeuw(l97T) hebben wij ten aanzien van het TUCKALS 2 algoritme bewezen dat :
a. alle limietpunten van de rij {(G.,H.)} .
l l l — O g l ) £ I j . . .
ionaire punten zijn van p;
h. l i j iedere stap en zeli's iedere subatap van het algoritme de waarde van p toeneemt en dat uit-sluitend in een limietpunt p(G.,H.) »p(G. .,H. .) ;
c. de rij |(G.,H.)f konvergente deelrijen heeft, het-geen impliceert dat de rij of konvergeert of een kontinuum van limietpunten heeft.
d. || (G.,\l.) - (Gi+ ,Hi+ )|| " O indien tijdens het iteratieproces in de stappen (8.2) en (8.'t) geen :jingulariteiteri zijn opgetreden.
Voor tw;e voortxv.'lden ter illuutratie van het algoritme gebruiken w« or;i.«<- vnrivu'JiT'J« politieke gegevens uit 1968. Er-wordt slechts
liet program.«!« r u l l e n worden u i t . g e u u - i t . WauriiChijnlijk Kullen we . > p een lul.i v t i j d s * i j py.eii e< n exenplfcrittchft u i m l y s e van etn r e c e n t e r e d i t t a sel te g e v e n .
K e n m e r k e n , p a r t i j e n '-n j-sy--1 i i ' O ogen ( l ' e l e e u w d a t a ) .
In 1'A>8 J egje De I.ueuw M ' i ' M ) een v r « ^ , i i, ! i j 1,1 v ^ > r c.:iii . - 1 1 ' led on van de stut' en de . l o k t ..'run l :•! u d e i i t . e i i '•">'!' v a n het l'ayotiolugiai h I n s t i t u u t v a n d e L e i d s e U n i v e r s i t e i t om n u t e |.',imn w . ! ! ( > • u n i : yeaasocieerd z o n d e n a i j n m e t w e l k e p o l i t i e k e p u r t i j e n . M i e i ^ . l i j k e k o m b i n u t i e s vun t w a a l f p a r t i j r i i l'" - ' - ' ' v i M i l i en keniiierKi.'n wordan voorgelegd a a n d e p r u ' ' i i , d i e m o e i t e n u a n ^ . i ' V e r : . 1 eun i-.en-r n e i-.en-r k a l d a n n u / t t u , i i-.en-r e n p . - i i-.en-r t i j i i e l i . i . i i-.en-r d f . hè g e g e v e n : ; böbtoiiden dus uit ell' 1 ,Jx l T n i a t r i c - e s met enen en n u l l e n . De/.e gt-geven:. w r - c l c u dubbel g e r e n t r e e r d en v e r v o l g e n s ge • rd wet liet T I I C K A 1 , , programma. De lioofdassen van de part i j e r i - r u i i n t e en die v u n de ken-merkenruimte z i j n aangegeven tn tabel 9 - 1 en z i j n afgebeeld in de
Hoofdassen van de k e n m e r k e n - en van de p a r t i ^ e n r u i m t e (De Leeuw d a t a ) partij
'66
PPH
PvdAPSP
>:;'N AKP VVD KVP BP GPV 'MViht
komponenten(x10 f') 1 2 50 -17 liO 10 - 5 1 5 3T - 3 51* - 'i -33 - 5 "*- 7 -)i 8
-H) 8-28 -38
-1*1 il,
-t»2 i l , 30 15 3 19 2 -33-30
3-36
19
26
69
-,"1
- 7 '
-1 1
6
kenmerk homogeen duidelijk konaistent negatief dogmatisch \ inks ko n s er Va t ie f up*-to-date progressief opportunist i se h belangrijk sympathiek k o n s t r u k t i e f intelligent verantwoorde-l i j k tolerant d emokrat i se h komponmit<.'ij{x1U ) 1Ho
31»
32 30 239
8
-02
-06
-08
-08
-16-22
-22 -25 -35-36
32
C.9
2 -13 li-1(6
19
-).i
IM
23
1027
17
i
1 1
-32
-28
-10 133
- l
-18
-27
1»2
-17
-29
1»1
l
-1859
08
-Ut
-08
-01-1 1
II
-1 1
6
r
I-N*
üüp* »OP V BI'* 1 VVD* AKP* *CHU KV P* • 1 .'A' « I ' I ' H 1 *PvdA 2 Hl'* KV l1* 'l N*:VD
•Gl'V AH l'* • l ' v . ! A Fig. 9 - 2 P o l i t i e k e 1 ' a r L i j e n r u i m t e ( D e I , e < : u v . i n t . H ) 2 up-to-date belangrijk progre.ti.fj l i i | k ; ; syiriDathiek • »opportunistisch intelligent »Immogeen , heaatief» »duidelijk konstruktief l»demokrat i ach »konsistent l »tolerant verantwoordelijk. »konaervatief •dogmatisch r L u n i I t i i c h •
