Tentamen Besliskunde, 25-03-2014 rekenmachine is niet toegestaan
Puntentoekenning
Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven, waaruit in totaal 80 punten te behalen zijn.
Opgave a b c
Opg. 1 5 10 - Opg. 2 10 - - Opg. 3 5 10 - Opg. 4 5 10 5 Opg. 5 10 - - Opg. 6 10 - -
Tentamencijfer totale aantal punten
8 Eindcijfer 1
4Eindcijfer toetsen + 3
4Tentamencijfer
————————-
Opgave 1
Beschouw het LP-probleem
max 6x1− 3x2 + 5x3
onder 4x1+ 4x2+ x3 ≤ 20 (1)
x1+ x2+ 3x3 ≤ 4 2x1− x2+ x3 ≤ 9 x1, x2, x3 ≥ 0
(a) Breng dit LP-probleem in de standaard basisvorm. Geef de startoplossing voor de simplex-algoritme en pas ´e´en iteratie toe om vanuit deze startoplossing een verbeterde basisoplossing te vinden. Geef op overzichtelijke en beargumenteerde wijze aan hoe u deze verbeterde basisoplossing construeert en wat de bijbehorende basisvorm van het LP-probleem is.
(b) Wat zijn de nieuwe basisvariabelen? Wat zijn hun waarden en wat is de nieuwe criteriumwaarde? Hoe kunt u uit de nieuwe basisvorm aflezen of de gevonden oplossing optimaal is? Is dit hier het geval?
1
Opgave 2. Bedenk goed dat u voor goede onderdelen van het model in deze opgave al punten kunt verdienen
Kardolus Airlines vliegt continu de volgende route: L.A. - Houston - New York - Miami - L.A. De afstand (in mijlen) van elk segment van deze route is weergegeven in de volgende tabel.
Segment Afstand
Los Angeles - Houston 1500 Houston - New York 1700 New York - Miami 1300 Miami - Los Angeles 2700
Bij elke stop kan het vliegtuig hoogstens 10.000 gallons kerosine bijtanken. De prijzen per gallon (in dollars) zijn in de verschillende steden als volgt.
Stad Prijs per gallon
Los Angeles 0.88
Houston 0.15
New York 1.05
Miami 0.95
De tank van het vliegtuig kan hoogstens 12.000 gallons kerosine bevatten. We eisen dat bij aankomst in een stad de tank altijd nog minstens 600 gallons bevat om eventueel rondcirkelen boven het vliegveld mogelijk te maken. Het aantal gallons dat per mijl op elk segment van de route verbruikt wordt, wordt gegeven door:
1 + (gemiddeld kerosine niveau op segment/2000),
waarbij het gemiddeld kerosine niveau (in gallons) op een segment gelijk is aan:
(kerosine niveau bij start segment) + (kerosine niveau bij eind segment)
2 .
Het doel is de totale tank-kosten te minimaliseren van de route. Je mag er vanuit gaan dat het vliegtuig telkens na aankomst in Los Angeles weer direct dezelfde route gaat vliegen.
Formuleer dit probleem als een lineair programmeringsprobleem. Geef duidelijk de betekenis van je gekozen beslissingsvariabelen aan.
Hint: Gebruik onder andere de volgende beslissingsvariabelen: xj = aantal gallons in de tank van het vliegtuig bij vertrek uit stad j, j = 1; 2; 3; 4.
Opgave 3.
Beschouw het volgende 0-1 knapzak probleem.
max 5x1+ 12x2+ 9x3+ 2x4 onder : 2x1+ 5x2+ 4x3+ 1x4 ≤ 10
x1, x2, x3, x4 ∈ {0, 1}
2
(a) Geef de unieke oplossing van de LP-Relaxatie van dit probleem. Geef ook de bijbehorende optimale criteriumwaarde van de LP-Relaxatie.
(b) Los het bovenstaande 0-1 knapzak probleem op met behulp van Branch en Bound en vind op deze manier de optimale oplossing met de bijbehorende optimale criteriumwaarde.
Opgave 4.
Beschouw het netwerk in de figuur. Het nummer bij een pijl geeft de capaciteit van de pijl aan. We gaan met behulp van Ford-Fulkerson de maximum stroom in dit netwerk van knoop s naar knoop t berekenen.
1
s t
4
3
2 5
4
1
2
2 1 3
2 2
3 1
In de eerste twee iteraties van Ford-Fulkerson zijn de volgende stroom vermeerderende paden gevonden:
• s, 1, 4, t met bottleneck capaciteit 1 vanwege pijl (1, 4);
• s, 1, 3, 5, t met bottleneck capaciteit 2 vanwege pijlen (1, 3), (3, 5) en (5, t).
Dus, we hebben nu een stroom van 3 vanuit s naar t.
(a) Bereken voor ieder van de kanten hoeveel stroom er nu doorheen gaat na deze twee iteraties. (Hint: dit is gewoon een heel gemakkelijke vraag; zoek er niets achter.) (b) Zoals je na kunt gaan is er geen stroom vermeerderende pad wat alleen gebruik
maakt van voorwaartse pijlen. Zet de zoektocht naar stroomvermeerderende paden voort, ofwel door het formuleren van het residuele netwerk behorend bij de stroom berekend in (a), ofwel door gebruik te maken van de labeling methode uit het boek, maar in beide gevallen uitgaand van de stroom die we bij (a) al door het netwerk gestuurd hebben. (Dus niet vanaf stroom 0 beginnen!) Doe dit tot er geen stroomvermeerderende paden meer bestaan en geconcludeerd kan worden dat de optimale oplossing gevonden is. (Hint1: Gebruik gerust de figuur om de
informatie en het residule netwerk in weer te geven. Hint2:Als je het goed doet ben je al na 1 iteratie klaar).
(c) Check correctheid van je antwoord door de bijbehorende minimum s-t-snede te vinden en zijn grootte te bepalen. Geef goed aan hoe je aan de snede komt.
3
Opgave 5.
Vat de getallen uit de figuur van Opgave 4 op als lengtes van de corresponderende pijlen. Vind dan het kortste pad van s naar t. Laat goed zien hoe je Dijkstra’s algoritme hiervoor gebruikt.
Opgave 6.
Een groep N huisartsen heeft besloten om samen te gaan werken. Echter willen ze dat iedere patient ´e´en van de artsen als eerste aanspreekpunt krijgt toegewezen. Ze willen de gehele verzameling van M patienten herverdelen. Voor iedere patient i is op grond van het verleden een geschatte hoeveelheid werk Ti vastgesteld, uitgedrukt in benodigde tijd per jaar, waarbij Ti afgerond is op halve uren. Daarnaast is bij de verdeling de afstand van de patienten naar de huisartsen praktijk van belang: de afstand tussen de praktijk van huisarts j en het adres van patient i is dij [i = 1, 2, ..., M ; j = 1, ..., N ].
Huisarts j wil in zijn praktijk een verzameling patienten die hooguit bij elkaar een geschatte hoeveelheid werk van tj uur per jaar vragen, [j = 1, ..., N ]. De huisartsen willen de patienten zodanig verdelen dat de som van de afstanden die de patienten naar de aan hen toegewezen huisarts moeten afleggen minimaal is.
Formuleer dit probleem als een dynamisch programmeringsprobleem. Beschrijf daarvoor in ieder geval de toestand, de interpretatie van de waardefunctie in woorden, de
recursierelatie, de start-recursie en wat je moet berekenen in termen van de waardefunctie. Hint: Begin met stadium j.
4
