Sluiproutes of alternatieve wegen?
E e n reactie o p het a r t i k e l v a n G o f f r e e c.s. i n T i j d s c h r i f t voor D i d a c t i e k der B-wetenschappen 6, 1, j a n u a r i 1988
H . G . M . B r o e k m a n P . D . I . , R U U
Summary
In this contribution the author opposes the term "side-roads"
(Dutch" 'sluiproutes', i.e. not officially permitted minor roads) introduced bij Goffree c.s. whenever they mean 'alternative frames'. The author also maintains that the part of the curricu- lum dealing with negative numbers should be fundamentally questioned, namely:
Can negative numbers and the computational rules that apply to the formal system (Z, +, .) be obtained
- from the given contexts, or
- can they only be imposed by giving a particular interpretation to minus-numbers?
1. Inleiding
E e n v a n de b e k e n d e a a n s l u i t i n g s p r o b l e m e n tussen b a s i s - en voortgezet onderwijs - de negatieve getallen - brengen G o f f r e e c.s. i n het k a d e r v a n een theorie o v e r het r e k e n - w i s k u n d e o n d e r w i j s naar v o r e n .
E e n r e d e n v o o r d i e a a n s l u i t p r o b l e m e n k o m t v o l g e n s K ü c h e m a n n (1981) voort u i t het feit dat er slechts twee h o o f d - typen van benadering l i j k e n te z i j n : one o f w h i c h is essentially abstract w h i l e the other relies o n the use o f concrete models or embodiments to give meaning to the integers a n d the operations to be performed o n them ( K ü c h e m a n n , p. 86).
D e eerste benadering b l i j k t - overal ter wereld? - voor vele l e e r l i n g e n p r o b l e m e n op te leveren en de tweede benadering l i j k t t o c h o o k nogal wat b e p e r k i n g e n te h e b b e n wegens het schijnbare ontbreken van goede (alles omvattende) v o r m g e v i n g e n . V o o r een o p p e r v l a k k i g e beschouwer van het r e k e n w i s k u n d e o n - d e r w i j s levert de deelleergang negatieve getallen echter n a u w e -
l i j k s een p r o b l e e m . M i n maal m i n is immers plus (zie V r e d e n d u i n 1986, p. 333/334) en er z i j n i n totaal maar zes rekenregels n o d i g ( F r e u d e n t h a l 1983, p.457).
V o o r diegenen d i e , zoals de auteurs v a n v o o r n o e m d a r t i k e l , meer w i l l e n d a n een 'sterk instrumenteel getinte attitude' (p.18) en de w i s k u n d i g e begrippen w i l l e n grondvesten o p , o f i n , het 'concrete, voorstelbare, r e ë l e ' (p. 7), z i j n er w e l d e g e l i j k p r o b l e - m e n te constateren.
2 . Alternatieve wegen
V o o r m i j als lezer van het a r t i k e l van G o f f r e e c.s. is het echter o n v o o r s t e l b a a r dat de auteurs, als voorstanders v a n realistisch r e k e n - w i s k u n d e o n d e r w i j s , h u n b e s c h o u w i n g de titel meegeven
"Sluiproutes door realistische leergangen - ongewenste v e r k o r t i n - gen". H e t w o o r d sluiproutes suggereert iets h e i m e l i j k s / o n e e r l i j k s . H e t z o u i n h o u d e n dat de leerlingen weten wat de w e l bedoelde route is en deze bewust niet k i e z e n . D i t is nog erger d a n het g e b r u i k v a n een term als ' m i s c o n c e p t i o n ' , d i e g e l u k k i g steeds v a k e r vervangen wordt door 'alternative concept' ( N u s s b a u m en N o v i c k , 1982), ' a l t e r n a t i v e f r a m e w o r k ' ( D a v i s en M c K n i g h t ,
1979), o f ' C h i l d M e t h o d s ' (o.a. B o o t h , 1981).