111 r
l t o l e r a n t n y r i j k • u < , - ! ( intelligent •konatruli demokratisch» «verantwoordelijk » d u i d e sympatliiek » » »di H^nitisi::«, i
't~f links * k o n s i s t e i
• 3
16,
.'ils we in het achterhoofd houden dat het komponentgewicht van de derde • • i r i ü i f n l ijk k l e i n e r is dan die van de andere twee assen, dan kunnen we in figuur '.<-. drie groepen partijen onderscheiden:
-- chrirten-demokraten KVr, AHI', cHU — gematigd link:; 1'vdA, 1'1'K, D ' 66 — echt l i i,K.: CPN, l'Si'
Alhoewel de derde as geen hoog gewicht heeft, lijkt het alsof hij ' om het verschil aan te geven tussen de Boerenpartij en dr' rel l . Figuur 9 - 3 vertoont veel minder struktuur dan figuur 9.2, a.l is er een
re neiging voor gelijke kenmerken om samen te gaan. Dit is nauwe-lijki; verrassend als men bedenkt dat de proefpersonen de opdracht kregen om kenmerken aan partijen toe te kennen en niet om kenmerken te schalen. De betekenis van de kenmerkenruimte komt pas goed naar voren in relatie met de partijenruimte. In het TUCKALS 2 programma is een routine opgenomen die de hoofdassen van de eerste en tweede weg op elkaar past. Het resultaat van deze procedure voor dit
voor-: staat in t'i|;uur '.*•'*. Gezien de kombinaties van kenmerken en ijen is het duidelijk dat de psychologen een duidelijke voorkeur
11 voor de gematigd linkse partijen. Het is ook aardig om te zien ie CPN en de GOP/OPV gezien werden als even homogeen, helder en konsistent, terwijl ze op vele politieke strijdpunten mijlen van el-kaar al' :. '
eerder opgemerkt geeft elk van de voorvlakken van de kernmatrix nun hoe voor iedere psycholoog de komponenten van de kenmerken- en de
1 Lake partijenruii -Lkaar Jaden. Aangezien de voorvlakken iw data niet veel verschillen te zien geven - m.a.w. i l ! ' psychologen hadden min of meer gelijke visies • ; Ie Nederlandse par-tijen - laten we hier alleen het gemiddelde
voor-'. van de kernmatrix zien (tabel 9-5A).
v ' l N k o i i s i u l e n t • f d i u d u l i j k « hcinogt'cn * • dogiiiut. i tic h 11 ' fV-i t i e l' « i ' l l t l k o n a e r v t t t i e l ' • piv.gri'. s y m p a t h i e k * • ! v , l \ • Lclin-t: i i L '
k .i..,! i-ukt. lot' 0 i u i . * - ! ! ( l ' M I l l W n o l ' l l l . ' l I j l ' . deinokrul AM • t o l e r a n t .
portuniitiech
KVP « ' 2 3 * BI' negatief opp VVD . » homogeen • (,'l'N* KVP d u i 11 « • l i j k »konservatiet' *:;i v •SOP konsistent »CliU »dogmatisch i'tuni at i se h • U p - t u - . • belangrijk « l'PK •progr <-•:-, •intelligent links sympathiek »konstrukt. i v f »demokratisch •tolerant «1'vdA "verantwoordelijk *ARP'"-"'" 'lt''e>1-l! vourvlak vun Je kerinnatrix van de De Leeuw dutu (xlO'1) K.BNMKKICEN
1 1
R '1' j ü 1 53 3> 3 13 rotat. i e 3 't U15
ï 28
na 1-75
2 _ 2 rotatie 2 3 — 3 2 14 5 1 3 27 ( A ) ( B )t«n erg overzichtelijk beeld van de onderlinge relatie krijg' hier niet van. Aanzienlijke verheldering krijgen we door de kern
1 raiu; former en dat hij optimaal (in de kleinste kwa-..Ln) 'diagonaal' wordt (zie fig. 9-6). Met de gevonden
eten natuurlijk ook de komponentenmatricea bijge-: worden. Dezo procedure veranderde (in dit geval) de
kompo-n i e t ,:<•:':•'A \ ijk.
