: Leerjaar 1 - Periode 2

(1)

Wiskunde - MBO Niveau 4

OPLEIDING

: Noorderpoort MBO Niveau 4

DOCENT

: H.J. Riksen

LEERJAAR

: Leerjaar 1 - Periode 2

UITGAVE

: 2018/2019

Eerste- en tweedegraads verbanden

(2)

Wiskunde - MBO Niveau 4

OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen

LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2016/2017

Eerste- en tweedegraads verbanden

(3)

Wiskunde

Leerjaar 1 - periode 2

Hoofdstuk 1 - Rechte lijnen

Het assenstelsel

In de wiskunde is het gebruikelijk om lijnen en grafieken te tekenen in een zogenaamd assenstelsel.

Dat betekent dat we altijd op ruitjespapier tekenen en ook altijd beginnen met het tekenen van twee assen; de x-as en de y-as.

Het tekenen van een correct assenstelsel gaat als volgt:

1. Teken een horizontale x-as met aan het rechter uiteinde een pijlpunt 2. Teken een verticale y-as met aan het uiteinde boven een pijlpunt

3. Zet een x bij de pijlpunt van de x-as en zet een y bij de pijlpunt van de y-as 4. Zet maatstreepjes langs beide assen op de plek waar de cijfers komen te staan 5. Zet alle cijfers netjes bij de maatstreepjes; vergeet het cijfer 0 niet

In dit assenstelsel kun je nu punten aangeven. Punt P bijvoorbeeld heeft de coördinaten (3, 2), wat betekent: 3 op de x-as en 2 op de y-as. Punt Q heeft de coördinaten (5, 4) en punt R heeft de coördinaten (1, 6).

x y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2 −1

−1

−2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(3, 2)

Q(5, 4) R(1, 6)

(4)

De rechte lijn

Een rechte lijn kun je niet alleen tekenen, maar ook vastleggen in een regeltje tekst. Iedereen die deze tekst heeft, kan de lijn ook tekenen. Zo’n regeltje wordt functievoorschrift genoemd en ziet er bijvoorbeeld zo uit:

f(x) = ⅓x + 3 of f(x) = 2x + 5 of f(x) = ¼x −2

Er is nog een tweede manier om het regeltje te schrijven en dan heet het een vergelijking:

y = ⅓x + 3 of y = 2x + 5 of y = ¼x −2 Zo’n vergelijking heeft dus altijd een vaste vorm: y = ….x + …

Op de puntjes moet je getallen invullen. Om dat aan te geven schrijven we ook wel: y = ax + b We bekijken nu één van de vergelijkingen uit het voorbeeld: y = ⅓x + 3

Snijpunt met de y-as

Getal b is altijd de plek waar de rechte lijn de y-as snijdt. Is b gelijk aan 3? Dan snijdt de lijn de y-as in het punt (0,3). Is b gelijk aan −5? Dan snijdt de lijn de y-as in het punt (0, −5). De x-waarde van een snijpunt met de y-as is altijd 0.

Het kan ook voorkomen dat b=0. Dan wordt hij weggelaten in de vergelijking, bijvoorbeeld:

y = ½x of y = 4x of y = −¼x

De lijn snijdt de y-as dan in het punt (0, 0).

Hellingsgetal

Getal a is altijd hoe schuin de lijn loopt, oftewel het hellingsgetal. Het hellingsgetal geeft aan hoeveel hokjes de lijn omhoog of naar beneden gaat, als je één hokje opschuift naar rechts.

Is het hellingsgetal 3? Dan ga je één hokje naar rechts en drie hokjes naar boven.

Is het hellingsgetal −2? Dan ga je één hokje naar rechts en twee hokjes naar beneden.

Is het hellingsgetal ½? Dan ga je één hokje naar rechts en een half hokje naar boven. Je kunt nu ook zeggen:

ik ga twee hokjes naar rechts en één hokje naar boven.

Opdracht 1

Geef van onderstaande lijnen het snijpunt met de y-as en het hellingsgetal.

