• No results found

a) [10%] Teken het faseplaatje voor 0 &lt

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "a) [10%] Teken het faseplaatje voor 0 &lt"

Copied!
1
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Vrije Universiteit maandag 20 oktober, 2014

Dynamische Systemen, deeltentamen 1 15:15-17:15, zaal WN-KC159

Dit tentamen telt voor 30% mee in het eindcijfer voor dit vak.

Dit tentamen duurt 2 uur. Het boek en een rekenmachine zijn niet toegestaan.

Opgave 1 Beschouw de 1-dimensionale differentiaalvergelijking dx

dt = rx − x 1 + x4 Hierin is r > 0 een parameter.

a) [10%] Teken het faseplaatje voor 0 < r < 1, voor r = 1 en voor r > 1. Geef ook de stabiliteit van de evenwichtspunten aan.

b) [15%] Teken het bifurcatie-diagram, d.w.z. een plaatje van het (r, x)-vlak, waarin de evenwichtspunten en hun stabiliteit zijn aangegeven.

c) [5%] Hoe heet de bifurcatie bij r = 1?

Opgave 2 [30%] Beschouw de 1-dimensionale differentiaalvergelijking dx

dt = h + rx − x7 . Hierin zijn h en r parameters.

Laat zien dat deze differentiaalvergelijking 1, 2 of 3 evenwichtsoplossingen kan hebben. Bereken de deelverzamelingen van het (h, r)-vlak waarin dit het geval is. Maak ook een tekening van deze deelverza- melingen.

Opgave 3 We bekijken het stelsel differentiaalvergelijkingen

 dx dydt dt



=

 −5 6

−3 1

  x y

 .

a) [5%] Bereken het spoor en de determinant van bovenstaande 2 × 2-matrix. Gebruik deze informatie (en niet andere informatie) om de stabiliteit van het evenwichtspunt (x, y) = (0, 0) te bepalen.

b) [10%] Bereken de eigenwaarde(n) van bovenstaande matrix en klassificeer het evenwicht. D.w.z. bepaal of het evenwichtspunt een stabiele knoop, onstabiele knoop, gedegenereerde knoop, zadelpunt, cen- trumpunt, stabiele spiraal of onstabiele spiraal is.

c) [15%] Geef een uitdrukking voor de algemene oplossing van dit stelsel differentiaalvergelijkingen.

d) [10%] Teken het faseplaatje van de differentiaalvergelijkingen. D.w.z. teken in het (x, y)-vlak zoveel mogelijk banen van kwalitatief verschillende oplossingen. Vergeet de pijltjes niet.

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Hint: een analyse van seculiere/resonante termen is in deze opgave

Gebruik deze informatie (en niet andere informatie) om het evenwichtspunt (x, y) = (0, 0) te klassificeren. bepaal of het evenwichtspunt een stabiele knoop, onstabiele

b) [5%] Bereken de eigenwaarde(n) van bovenstaande matrix en klassificeer het evenwicht. bepaal of het evenwichtspunt een stabiele knoop, onstabiele knoop, gedegenereerde

Daar had ik dan wat van willen veTnemen. Och ja, zei minister Van Aartsen, het is natuurlijk ook mogelijk uitsluitend woningwetwoningen te bouwen, maar de ' overheid

Dat hij naast zijn drie grote wetenschappelijke publicaties (vijf, als we zijn eerste boek en zijn Tegenwoordige Staat meetellen) zich vooral inspande om kennis

De Samenwerkingsagenda en het bijbehorende Mobiliteitsprogramma 2021- 2024 zijn opgesteld door het Kwartiermakersteam (een team bestaande uit vertegenwoordigers vanuit

De omvorming van de voormalige Luitenant Generaal Knoopkazerne tot Rijkskantoor De Knoop, een modern kantoorgebouw en vergadercentrum voor rijksambte- naren, is binnen een

Als echter een trouwe militant van in de tachtig (!) daarbij uitgebreid gehuldigd wordt door liefst drie boegbeelden van die partij en voor het leven wordt gebombardeerd tot