Over de kans op uitsterven in wiskundige modellen van epidemieën
340 (2017) 453 455.
https://doi.org/10.1016/j.crvi.2017.09.002
Wiskundige en computermodelleringseenheid van complexe systemen Bondy, Frankrijk
nicolas.bacaer@ird.fr
University of Tokyo, Department of Mathematics, Tokyo, Japan
Overzicht
We presenteren een formule voor de kans op uitsterven van een epidemie gemodelleerd door een proces van vertakking naar verschillende typen wanneer dit proces is opgebouwd uit compartimentmodellen die
systemen zijn van differentiaalvergelijkingen.
1. Inleiding
Veel wiskundige modellen van epidemieën hebben de vorm van een systeem van gewone niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Aan het begin van de epidemie vertegenwoordigen de geïnfecteerde mensen, die van verschillende typen kunnen zijn, een verwaarloosbare fractie van de bevolking, zodat men het model kan lineariseren om een lineair systeem te verkrijgen voor alleen de geïnfecteerde compartimenten. Dit systeem heeft over het algemeen de vorm , waar:
is een kolomvector en is het aantal mensen besmet met type i ;
is een infectiematrix; is de snelheid waarmee een met type j geïnfecteerde persoon nieuwe met type i geïnfecteerde mensen produceert ;
is een overdrachtsmatrix; (voor ) is de snelheid waarmee een met type j geïnfecteerde persoon verandert in een met type i geïnfecteerde persoon ; ;
is een diagonale matrix; is de snelheid waarmee een met type j geïnfecteerde persoon niet meer wordt geïnfecteerd.
Aan dit systeem koppelen we een nummer, genoteerd en werd reproductiviteit genoemd (Lotka, 1939, p.
102). Hier is dit aantal gelijk aan de spectrale straal van de matrix (Allen en van den Driessche, 2013, §2.1). Er zal alleen een epidemie zijn als . Bovendien meet reproduceerbaarheid de inspanning die nodig is om de epidemie te stoppen: de infectiematrix moet worden gedeeld door of meer.
Aan het begin van de epidemie zijn de stochastische effecten aanzienlijk en kunnen ze leiden tot het uitsterven van de epidemie, zelfs als . We kunnen ons dus modellen voorstellen die processen zijn van vertakken naar verschillende typen in continue tijd, geconstrueerd met de coëfficiënten van de matrices , en (Allen en van den Driessche, 2013; Lahodny en Allen, 2013; Allen, 2015; Allen, 2017). De vraag was dan om de kans op uitsterven in deze modellen te berekenen als we uitgaan geïnfecteerde mensen (hele getallen) aan . Deze kans heeft de vorm van een product . We hebben in de werken hierboven geen algemene formule gevonden die de kansen verbindt en de matrices , en . Alleen specifieke voorbeelden zijn onderzocht.
C. R. Biol. −
Nicolas Baca¨er
Institut de Recherche pour le D´eveloppement
dIdt = (A − B − C)I I = (I1, … , In) Ii(t)
A Ai,j ≥ 0
B −Bi,j ≥ 0 i ≠ j
Bj,j = − ∑i≠jBi,j
C Cj,j ≥ 0
R0
A(B + C)−1 R0 > 1
R0
R0 > 1 B C A
(i1, … , in)
t = 0 ωi11⋯ ωinn
ωj A B C
We laten in sectie 2 zien dat als , dan de kans op uitsterven zijn de enige oplossing in de kubus vast puntprobleem
met . Dit kan ook worden geschreven
met . Als we het opmerken de lijnvector en de diagonale
matrix met de op de diagonaal neemt het systeem een compactere vorm aan:
In paragraaf 3 worden eenvoudige voorbeelden gegeven van de toepassing van deze formule. Merk op dat formule (2) kan worden gegeneraliseerd naar het geval van een periodieke omgeving (Bacaër en Ait Dads, 2014, vergelijking 4).
2. Demonstratie
Laten we het stochastische model bouwen dat van nature geassocieerd is met het deterministische model.
