Cover Page
The handle http://hdl.handle.net/1887/34990 holds various files of this Leiden University dissertation.
Author: Angelakis, Athanasios
Title: Universal adelic groups for imaginary quadratic number fields and elliptic curves
Issue Date: 2015-09-02
Σύνοψη
Η παρούσα διδακτορική διατριβή εστιάζει σε δύο ερωτήματα τα οποία αρχικά δεν φαίνεται να συσχετίζονται. ΄Ητοι,
(1) Ποιά είναι η μορφή της απόλυτης αβελιανής ομάδας Galois AKενός φανταστικού τετραγωνικού σώματος αριθμών K , ως τοπολογική ομάδα;
(2) Ποιά είναι η μορφή της ομάδας των adelic σημείων μιας ελλειπτι- κής καμπύλης πάνω από το Q, ως τοπολογική ομάδα;
Για την πρώτη ερώτηση, η εστίαση στις αβελιανές ομάδες Galois μας παρέχει την θεωρία κλάσεων σωμάτων ως εργαλείο για την ανάλυση της AK. Οι παλαιότερες δουλειές στο θέμα αυτό των Kubota και Onabe, παρέχουν μία όχι άμεση περιγραφή του δυικού Pontryagin (Pontryagin dual) της AK σε όρους απείρων οικογενειών, σε κάθε πρώτο p, με την επωνημία Ulm invariants (Ulm αναλλοίωτες). Η αμεσότητα της προσέγγισής μας με βάση τη θεωρία κλάσεων σωμάτων, αποδεικνύει ότι η AK περιέχει μία υποομάδα UK πεπερασμένου δείκτη, ισομορφική με την ομάδα μονάδων bO∗ της προπεπερασμένης πλήρωσης του bO, του δακτυλίου των ακεραίων του K, και μας παρέχει μία εντελώς συγκεκριμένη περιγραφή της τοπολογικής ομάδας UKη οποία είναι σχεδόν ανεξάρτητη από το φανταστικό τετραγωνικό σώμα K . Πιο συγκεκριμένα, για όλα τα φανταστικά τετραγωνικά σώματα αριθμών εκτός των Q(i) και Q(
√−2), έχουμε
UK ∼= U = bZ2×
∞
Y
n=1
Z/nZ.
Η εξαίρετη φύση του Q(
√−2) έλειπε από τις εργασίες των Kubota και Onabe, και τα θεωρήματά τους έπρεπε να διορθωθούν με βάση αυτό.
97
Περνώντας από την «καθολική» υποομάδα UK στην AK, οδηγούμαστε σε ένα πρόβλημα επέκτασης ομάδας για adelic ομάδες το οποίο μπορεί να
«λυθεί» περνώντας σε μία κατάλληλη επέκταση πηλίκου ομάδων το οπο- ίο εμπλέκει το μέγιστο bZ-ελεύθερο πηλίκο UK/TK της UK. Με τον όρο
«λυθεί» εννοούμε ότι για κάθε K το οποίο είναι ικανά μικρό ώστε να επι- τρέπει σαφείς υπολογισμούς κλάσεων σωμάτων για το K , αποκτούμε έναν πρακτικό αλγόριθμο για να υπολογίσουμε την splitting συμπεριφορά της ε- πέκτασης ομάδων. Στην περίπτωση όπου η επέκταση υπολοίπου είναι totally non-split, το συμπέρασμα είναι πως η AK είναι ισομορφική ως τοπολογική ομάδα με την καθολική ομάδα U . Αντίστροφα, κάθε splitting του p-μέρους του πηλίκου επέκτασης σε έναν περιττό πρώτο p οδηγεί στην ομάδα AK η οποία δεν είναι ισόμορφη με την U . Για τον πρώτο 2, η κατάσταση είναι ιδια- ίτερη, αλλά πιο ελεγχόμενη λόγω της πληθώρας θεωρημάτων που αφορούν τα 2-μέρη των τετραγωνικών ομάδων κλάσεων.
Βασιζόμενοι σε αριθμητικούς πειραματισμούς, έχουμε αποκτήσει μία βα- σική κατανόηση της κατανομής των τύπων ισμομορφισμού της AK για δι- άφορα K , κι αυτό οδηγεί σε προκλητικές εικασίες όπως «100% όλων των φανταστικών τετραγωνικών σωμάτων με αριθμό κλάσεων πρώτο αριθμό, έχουν AK ισόμορφη με την καθολική ομάδα U ».
Στην περίπτωση της δεύτερης ερώτησής μας, η οποία εμφανίζεται ως ερώτηση στο [CK14, Section 9, Question 1] με την οπτική της ανάκτησης ενός σώματος αριθμών K από την ομάδα των adelic σημείων E(AK) μιας κατάλληλης ελλειπτικής καμπύλης πάνω από το K , μπορούμε ευθής αμέσως να εφαρμόσουμε τα καθιερωμένα εργαλεία για τις ελλειπτικές καμπύλες πάνω από σώματα αριθμών με μία μέθοδο η οποία ακολουθεί τις γραμμές του προσδιορισμού της δομής του bO∗ με την οποία ασχοληθήκαμε στην πρώτη ερώτησή μας.
Αποδεικνύεται ότι στην περίπτωση όπου K = Q, η οποία αντιμετω- πίζεται στο Κεφάλαιο 4, η ομάδα των adelic σημείων «σχεδόν όλων» των
99 ελλειπτικων καμπυλών πάνω από το Q είναι ισόμορφη με μία καθολική ομάδα
E = R/Z × bZ ×
∞
Y
n=1
Z/nZ
η οποία κατά μία έννοια είναι όμοια εκ φύσεως της U . Ο λόγος της καθο- λικότητας των ομάδων των adelic σημείων ελλειπτικών καμπυλών έγκειται στην τάση των ελλειπτικών καμπυλών να έχουν αναπαραστάσεις Galois στην ομάδα των σημείων πεπερασμένης τάξης που ορίζονται στο Q οι οποίες ε- ίναι πολύ κοντά στο να είναι μεγιστικές. Για K = Q, η μεγιστικότητα των αναπαραστάσεων Galois μιας ελλειπτικής καμπύλης E, σημαίνει ότι η E είναι μία καμπύλη Serre, κι έχει πρόσφατα αποδειχθεί από τον Nathan Jones [Jon10] ότι «σχεδόν όλες» οι ελλειπτικές καμπύλες πάνω από το Q είναι καμπύλες Serre. Στην πραγματικότητα, η καθολικότητα της E(AK) απαιτεί κάτι λιγότερο από την μεγιστικότητα των αναπαραστάσεων Galois, και το αποτέλεσμα είναι ότι απαιτείται κάποια προσπάθεια να κατασκευαστο- ύν οικογένειες ελλειπτικών καμπυλών με μη-καθολική ομάδα adelic σημείων.
Παρέχουμε ένα παράδειγμα τέτοιας οικογένειας στο τέλος του Κεφαλαίου 4.
