HOE KAN JE DE RICHTING VAN EEN KOSMISCHE SHOWER BEPALEN. HiSPARC

HiSPARC

FIGUUR 1 KOSMISCHE SHOWER (BRON VI)

13-1-2017

HOE KAN JE DE RICHTING VAN EEN KOSMISCHE SHOWER BEPALEN.

SANNE VEGA & ANDOR BENT

Voorwoord

Voor u ligt het verslag ‘HiSPARC Hoe kan je de richting van een kosmische shower bepalen’. Het onderzoek voor dit verslag is uitgevoerd met behulp van de meetdata die wordt verstrekt door HiSPARC publieke database. Dit verslag is geschreven in het kader van ons ‘Project Fundamenteel Onderzoek van de Materie 2’.

Bij deze willen we graag David Fokkema bedanken voor zijn ondersteuning van dit onderzoek. Mede dankzij de informatie die hij voor ons beschikbaar heeft gesteld is dit verslag tot stand gekomen Ook willen we graag onze projectbegeleider Ruth Buning bedanken voor haar steun bij het opstellen van onze onderzoeksvraag en de ondersteuning die zij gaf tijdens het onderzoek.

Tevens willen wij onze medestudenten van de Haagse Hogeschool bedanken voor de fijne samenwerking en wijze raad.

We wensen u alvast veel leesplezier toe.

Andor Bent en Sanne Vega Delft, 13 januari 2017

Samenvatting

In dit onderzoek is de theorie achter kosmische showers onderzocht en hoe hun richting kan worden bepaald. Ook is er gekeken wat de data van HiSPARC inhoudt. Met behulp van HiSPARC-meetdata van 3 stations de richting van een shower te bepaald. De richting van deze shower is (84 ± 2)° ten opzichte azimuth en (26±2)° ten opzichten van de zenith. De shower komt uit noordelijke richting met een steile invalshoek.

Inhoud

1. Inleiding ... 1

2. Kosmische straling ... 2

2.1 Kosmische deeltjes ... 2

2.2 Showers ... 3

2.3 Relativiteit ... 6

2.4 Data-analyse ... 7

2.5 Richting reconstructie ... 9

3. Werkwijze ... 11

3.1 De gebruikte stations ... 11

3.2 Meetdata van HiSPARC ... 13

4. Berekening en onnauwkeurigheid ... 14

4.1 Voorbeeldberekening ... 14

4.2 Onnauwkeurigheidsanalyse ... 17

5. Conclusie ... 19

6. Literatuurlijst ... 20

Bijlage ... 21

1. Inleiding

Elke dag komen er vanuit de kosmos allerlei deeltjes langs en op de aarde. Als het deeltje de atmosfeer binnenkomt botst het met luchtmoleculen en breken deze op in nieuwe deeltjes, deze deeltjes gaan verder en botsen opnieuw tegen deeltjes in de atmosfeer op en breken weer op in andere deeltjes. Dit blijven de deeltjes doen totdat ze niet meer genoeg energie hebben om een botsing aan te gaan. Dus uit één kosmisch deeltje komt een golf van nieuwe deeltjes vrij, deze regen van deeltjes wordt ook wel een shower of lawine genoemd. Als het begindeeltje genoeg energie heeft bereiken de einddeeltjes het aardoppervlak. Deze deeltjes kunnen gemeten worden met de detectoren van HiSPARC. Als er een shower wordt waargenomen door meerdere

detectoren is het mogelijk om de oorsprong van het kosmische begindeeltje te bepalen.

In dit verslag van ons onderzoek staat de theorie centraal, wat is een shower precies, welke soorten showers zijn er en is het mogelijk om de oorsprong van de shower te vinden? Het uiteindelijke doel van het onderzoek is om met behulp van HiSPARC meetdata van drie stations de richting van een shower te bepalen.

2. Kosmische straling

2.1 Kosmische deeltjes

Elke dag komen er op aarde allerlei deeltjes vanuit de ruimte binnen. Deze kosmische deeltjes die binnen komen kunnen een wisselwerking aangaan met een luchtmolecuul zodra ze de atmosfeer binnenkomen. Uit deze wisselwerking ontstaan nieuwe deeltjes, die vervolgens weer met een ander luchtmolecuul kunnen wisselwerken. Hierdoor ontstaan nog meer deeltjes. Uiteindelijk komt er een stortbui van deeltjes aan op het oppervlak van de aarde. (Zie Figuur 2. (Bron V))

Zo’n stortbui van deeltjes wordt ook wel een ‘Cosmic air shower’ genoemd. De nieuwe deeltjes die ontstaan hebben gezamenlijk de energie van het kosmische deeltje dat de dampkring binnen is gekomen, de totale energie blijft dus behouden. Op het moment dat de energie van een nieuw deeltje te klein wordt om te wisselwerken stopt de vorming van nieuwe deeltjes. Hoe groter de begin energie van het eerste deeltje, hoe verder de stortbui komt. (Bron V)

Om nauwkeurig te bepalen waar de straling vandaan komt wordt er naar de energie gekeken van het deeltje. Hoe meer energie een deeltje heeft hoe nauwkeuriger de richting van afkomst kan worden bepaald. Deeltjes met een hoge energie hebben namelijk ook een hoge snelheid, waardoor ze minder worden beïnvloed door magnetische en gravitatievelden. Deze velden kunnen de deeltjes afbuigen waardoor ze van richting veranderen. Hierdoor kan het lijken alsof ze van een andere richting

afkomstig zijn dan werkelijk vandaan komen. De oorspronkelijke richting van de deeltjes is interessant omdat dit informatie kan geven over waar het vandaan komt, en eventueel hoe het ontstaan is. Op zo’n plek waar energetische deeltjes vandaan omen zou dan iets kunnen zitten, zoals een supernova of een

FIGUUR 2 KOSMISCHE DEELTJES DIE DE DAMPKRING BINNEN KOMEN EN EEN SHOWER IN GANG ZETTEN.(BRON I)

2.2 Showers

Er zijn grof genomen 2 type showers, de Hadronen showers en de elektromagnetische showers.

Hadronen zijn deeltjes als: protonen en neutronen die bestaan uit quarks, elektromagnetische showers bestaan uit elektromagnetische straling en elektronen. Deze twee soorten showers zijn in Figuur 3 weergegeven.

