Desom van de hoeken van eendriehoekis 180◦

A MEETKUNDE

Het begrip dierentieerbare variëteit komt voort uit het werk van Gauss en Riemann. In de

`Elementen'vanEu lideswordtdemeetkundeopgebouwduitgaandevanpostulatenenaxioma's.

Eénvandezepostulaten,hetvijfde,lijktmindervanzelfsprekenddandeoverige,enmenheeftin

deloopdereeuwengepoogdditpostulaattebewijzenmetbehulpvandeanderepostulaten. Het

vijfdepostulaatstelthetvolgende: laat l₁ ^enl₂ ^{re htenzijndiedere hte}l^{snijdenmethoeken}β

en α^{,dan impli eert} α+ β < 180^{◦ dat} l₁ ^en l₂ ^{elkaar snijden,aandie kant vande re hte} l^waar

ookdehoekenβ^enα ^{liggen. Er iseenaantal}equivalenteformuleringenvanhetvijfdepostulaat.

Twee ervanluiden als volgt:

• ^{Door een punt} P ^{buiten een re hte} l ^{is pre ies één re hte te trekken die} l ^{niet snijdt}

(parallellenpostulaat).

• ^{Desom van de hoeken van eendriehoekis} 180^◦.

De pogingen om het parallellenpostulaat te bewijzen uit de overige faalden alle en gaandeweg

kwam met tot het inzi ht dat meetkunde waarbij het parallellenpostulaat niet geldig is tot de

logis he mogelijkhedenbehoort. Een dergelijke meetkundeheeteen niet-eu lidis hemeetkunde.

A.1 Niet-eu lidis he meetkunde

Uit brieven blijkt dat C.F. Gauss (1777 - 1855) al in 1824 een vergaand inzi ht in de niet-

eu lidis hemeetkundehad. Hijmaaktedite hternietpubliekomdathijhiervanteveelops hud-

ding verwa htte. Deniet-eu lidis he meetkunde werd ookonafhankelijk door J. Bolyai (1802 -

1860)en N.I.Loba hevski (1793- 1856)geformuleerd.

Figuur1:Deraakve torineenpuntvaneenkromme. Voor∆λ → 0^{naders ∆~}_∆λ^{r totderaakve -}

tor.

Fig. 1 toont dat een kromme is voor te stellen door de vergelijking ~r = ~r(λ)^{, met} λ ^de

parameter van de kromme. Voor de omponenten (x, y, z) ^{van de ve tor} ~r ^geldt x = x(λ)^, y= y(λ) ^enz= z(λ)^{. Een raakve tor aande kromme wordt gegeven door}

d~r

dλ = lim

∆λ→0

~r(λ + ∆λ) − ~r(λ)

∆λ . ⁽¹⁾

Debooglengte langs de krommetussen depunten~r(λ₁)^en ~r(λ₂) ^{wordtgegeven door} s≡

Z ~r(λ₂)

~r(λ1) |d~r| = Z λ₁

λ₂

d~r dλ    

dλ= Z λ₂

λ₁

rd~r dλ· d~r

dλdλ. ⁽²⁾

Debooglengtes^{toteenvastpuntop dekrommeisooktegebruikenalsparameter inplaatsvan} λ^,immer s= s(λ)^{. Men s hrijft}~r= ~r(s)^{,ende raakve tor isdan}

~t ≡ d~r

ds. ⁽³⁾

Merkopdatditeen eenheidsve tor is,~t·~t = ^d~_ds^r·^d~_ds^r = 1^,omdat(ds)² = d~r · d~r^{. Uit}~t·~t = 1^volgt

doordierentiatie naars^,dat~t · ˙~t = 0^,zodat ˙~t = ^d~_ds^{t loodre htop}~t^{,dusop deraaklijn staat. De}

hoofdnormaal~n^{is perdenitie de}eenheidsve tor inde ri hting van ˙~t^,dus

˙~t = κ~n met κ = κ(s). ⁽⁴⁾

Uithetbovenstaande volgt~t· ~n = 0^{en uit}vergelijking(4)met~n² = 1^,datκ=  ˙~t

,waarbij κ^de

krommingvan de urve is. Tenslottewordtde binormaal~bgedenieerddoor

~b = ~t × ~n. ⁽⁵⁾

Fig. 2toont datiniederpunt~r(s)^{vandekrommeernueen drietalve toren}~t, ~n,~b^{bestaat. Dit}

Figuur 2:Meebewegend orthonormaal oördinatenstelsel {~t, ~n,~b} ^{van een kromme. De triade}

bestaatuit de tangentve tor~t^,de normaalve tor ~n ^ende binormaalve tor~b^.

stelselheetde meebewegendetriade. Zevormen een orthonormaal stelsel.