'. .h Inat, eeri ^eer eenvoudige interpretatie toe vit: jenten van beide wegen. De i-de kompo-1 = kompo-1 , <V, 3) v •tijen laadt vrijwel uitsluitend op
v i n de kenmerken eri omgekeerd, m.a.w. de pur-' i j vit lie hooi op de i- île komponent van de partijenruimte
ren bij ' J '1 \'.''i\t<i':r\'.<'ii d i e hoog ladon op de i-de komponent van erkenruimte. Het minteken van het (1 ,1 )-element duidt er ; - ' nentassen geapiegeld zijn, zoals ook blijkt u i ' - v- rgi; !. i j k i u% van de figuren 9-2 en 9,3 met 9,^,
partijen (V. d. Kamp data)
^ . r - i r l »i ' gebruikte V. d. Kamp de methode van successieve inter-, ' i i ' e i inter-, yoot ttinulucpurcn om gelijkeniaoordelen te verkrijgen van •!•.'. Lel&ngri jkote politiske partijen.
Een c''oep van H«) puychologie s t u d e n t e n werd g e l T i u k l u i ü ! > e o u r . l i -laar.i. De g e g e v u n j z i j n dus »ynetriache Vxl.' m a t r i m ; . l i i r.iji t y p i ü o h het soort ( ; ft' o v e i i b d i e m e n z o u a n a l y s e r e n met. i n r u r d I I I . I M I
-1 o sohaalprognumnM ' ; .
lie gegeven;; w i ' r d f i . een ' l u h b e i g e c e n t r e e r d i"i v o r v , it; > ' i . . I : H - I In •
TUCKAI.. ' .' jijMgrinranu ^.<-iinu ! y:ii;>:ni . I v rr LUI l L u t . i - n v u l : i l i - unaJyee at uu l getabult-ord in taliel l).l i'n aJ'gebc-c Kl in di- l'igurcii ').(* en ' ' . ' ) .
Zoal:; le v e r w u c h t u n m e t , uym m e t r i a o l i e invoargcgcvena pareil > ; . M I I i d e n t i e k , ^odat w e u n s i n d o d i ü k u s s i e k u n n e n b t , ' p c r K f n t . i ' t i - ^ - n v u n de tv.-t; we^en. O e i i j k e n i : ; t.ua.;un g o l i L i t k e p a r t i j e n ( V .,1 . h i u n j i data) partij KV? t'vdA VVi) ARP C HU CPN PSP H! I) ' 66 Gewicht Ko.pon.nten (xlcT2)
15
30 219
i,
-20
7
-86
27
)9
33 -16-16
5ü
l . i ,-21
-.'.ü
'*
15
- i 27 -5'' 2 -121.9
65
-l J -1*0 12Het meest opvallende resultaat is dat de psychologie studrnten de Boerenpartij, zó anders vonden dan enig andere p a r t i j dal lit ef-fekt alle verschillen tussen de andere partijen o n d e r l i n g geheul overschaduwde. Een gedeeltelijke analyse van t i e t z e l f d e materiaal door De Leeuw ( 1 9 7 3 ) had dit al eerder aangetoond. Voor de
re-l a re-l . i i . ' a tussen de andere partijen k u n n e n we het beste naar f i g u u r 9.9 k i j k e n , waar de waarden op de tweede en derde as tegen el-kaar z i j n uitgezet.