Zoals in Figuur 3 is te zien bestaan beide showers uit verschillende vervalprocessen. Ongeveer 90%

procent van de kosmische deeltjes die de dampkring binnenkomen zijn protonen. Daarom wordt deze soort shower als voorbeeld gebruikt. Wanneer deze protonen in de atmosfeer vervallen ontstaan er pionen (afkorting voor pi-ionen). Er ontstaan dan drie verschillende pionen, namelijk het positieve pion, het negatieve pion en de neutrale pion. Respectievelijk 𝜋^!, 𝜋^!en 𝜋^!. De verdeling van dit verval is altijd hetzelfde. Een derde deel dat ontstaat is 𝜋^! , een derde deel 𝜋^! en aan derde 𝜋^!. Er ontstaan ongeveer 50 van deze pionen bij het eerste verval. (Bron V)

FIGUUR 3 SHOWERS, LINKS DE ELEKTROMAGNETISCHE EN RECHTS DE HADRONEN SHOWER (BRON II)

2.2.1 Elektromagnetische shower

Zoals te zien in Figuur 3 vervalt het neutrale pion in twee gamma fotonen, zo begint de

elektromagnetische shower. De gamma fotonen vervallen op hun beurt door paarvorming. Hierbij ontstaan een elektron en een positron, respectievelijk 𝑒^! en 𝑒^!. De reactie schema’s zien eruit als volgt:

𝜋^!=> 𝛾 + 𝛾 𝛾 => 𝑒^!+ 𝑒^!

De positronen en elektronen die ontstaan zullen een elektromagnetische wisselwerking met de kernen van luchtdeeltjes aangaan. Dit proces heet remstraling, dat bestaat uit gamma fotonen. Deze reactie ziet er als volgt uit:

𝑒^±=> 𝑒^±+ 𝛾

Op deze manier vormen zich steeds meer deeltjes met een lagere energie. Zodra de deeltjes een energie van ongeveer 84 MeV hebben raken ze hun energie kwijt bij het ioniseren van lucht atomen, dan houdt de shower op. (bron V)

2.2.2 Hadronen shower

Als gevolg van sterke wisselwerking met luchtatomen ontstaan er nieuwe pionen met standaard verdeling: ^!

!𝜋^!,^!

!𝜋^!en ^!

!𝜋^! . Zoals in Figuur 3 te zien is zal het neutrale pion weer een

elektromagnetische shower in werking zetten. De pionen zullen het bovengenoemde proces een aantal maal in werking zetten. Na een aantal wisselwerkingen is de energie van de pionen zo afgenomen dat de pionen vervallen voordat ze een wisselwerking aangaan. De vervalschema’s van de geladen pionen zien er als volgt uit:

𝜋^!=> 𝜇^!+ 𝑣_! 𝜋^!=> 𝜇^!+ 𝑣_!

Er ontstaan muonen 𝜇, muon neutrino’s 𝑣_! en muon anti neutrino’s. Omdat behoud van lading geldig is zal er bij een positief pion verval ook een positief muon ontstaan en bij een negatief pion een negatief muon. De muonen die door de wisselwerking ontstaan hebben een relatief hoge energie waardoor deze met een hoge snelheid reizen, net als de pionen. De levensduur van de muonen wordt hierdoor verlengt. In rust zouden de muonen na ongeveer 2,2⋅ 10^!!s vervallen. De muonen kunnen verder vervallen of gedetecteerd worden door een Hisparc detector. Als de muonen vervallen ziet dat er als volgt uit:

𝜇^!→ 𝑒^!+ 𝑣_!+ 𝑣_! 𝜇^!→ 𝑒^!+ 𝑣_!+ 𝑣_!

De ontstane elektronen en positronen kunnen door een detector worden waargenomen of annihileren tot een gamma foton. De neutrino’s en antineutrino’s die ontstaan zijn neutraal geladen en zullen daarom geen signaal afgeven op de detector. (Bron V)

2.2.3 Detectie

De HiSPARC detectoren liggen die per 2 of per vier in een skibox, vaak op daken van gebouwen die meedoen aan het HiSPARC project. Deze skiboxen dienen om de detectoren tegen het klimaat te beschermen. Hieronder in Figuur 4 is een foto gegeven van twee skiboxen met detectoren.

FIGUUR 4TWEE SKIBOXEN MET DAARIN HISPARC DETECTOREN

Elke skibox wordt als een station gezien, een groep van deze skiboxen die tezamen gebruikt worden wordt een array genoemd. Elk station heeft een gps-antenne om de tijd bij te houden, de detectoren hebben een oppervlak van ongeveer 0,5 m². De detectoren werken met scintillatie platen en

multiplicator buizen. In Figuur 3 is de werking schematisch weergegeven.

FIGUUR 5SCHEMATISCHE WEERGAVE VAN EEN MULTIPLICATOR BUIS (BRON IV)

Het geladen shower deeltje komt in de scintillatieteller binnen. Wanneer straling of geladen deeltjes door de scintillatie platen heen gaan raken atomen en moleculen in de scintillator geëxciteerd.

Wanneer de atomen en moleculen de energie weer kwijtraken wordt dit in de vorm van lichtfotonen (met “Light foton” aangegeven in Figuur 3) uitgezonden. Dit proces wordt ook wel luminescentie genoemd. De lichtfotonen komen aan op de fotokathode waar ze hun energie afstaan aan elektronen die hierdoor loskomen van het atoom en een kinetische energie meekrijgen. Dit heeft het foto-

elektrisch effect. Deze kinetische energie is evenredig met de energie van het foton. Met een spanning over de multiplicator worden de elektronen versneld, met een elektrisch veld worden ze gefocusseerd op de dynode. Hier met de extra kinetische energie die ze door de spanning meekrijgen maakt een elektron ongeveer 5 nieuwe elektronen vrij, afhankelijk van de energie die het binnen komende

elektron heeft. Die 5 elektronen worden met behulp van een spanning versneld nar de volgende dynode en zo gaat het proces door. Uiteindelijk komen er een groot aantal elektronen aan op de anode waar de stroom gemeten wordt. Hoe meer elektronen dit zijn hoe groter de stroom, en hoe groter die energie van het shower deeltje is geweest.

Wanneer er geen geladen deeltje de detector binnenkomt maar een gamma foton, reageert deze met de scintillator via het Comptoneffect. Dit houdt in dat een foton een deel van zijn energie afstaat en een zwak gebonden elektron losgemaakt uit een atoom en een deel van de foton energie als kinetische energie meekrijgt. De elektronen die vrijkomen zullen reageren met het de scintilator en lichtfotonen produceren. Echter hebben deze vaak maar een lage energie.