H e t tweede d e e l v a n de t i t e l - ongewenste v e r k o r t i n g e n - geeft m i j n s inziens d u i d e l i j k e r de situatie weer waar de auteurs op doelen. D e leerlingen o n t d e k k e n i n de h u n aangeboden s i t u a - ties, o.a. het b a n k w e z e n , mede door de vragen d i e hen gesteld w o r d e n en de notaties d i e h e n aangereikt w o r d e n een aantal r e k e n r e g e l s . D e z e regels maken het hen m o g e l i j k de gestelde vragen te beantwoorden. K e n n e l i j k o n t d e k k e n z i j niet datgene dat de auteurs graag w i l l e n dat ze o n t d e k k e n . D e auteurs zeggen n a m e l i j k niet te w i l l e n dat door de leerlingen o n v o l l e d i g e i n z i c h - ten g e v o r m d w o r d e n .
"In dat geval w o r d e n rekenregels aangenomen, overgenomen en b l i n d uitgevoerd. Deze rekenregels w e r k e n , maar o n t l e - nen h u n betekenis niet aan praktische ervaringen o f meer theoretische b e s c h o u w i n g e n . M a a r we w i l l e n j u i s t dat de l e e r l i n g e n op een zeker moment dat formele systeem w e l o n t d e k k e n , dat ze de wetmatigheden ervan o n d e r k e n n e n , dat ze z i c h e r i n k u n n e n bewegen en dat ze, b i j het toepassen v a n negatieve getallen i n het v e r v o l g v a n het o n d e r w i j s , enige steun k u n n e n ontlenen aan h u n begrip v a n dat formele systeem en de daarin geldende regels en wetten." (p. 13)
O n v o l l e d i g e i n z i c h t e n z i j n echter slechts dan belemmerend als ' v o l l e d i g e ' i n z i c h t e n nagestreefd w o r d e n (helaas meestal door de docent zonder dat de l e e r l i n g hem o f haar k a n 'verstaan'), o f i n d i e n er p r o b l e m e n opgelost moeten w o r d e n w a a r b i j een v o l l e d i g i n z i c h t b e n o d i g d is.
3 . Negatieve getallen; meerdere contexten
In een deelleergang negatieve getallen k a n een l e e r l i n g g e c o n - f r o n t e e r d w o r d e n met ' f a n t a s i e ' , 'aangepast actueel gegeven', 'een rekenwereldje' en een ' f o r m e e l systeem' (p. 8). W i j dienen ons daarbij goed te realiseren dat het begrip 'negatief getal' i n ieder van die contexten een andere - z i j het vanuit een bepaald gezichtspunt gezien isomorfe - betekenis heeft. O n d e r d e e l van het horizontaal mathematiseren is onder andere het zoeken v a n het gemeenschappelijke i n de diverse aangeboden contexten en d i t ' v e r w o o r d e n ' . Essentieel daarbij is een grote v r i j h e i d van h a n d e l e n v o o r de l e e r l i n g , en die is er i n de voorstellen v a n G o f f r e e c.s. niet. D e l e e r l i n g e n w o r d t een taal a a n g e b o d e n (opgedrongen?) waarmee op een voorgeschreven w i j z e geopereerd d i e n t te w o r d e n . V a n n i v o - o v e r g a n g , zoals bedoeld door V a n H i e l e (1986) is h i e r b i j overigens geen sprake.
Is het dan eigenlijk niet fantastisch dat zoveel jongeren van 12 a 13 jaar het lef hebben z i c h aan die d w a n g te o n t t r e k k e n en eigen - i n de p r a k t i j k van alledag begaanbare - wegen b e - w a n d e l e n ? We d i e n e n echter v o o r z i c h t i g te z i j n . E r bestaat immers de m o g e l i j k h e i d dat de leerlingen een scherp onderscheid maken tussen de waargenomen kunstmatige schoolsituatie en de z o g e n a a m d e t h u i s o m g e v i n g ( W i t t r o c k , 1986; B o o t h , 1981), o f misschien gewoon het hen vertrouwde niet los d u r v e n laten.
H o e dan o o k , G o f f r e e c.s. constateren niet gewenste eigen i n i t i a t i e v e n van veel leerlingen en maken z i c h daar zorgen over.
