Opgave 1. De stochastische grootheden Y

Inleiding Statistiek – Tentamen 31 januari 2017 Aan het eind van het tentamen is een tabel ingevoegd.

Gebruik van een zakrekenmachine is toegestaan maar niet nodig.

De vier opgaven hebben gelijk gewicht.

Licht je antwoorden toe!

Opgave 1. De stochastische grootheden Y

, . . . , Y

zijn onderling onafhankelijk en Y

is verdeeld vol- gens de N (θx

, x

)-verdeling. Hierin zijn x

, . . . , x

bekende constanten en is θ ∈ R een onbekende parameter. De waarneming is Y = (Y

, . . . , Y

). [De normale verdeling N (µ, σ

) heeft kansdichtheid v 7→ (2πσ

)

e

.]

a Bepaal de aannemelijkheids (likelihood) functie voor θ.

b Laat zien dat de meest aannemelijke schatter (MLE) voor θ gelijk is aan ˆ θ = n

P

i=1

(Y

/x

).

c Is deze meest aannemelijke schatter zuiver?

d Bepaal een 95% betrouwbaarheidsinterval voor θ gebaseerd op de meest aannemelijke schatter.

Opgave 2. De stochastische grootheden X

, . . . , X

zijn onderling onafhankelijk en identiek verdeeld volgens de kansdichtheid

f

(x) =

( e

als x ≥ θ,

0 anders.

Hierin is de parameter θ > 0 onbekend. De waarneming is X = (X

, . . . , X

). [De exponenti¨ele verdeling met parameter λ heeft kansdichtheid v 7→ λe

, voor v > 0; en heeft verwachting 1/λ en variantie 1/λ

.] Laat X

= min(X

, . . . , X

).

a Laat zien dat X

− θ exponentieel verdeeld is met parameter n.

b Welke van de schatters X

+ c voor θ verdient de voorkeur (c ∈ R)?

c Bepaal de Bayes schatter voor θ (gebaseerd op X) als de a-priori kansverdeling gelijk is aan de exponenti¨ele verdeling met parameter 1.

Opgave 3. De stochastische grootheden X

, . . . , X

zijn onderling onafhankelijk en identiek verdeeld volgens de kansdichtheid

f

(x) = c(θ) x

(1 − x)

1

.

Hierin is θ ∈ (0, 1) een onbekende parameter en is c(θ) een constante die van θ afhangt. Dan geldt dat E

X

= θ/2 en var

X

= θ(2 − θ)/12. De waarneming is X = (X

, . . . , X

).

a Bepaal een voldoende statistische grootheid voor θ (met waarden in R).

b Bepaal een voldoende en volledige statistische grootheid voor θ.

c Bepaal de momentenschatter voor θ.

d Is de momentenschatter UMVZ voor θ? Een volledig bewijs is onnodig, maar licht uw antwoord toe!

Opgave 4. De stochastische grootheden X

, . . . , X

zijn onafhankelijk en identiek verdeeld met kans- dichtheid

p

(x) = 2 x

 θ

(1 − θ)

2 − θ , x ∈ {1, 2}.

Hierin is θ ∈ (0, 1) een onbekende parameter. Dan geldt dat E

X

= 2/(2 − θ) en var

X

= 2θ(1 − θ)/(2 − θ)

. De waarneming is X = (X

, . . . , X

).

a Bepaal de meest onderscheidende (lotings) toets voor H

: θ = 1/2 tegen H

: θ = 2/3 by onbe- trouwbaarheidsdrempel 5 %.

b Bepaal de uniform meest onderscheidende (lotings) toets voor H

: θ ≤ 1/2 tegen H

: θ > 1/2 by onbetrouwbaarheidsdrempel 5 %. Licht uw antwoord toe!

c Laat zien dat het kritiek gebied voor grote n wordt benaderd door {x: √

n(¯ x

−4/3) > 1.65 √ 2/3}.

d Bepaal een benadering voor het onderscheidend vermogen van deze toets in θ = 2/3 als n = 25.

ZOZ voor tabellen

Staartkansen van standaard normale variabele Z.

a 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.65

P (Z ≥ a) 0.5 0.46 0.42 0.38 0.34 0.31 0.27 0.24 0.21 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.07 0.055 0.05

a 1.7 1.8 1.9 1.96 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4

P (Z ≥ a) 0.04 0.04 0.03 0.025 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Waarden a zodanig dat P (T ≤ a) = γ, voor T chikwadraat verdeeld met n vrijheidsgraden.

γ / n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0.025 0.2 0.5 0.8 1.2 1.7 2.2 2.7 3.2 3.8 4.4 5 5.6 6.3 6.9 7.6 8.2 8.9 9.6 10.3

0.05 0.4 0.7 1.1 1.6 2.2 2.7 3.3 3.9 4.6 5.2 5.9 6.6 7.3 8 8.7 9.4 10.1 10.9 11.6

0.95 7.8 9.5 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3 19.7 21 22.4 23.7 25 26.3 27.6 28.9 30.1 31.4 32.7

0.975 9.3 11.1 12.8 14.4 16 17.5 19 20.5 21.9 23.3 24.7 26.1 27.5 28.8 30.2 31.5 32.9 34.2 35.5