2.3 Relativiteit

De kosmische deeltjes die de aarde binnenkomen reizen met hele hoge snelheden, zo genaamde relativistische snelheden. Een snelheid is relativistisch wanneer het ongeveer 10% van de lichtsnelheid bedraagt. Wanneer deze snelheden bereikt worden wordt het effect van relativiteit duidelijk zichtbaar.

Het positieve en negatieve pion hebben een vrij korte levensduur, namelijk 2,6⋅ 10^!! s in rust. Echter omdat hun relativistische snelheden ondervinden deze pionen tijddilatatie waardoor hun levensduur groter is. Als een pion een snelheid van 0,999 c heeft dan wordt de levensduur 8.22⋅ 10^!!. Hiermee legt een pion een afstand van ongeveer 15 kilometer af. Door hun hoge snelheid en de effecten van relativiteit kunnen deze deeltjes gemeten worden.

2.4 Data-analyse

Van de HiSPARC site kan ontzettend veel data worden gehaald. Echter is het de bedoeling uit al die data nuttige informatie te halen. De data bestaat uit een hoop rijen en een aantal kolommen met elke kolom een eigen betekenis. Hieronder in tabel 1 zijn verschillende gegevens onder elkaar gezet.

Afkomstig uit Excel.

TABEL 1 VERSCHILLENDE DATA TE VINDEN IN DE HISPARC GEGEVENS

# Data taken from 2016-11-01 00:00:00 to 2016-11-02 00:00:00

#

# HiSPARC data is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0.

#

#

# This data contains the following columns:

#

# date: time of event [GPS calendar date]

# time: time of event [GPS time of day]

# timestamp: time of event [UNIX timestamp]

# nanoseconds: time of event [number of nanoseconds after timestamp]

# pulse heights (4x): maximum signal pulse height [ADC]

# integral (4x): integral of the signal [ADC.ns]

# number_of_mips (4x): estimate for the number of particles in the detector

# arrival times (4x): relative time of arrival of the first particle in the detector [ns]

# trigger time: relative time of the trigger timestamp [ns]

# zenith: reconstructed shower axis zenith angle [deg]

# azimuth: reconstructed shower axis azimuth angle [deg]

#

# Values of -1 for detectors 3 and 4 indicate that the station only has

# two detectors. Values of -999 indicate a problem in the analysis of

# that particular event. This may be the result from noise in the

# signal or not enough data for reconstruction.

Zoals bovenaan in tabel 1 te zien is wordt aangegeven over welke tijdsperiode de gegevens worden gemeten.

De data is afkomstig van een box met 4 detectoren uit het science park in Amsterdam. De tijdperiode waarover data van een specifiek station gekozen wordt kan geselecteerd worden. De tabel wordt van links naar rechts verdeelde in kolommen in de volgorde aangegeven in Tabel 1. Voor elke kolom wordt in de tabel omschreven wat de data inhoudt. Een voorbeeld indeling van zo’n meetserie is te zien in Tabel 4 uit bijlage C.

De meeste kolommen spreken voor zich, de puls kan worden gezien als een piek in een grafiek. Het oppervlak onder deze piek is de integraal. De puls hoogte is afhankelijk van de energie van het deeltje.

Dit komt doordat er in de detector een scintillatieteller zit die een stroom opwekt evenredig met de energie van het deeltje.

Als er 4X achter staat betekent dit dat er 4 detectoren zijn en dat deze data achter elkaar staat. Dit komt omdat er per meetstation vier detectoren zitten.

De Zenit is de hoek tussen de z-as (zie Figuur 6) loodrecht op de aarde en de zon aangegeven als 𝜃 uit Figuur 7. De azimut is de hoek van de zon ten opzichte van een specifieke windrichting, vergelijkbaar met

𝜙

FIGUUR 6DE ZENIT EN AZIMUT HOEKEN WEERGEGEVEN MET DE ZON EN DE WINDRICHTINGEN.

2.5 Richting reconstructie

Om de richting van een shower te kunnen bepalen moet de shower gedetecteerd worden door

minimaal drie detectoren. Als drie detectoren rond hetzelfde tijdstip een incident waarnemen wordt dat een coïncidentie genoemd. De binnenkomst van de shower op het aardoppervlak kan worden gezien

als een vlak (front).

FIGUUR 7WEERGAVE VAN BINNENKOMST SHOWER FRONT.

In Figuur 7 is een binnenkomend shower front te zien met drie detectoren. De hoek θ is tussen de as van het shower front en de verticale as van de oorsprong die gekozen is op de locatie van detector 0.

Als deze hoek gelijk is aan 0 ͦ is er geen tijdverschil tussen de waarneming van het event bij de verschillende detectoren en komt de shower dus direct van boven. Ook heeft de shower as een hoek ϕ met de x-as van de detector. De shower is in Figuur 7 ten hoogte van de detector 1. Om bij detector 0 binnen te komen moet de shower nog een afstand van 𝑐 ⋅ ∆𝑡_! afleggen. Waarin 𝑐 de lichtsnelheid is en

∆𝑡_! het tijdsverschil van de aankomsttijden van de shower bij de tussen detector 0 en detector 1. Deze afstand is op het aardoppervlak (x, y -vlak) gedefinieerd als 𝑟_!′. Vervolgens kan met de formule 1 en 2¹ de richting van de shower ten opzichte van de detectoren worden bepaald.

tan 𝜙 =

!∆!_!!"# !_! !!_!∆!_!!"# !_!

1 Afleiding van D.B.R.A. Fokkema in bron I

Waarin:

𝜙 : de azimut hoek van de shower ( ͦ )

𝜙

: de hoek tussen detector 0 en 1 t.o.v. de x-as ( ͦ ) 𝜙

: de hoek tussen detector 0 en 2 t.o.v. de x-as ( ͦ )

𝑟

: de afstand tussen detector 0 en 1 (m)

𝑟

: de afstand tussen detector 0 en 2 (m)

∆𝑡

: tijdverschil binnenkomst shower tussen detector 0 en 1 (s)

∆𝑡

: tijdverschil binnenkomst shower tussen detector 0 en 2 (s)

sin 𝜃 =

!_!!"# !!!_!

