∠=∠ QPRAPC () Snijden met een hoogtelijn Beoordelingsmodel

Snijden met een hoogtelijn

1 maximumscore 4

• ∠BRC= ∠PRQ; overstaande hoeken 1

• ∠PRQ=90° − ∠QPR; hoekensom driehoek 1

• Boog AC is constant, dus ∠APC is constant; constante hoek 1

• ∠QPR(= ∠APC) is constant, dus ∠BRC is constant 1

of

• De bogen CB en AB zijn constant, dus ∠CPB en ∠APB zijn constant;

constante hoek 2

• ∠PBQ=90° − ∠QPB (=90° − ∠APB), dus ∠PBQ is constant;

hoekensom driehoek 1

• ∠BRC= ∠PBQ+ ∠CPB is dus ook constant; buitenhoek driehoek 1

2 maximumscore 5 P C B A Q R S T U V

• ∠BRC is constant, dus de baan van R is een cirkelboog; (constante

hoek) 1

• Het tekenen van de cirkel door B, C en R, met toelichting (bijvoorbeeld door het middelpunt met behulp van de middelloodlijnen van BR en CR

te tekenen) 2

• Driehoek ABP mag niet stomphoekig zijn, dus P doorloopt de kortste cirkelboog ST, met S en T de snijpunten met de cirkel van de loodlijnen

in A en in B op de lijn AB (zie tekening) 1

• Het tekenen van de punten U en V en het aangeven van de gevraagde

cirkelboog UV 1

Opmerkingen

Als, bijvoorbeeld op grond van een aantal geconstrueerde punten, een baan is getekend die lijkt op een cirkelboog, maar niet is vermeld dat de baan van R een cirkelboog is, maximaal 3 scorepunten toekennen.

De leercurve

• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost 1

• a≈0, 23 1

of

• Kiezen van een waarde voor T en n, bijvoorbeeld ₁ T₁=20 en n=2 1

• 85 20 4 100 20 2 a a − − ⋅ = ⋅ 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost 1

• a≈0, 23 1

of

• n=2 invullen in de formule van Wright geeft T₂= ⋅T₁ 2−a, dus 2

1 2 a T T − = 1

• Opgelost moet worden 0,85=2−a 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost 1

• a≈0, 23 1

4 maximumscore 4

• Berekend moet worden wat de kleinste gehele waarde van n is waarvoor

geldt ₄₀⋅_n−0,328 <₂₀⋅_n−0,152 ₂

• Beschrijven hoe deze waarde berekend kan worden 1

• Het antwoord: bij de 52e keer uitvoeren 1

5 maximumscore 4 • 100,5 0,152 1 2 3 100 0,5 ... 20 d T + + + +T T T ≈

∫

Een exponentiële functie

6 maximumscore 4

• Voor de x-coördinaat van A geldt f ' x( )= 0 1

• 2 8 e 8 e ( ) (e ) x x x x f ' x = ⋅ − ⋅ 2

• Oplossen van f ' x( )= geeft x = 1 (dus de x-coördinaat van A is 1) 0 1

7 maximumscore 4

• Onderzocht moet worden hoe ver de snijpunten van de lijn y = 2 met de

grafiek van f uit elkaar liggen 1

• Beschrijven hoe de oplossingen van de vergelijking ( )f x = berekend 2

kunnen worden 1

• De oplossingen zijn x≈0, 4 en x≈2, 2 1

• Het verschil tussen deze twee waarden van x is kleiner dan 2, dus het

past niet 1 of • f a( )= f a( + geeft 2) 2 8 8( 2) ea ea a a + + = 1

• Beschrijven hoe de oplossing van deze vergelijking berekend kan

worden 1

• a≈0,313 1

8 maximumscore 5 • f x( )=g x_n( ) geeft 8 8 ex enx x ₌ nx 1 • Dit geeft 8_x⋅enx =8_nx⋅ex ₁ • Dus _e(n−1)x = (of x = 0) _{n 2}

• Dit geeft (voor n > 0) (n−1)x=lnn, dus (voor n > 0 en n≠1) 1

1ln n

x= ₋ n (dus de formule klopt voor elke positieve waarde van n met

1 n≠ ) 1 of • (Voor n>0 en n≠1 geldt) 1 1 1 1 1 ln 8 ln ( ln ) enn n n n n n n g n − − − ⋅ ⋅ = 1 • (Voor n>0 en n≠1 geldt) 1 1 1 1 1 1 ln 8 ln ( ln ) en n n n n f n − − − ⋅ = 1 • Hieruit volgt 1 1 1 1 1 1 ln 8 ln ( ln ) en n n n n n f n n − − − ⋅ = ⋅ 1 • Dit geeft 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln ln ln 8 ln 8 ln ( ln ) e en e n n n n n n n n n n n n f n − − − − − + ⋅ ⋅ = = ⋅ 1 • Dus 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ln ln 8 ln 8 ln ( ln ) e n enn n n n n n n n n n f n − − − − − + ⋅ ⋅

= = (dus de formule klopt voor elke

positieve waarde van n met n≠1) 1

9 maximumscore 4

• De rechtergrens van het gebied is gelijk aan 1 2ln 3 snijpunt x = (of 0,549) 1 • De gevraagde oppervlakte is 1 1 2ln 3 2ln 3 3 ₃ 0 0 24 8 ( ( ) ( ))d d e x ex x x g x − f x x= ⎛_⎜ − ⎞_⎟ x ⎝ ⎠