Uitvergelijking(5^)volgt~b · ~t = 0^. Dierentiatie naar s^{geeft, met} vergelijkingen (4^{) en (}5⁾ 0 = ˙~b ·~t+~b · ˙~t = ˙~b ·~t+ κ~b · ~n = ˙~b ·~t. ⁽⁶⁾

Uit~b ·~b = 1 ^volgt ˙~b ·~b = 0 ^{enwe ziendat} ˙~b^{parallelisaan ve tor}~n^{. Mendenieert}τ = τ (s)^met

˙~b = −τ~n^,waarbijτ ^{detorsie vande krommewordtgenoemd. Tenslotte volgtuit}~n= ~b × ~t^dat

˙~n = ˙~b × ~t +~b × ˙~t = −τ~n × ~t + κ~b × ~n = τ~b − κ~t. ⁽⁷⁾

Samenvattend geldt

˙~t = κ~n

˙~n = −κ~t +τ~b

˙~b = −τ~n

(8)

enditzijndeformulesvanFrenet(1847)enSerret (1850). Eengevolghiervanisdat bijgegeven

kromming en torsie door integratie van deze eerste-orde dierentiaalvergelijkingen de kromme

op eenverplaatsingna (integratie onstanten)vastligt.

Figuur 3:Kromme door punt P ^{in het oppervlak} Σ^{. Bes houw alle krommen door} P^{. De}

verzameling van alle raakve toren in P ^{van al deze krommen vormt de} tangentenve torruimte

T_P^.

Vervolgens bes houwen wegebogenoppervlakkeninE^{3. IndetijdvoorGausswerdeengebogen}

oppervlak voorgesteld door z= f (x, y) ^ofw(x, y, z) = 0^{. In hetbijzonder kanmen krommen in}

een dergelijk oppervlak bes houwen envoor dezekrommen kan menuiteraard debovenstaande

begrippen invoeren. Fig. 3 toont dat γ ^{een kromme in hetoppervlak} Σ^{is met} P ^{een punt op} γ^{. Dan heeft} γ ^{een raakve tor} _dλ^{d~r in het punt} P^{. Bes houw nu alle mogelijke krommen in} Σ

doorP^,danvormtdeverzamelingvanallebijbehorende raakve toren

d~r

dλ ^een twee-dimensionale ve torruimteTP^,deraakve torruimte, tangentenve torruimteofraakvlakgenoemd. Denormaal

~

n ⁱⁿ P ^{op het oppervlak} Σ ^{is de} eenheidsve tor in P ^{loodre ht op} T_P^{. Het volgende resultaat}

wasreeds vóór Gaussbekend.

S

S

k T_P

n X

t

Figuur 4:Door P ^{gaat een vlak} X ^dat normaalve tor ~n ^{bevat. Het vlak} X ^{snijdt gebogen}

oppervlakΣ^{langs urve}γ^{. De}eenheidsve tor~t^istangentiaal aanγ ^{engeeftderi htingvandeze}

snede. Deve tor~t^{ligt inhet}tangentenvlak T_P^.

Stelling van Euler (1760):ZijP ^{eenpuntvanhetoppervlak}Σ^enzij~n^denormaalinP ^opΣ^(zie

Fig. 4). ZijX^{een vlakdoor}~n^enzijγ ^dedoorsnijdingvanX^enΣ^{(ditiseen kromme)enlaat}κ

de krommingvan γ ⁱⁿP ^{zijn. Danbestaat ereen vlak}X₁ (respe tievelijkX₂^{) door} ~n^waarvoor κ_γ ^maximaal(respe tievelijkminimaal) isenmen noemt dezekrommingdanκ₁ (respe tievelijk

κ₂^{). Alshetvlak} X ^{een hoek} θ^maaktmet X₁^{,dan geldt}

κ_γ = κ₁cos²θ+ κ₂sin²θ. ⁽⁹⁾

Dekrommingen κ₁ ^en κ₂ ^{heten de} hoofdkrommingen. Fig. 5 geefteen beeld vande kromming vanruimtemetnegatievekromming(ditlijktopeenzadeloppervlak). Detheorievandegebogen

planes of principal

curvatures

normal vector

tangent plane

Figuur 5:S hets van een gebogen oppervlak waarbij de vlakken met hoofdkrommingen zijn

aangegeven,evenals hettangentenvlak.

oppervlakken werd aanzienlijkverder ontwikkeld door C.F. Gaussinzijn artikel `Disquisitiones

generales ir asuper ies urvas'uit1827. Gaussbes hreefhierineenoppervlakmetbehulpvan

de parametervoorstelling x = x(u, v)^, y = y(u, v) ^en z = z(u, v) ^{of samengevat} ~r = ~r(u, v) ^en

zoals Fig. 6 toont ontstaan hiermee op het oppervlak krommen u = constant ^en v = constant^.