Waarin:

𝜃 : de zenit hoek van de shower

( ͦ )

𝑐 : de lichtsnelheid (m/s)

Om de oorsprong van de shower te kunnen bepalen is de locatie van de detector op de aarde nodig.

Vanuit de detector kan er dan een reconstructie gemaakt worden waar de shower vandaan komt.

3. Werkwijze

3.1 De gebruikte stations

Voor dit onderzoek wordt er gebruik gemaakt van drie HiSPARC stations in het science park te Amsterdam. Dit omdat de stations dichtbij elkaar liggen waardoor ook kleinere shower fronten gemeten kunnen worden. Het gaat hierbij om de stations 505, 504 en 502 zoals te zien is in Figuur 8

FIGUUR 8GEBRUIKTE STATIONS

In Figuur 8 zijn de stations in het science park weergegeven. Zoals te zien is in Figuur 8 zijn er nog meer stations in het science park geplaatst dan de drie die er in dit onderzoek worden gebruikt, er is echter gekozen voor deze drie stations omdat ze in een bijna rechthoekige driehoek ten opzichte van elkaar verwijderd liggen. Het is ook mogelijk om het onderzoek uit te breiden door meerdere stations te selecteren. De locaties van de stations staan in bijlage A weergegeven.

Station 502 is gekozen als de detector 0 in de eerdere formules 1 en 2. Station 504 wordt dan gezien als detector 1 en station 505 als detector 2. Zoals te zien is in Figuur 9 is dan 𝑟_! de afstand en 𝜙_!de hoek tussen 𝑟_! en de x-as, 𝑟_! is de afstand en 𝜙_! de hoek tussen 𝑟_! en de x-as. De z-as staat loodrecht op het station 502. De x-as loopt parallel aan de evenaar en de y-as kan gezien worden als een meridiaan naar de noordpool. Op de schaal van de afstanden tussen de detectoren zijn deze assen rechte lijnen en kan er goniometrie op toegepast worden.

FIGUUR 9GEBRUIKTE STATIONS MET X-Y STELSEL

In Figuur 9 staan de onderlinge afstanden ten opzichte van de x-as en de y-as tussen de stations, hiermee kunnen de hoeken en de afstanden tussen de stations berekend worden (zie bijlage B). De resultaten van deze berekeningen staan hieronder weergegeven. De z-as is recht omhoog vanaf station 502. Ook staat het x-y assenstelsel gegeven met die in overeenkomst met Figuur 7.

TABEL 2AFSTANDEN EN HOEKEN TUSSEN DE GEKOZEN STATIONS

𝑟_! (±0,7 m) 𝑟_! (±0,7 m) 𝜙_! (±2°) 𝜙_! (±2°)

Waardes 359 243 37 120

Nu zijn alleen nog de tijdsverschillen van binnenkomst van een event tussen de verschillende stations nodig om de hoeken ϕ en θ van de shower te kunnen bepalen.

3.2 Meetdata van HiSPARC

Via de website van HiSPARC (bron III) is het mogelijk om coïncidenties te selecteren van verschillende stations. De interface ziet er als volgt uit:

FIGUUR 10COÏNCIDENTIES DOWNLOADEN (BRON III)

Het is hier mogelijk om verschillende stations te selecteren en de start en einddatum waarvan de meetdata gewenst is. Zoals het in Figuur 10 is ingesteld wordt de meetdata van station 505, 504 en 502 gedownload wanneer alle drie de stations een event waarnemen. In het eerdere hoofdstuk 2.4 is beschreven hoe deze meetdata eruitziet. In totaal is er op 5 januari 28 keer een coïnciderend event waargenomen door deze drie stations. Als voorbeeld is de richting reconstructie van het event met de hoogste puls hoogtes op deze dag uitgewerkt in Berekening en onnauwkeurigheid.

4. Berekening en onnauwkeurigheid

4.1 Voorbeeldberekening

In Tabel 3 is de tijd van aankomst van een coïnciderend event op van 5 januari weergegeven, dit was tevens het event met het hoogste aantal van geschatte binnengekomen deeltjes. De complete meetdata van 5 januari staat in de bijlage C

TABEL 3 COÏNCIDENTIE 28 VAN 5 JANUARI

Coïncidentie nr. Station Tijd (GPS) Timestamp Δt (±1 ns)

28 504 23:44:02 1483659842 323914677

28 505 23:44:02 1483659842 323914747

28 502 23:44:02 1483659842 323915028

Aan de hand van de tijdverschillen van binnenkomst kunnen ∆𝑡_! en ∆𝑡_! bepaald worden. Voor ∆𝑡_! is de waarde gelijk aan het tijdsverschil in aankomst van de stations 504 en 502. En voor ∆𝑡_! is dit gelijk aan het verschil in aankomst tussen station 505 en station 502. Deze tijdsverschillen gecombineerd met de in Tabel 2 gevonden waardes voor de hoeken en de onderlinge afstand maken het mogelijk om de richting van de shower te bepalen met formule 1 en 2.

Voor de hoek met het x y vlak geld dan:

tan 𝜙 = 𝑟

∆𝑡

cos 𝜙

− 𝑟

∆𝑡

cos 𝜙

𝑟

∆𝑡

sin 𝜙

− 𝑟

∆𝑡

sin 𝜙

tan (𝜙) = 359 m ⋅ 281 ⋅ 10

s cos 37° − 243 m ⋅ (351 ⋅ 10

s) cos 120°

243 m ⋅ (351 ⋅ 10

s) sin 120° − 359 m ⋅ 281 ⋅ 10

s sin 37°

tan 𝜙 = 9,37 𝜙 = 83,9 = 84 ± 2°

Deze hoek is met de x-as, zoals te zien is in Figuur 11. Hierin is te zien dat de shower dus uit noordelijke richting komt.

FIGUUR 11HOEK ϕ VAN COÏNCIDENTIE 28 En voor de hoek met de z-as geld vervolgens:

sin 𝜃 = 𝑐∆𝑡_!

𝑟_!cos 𝜙 − 𝜙_! = 3,00 ⋅ 10^!m s ⋅ (351 ⋅ 10^!!s) (359 m) cos 83,9° − 36,8°

sin 𝜃 = 0,431 𝜃 = 25,5 = 26 ± 2 °

FIGUUR 12HOEK Θ VAN COÏNCIDENTIE 28

De hoek met de z-as is dus gelijk aan 26 ± 2° en de hoek met de x-as is gelijk aan 84 ± 2°. Deze hoeken gecombineerd met de positie van het station 502 maken het mogelijk om een illustratie te maken waar de shower ongeveer vandaan komt. In dit geval komt de shower uit noordelijke richting met een steile invalshoek.

