Toets Kansrekenen I

Toets Kansrekenen I

28 maart 2014

Naam : Richting :

Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen

• Wie de vragen aanneemt en bekijkt, moet minstens 1 uur blijven zitten.

• Schrijf op 1ste blad duidelijk je volledige naam en richting (en op elk blad je naam).

• Je mag gebruik maken van niet-grafisch rekenmachine, formularium en statistische tabel- len. Op het formularium en de tabellen mag niets geschreven staan! Berekeningen moeten altijd schriftelijk uitgevoerd worden tot het moment dat je de waarde zou kunnen opzoeken in een statistische tabel. Bijvoorbeeld: het uitrekenen van een kans onder een normale verdeling moet herleid worden tot een kans onder een standaardnormale verdeling, een binomiale kans moet herleid worden tot een kans onder een normale verdeling (indien CLS van toepassing is). Wanneer het nodige aantal vrijheidsgraden niet in de tabel staat, mag je gaan kijken bij het dichtstbijzijnde aantal dat wel in de tabel staat. Werk met 4 cijfers na de komma!

• Alle communicatie-apparatuur is strikt verboden.

• Gebruik de voorziene ruimte om te antwoorden op de vragen (voor- en achterkant).

• Bij het indienen van je examen, geef je ook kladpapier af (maar daar wordt geen rekening mee gehouden tijdens verbetering).

• Let op

– correct (numeriek) antwoord zonder uitleg (of foute uitleg) is weinig/niets waard!

– fout (numeriek) antwoord zonder uitleg is niets waard.

– fout numeriek antwoord (bvb ten gevolge van een rekenfout) met juiste afleiding is veel waard.

Toon dus DUIDELIJK aan hoe je tot ieder numeriek resultaat komt (telegramstijl is toegelaten). Gebruik zoveel mogelijk de wiskundige notatie zoals die in de leerstof is aangebracht. Verklaar nieuwe symbolen.

• Je hebt 2 uur tijd om het examen op te lossen.

VEEL SUCCES !

Vraag 1 :

Een stochastisch koppel (X, Y ) heeft een bivariate normale verdeling als de gezamenlijke verde- lingsfunctie van X en Y gegeven wordt door

f_X,Y(x, y) = 1 2πσ₁σ₂p

1 − ρ²exp



−1 2

1 1 − ρ²×

"

 x − µ₁ σ₁

2

− 2ρ x − µ₁ σ₁

  y − µ₂ σ₂



+ y − µ₂ σ₂

2#!

voor alle (x, y) ∈ R², waarbij µ1, µ2 ∈ R, σ1, σ2 ∈ R⁺0 en ρ ∈ [0, 1].

Bereken de marginale dichtheidsfunctie van Y . (Toon tussenstappen, niet enkel eindresultaat.)

Oplossing: Noteer

C = {2πσ₁σ₂p

1 − ρ²}⁻¹ A = 1

2 1 1 − ρ² u = x − µ₁

σ1

. Voer daarnaast een nieuwe integratieveranderlijke v = ^y−µ_σ ²

2 in. Dan bekomen we, voor alle x ∈ R,

fY(y) =

Z +∞

−∞

fX,Y(x, y)dx

= Cσ1

Z +∞

−∞

e^{−A(u2−2ρuv+v2)}du

= Cσ₁e^−Av2 Z +∞

−∞

e^{(−Au2+2Aρuv)}du

= Cσ₁e^{−A(1−ρ2)v2} Z +∞

−∞

e^{−A(u−ρv)2}du

= Cσ₁e^{−A(1−ρ2)v2} 1

√2A Z _+∞

−∞

e^−12z2dz

= Cσ₁e^−12v2

√

√2π 2A

= 1

√ 2πσ2

e⁻

1 2

y−µ2 σ2

2

waarbij we ook de integratieveranderlijke nog eens veranderd hebben van u naar z =

√

2A(u − ρv). We zien hieruit dus dat Y normaal verdeeld is met gemiddelde µ2 en va- riantie σ²₂.

Vraag 2 :

Zij Ω een niet-aftelbare verzameling en stel A = {A ∈ Ω | A is aftelbaar of A^C is aftelbaar}.

Bewijs dat A een σ-algebra is.

Oplossing: Omdat ∅ aftelbaar is, is Ω = ∅^C een element van A. Stel nu dat A ∈ A. Dan volgt meteen uit de definitie van A dat ook A^C ∈ A. Veronderstel nu dat A_n ∈ A voor alle n ∈ N. Dan kunnen we twee gevallen onderscheiden: ofwel is elke An aftelbaar, ofwel is er een m ∈ N zodat A^Cm aftelbaar is. Als alle A_n aftelbaar zijn, zal ∪_n∈NA_n aftelbaar zijn want we nemen de aftelbare unie van aftelbare verzamelingen. In het tweede geval bekijken we (∪_n∈NAn)^C = ∩_n∈NA_n^C. Omdat A^C_m aftelbaar is, zal ook ∩_n∈NA^C_n aftelbaar zijn want ∩_n∈NA^C_n ⊆ A^C_m. We hebben dus in beide gevallen aangetoond dat ∪_n∈NA_n of zijn complement aftelbaar zijn en daarom zal ∪_{n∈N (µ,σ}2)A_n∈ A. Dit bewijst dat A een σ-algebra is.