.hl. *CliU \ christen-demokraten l , K.Vi'1 KOMl'ONKNT 1 •l';;i' links .Uu l .00
Hig. 9.8 Gelijkenissen van Nederlandse politieke partijen (Komponent 1 tegen ;') ' KÜMPONl'.'N't1 , ,<'HJ I i n k ; : ! v A V V D .00 l.00
'.'i ':'•', i jk'-n i '.uien van NederJandue politieke partijen
f y .itij.ont.-nt i.1 tegen j )
KQMPONBNT 3 KVF, 'AKP
A_l : men île USseH .' . u . , l (.'n benoemen dun £OU men dr I „'ee.le d;i religieuze CD de !• i i' ; • • linkl-rechta aa kunnen noemen. V e l e au :< r •• Btudiui hebbun .; eiy.ei i j k e u:;sen gevonden v o < - r liet :J--der Lai;.t:;e j» Litieke béa tel. 4'Vi, j l on>i i s ,lf j - o n i t i c vmi l . ' V u . Wii'i scii i j n l i jl; zti^i'i. i l . - .il u.li;nl-i-'n l . ' ' i i ( i in livt bt>-i n vmi ü i j t i I c u l u Deer ui» een r.'i'hu.i- (oi' misscliien w e l Liberale j jKirt. ij in pl van eel. (.-.i-rant, i/-;• l l i n k : i i : . be p o s i t i e V M I I 1 ) ' ( > ( > l i i i . - r La trouwen» v e i ' . i i ' l i i L I i.'nJ vim i l i < - - b i j h e t vorjf!i; v o c r l i e e l d . ! > < • r - i - . l c n c n liior z i j n n i e t d u i d t ' ] i j k , a l . K u n n e n e r natuurlijk wel u J l e r J c j u a r i i ^ f verklaringen vtTi.inm.-n worden.
Geziuii In1', rain of meer gelijke gt-uicht vmi de twei-de un l - ;• l • ui
zou men K i m m n veronderstellen dat zij beide een g e l i j k e rul gespeeld bij de i n | :i l i n£ van de gel i j k e n i soordo l en .
1().llitbreiilinL;eii vnn tiet 'Pucker J model en hel TUCIyAl,;; ;• a.Luoriim«
In bet kader van but 'l'b'CKALS projekt titaan nog een aantal uitbrei-dingen en verfijning van het hier bebclirevene op het jirogr-'uiunu .
!. een ALS pnvi'iU'iiii'i voor het algemene Tue kei- m o d e l : Tl H .'KAI,.'. <,;
2. uitbreiding vuri TUCKALÜ i? (en TUCKALü 3) naar undi-n;
:;eh:tul-niv i ' a v , principes gei'ormuj eerd in y0ung, '"' keeuw
en Tukane ( V f ('l ) ;
•j. met i i f i m i : in l'Ui'KAl,:; , ' : f a c i l i t e i t e n voor de e m . t r o l e u|i b - - t . irmdel bij zulke multid imensionele scbaalraodellen ali> JTJULJIAL,
tDIOSCAL en l-AhAKAO.
' 't uurv.--rv/i J /. i n^rn
i'anipl,. l i , |i.'!'., *i K i . ; k i ' , li.W. (.'(invergi'ijt und d i s c r i m i n a n t v a l i d a i ion li.y UK- multitrait-multimethod matrix. Puyrhologi cul Hul J rtin ,
195 /, • - , m-io',.
''urrolL, J.lJ. ft ('hun;;, • >..). Ana)y;ii:; ut' i n d i v i d u a l difference!) in multidimensional ucaling via an N-wuy generalization of' Kekurt-ïoui position. Psychometrika, 19TO, _j£,283-319.
LI, .I.D. 1 '.vii-h, M. Models and methods for thn-e-wuy mu l t. i d i m.'iiüional i ; N, ':. i n l '. f l. K ra,n t/,, et,, a J . , L'un temporary Drvcl oprnorit:; In Malht'ir.alicaJ l'sychol ogy (VoJ.;1). .".an Francisco: Kr-i.-nnan, l'Cflt. £pchrane,D. 4 Orcutt, .;.H. Applicationa of Least-square* regressions to
relationships ronl,.-lining auLo-corrulaLed error I.i-rnis. .lournuJ of the Arno r i i.'an Statist i cal Association, 19^9, Uil t 32-61.
iindjcr, N.S.,Hunt,, J. McV.4 Rosenstein, A.J. An S-R inventory of anxiousnesa. Psycho l og i ca L Monographs . 1962, J6_ (17, Whole No. t>36).
leer, J.I', v.d., Toepassing van drieweg-analyse voor de analyse van multiple tijdsreeksen. In: Interim rapport onderzoek groei en ontwikkeling van ziekenhui j-organisatie;» in Hudcr land, l.i-idcn: Sociologisch
i t u u t , Rijksuniversiteit Leiden, i'/c1
'-r'-f-w.'ty (or second order) component, unaly:;i:i. In II. Wold -n K. Lyttkens, Non l i n e a r iterative partial lcai;l-:;i|uan':-, (NIPAL3)
Lmation procedures! Bulletin of the International Statistical
Institut.,.., Vifn, J*3, 29-51.
li nur i < - t i , fi. A general i »at ion of t.he multidimensional scalitiK model of Carrol l and i'haru; (Working papers in phonetics No. 2?). Los Angeles: lin i v«.-r:;i ty of' California, 1971'.