FIGUUR 13ILLUSTRATIE VAN OORSPRONG COÏNCIDENTIE 28

4.2 Onnauwkeurigheidsanalyse

Tijdens de berekeningen voor de showers zijn er een aantal meetwaardes gebruikt. Deze hebben ook een onnauwkeurigheid, wat resulteert in een onnauwkeurigheid in de eindwaardes.

Om de richting van de shower te bepalen worden formules 1 en 2 gebruikt:

tan 𝜙 =^!_!^{!∆!!!"# !!!!!∆!!!"# !!}

!∆!!!"# !!!!!∆!!!"# !! , sin 𝜃 =_! ^!∆!!

!!"# !!!!

Elke waarde van 𝑟,∆𝑡 en 𝜙 hebben een individuele onnauwkeurigheid.

Om de onnauwkeurigheid te bepalen van 𝜙 en 𝜃 wordt eerst van alle constanten de onnauwkeurigheid bepaald.

Hiervoor wordt formule 3 gebruikt:

∆𝑆 = ^!"

!" ∆𝑥 + ^!"

!" ∆𝑦 (3)

Met behulp van deze formule wordt per parameter de onnauwkeurigheid bepaald. Eerst worden de onnauwkeurigheden van 𝑟_! en 𝑟_!bepaald. De afstanden tussen de detectoren langs de x en y as zijn gegeven in meters. Dit betekent dat er een halve meter verschil in waardes kan zijn; 24,5m wordt tenslotte afgerond tot 25 m en 23,6 m is afgerond 24 m. Dat geeft dan ∆𝑥 = 0,5 m en ∆𝑦 = 0,5 m.

Dan geldt voor ∆𝑟_!:

∆𝑟_!= ^!!_!"^! ∆𝑥 + ^!!_!"^! ∆𝑦 Dit geeft dan:

∆𝑟_!= ^!∆!

!^!!!^!+ ^!∆!

!^!!!^!=> !"#⋅!,!

!"#^!!!"#^! + 215 ⋅ ^!,!

!"#^!!!"#^!

∆𝑟_!= 0,7 m

Op dezelfde manier wordt ∆𝑟_! bepaald:

∆𝑟_!= 0,7 m

De Hoeken ∆𝜙_! en ∆𝜙_! worden ook bepaald door de partieel afgeleide te nemen voor die hoek.

∆𝜙_! = ^!!_!"^! ∆𝑥 + ^!!_!"^! ∆𝑦

∆𝜙_! = ^!!"

!^! !!^!_!^! ∆𝑥 + ^!!!"

!^! !!^!_! ^! ∆𝑦

∆𝜙_! = 1,35 = 2 °

Wat vervolgens ook voor ∆𝜙_! geeft:

∆𝜙_!= 1,91 = 2 °

∆𝑡 Wordt geschat aan de hand van de waarde van t. Deze zijn tot nanoseconden nauwkeurig. De maximale onnauwkeurigheid is dan:

1 ⋅ 10^!! s. Tenslotte wordt met deze waarde ∆𝜙 en ∆𝜃 bepaald.

De partieel afgeleiden van formule 1 zijn met behulp van MATLAB bepaald dit is te vinden in bijlage D.

∆𝜙 = _!!^!"

! ∆𝑟_!+ _!!^!"

! ∆𝑟_!+ _!∆!^!"

! ∆∆𝑡_!+ _!∆!^!"

! ∆∆𝑡_!+ _!!^!"

! ∆𝜙_!+ _!!^!"

! ∆𝜙_!

∆𝜙 = 0,95 ⋅ 0,7 + 0,95 ⋅ 0,7 + 1,97 ⋅ 10^!!⋅ 1,0 ⋅ 10^!!+ 1,97 ⋅ 10^!!⋅ 1,0 ⋅ 10^!!+ 4,47 ⋅ 10^!!⋅ 1,35 + 4,47 ⋅ 10^!!⋅ 1,35 = 1,34°

∆𝜙 = 2°

En voor 𝜃 geeft dit:

∆𝜃 = _!!^!"

! ∆𝑟_!+ _!∆!^!"

! ∆∆𝑡_!+ _!!^!"

! ∆𝜙_!+ _!" ^!" ∆𝜙

∆𝜃 = 1.32 ⋅ 1^!!⋅ 0,7 + 1.59 ⋅ 10^!!⋅ 1,0 ⋅ 10^!!+ 0.641 ⋅ 1.35 + 0.641 ⋅ 1.34

∆𝜃 = 1,72 = 2 °

Voor de afstanden 𝑟_! en 𝑟_! is er een onnauwkeurigheid van 0,7 meter en voor de hoeken 𝜙_! en 𝜙_! is er een hoek van 2°.

Uiteindelijk hebben de hoeken van de shower richting een onnauwkeurigheid van 2°.

5. Conclusie

Als een kosmisch deeltje in de atmosfeer binnenkomt botst het tegen deeltjes in de atmosfeer en vormt een regen (shower) aan kleinere deeltjes. Van deze deeltjes lawine meten HiSPARC detectoren op het aardoppervlak de positronen, elektronen en muonen.

Om de richting van een shower te kunnen bepalen zijn er minimaal drie detectoren nodig die de shower waarnemen. Er is gekozen om een voorbeeld onderzoek te doen met drie detectoren in het Amsterdam Science park op 5 januari 2017. Doordat de locaties van de detectoren ten opzichte van elkaar bekend zijn kan de hoek van inval van de shower worden berekend. Uit het resultaat van de voorbeeldberekening bleek dat deze shower inviel met een hoek van 84 ± 2° met de x-as en met een hoek van 26 ± 2° ten opzichte van de z-as.

6. Literatuurlijst

I. D.B.R.A. Fokkema, The HiSPARC Experiment, data acquisition and reconstruction of shower direction, PhD. thesis 2012

II. M. Kok. Bepaling van de energie en richting van het primaire deeltje op de Hisparc website.

Stageverslag 2008.