We benadrukken dat een punt op hetoppervlak Σ^{wordt vastgelegd doortwee reële parameters} u ^env^,namelijk~r= ~r(u, v)^{. Eenkromme} ~r= ~r(λ) ^{inhetoppervlak}Σ^{is dus ooktegevendoor}

een parametervoorstelling u = u(λ) ^en v = v(λ)^{. De afstand} ds ^{tussen twee} innitesimaal van elkaar verwijderde punten~r(u, v)^en ~r(u + du, v + dv)^{wordt gegevendoor} (ds)²= d~r · d~r ^met

d~r= ~r(u + du, v + dv) − ~r(u, v) = ∂~r

∂udu+∂~r

∂vdv = ~rudu+ ~rvdv. ⁽¹⁰⁾

We vinden hiermeevoor de afstand

(ds)²= (~rudu+ ~rvdv) · (~r^udu+ ~rvdv) = ~ru· ~r^u(du)²+ 2~ru· ~r^vdudv+ ~rv· ~r^v(dv)². ⁽¹¹⁾

Met de traditioneleafkortingenE≡ ~r^u· ~r^u,F ≡ ~r^u· ~r^{v en} G≡ ~r^v· ~r^{v vinden we}

(ds)² = E(du)²+ 2F dudv + G(dv)², ⁽¹²⁾

Figuur 6:Coördinatenvan Gaussvoorde bes hrijving vaneen gebogen oppervlak.

met E^, F ^en G ^{fun ties van} u ^en v^{. Deze} kwadratis he vorm voor (ds)^{2 heet de eerste funda-}

mentaalvorm of demetriek. Alshetoppervlak Σ^{een plat vlakisdan geldt}bijvoorbeeld

(ds)²= (dx)²+ (dy)² = (dr)²+ r²(dφ)², ⁽¹³⁾

naar gelang men voor (u, v) artesis he oördinaten of pool oördinaten kiest. Tegenwoordig noteert menvoor (u, v)^ookwel(x¹, x²)^,dus

(ds)² =

2

X

i,j=1

gijdxⁱdx^j, gij = gi,j(x¹, x²), ⁽¹⁴⁾

met

g₁₁(x¹, x²) ≡ E(x¹, x²) = ~e₁· ~e1, g₁₂= g₂₁≡ F = ~e1· ~e2, en g₂₂≡ G = ~e2· ~e2, ⁽¹⁵⁾

waarbij ~e₁ ≡ _∂x^∂~r1 = ~r_u ^{de raakve tor aan de} oördinaatlijn x² = constant^en ~e₂ ≡ _∂x^∂~r2 = ~r_v ^de

raakve tor aan de oördinaatlijn x¹ = constant ^{is. Dus} g_ij = ~ei· ~e^j = gji^{. De ve toren} ~e₁ ^en

~e₂ ^{vormen een basis van de} twee-dimensionale raakve torruimte in ~r = ~r(u, v) ^aan Σ^{. Iedere}

raakve tor inditpunt iseen lineaire ombinatie van~e₁ ^en~e₂^,

~a=

2

X

i=1

aⁱ~ei en ook ~b =

2

X

i=1

bⁱ~ei. ⁽¹⁶⁾

Voor hetinprodu tinde raakve torruimtegeldt

~a·~b =

2

X

i=1

aⁱ~e_i·

2

X

j=1

b^j~e_j = a¹b¹~e₁· ~e1+ a¹b²~e₁· ~e2+ a²b¹~e₂· ~e1+ a²b²~e₂· ~e2=

2

X

i,j=1

g_ijaⁱb^j.