Vraag 3 :

Yumm’s is een restaurant dat ook aan huis levert. Op hun website kan je terugvinden dat de gemiddelde wachttijd (tussen het moment waarop je bestelt en het moment waarop het eten geleverd wordt) 60 minuten bedraagt, met als standaarddeviatie 20 minuten. Ook restaurant Tasty levert aan huis, gemiddeld gezien met een wachttijd van 75 minuten met een standaard- deviatie van 10 minuten. Wanneer je eten bestelt, doe je dat 6 van de 10 keer bij Yumm’s, en 4 van de 10 keer bij Tasty. Indien je veronderstelt dat beide wachttijden normaal verdeeld zijn, geef dan antwoord op onderstaande vragen.

1. Indien je een bestelling geplaatst hebt om 19 uur, en je eten wordt geleverd tussen 20.15 uur en 20.30 uur, hoe groot is dan de kans dat je bij Yumm’s besteld hebt?

Oplossing: Zij A de gebeurtenis dat je bestelling tussen 20.15 en 20.30 geleverd wordt als je om 19 uur bestelde, en B de gebeurtenis dat je bij Yumm’s bestelde.

• Zij X de wachttijd als je bij Yumm’s besteld hebt. Dan is X ∼ N (60, 20²) en P (A|B) = P (75 < X < 90) = P 75 − 60

20 < Z < 90 − 60 20



= P (Z < 1.5) − P (Z < 0.75)

= 0.933 − 0.773

= 0.16

• Zij Y de wachttijd als je bij Tasty besteld hebt. Dan is Y ∼ N (75, 10²) en P (A|B^c) = P (75 < Y < 90) = P 75 − 75

10 < Z < 90 − 75 10



= P (Z < 1.5) − P (Z < 0)

= 0.933 − 0.5

= 0.433

• De gevraagde kans wordt:

P (B|A) = P (A|B)P (B)

P (A|B)P (B) + P (A|B^c)P (B^c)

= 0.16 × 0.6

0.16 × 0.6 + 0.433 × 0.4

= 0.36

2. Indien je elke week bij Yumm’s bestelt, hoe groot is dan de kans dat je eten gedurende

´e´en jaar (52 weken) minstens 10 keer tussen 20.15 uur en 20.30 uur geleverd werd?

Oplossing: Zij A het aantal keer dat het eten tussen 20.15 en 20.30 geleverd wordt, dan is A ∼ B(52, 0.16). Wegens de CLT kunnen we stellen dat A ≈ N (52 × 0.16, 52 ×

0.16 × 0.84 of dus A ≈ N (8.32, 6.99) P (A > 10) = P



Z > 10 − 0.5 − 8.32

√ 6.99



= P (Z > 0.45)

= 1 − 0.674 = 0.326

Vraag 4 :

Beschouw een toevalsvariabele X met de volgende cumulatieve verdelingsfunctie FX(x) = 1 − e^−(x/α)β x ≥ 0

met parameters α > 0 en β > 0. Deze verdelingsfunctie beschrijft de Weibull verdeling.

1. Bepaal de dichtheidsfunctie van X.

Oplossing:

fX(x) = dFX(x) dx = β

α^βx^β−1e^{(−(x/α)β)}

2. Stel Y = ^X_α
β

, wat kan je vertellen over de verdeling van Y ?

Oplossing:

g : R⁺₀ → R⁺₀ : x → y = g(x) = (x/α)^β h = g⁻¹ : y → x = h(y) = α y^1/β

f_Y(y) = f_X(h(y)) |h⁰(y)| = β

αy^(β−1)/βe^−yα

βy^β1−1 (y ≥ 0)

= e^−y⇔ Y ∼ E(1) Alternatieve oplossing

P (Y > y) = P (X α

β

> y) = P (X > αy^1/β)

= 1 − F_X(αy^1/β) = e^−y.

⇒ F_Y(y) = 1 − e^−y voor y ≥ 0, dus Y ∼ E (1)

3. Hoe kunnen we stochastische veranderlijken komende van de Weibull verdeling genereren, vertrekkende van U ∼ U [0, 1]?

Oplossing:

F_X(x) = 1 − exp(−(x/α)^β) z = 1 − exp(−(x/α)^β) x = a (− log(1 − z))^1/β F_X⁻¹(z) = α (− log(1 − z))^1/β

Gegeven u ∼ U (0, 1), dan is F_X⁻¹(u) = α (− log(1 − u))^1/β Weibull verdeeld met para- meters α > 0 en β > 0. Dit is equivalent met α (− log(u))^1/β is Weibull verdeeld met parameters α > 0 en β > 0.

Vraag 5 :

Stel s.v. X₁ is exponentieel verdeeld met dichtheid f_X1(x) = 1

6e^−x6 voor x ≥ 0 en s.v. X2 is χ² verdeeld met dichtheid

fX2(x) = 1

2²Γ(2)e^−x2x²⁻¹ voor x ≥ 0.

Wat is de verdeling van X₁+ 3X₂ indien X₁ en X₂ onafhankelijk zijn?

Oplossing:

X₁ ∼ exp(6) ⇒ M_X1(t) = (1 − 6t)⁻¹ X2∼ χ²(4) ⇒ M_X2(t) = (1 − 2t)⁻² X1, X2 onafhankelijk ⇒ MX1+3X2 = MX1(t)MX2(3t)

= (1 − 6t)⁻¹(1 − 6t)⁻² = (1 − 6t)⁻³

⇒ X₁+ 3X₂ ∼ Γ(3, 6)