Differentiaalvergelijkingen
CTB2100
I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 2 september 2016
Informatie over de docent
I.A.M. Goddijn
Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408
e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl
homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/∼goddijn blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak
Studiemateriaal
Boek
Boek
Titel : Elementary Differential Equations and : Boundary Value Problems
: International Student Edition (10-th Ed.) Auteurs : William E. Boyce en Richard C. DiPrima ISBN-13 : 978-1-118-32361-8
Documenten
- pdf-bestanden
- Maple en Matlab of Python documenten
Schema (gewone differentiaalvergelijkingen)
1
Herhaling 1ste orde faselijn Hfst. 1,2Herhaling 2de orde, lineair Hfst. 3
2
Stelsels van de 1ste orde §7.1, §7.5oscillerende opl. §7.6
3
Stelsels van de 1ste orde
§9.1, §9.3 niet-lineair
§9.4, §9.5 periodieke opl. §9.7, §9.8
4
scheiding van variabelen §10.5 randwaardeproblemen §10.1
Fourierreeksen §10.2
5
even/oneven functies §10.4 warmtediffusievergelijking §10.56
warmtediffusievergelijking §10.6 snaarvergelijking §10.77
potentiaalvergelijking §10.8 Afronden, oud tentamen8
VragenuurSeparabele differentiaalvergelijkingen
Doel
Het bepalen van de algemene oplossing van de DV
(differentiaalvergelijking) die, eventeel na enig gemanipuleer, geschreven kan worden als:
dy
dt = f (y )g (t)
1 Schrijf de DV als:
h(y )dy
dt = g (t) waarbij h(y ) = 1
f (y ).
2 Bepaal een primitieve H van h en een primitieve F van f . Dan zijn de functies y van t die voldoen aan:
H(y ) = F (t) + C met C ∈ R oplossingen van de DV.
3 Controleer dit (Gebruik hierbij de kettingregel).
Opmerking
De constante functies y die oplossing zijn van de vergelijking:
f (y ) = 0
zijn ook oplossingen van de DV. Die worden door het scheiden van de variabelen niet gevonden.
Definitie
De verzameling van alle oplossingen van een DV heet de algemene oplossing van de DV.
Typen differentiaalvergelijkingen
Naam Beschrijving
Lineair Linkerlid is lineair als functie van y , y0 etc.
cos(x )y00 + x2y0 + 2y = ex Niet-lineair Linkerlid is niet lineair
y00y = 1, cos(y0) + y = 2 Homogeen Alleen lineair, geen term zonder y , y0etc.
2y00 + 3y0 − 5y = 0
Inhomogeen Alleen lineair, wel een term zonder y , y0etc.
2y00 + 3y0 − 5y = cos(x)
Autonoom Bevat de onafhankelijke variabele niet expliciet Wel: 2y00 + y = 2Niet: 2y00+ y = cos(t) Gewoon E´en onafhankelijke variabele
2y00+ y = 2en2y00 + y = cos(t) Partieel Meerdere onafhankelijke variabelen
∂y
∂t = α∂2y
∂x2
§2.3, opgave 16
Opgave
De koelingswet van Newton geeft dat de temperatuurs- verandering van een object recht evenredig is met het temperatuursverschil met zijn omgeving.
Stel dat een kop koffie direct na het inschenken een temperatuur van 90◦ C heeft en na 1 minuut nog maar een temperatuur van 85◦C in een kamer van 20◦ C.
Na hoeveel minuten is het kopje 65◦ C?
§2.3, opgave 16
dT
dt = −α (T − 20) T (0) = 90, T (1) = 85
ln |T − 20| = −α t + C
⇒ |T − 20| = De−αt
⇒ D = 70, eα = 70 65
⇒ T (t) = 20 + 70 65 70
t
Faselijn
Doel
Een (heel goed) kwalitatief idee krijgen van de algemene oplossing van een eerste orde, autonome, DV. We gaan er vanuit dat zo’n DV altijd, eventueel na enig gemanipuleer, geschreven worden in de vorm:
dy
dt = f (y )
1 Teken een rechthoekig assenstelsel met t langs de horizontale as en y langs de verticale as. Geef langs de verticale als de
nulpunten van f aan en op de lijnstukken tussen de nulpunten, d.m.v. vectoren het teken van f (y ).
2 Schets nu de oplossingen:
Bij een nulpunt van f hoort een constante oplossing: een horizontale lijn.
Bij een interval met vector omhoog hoort een stijgende oplossing, met een pijl omlaag een dalende oplossing.
De oplossingen kruisen niet.
3 Een nulpunt y = y0 van f heet een evenwichtspunt. Als f0(y0) < 0 heet het stabiel en als f0(y0) > 0 heet het instabiel.
Definitie
De y -as in het rechthoekige assenstelsel heet een faselijn.
§2.5, Opgave 3
Opgave
Schets met behulp van de faselijn de oplossingen van de DV:
dy
dt = y (y − 2)(y − 4)
Geef van de evenwichtspunten aan of ze stabiel of instabiel zijn.
y = 0, y = 2 en y = 4 zijn de evenwichtspunten.
f (y ) > 0 voor 0 < y < 2 en y > 4.
y = 2 is een stabiel evenwichtspunt, y = 0 en y = 4 zijn instabiele evenwichtspunten.
De groene lijn is de faselijn