(17)

Zij γ ^{eenkromme inhetoppervlak} Σ^enlaat A ^enB ^{twee puntenop} γ ^{zijn, dandenieert men}

de booglengte s_γ ^langs γ ^tussen A ^en B ^als s_γ = RB

A ds^{. Als de kromme} γ ^wordt voorgesteld dooru= u(λ) ^env = v(λ)^{, danvolgt inverbandmet} ds= ^ds_dλdλ ^dat

s_λ = Z λB

λA

s E du

dλ

2

+ 2F du dλ

dv dλ



+ G dv dλ

2

dλ= Z λB

λA

v u u t

2

X

i,j=1

g_ij(x¹, x²)dxⁱ dλ

dx^j

dλdλ. ⁽¹⁸⁾

LaatA ^enB ^{twee puntenvanhetoppervlak} Σ^{zijn,dan isde geodeetdoor} A ^enB ^diekromme γ ⁱⁿΣ^{waarvoor debooglengte}s_γ ^tussen A ^enB ^{minimaal (of extremaal)is. In het}eu lidis he vlak is een re hte een geodeet en omgekeerd. Op de bol is een grote irkel (dit is een irkel

waarvan het vlak door het middelpunt van de bol gaat) een geodeet en omgekeerd. Merk op

dat de intrinsieke meetkunde van het oppervlak, dat is de meetkunde van twee-dimensionale

wezens die in het oppervlak leven en die geen weet hebben van de drie-dimensionale ruimte,

geheel bepaald wordt door de metriek (ds)^{2. De} hoofdkrommingen κ₁ ^en κ₂ ^{van een punt} P

inΣ ^zijn intrinsieke eigens happen van het oppervlak. Dit is eenvoudig inte zien aan de hand vanhetvolgende voorbeeld. Voor een plat vlak(bijvoorbeeldeen vel papier) geldt κ₁ = κ₂ = 0

en (ds)² = (dx)² + (dy)^{2. Als het vel papier tot een ylinder wordt gevouwen, dan gebeurt}

er niets met de metriek, maar κ₂ ^{wordt ongelijk aan nul. Het} opmerkelijke is nu, dat er een ombinatie vanκ₁ ^en κ₂ ^{bestaat die}ongewijzigd blijft bij hetvouwen van hetpapier. Dit is de gausskromming.

Theorema egregium van Gauss:Degausskrommingκ≡ κ1κ₂ ^iseenintrinsiekegrootheid,ditwil zeggengeheel bepaalddoor demetriek, namelijk

κ= − 1 4W⁴

E E_u E_v F Fu Fv

G G_u G_v      

− 1 2W

 ∂

∂v

 Ev− F^u W



− ∂

∂u

 Fv− G^u W



, ⁽¹⁹⁾

met W ≡√

EG− F^2.

Merkopdat κ^{sle htsafhangtvande metriekvia} E^,F ^enG^{en eersteen tweedeordeafgeleiden}

hiervan,waardoorκ^inderdaadeenintrinsiekegrootheidis. Dehoofdkrommingenhangenboven- dien nog af van de wijze waarop het oppervlak is ingebed in de drie-dimensionale ruimte. De

gausskromming is een fun tie van u ^en v^, κ = κ(u, v)^. Oppervlakken van onstantekromming zijnoppervlakken waarvoor κ(u, v) = constant^{. Hiervan bestaan drietypen,namelijk}

1. hetsferis hevlak(eenheidsbol) metmetriek

(ds)² = (du)²+ sin²u(dv)² met κ= +1; ⁽²⁰⁾

2. heteu lidis he vlak(in pool oördinaten) metmetriek

(ds)² = (du)²+ u²(dv)² met κ= 0; ⁽²¹⁾

3. hethyperbolis he vlakmetmetriek

(ds)² = (du)²+ sinh²u(dv)² met κ= −1. ⁽²²⁾

Hetlaatste gevalisde niet-eu lidis he meetkunde van Gauss-Loba hevski-Bolyai.

Inhetvolgendebes houwenweeeninnitesimaalparallellograminΣ^{(zieFig. 7). Dezijden}~rudu

en ~r_vdv ^{resulteren ineen} oppervlakte dσ = |~r^×~r_v| dudv^{. Merk op dat}   ~a×~b

2 = a²b² − (~a · ~b)²

omdat sin²χ+ cos²χ= 1^{. Dusvolgt}

dσ=p

EG− F²dudv. ⁽²³⁾

Destellinguit de eu lidis he meetkunde diezegtdat de som vande hoeken vaneen driehoekπ

is kan nu worden gegeneraliseerd. Een driehoekin het oppervlak Σ ^{iseen drietal punten} A^, B

en C ⁱⁿΣ^{verbonden door degeodetentussen} puntenparen (zieFig. 8). Laat~t₁ ^en~t₂ ^eenheids-

Figuur 7:Een innitesimaalparallellogram ineen gebogen oppervlak.