•ffirin'.i, l', f1'. , 4 Yoiin^, K.W. :;i,riifl.uri' "f n social environment: Longitudinal i n d i v i d u e l 'lift', renées ::<aling of an intact group. Journal of
".;..naJ i ty arid .'iocial Psychology, 1972, 2h, 108-221. .''"/r*-.:xOK, K.O.; Simultaneous factor annlyuis in several popu lat, i ons.
l'üychomf t.rikii. 1971, 36, I409-1'.'' .
Kroprx-nlmrgi l'. «• de l.ci-uw, ,1. 'lUCKALS 2. A principal component an» I,y u h; of i.hrfi' mod" data (Hesearch Bulletin RB 001-77). Leiden: Dutatheorie, U r i i v - r M i t y of Leiden, 1977.
I.ft'UW, J. de ('unon i t l ' ' . a l y s i : ; of cat.e^.or i CM J d u t . u . L e i d e n : l 1 . j k i i u n i -vt.-ri-.it.. i l i . i l , n, l'.iy.i.
Leeuw, J. di' & van Kljkckcvoraol, J. lloMALli. ^'JJ|'2J.'_1L ,'j uw;;-lii'Jjd'« r''l'f > •.'. 'l11-1'
i-L e v i n , J . Three-imuie factor a n a l y ; ; i... l ' n y c l i . i l oj/i ca l hu l I j l j n, l >i 't , oj^ , l()i;'-l.'./.
o d , C . K . , S u c i , ; i , . ' . ^ ' i ' a i i i i r i i h a u n i , 'l'. H . Tir n : , . [ n.. M L M ^ , l ' r h ' u i H : l hi ) v« ' r., i l, y of' l l j i t i o i : ; l'ri-:;:; , K^'Y.
Rutiuliauser, H. Computational aspect of' K.I.. Hau' •!•':•. nimultaiiunua il, I - M I . ion
i t i i - t l K j . i . N u m . r i s i - h . ' M a t h. -mal, i k , l ' J t i ' l , I j , ' i - I ' , .
' l ' u k i i n i - , Y . , ïourii.', !''.W. '. de l . r c u w , .1. N i ' i i i m l r i c i n , l i v i dun l d i f f ü r i M H K i u J f. l (l i in- - M I J M - n a l ü c n l i i i ^ : u t i liltQfn&ting 1 1 a ; i ( . - L ; ' i i i ' i f i .; n n - t h o i l
wi th upt. LiiKij scaling feHtureu. P.syohymetr i k H , t y 7 T > j i j ' , '!-'<!. TuukcT, L. K. tmpJioations ol' ('ucl.or a r i a l y n i j of thn;e wity imil.r i > ' i :•. l\<r
n i r d i M i r ' . ' i i i e n l of r l i - i r i i ' c . In C. W. H a r r i u , F r j b l i m ü i ri ini'H:-,ur i ing cjimig».-. M m l i ü o n : U n i v e r s i t y of W i j c n n ü i n Prc;-,:i , M». 3. 'I'uckcr, l,.!-,1. T t i i - extension of factor a n a l y s i s to t.hrve d i uu n:; u - n a l
matrice:;. In II. ( l u l l i k s o n en N. Frederi kson , ( ' n n l . r i tut, i oiij^ l. o Mal. hu-mat, i cal Psycho] o^y . New Y o r k : H o l t , H i n e l i a r l and W i n : ; l " i i ,
l o i . l , .
Tucker, I..1;. Sonie mathematical notes on t h r e e - m o d e I ' a r t o r M M ' i l . v i i i :;. r i l ; a , lf)66, 31 , 2Y9-312.
T u c k e r , I , . H . IM lationa between multidimensional n c a J i / K / , and l.lii-ce_mode
ilysis. IV.ycliotnetrikn, 1')/;.1, Tf , 3-.''7.
W e r t : ; , C. K . , . T ö r e i ; k i > g , K . C . , & I r i i i i i , K . I , . A mul t i t r u i t-mu l t i i:n - I l i o d :node l for sl.ud.v i iif, c.rowt.h. K d m ' a t i o n a l and P n y c h o l o g l e o l Mea;-,ur< nu r i t , 19T2, 3£, 6^5-678.