We gaan ervan uit dat met een tarief wordt elke met type j geïnfecteerde persoon op de een of andere manier vervangen door twee mensen, één type i , het andere type j (er is een nieuwe infectie geweest). Dit betekent dat de kans op deze gebeurtenis is tijdens een oneindig klein tijdsinterval . Met een tarief
voor , verandert elke type j geïnfecteerde persoon in een type i geïnfecteerde persoon . Met een tarief , is elke persoon die is geïnfecteerd met type j niet langer besmettelijk. Schematisch,
Omdat , elke met type j geïnfecteerde persoon ervaart een van de drie bovengenoemde gebeurtenissen met het totale tarief
Als is de genererende functie van het aantal mensen van verschillende typen , gegenereerd door een persoon van type j volgens het bovenstaande diagram, dan
Volgens de theorie van vertakkingsprocessen met verschillende typen (Allen, 2015, Stelling 1.2), weten we dat als , de kansen zijn de enige oplossing in de kubus vast puntprobleem
voor . Dit staat ook geschreven
Daarom, door te herschikken,
R0 > 1 ωj
[0, 1[n
ωj = ∑iAi,jωiωj− ∑i≠jBi,jωi+ Cj,j
∑iAi,j + Bj,j+ Cj,j (1)
1 ≤ j ≤ n
∑
i (1 − ωi)(Ai,jωj− Bi,j − Ci,j) = 0 (2)
1 ≤ j ≤ n [1 − ωi] (1 − ω1 … 1 − ωn) diag[ωi]
ωi
[1 − ωi](A diag[ωi] − B − C) = 0 . (3)
Ai,j
Ai,jdt dt
−Bi,j i ≠ j Cj,j
j ⟶A
i,j i + j , j ⟶−B
i,ji (i ≠ j), j ⟶C
j,j ∅ .
− ∑i≠jBi,j = Bj,j
λj = ∑
i
Ai,j+ Bj,j+ Cj,j.
gj(x1, … , xn) 1, 2, … , n
gj(x1, … , xn) = 1 λj (∑
i Ai,jxixj + ∑
i≠j(−Bi,j)xi+ Cj,j).
R0 > 1 (ω1, … , ωn) [0, 1[n
gj(ω1, … , ωn) = ωj 1 ≤ j ≤ n
∑
i Ai,jωiωj + ∑
i≠j
(−Bi,j) ωi+ Cj,j = ωjλj = ωj(∑
i Ai,j+ Bj,j+ Cj,j).
− ∑
i Bi,jωi+ Cj,j(1 − ωj) = ωj∑
i Ai,j(1 − ωi) .
Omdat , laten we deze term toevoegen aan het linkse lid:
Dit is identiek aan vergelijking (2) sinds voor .
3. Voorbeelden
Neem een SEIR-model, dat uit vier compartimenten bestaat: is het aantal gezonde mensen, het aantal mensen dat besmet is geraakt na blootstelling tijdens een contact, maar nog niet besmettelijk is, het aantal besmettelijke mensen en het aantal herstelde en geïmmuniseerde mensen. We definiëren
: de totale bevolking;
: het aantal geboorten per tijdseenheid;
: de frequentie van contacten;
: natuurlijke sterfte;
: de snelheid waarmee blootgestelde personen besmettelijk worden;
: het tempo waarin besmettelijke mensen herstellen;
: overmatige sterfte tijdens de besmettelijke periode.
Dan kunnen we het volgende model voorstellen:
Bij afwezigheid van de ziekte is de steady state . Aan het begin van een epidemie bestaat de bevolking bijna geheel uit gezonde mensen, dus dat . Zo verkrijgen we het gelineariseerde model
Met de notaties van de vorige secties hebben we
Dus
en . Stel . Het systeem (3) is geschreven
Dus we vinden de twee vergelijkingen
Vandaar de oplossing wie is
∑iBi,j = 0
∑
i
Bi,j(1 − ωi) + Cj,j(1 − ωj) = ωj∑
i
Ai,j(1 − ωi) . Ci,j = 0 i ≠ j
S(t) E(t)
R(t) I(t)
N(t) = S(t) + E(t) + I(t) + R(t) νa
μb cε
dS
dt = ν − a S I
N − μ S , dE
dt = a S I
N − (μ + b) E , dI
dt = b E − (μ + ε + c) I , dR
dt = c I − μ R . S = N∗ = ν/μ
S ≃ N ≃ N∗ dE
dt = −(μ + b) E + a I , dI
dt = b E − (μ + ε + c) I .