Figuur 8:Een geodetendriehoek.

raakve toren in A ^{zijn aan de twee geodeten (de zijden} AB ^en AC ^{van de} geodetendriehoek) doorA^{,danis dehoek}α gedenieerd metbehulpvan

cos α = ~t₁· ~t2=

2

X

i,j=1

g_ijtⁱ₁t^j₂. ⁽²⁴⁾

Voor B ^en C ^{analoog. Dangeldt}

α+ β + γ − π = Z

κdσ, ⁽²⁵⁾

waarbij de integraal over het oppervlak van de geodetendriehoek wordt uitgevoerd en κ ^de

gausskromming is. In het bijzondere geval van een oppervlak met onstante kromming geldt

α+ β + γ − π = κ∆^,waarin ∆^{het oppervlak van de driehoek is; voor} κ= 0 ^{wordt inderdaad}

hetresultaat uitde eu lidis he meetkunde teruggevonden.

A.2 Riemannse meetkunde

De tweede belangrijke stap in de ontwikkeling van de dierentiaalmeetkunde werd gezet door

B. Riemann (1826 - 1866) in een olloqium, gehouden op 10 juni 1854, voor de losos he fa-

ulteit van de universiteitvan Göttingen,waarvande titel luidde `Ueber die hypothesen wel he

der Geometrie zu Grunde liegen'. Hierin gaf hij aan hoe een twee-dimensionaal gekromd op-

pervlak kan worden gegeneraliseerd tot `eind n fa h ausgedehnte Mänigfaltigkeit' en bovendien

introdu eerde hijeen afstandsbegripvoorde n-dimensionale ruimte(riemannsemeetkunde). De

`n fa h ausgedehnte Mänigfaltigkeit' is wat tegenwoordig een n-dimensionale dierentieerbare variëteit wordtgenoemd.

De generalisatie is als volgt: Gauss bes hreef de punten van een twee-dimensionaal oppervlak

metbehulpvaneentweetalreële oördinaten(u, v) ≡ (x¹, x²)^{. Riemannbes hreefdepuntenvan}

een n-dimensionale dierentieerbare variëteit met behulp van reële oördinaten (x¹, x², ..., xⁿ)^.

BijGauss isde afstandtussen twee innitesimaal verwijderde punten

(ds)² =

2

X

i,j=1

g_ij(x¹, x²)dxⁱdx^{j (26)}

en bijRiemann wordtditgegeneraliseerd tot

(ds)² =

n

X

i,j=1

g_ij(x¹, ..., xⁿ)dxⁱdx^j. ⁽²⁷⁾

De afstand tussen twee punten op een kromme γ ≡ xⁱ = xⁱ(λ) (i = 1, 2, ..., n) ^{in een} n^-

dimensionale ruimte wordthiermee gegeneraliseerd tot(zie vergelijking (18)

s_λ = Z λB

λA

v u u t

n

X

i,j=1

g_ij(x¹, ..., xⁿ)dxⁱ dλ

dx^j

dλdλ. ⁽²⁸⁾

Eenkrommeheetweereengeodeetalssγ^{extremaalis. Inhetbijzonderegevalvaneen}eu lidis he ruimtegeldt g_ij = δ_ij^,zodat vergelijking (28)overgaat in

s_λ= Z λB

λA

v u u t

n

X

i=1

 dxⁱ dλ

2

dλ. ⁽²⁹⁾

Als γ ^{een re hte lijn is1,krijgtmen} s²_λ=

n

X

i=1

 dxⁱ dλ

2Z λB

λA

dλ

²

=

n

X

i=1

 dxⁱ dλ

2

(λB− λ^A)² =

n

X

i=1

Bⁱ− Aⁱ
2

. ⁽³⁰⁾

Dit isde stellingvanPythagoras voor een n-dimensionale ruimte.

Een verdere belangrijke bijdrage van Riemann iszijn generalisatie van de krommingvan Gauss

tot een n-dimensionale ruimte: de krommingstensor van Riemann. Dekrommingstensor speelt een uitermate belangrijkerol inEinstein'sgravitatietheorie.

1

Indatgevalgeldtxⁱ= aⁱλ + b^ienwordtbijvoorbeeldλA= ^x

i A−bⁱ

a^{i . Dangeldt} dxⁱ

dλ = aⁱwaardoordeafgeleide nietmeervanλafhangtenbuitendeintegraalgehaaldkanworden. Verders hrijvenwexⁱ_A= Aⁱ.