III. Website HiSPARC data coincidentie downloaden. Geraadpleegd op 8 januari 2017.

http://data.hisparc.nl/data/download/coincidences/2017-01-07/2017-01-08/

IV. Weergave fotomultiplicator buis. Geraadpleegd op 8 januari 2017.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Fotomultiplicator

V. ‘The HiSPARC Experiment’ Richard T Bartels, December 2011 - February 2012 VI. ‘Want to do a little astrophysics?’ Joe Palca, 27 maart 2015

http://www.npr.org/2015/03/30/395800694/want-to-do-a-little-astrophysics-this-app-detects- cosmic-rays

Bijlage

A. Posities gebruikte HiSPARC stations

Station 502 Latitude 52.355294°

Longitude 4.9500921°

Altitude 57.52 m

Station 504

Latitude 52.3571852°

Longitude 4.9543821°

Altitude 54.79 m

Station 505

Latitude 52.3572524°

Longitude 4.948385°

Altitude 47.6 m

B. Berekeningen afstanden en hoeken stations uit Figuur 9

FIGUUR 14BEREKENINGEN AFSTANDEN EN HOEKEN VAN DE STATIONS

Voor het bepalen van 𝑟_! wordt er gebruik gemaakt van de stelling van pythagoras:

𝑟_!^! = 215^!+ 287^! 𝑟_! = 359 m

Voor het bepalen van 𝑟_! wordt hetzelfde gedaan als voor 𝑟_!: 𝑟_!= 210^!+ 122^!= 243 m

Voor het bepalen van 𝜙_! wordt er gebruik gemaakt van goniometrie:

tan 𝜙_! =215

287= 0,749 𝜙_!= 36,8°

Voor 𝜙_! wordt eerst de hoek 𝜙_! bepaald uit de rechthoekige driehoek met station 505 en 502.

𝜙_! = tan^!! 210

122 = 59,8°

𝜙_!= 180° − 𝜙_! = 120,2°

TABEL 4 MEETDATA 5 JANUARI 2017

nr. Station Datum Tijd (h) Timestamp Δt (ns) Puls hoogte Integraal Geschatte aantal deeltjes Aankomst eerste deeltje (ns) TR (ns) 0 505 5-1-2017 00:02:08 1483574528 43655976 425 250 23 265 8508 5536 0 4570 37669 25668 0 20843 12,5 20,0 322,5 40,0 42,5 0 502 5-1-2017 00:02:08 1483574528 43656168 1808 2023 1480 1021 47852 46925 27856 23181 182039 211198 114462 98085 25,0 37,5 32,5 15,0 27,5 0 504 5-1-2017 00:02:08 1483574528 43656771 314 310 1304 298 3872 5764 20423 6000 20472 19932 82449 28491 60,0 17,5 97,5 15,0 22,5 1 502 5-1-2017 00:42:16 1483576936 563264372 310 470 22 494 5259 10011 0 5156 20006 45057 0 21816 175,0 32,5 697,5 15,0 37,5 1 505 5-1-2017 00:42:16 1483576936 563264442 2561 3250 1849 3896 65865 90335 57123 93909 291613 418843 254282 428312 12,5 17,5 25,0 27,5 20,0 1 504 5-1-2017 00:42:16 1483576936 563265306 11 38 317 205 0 305 2711 1380 0 0 10945 1 -999,0 947,5 12,5 187,5 190,0 2 504 5-1-2017 00:56:40 1483577800 740797415 23 323 47 175 0 5290 145 2107 0 18293 0 10005 187,5 22,5 152,5 12,5 30,0 2 502 5-1-2017 00:56:40 1483577800 740797921 16 309 387 198 0 6071 5828 1557 0 27324 23948 1 -999,0 10,0 52,5 35,0 45,0 2 505 5-1-2017 00:56:40 1483577800 740798118 169 193 63 60 1697 1490 318 537 1 1 0 0 12,5 135,0 102,5 17,5 137,5 3 505 5-1-2017 01:09:08 1483578548 509061084 18 6 154 414 0 0 1311 3772 0 0 1 17204 -999,0 -999,0 52,5 15,0 62,5 3 502 5-1-2017 01:09:08 1483578548 509061186 42 254 162 15 175 2030 1810 0 0 1 1 0 192,5 27,5 15,0 -999,0 30,0 3 504 5-1-2017 01:09:08 1483578548 509061541 191 17 317 9 2326 0 4960 0 12298 0 20024 0 62,5 -999,0 12,5 -999,0 70,0 4 504 5-1-2017 01:59:45 1483581585 892523667 148 57 161 137 1201 605 2259 1679 1 0 1 1 15,0 217,5 52,5 87,5 57,5 4 502 5-1-2017 01:59:45 1483581585 892523680 1428 1301 1144 895 30274 22451 27166 24253 115168 101047 111627 102621 12,5 12,5 15,0 17,5 15,0 4 505 5-1-2017 01:59:45 1483581585 892524195 33 136 352 55 146 950 4158 247 0 0 18509 0 52,5 45,0 12,5 142,5 467,5 5 504 5-1-2017 02:28:51 1483583331 605046930 5 167 8 203 0 1555 0 1978 0 1 0 1 -999,0 12,5 -999,0 37,5 45,0 5 505 5-1-2017 02:28:51 1483583331 605046998 368 1230 405 979 5497 18079 10059 17505 24338 