∫

∫

• Beschrijven hoe deze integraal berekend kan worden 1

Wortelfuncties

10 maximumscore 8

• 12 6+ x−12 = geeft 6x x−12 = − x 12 1

• Hieruit volgt _36(x−₁₂₎=_(x−₁₂₎2 ₁

• Dus x−12=0 of x−12=36 1

• De x-coördinaten van de snijpunten zijn 12 en 48 1

• De oppervlakte van het vlakdeel is

48

12

(12 6+ x−12−x x)d

∫

• Een primitieve van 12 6+ x−12− is x 1 2

2

12x+4(x−12) x−12− x (of

een minder ver uitgewerkte vorm) 2

• De oppervlakte is 216 1

11 maximumscore 6

• f n_n( + = + , dus (9) n 18 n+9, n+18) ligt op de grafiek van f _n 1

• (n+9, n+18) ligt ook op lijn k (want n+18=(n+ + ) 9) 9 1

• f ' x_n( ) 3 x n = − 2 • ( 9) 3 1 9 n f ' n n n + = = + − 1

• De richtingscoëfficiënt van k is ook 1 (dus de grafiek van f raakt lijn _n

k in het punt met x-coördinaat n+9) 1

of

• f ' x_n( ) 3

x n

=

− 2

• De richtingscoëfficiënt van k is 1, dus de raaklijn in een punt van de grafiek van f heeft dezelfde richting als k als voor de x-coördinaat van dat punt geldt f ' x_n( )= ofwel 1 3 1

x−n = 1

• 3 1

x−n = oplossen geeft x= +n 9 1

• f n_n( + = + , dus (9) n 18 n+9, n+18) is het punt van de grafiek van f _n

waarin de raaklijn dezelfde richting heeft als k 1

• (n+9, n+18) ligt ook op lijn k (want n+18=(n+ + ) (dus de 9) 9

Zoek de geodriehoek

12 maximumscore 4

• ∠PSQ=90° , dus ∠PQS=90° − ∠SPQ; hoekensom driehoek 1

• ∠RPQ=90° , dus ∠RPT =180° − ° − ∠90 SPQ=90° − ∠SPQ; gestrekte

hoek 1

• Dus ∠PQS= ∠RPT 1

• Verder PQ = RP en ∠PSQ= ∠RTP, dus PQSΔ ≅ ΔRPT; ZHH 1

13 maximumscore 3

• Met de afstanden van A tot de beide lijnen congruente driehoeken

tekenen zoals in de onderstaande tekening 2

• De rest van de tekening 1

m

k A

of

• Gelijke lijnstukken tekenen zoals in de onderstaande tekening 1

• Het tekenen van de rechte hoek bij A 1

• De rest van de tekening 1

Gebroken functie

− = geeft de (positieve) oplossing x 1 a = (dus de x-coördinaat van de top is 1 a ( 1 a = )) 1

• De y-coördinaat van de top is 1 1 1 a a a ⋅ + (= a+ a =2 a) 1 • 1 1 1 1 1 2 1 a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ + = ⋅ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

, dus c = 2 (en de toppen liggen op de

hyperbool 2xy= ) 2 of • 2 1 ( ) a f ' x a x = − 1 • 2 1 0 top a x − = geeft 2 1 top a x = 1

• Invullen in _{top top} 1

top

y a x

x

= ⋅ + geeft _top 1 1 2

top top top

y

x x x

= + = 1

• Hieruit volgt x_top⋅y_top =2, dus c = 2 (en de toppen liggen op de

Rechthoeken bij een kwartcirkel

• V t( )= ⋅3 W t( ) als 1 cos+ t= −3 3cost (met 1

2 0< <t π) 1 • Dus 1 2 cos t= (met 1 2 0< <t π) 1 • Het antwoord: 1 3π t= 1 16 maximumscore 4

• Aangetoond moet worden dat

1 1 2(1 cos ) 2sin sin 1 cos t t t t + = − (voor 0< <t 12π) 1 • Dit is (voor 1 2

0< <t π) gelijkwaardig met _{(1 cos )(1 cos )}+ _t − _t =_sin2_{t 1}

• Dit is gelijkwaardig met _{1 cos}− 2_t=_sin2_{t 1}

17 maximumscore 7 • ON RA OQ = RS geeft 1 2 1 2 (1 cos ) _{1 cos} sin sin t _t t t + ₋ = 1

• Hieruit volgt 1 cos+ t=4(1 cos )− t 2

• Dus 3

5

cos t= 2

• De zijde van vierkant ONPQ is 4₅ en de zijde van vierkant ATSR is ₅2 2

of

• Beide rechthoeken zijn vierkant als sint=1₂(1 cos )+ t en

1

2sint= −1 cost 2

• Hieruit kan sin t berekend worden door cos t te elimineren

(of: hieruit kan cos t berekend worden door sin t te elimineren) 1

• Elimineren van cos t geeft 4

5

sin t = (of: elimineren van sin t geeft 3

5

cos t= ) 2

• De zijde van vierkant ONPQ is 4₅ en de zijde van vierkant ATSR is ₅2 2

of

• Rechthoek ATSR is vierkant als 1

2sint= −1 cost 1

• Hieruit volgt (voor 0< <t 1₂π): ₂1 1 cos− 2t = −1 cost 1

• Kwadrateren en uitwerken geeft 5 cos2t−8 cost+ = 3 0 2

• Dus 3

5

cos t= (want cost=1 vervalt vanwege 1

2

0< <t π) 1

• De zijde van vierkant ONPQ is 4₅ en de zijde van vierkant ATSR is ₅2 2

of

• Rechthoek ONPQ is vierkant als sint=1₂(1 cos )+ t 1

• Hieruit volgt (voor 1

2

0< <t π): _{2 sint}− =_{1 1 sin}− 2_{t 2}

• Kwadrateren en uitwerken geeft _5sin2_t−_{4 sint}= _{0 1}

• Dus 4

5

sin t= (want sint=0 vervalt vanwege 1

2

0< <t π) 1