H u n zorg ten aanzien van een versterking van een sterk i n s t r u - mentele attitude deel i k . D a a r o m betreur ik het echter dat z i j aan de h a n d van h u n v o o r b e e l d " h e t b a n k w e z e n ' niet laten z i e n , dat j u i s t door het opleggen van een onnodig taaltje o m praktische problemen op te lossen de leerlingen wel haast ge- d w o n g e n w o r d e n i n de r i c h t i n g van mechanistische, lauter i n - strumentele w i s k u n d e . H o e v e e l leerlingen zaten b i j de bank ( op de bank) op negatieve getallen te wachten?
L a t e n we e e r l i j k z i j n :
w i e telt ooit temperaturen op w i e telt ooit doelsaldi op?
w i e telt ooit t i j d s t i p p e n o p ( v ó ó r respectievelijk na C h r i s t u s ) ?
w i e trekt ooit temperaturen af?
w i e v e r m e n i g v u l d i g t ooit 'tekorten' en 'tegoeden'?
T o c h is het z i n v o l en h a n d i g o m i n meerdere situaties te s p r e - k e n over positief en negatief en niet alleen omdat de l e e r l i n g e n ook een z a k r e k e n m a c h i n e als context hebben. E r ligt echter een w e r e l d van v e r s c h i l tussen die situaties. E e n v e r s c h i l dat v o o r a l tot u i t i n g komt als we w i l l e n gaan rekenen, t e r w i j l dat niet het meest voor de hand liggende is i n veel probleemsituaties, (zie bv. C r o w l e y , 1985 en i n reactie hierop Johnson, 1985). V e e l v a n de aangedragen situaties z i j n daardoor m i s s c h i e n w e l p r o t o t y - p i s c h voor het leefwereldenken, maar daardoor nog niet p r o t o t y - p i s c h ten a a n z i e n v a n de z i n v o l h e i d o m ze m e t b e h u l p v a n negatieve getallen te b e s c h r i j v e n . Helaas moet i k constateren dat G o f f r e e c.s. daar i n h u n a r t i k e l langs heen l i j k e n te gaan, o o k al w o r d t opgemerkt dat i n het b a n k w e z e n fundamentele wetten v a n het f o r m e l e systeem ( Z , +, .) niet naar voren k o m e n (p.
12/13).
U i t e r a a r d is het niet m o g e l i j k i n een bestek v a n 18 pagina's de hele p r o b l e m a t i e k van een 'deelleergang negatieve getallen i n realistisch r e k e n - w i s k u n d e o n d e r w i j s ' u i t de doeken te doen.
T o c h meen i k dat de auteurs meer e x p l i c i e t een fundamentele vraag hadden k u n n e n é n moeten stellen. D e vraag n a m e l i j k o f negatieve getallen en de rekenregels d i e gelden i n het f o r m e l e systeem ( Z , +, .) te v e r k r i j g e n z i j n vanuit de aangereikte c o n - texten, o f alleen op te leggen door een interpretatie aan m i n g e - tallen te geven.
O p pag. 19 s c h r i j v e n G o f f r e e c.s.: "We veronderstellen n u dat de p l a a t s v a n h e t o n d e r w e r p ' n e g a t i e v e g e t a l l e n ' i n het c u r r i c u l u m e r d e o o r z a a k v a n is dat de t h e o r i e v a n h e t realistisch w i s k u n d e - o n d e r w i j s hier niet tot adequate leergangen k a n leiden." V e r v o l g e n s v e r w i j z e n z i j naar een betere plaats ( b i j f u n c t i e s en g r a f i e k e n ) , w a a r b i j m i j n s i n z i e n s z e k e r o o k de aanpak met behulp v a n vectoren v a n V a n H i e l e (1985) genoemd had m o e t e n w o r d e n . V e r w i j z e n naar een betere plaats i n het w i s k u n d e p r o g r a m m a , en de discussie over de w i s k u n d e z e l f als c o n t e x t , doet v e r m o e d e n dat o o k de auteurs i n v e r b a n d met
n e g a t i e v e g e t a l l e n a f s t a n d n e m e n v a n ' f a n t a s i e ' , 'aangepast actueel' en 'rekenwereldje' als context. H e t is o o k voor m i j de vraag o f L i j n s e (1987), i n n a v o l g i n g v a n Treffers (1987), g e l i j k heeft als h i j het vermoeden uitspreekt dat het i n de w i s k u n d e m o g e l i j k l i j k t o m u i t daarvoor geselecteerde realistische aanleer- contexten, w i s k u n d i g e begrippen als het ware c o n t i n u te o n t w i k - k e l e n . Is het niet zo dat i n het g e v a l v a n de negatieve getallen het leefwereld denken essentieel verschilt v a n de w i s k u n d i g e b e - s c h r i j v i n g ? A l s dat zo is, is het nog maar de vraag o f het é é n c o n t i n u o n t w i k k e l d k a n worden uit het andere.