A = (0 a), B = ( ), C = ( ).
0 0 b 0
−b 0 μ 0
0 μ + ε + c
A(B + C)−1 = ((b+μ)(μ+ε+c)ab a )
μ+ε+c
0 0
R0 = ab/[(b + μ)(μ + ε + c)] R0 > 1
(1 − ω1 1 − ω2)[(0 a)( ) − ( )] = 0 .
0 0
ω1 0 0 ω2
b + μ 0
−b μ + ε + c
−(b + μ)(1 − ω1) + b(1 − ω2) = 0 , a ω2(1 − ω1) − (μ + ε + c)(1 − ω2) = 0 . [0, 1[2
Het is hetzelfde resultaat als dat van (Allen, 2015, §3.2), maar we hebben de vergelijking van de genererende functies kortgesloten met vergelijking (3).
We berekenen ook de extinctiekansen voor het malariamodel van (Allen, 2017, §6). We definiëren : de frequentie van infectieuze beten,
: de snelheid van genezing van mensen, : muggensterfte,
: het aantal mensen, : het aantal muggen.
Als is het aantal geïnfecteerde mensen en het aantal geïnfecteerde muggen, dan is het gelineariseerde model van de vorm
We vinden . Het systeem (3) is geschreven
We vinden aan het einde van de berekeningen
Maar zelfs als er maar twee soorten mensen besmet zijn, leidt het kwadratische systeem van twee vergelijkingen (2) over het algemeen tot een polynoomvergelijking van graad 4 voor elk van de kansen . Omdat 1 altijd een wortel is, worden we teruggebracht naar een vergelijking van graad 3 die in het algemeen niet meer kan worden verminderd. Dit is bijvoorbeeld het geval voor een SIS- of SIR-type model met migraties tussen twee sites, zodat het gelineariseerde systeem voor geïnfecteerde mensen in beide sites is van de vorm
Het is gewoon de aanwezigheid van veel nullen in de matrices , en waardoor relatief eenvoudige expliciete berekeningen mogelijk zijn in het geval van het SEIR-model of het malariamodel. Als we tevreden zijn met numerieke berekeningen, dan in plaats van het systeem (3) te gebruiken, verkrijgen we het vaste punt in de kubus van het systeem (1) door eenvoudige iteraties vanaf . Dankwoord
We willen professor Hisashi Inaba van de Universiteit van Tokyo bedanken voor zijn uitnodiging om les te geven in een module over epidemische modellering die dit onderzoek heeft gestimuleerd.
Referenties
ω1 = μ + b/R0
μ + b , ω2 = 1 R0.
ac1
c2
N1 N2
I1 I2
A = ( 0 a), B = 0, C = ( ).
aN2/N1 0
c1 0 0 c2
R0 = a√Nc21/Nc21
(1 − ω1 1 − ω2)[( 0 a)( ) − ( )] = 0 . aN2/N1 0
ω1 0 0 ω2
c1 0 0 c2
ω1 = c2+ a
c2R20 + a , ω2 = c2 + a/R20 c2 + a .
ωj
(I1, I2)
A = (a1 0), B = ( ), C = ( ).
0 a2
b1 −b2
−b1 b2
c1 0 0 c2
A B C
[0, 1[n (x1, … , xn) = (0, … , 0)
A. Lotka (1939) Théorie analytique des associations biologiques, 2e partie, Hermann, Paris.
L. J. S. Allen, P. van den Driessche (2013)
Relations between deterministic and stochastic thresholds for disease extinction
in continuous– and discrete– time infectious disease models, Math. Biosci. 243, 99– 108.
https://hal.archives- ouvertes.fr/hal-01266292
G. E. J. Lahodny, L. J. S. Allen (2013)
Probability of a disease outbreak in stochastic multipatch epidemic models.
Bull. Math. Biol. 75, 1157– 1180.
L. J. S. Allen (2015) Stochastic Population and Epidemic Models, Springer, Cham.
L. J. S. Allen (2017) A primer on stochastic epidemic models :
Formulation, numerical simulation, and analysis, Infec. Dis. Model. 2, 128– 142.
N. Bacaër, E. Ait Dads (2014)
Sur la probabilité d′extinction dans un environnement périodique,