83824 44778 79839 37,5 12,5 17,5 17,5 22,5 5 502 5-1-2017 02:28:51 1483583331 605047001 130 27 16 891 2001 27 0 11848 1 0 0 50132 12,5 322,5 -999,0 30,0 32,5 6 505 5-1-2017 02:31:01 1483583461 955293523 770 1130 1226 837 26963 29888 31840 19798 119377 138577 141735 90297 32,5 10,0 22,5 12,5 27,5 6 504 5-1-2017 02:31:01 1483583461 955293580 182 101 94 235 2057 890 1253 2038 10876 0 1 1 122,5 37,5 52,5 12,5 57,5 6 502 5-1-2017 02:31:01 1483583461 955293812 867 1281 1408 1458 27329 22316 29507 35259 103965 100439 121247 14919 12,5 17,5 20,0 17,5 20,0 7 504 5-1-2017 03:36:42 1483587402 976681157 278 600 549 1292 6476 12646 16487 23528 34241 43731 66559 111722 10,0 17,5 22,5 37,5 25,0 7 502 5-1-2017 03:36:42 1483587402 976681408 32 262 295 929 119 3276 3539 10930 0 14744 14542 46248 330,0 70,0 25,0 12,5 27,5 7 505 5-1-2017 03:36:42 1483587402 976681731 367 274 267 367 11354 4151 11092 7554 50269 19246 49376 34453 65,0 45,0 12,5 42,5 47,5 8 502 5-1-2017 04:13:56 1483589636 731642497 276 551 565 531 15040 16589 25355 24118 57215 74663 104186 10205 42,5 45,0 15,0 42,5 45,0 8 504 5-1-2017 04:13:56 1483589636 731642543 16 159 483 50 0 1430 5031 508 0 0 20311 0 -999,0 15,0 22,5 57,5 27,5 8 505 5-1-2017 04:13:56 1483589636 731642606 184 232 399 186 2735 2674 18271 1367 12109 12398 81333 1 87,5 112,5 12,5 717,5 97,5 9 502 5-1-2017 04:14:52 1483589692 598368291 368 103 91 261 7227 1496 1791 3143 27493 1 1 13299 17,5 52,5 60,0 10,0 22,5 9 505 5-1-2017 04:14:52 1483589692 598368467 525 666 1588 2030 12773 13464 39459 42816 56552 62427 175651 195281 12,5 15,0 12,5 12,5 15,0 9 504 5-1-2017 04:14:52 1483589692 598368713 159 16 9 494 2423 0 0 6878 12811 0 0 3266 12,5 -999,0 -999,0 92,5 97,5 10 505 5-1-2017 04:54:28 1483592068 999024328 236 235 8 29 2677 5542 0 58 11852 25696 0 0 62,5 12,5 -999,0 82,5 67,5 10 504 5-1-2017 04:54:28 1483592068 999024717 8 518 234 577 0 5883 1698 5298 0 20344 1 25157 -999,0 515,0 115,0 12,5 120,0 10 502 5-1-2017 04:54:28 1483592068 999024778 2831 3502 3901 3382 3E+05 3E+05 2E+05 145830 1089223 1367628 855025 617047 15,0 27,5 37,5 25,0 27,5 11 502 5-1-2017 05:24:37 1483593877 811943220 701 316 191 359 11947 6261 2104 3988 45449 28179 1 16874 12,5 32,5 142,5 32,5 42,5 11 504 5-1-2017 05:24:37 1483593877 811943370 125 499 41 286 1405 5152 109 3633 1 17816 0 17251 37,5 22,5 412,5 12,5 27,5 11 505 5-1-2017 05:24:37 1483593877 811943502 205 49 274 466 2333 308 2995 9786 10329 0 13332 44633 32,5 117,5 27,5 15,0 32,5 12 504 5-1-2017 06:10:41 1483596641 288708596 306 417 478 295 8414 10065 8579 5768 44487 34806 34634 27389 55,0 12,5 42,5 40,0 52,5 12 502 5-1-2017 06:10:41 1483596641 288708742 551 488 237 417 14613 14765 6924 6613 55591 66454 28451 27981 10,0 20,0 12,5 105,0 17,5 12 505 5-1-2017 06:10:41 1483596641 288708765 2636 3464 2128 3895 1E+05 2E+05 1E+05 149505 567593 723521 480507 681881 22,5 17,5 17,5 12,5 20,0 13 502 5-1-2017 06:18:27 1483597107 68776143 368 113 117 29 5203 1674 1798 29 19793 1 1 0 12,5 87,5 120,0 665,0 122,5 13 505 5-1-2017 06:18:27 1483597107 68776293 187 451 337 412 2038 6907 8894 7055 1 32025 39592 32177 70,0 65,0 12,5 135,0 72,5 13 504 5-1-2017 06:18:27 1483597107 68776911 9 439 31 513 0 5558 31 5401 0 1922 0 25647 -999,0 12,5 1812,5 802,5 805,0 14 505 5-1-2017 06:50:32 1483599032 555334685 53 93 243 147 646 1648 2671 1448 0 1 1189 1 162,5 12,5 35,0 17,5 37,5 14 504 5-1-2017 06:50:32 1483599032 555334771 16 176 151 186 0 2625 1538 1317 0 1 1 1 -999,0 12,5 27,5 37,5 42,5 14 502 5-1-2017 06:50:32 1483599032 555334873 201 409 505 385 2328 8511 11163 5394 1 38306 4587 22823 12,5 32,5 20,0 42,5 25,0