N a het verschijnen v a n het door G o f f r e e c.s. aangekondigde boek "Tussen T w e e ( G e t a l - ) W e r e l d e n " (?) zal i k op de h i e r v o o r genoemde vraag graag nader ingaan. Evenals op de m o g e l i j k h e i d o m l e e r l i n g e n interpretaties v a n m i n g e t a l l e n , en het rekenen daarmee, te laten zoeken i n diverse contexten (zie F r e u d e n t h a l ,
1983; Johnson, 1985; V r e d e n d u i n , 1986; e.a.).
(De formele getallen zijn scheppingen der geest.
Of er in de realiteit getallen mee corresponderen is de vraag.)
Literatuur
B o o t h , L . R . (1981) C h i l d - M e t h o d s i n Secondary M a t h e m a t i c s . In:
Educational Studies in Mathematics 12, 2 9 - 4 1 .
C r o w l e y , M . L . & K . A . D u n n (1985) O n M u l t i p l y i n g N e g a t i v e N u m - bers. In: Mathematics Teacher, 252-256.
D a v i s , R . B . & C E . M c K n i g h t (1979) M o d e l l i n g Processes o f M a t h e m a t i c a l T h i n k i n g , The Journal of Children's Mathematical Behavior 2, 2, 9 1 - 1 1 3 .
F r e u d e n t h a l , H . (1983) Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht: D . R e i d e l P u b l i s h i n g C o m p a n y .
F r e u d e n t h a l , H . (1973) Mathematics as an Educational Task.
Dordrecht: D . R e i d e l P u b l i s h i n g C o m p a n y .
G o f f r e e , F . , J . V e d d e r & K . B u y s (1988) S l u i p r o u t e s d o o r r e a l i s t i s c h e l e e r g a n g e n - o n g e w e n s t e v e r k o r t i n g e n , Tijdschrift voor Didactiek der fj-wetenschappen 6, 5 - 2 3 .
H i e l e , P . van (1985) Wiskunde Werkschrift voor het LBO. V a k - produkties.
H i e l e , P . v a n (1986) Structure and Insight, A theory of Mathe- matics Education, N e w Y o r k : A c a d e m i e Press Inc..
Johnson, P . B . (1985) C h o o s i n g d e f i n i t i o n s , Mathematics Teacher 78, 9, 707.
K ü c h e m a n n , D . (1981) Positive a n d negative numbers. In: H a r t , K . M . ( e d . ) Children's Understanding of Mathematics, L o n d o n : J o h n M u r r a y , 137-158.
L i j n s e , P . L . (1987) over O S a E V en b e g r i p p e n i n het n a t u u r k u n d e - o n d e r w i j s . In: H . G . B . B r o e k m a n & J . M . J . Weterings ( R e d . ) . Leerstofordening, over de grenzen van een begrip. D e n H aa g : S V O , 127-139.
N u s s b a u m , J . & S. N o v i c k (1982) A l t e r n a t i v e f r a m e w o r k s , c o n c e p t u a l c o n f l i c t a n d a c c o m o d a t i o n : t o w a r d a p r i n c i p l e d teaching strategy, Instructional Science 11, 183-200.
T r e f f e r s , A . (1987) Three Dimensions. D o r d r e c h t : D . R e i d e l P u b l i s h i n g C o m p a n y .
V r e d e n d u i n , P . G . J . (1986) G r e p e n u i t de geschiedenis v a n het negatieve getal, Euclides 61, 10, 331-337.
W i t t r o c k , M . C . (1986) S t u d e n t s ' T h o u g h t Processes. In: M . V . W i t t r o c k ( E d . ) . Handbook of Research on Teaching, t h i r d e d i t i o n , A m e r i c a n E d u c a t i o n a l Research A s s o c i a t i o n , 2 9 7 - 3 1 5 .