15 504 5-1-2017 09:11:03 1483607463 936224024 1844 2521 3219 2553 39610 77927 76423 101155 20943 269478 308526 480332 12,5 25,0 25,0 42,5 27,5 15 502 5-1-2017 09:11:03 1483607463 936224043 485 858 587 860 10658 15672 12602 20127 40545 70536 51783 85163 37,5 25,0 12,5 32,5 30,0 15 505 5-1-2017 09:11:03 1483607463 936224751 1075 1712 764 949 21817 22076 16493 23004 96593 102357 73418 10492 35,0 55,0 12,5 42,5 40,0 16 504 5-1-2017 10:23:50 1483611830 445201017 8 258 181 33 0 2842 2268 33 0 1 1 0.0157 -999,0 57,5 15,0 167,5 62,5 16 502 5-1-2017 10:23:50 1483611830 445201377 36 914 363 287 103 10762 4293 3969 0 48437 1764 16794 62,5 12,5 25,0 50,0 30,0 16 505 5-1-2017 10:23:50 1483611830 445201707 1181 1528 1124 2295 32675 22904 26677 34803 144667 106196 118752 158734 37,5 47,5 15,0 17,5 20,0 17 504 5-1-2017 12:32:33 1483619553 844377674 13 227 20 836 0 2567 0 11788 0 1 0 55975 -999,0 12,5 -999,0 117,5 122,5 17 502 5-1-2017 12:32:33 1483619553 844377998 406 2670 590 172 9899 56334 8891 2821 37658 253546 36534 11936 27,5 12,5 37,5 90,0 32,5 17 505 5-1-2017 12:32:33 1483619553 844378118 1210 1921 1572 1643 30414 44120 49047 37440 134656 204565 218332 170761 27,5 30,0 15.0 15,0 17,5 18 505 5-1-2017 12:33:46 1483619626 671166866 207 243 241 821 5710 8358 8110 17458 25281 38752 36102 79625 12,5 12,5 82,5 25,0 20,0 18 502 5-1-2017 12:33:46 1483619626 671166903 396 296 255 64 10081 3830 2054 441 3835 17238 1 0.1866 37,5 42,5 12,5 317,5 42,5 18 504 5-1-2017 12:33:46 1483619626 671166924 251 605 240 729 8989 19514 6337 14638 47528 67481 25583 69508 15,0 27,5 40,0 17,5 27,5 19 502 5-1-2017 15:22:25 1483629745 813492317 2776 3442 3901 3377 2E+05 2E+05 2E+05 171847 635834 864632 878488 727132 20,0 17,5 12,5 12,5 15,0 19 505 5-1-2017 15:22:25 1483629745 813492480 200 185 55 323 2737 3876 302 7940 12118 17971 0 36214 67,5 12,5 132,5 17,5 25,0 19 504 5-1-2017 15:22:25 1483629745 813492837 124 492 114 441 991 6339 550 4753 1 21921 0 2257 190,0 72,5 270,0 12,5 225,0 20 505 5-1-2017 15:35:38 1483630538 602017274 15 91 248 210 0 796 2984 2631 0 0 13283 1 -999,0 165,0 90,0 12,5 92,5 20 502 5-1-2017 15:35:38 1483630538 602017394 2033 2108 2735 2871 54405 59583 60379 68049 206968 268169 248102 287934 22,5 32,5 25,0 12,5 25,0 20 504 5-1-2017 15:35:38 1483630538 602017712 248 125 1079 46 3234 615 13242 136 17099 0 53459 0 15,0 417,5 45,0 1385,0 47,5 21 505 5-1-2017 16:36:09 1483634169 34794378 41 376 136 198 191 2716 1793 2231 0 12593 1 10175 517,5 55,0 12,5 22,5 27,5 21 504 5-1-2017 16:36:09 1483634169 34794514 268 891 530 199 5502 17744 7510 2988 29091 6136 30318 14188 57,5 12,5 22,5 22,5 27,5 21 502 5-1-2017 16:36:09 1483634169 34794633 304 104 129 164 3286 1054 1031 1033 12501 0 0 0 12,5 57,5 247,5 27,5 35,0 22 502 5-1-2017 16:47:52 1483634872 163443601 1489 896 431 903 32260 19505 9325 24069 122724 87787 38317 101843 32,5 37,5 32,5 15,0 35,0 22 505 5-1-2017 16:47:52 1483634872 163443632 34 203 7 320 206 1707 0 3588 0 1 0 16365 12,5 22,5 -999,0 15,0 27,5 22 504 5-1-2017 16:47:52 1483634872 163444737 669 306 8 27 8993 3166 0 27 47549 10948 0 0 467,5 12,5 -999,0 137,5 470,0 23 505 5-1-2017 18:39:26 1483641566 490235758 9 6 266 300 0 0 2707 3323 0 0 1205 15156 -999,0 -999,0 12,5 52,5 55,0 23 502 5-1-2017 18:39:26 1483641566 490235807 561 660 228 367 19960 10685 2607 5615 75932 48091 10712 23759 17,5 32,5 25,0 10,0 22,5 23 504 5-1-2017 18:39:26 1483641566 490236295 85 240 662 202 718 4303 6863 1899 0 1488 27707 1 77,5 22,5 12,5 52,5 30,0 24 505 5-1-2017 18:46:05 1483641965 710104763 262 198 477 64 7994 3347 7302 444 35393 15519 32505 0 17,5 12,5 50,0 72,5 37,5 24 502 5-1-2017 18:46:05 1483641965 710105029 133 259 406 155 1253 5184 5570 1991 0 23332 22888 1 87,5 52,5 10,0 27,5 57,5 24 504 5-1-2017 18:46:05 1483641965 710105476 227 1003 440 530 5458 30230 10107 8075 28858 104538 40803 38344 12,5 12,5 17,5 42,5 17,5 25 504 5-1-2017 19:39:12 1483645152 387479551 294 351 312 222 3138 7573 6520 1328 16592 26188 26322 1 27,5 67,5 12,5 110,0 32,5 25 505 5-1-2017 19:39:12 1483645152 387480003 1997 2464 1578 2340 89164 94953 54860 77525 394768 440255 244209 353586 37,5 27,5 25,0 12,5 27,5 25 502 5-1-2017 19:39:12 1483645152 387480129 859 677 241 235 22290 17155 5418 7197 84796 77211 22263 30452 47,5 12,5 27,5 35,0 30,0 26 502 5-1-2017 22:01:54 1483653714 923600700 190 151 198 21 3058 1831 2173 0 11633 1 1 0 12,5 7,5 32,5 122,5 37,5 26 504 5-1-2017 22:01:54 1483653714 923600711 11 369 8 214 0 5085 0 2495 0 17584 0 11847 -999,0 12,5 -999,0 92,5 100,0 26 505 5-1-2017 22:01:54 1483653714 923600745 2774 3392 2060 3896 88488 96681 73326 128115 391.775 448.267 32.641 584.323 17.5 22.5 12.5 12.5 17.5 27 505 5-1-2017 23:25:04 1483658704 908416284 528 337 514 394 17856 13136 18135 9451 79.056 60.906 80.728 43.105 27.5 35.0 15.0 80.0 32.5 27 502 5-1-2017 23:25:04 1483658704 908416405 2811 3402 3901 3396 2E+05 2E+05 2E+05 185660 749.203 795.469 81.176 785.578 12.5 15.0 20.0 15.0 15.0 27 504 5-1-2017 23:25:04 1483658704 908416443 210 612 508 300 2412 13164 8792 7164 12.753 45.522 35.494 34.018 162.5 12.5 77.5 15.0 82.5 28 504 5-1-2017 23:44:02 1483659842 323914677 2333 2447 3309 3350 2E+05 3E+05 3E+05 262221 1.138.184 93.989 1.310.954 124.515 42.5 22.5 12.5 22.5 27.5 28 505 5-1-2017 23:44:02 1483659842 323914747 2834 3193 2113 3897 3E+05 3E+05 3E+05 341502 1.368.026 1.281.007 1.174.992 1.557.566 32.5 15.0 27.5 12.5 17.5 28 502 5-1-2017 23:44:02 1483659842 323915028 3059 3792 3901 3648 3E+06 4E+06 3E+06 3E+06 10.969.214 17.763.639 12.416.105 11.562.791 12.5 12.5 27.5 25.0 15.0

D. Onnauwkeurigheid in MATLAB

FIGUUR 15 CODE VAN MATLAB OM DE PARTIEEL AFGELEIDEN TE BEPALEN