Teken de lijnen vervolgens in een assenstelsel.

a) y = ⅓x + 5 b) y = 2x + 7 c) y = 6x − 5 d) y = ½x + 2 e) y = 4x

f) y = − x − 1 g) y = ¼x + 1 h) y = ½x i) y = ⅙x + 6 j) y = 3x + 12 

a b

(5)

Opdracht 2

Geef van de lijnen a t/m f een vergelijking.

Het hellingsgetal berekenen

Als je twee punten hebt, waar een lijn doorheen gaat, kun je het hellingsgetal berekenen. Je trekt de twee y- coördinaten van elkaar af en ook de twee x-coördinaten. Deze uitkomsten deel je door elkaar.

Voorbeeld: Een lijn gaat door de punten (1, 3) en (7, 5). Het hellingsgetal wordt dan:

Het snijpunt met de y-as berekenen

Nadat je het hellingsgetal hebt berekend, kun je ook het snijpunt met de y-as berekenen. Je hebt namelijk al dit stukje van de vergelijking: Vul nu de x en y van één van de punten in en het getal dat op de puntjes moet staan wordt duidelijk.

Voorbeeld: Een lijn gaat door de punten (1, 3) en (7, 5). Het hellingsgetal is dus: . hellingsgetal= y₂ − y₁

x₂ − x₁ = 5− 3 7− 1= 2

6 =1 3

y= hellingsgetal × x + ...

1 3

⇒ y = ¹₃x + ...

⇒ 5 = ¹₃× 7 + ...

⇒ 5 = 2¹₃ + ... → op de puntjes moet dus 2²₃

staan

snijpunt met de y− as : 0,2

( )

²₃

x y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2 −1

−1

−2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a

b

d c

e f

(6)

Opdracht 3

Hieronder staan steeds twee punten van een lijn. Bereken eerst het hellingsgetal van de lijn en daarna het snijpunt met de y-as. Geef vervolgens de vergelijking van de lijn.

a) (4, 9) en (12, 11) b) (16, 12) en (66, 37) c) (8, 18) en (22, 60) d) (15, −20) en (50, −90) e) (35, 27) en (85, 37)

f) (10, −110) en (78, −450) g) (30, 123) en (70, 127) h) (30, −28) en (60, −40) i) (5, 21) en (25, 25) j) (32, 744) en (100, 1560) 

Het snijpunt van twee lijnen berekenen

Je kunt het snijpunt van twee lijnen berekenen door de vergelijkingen ‘gelijk te stellen’ en op te lossen. De ene lijn is bijvoorbeeld en de andere lijn is bijvoorbeeld . Er moet nu een x-

coördinaat bestaan die voor beide lijnen dezelfde y-waarde heeft. Dat is het snijpunt. Die x-coördinaat met dezelfde y-waarden vind je door te stellen: de van is dezelfde als de van .

Dus:

Vroeger leerde je dat je met inklemmen de x kunt vinden die in deze vergelijking past. Nu gaan we de x berekenen met behulp van de balansmethode.

De balansmethode

We nemen als voorbeeld:

Stap 1: Alle termen met een x erin naar de linkerkant brengen.

Aan de rechterkant staat één

x

. Die krijg je daar weg door er een

x

van af te trekken. Van de

3x

aan de linkerkant moet je dan ook een

x afhalen.

3x − x − 8 = x − x + 18

⇒ 2x − 8 = 18

Stap 2: Alle termen zonder x erin (dus de losse getallen) naar de rechterkant brengen.

Aan de linkerkant staat

− 8

. Die krijg je daar weg door er

8

bij op te tellen. Bij de

18

aan de rechterkant moet je dan ook

8 optellen.

2x − 8 + 8 = 18 + 8

⇒ 2x = 26

Stap 3: Bepaal x.

Om

x

te vinden deel je de linkerkant en de rechterkant door 2. Als je

2x

door 2 deelt, hou je namelijk alleen

x

over en dan heb je je doel bereikt.

Stap 4: Controle

Om te controleren of je ergens een rekenfout gemaakt hebt, kun je de gevonden waarde van

x

invullen in de oorspronkelijke vergelijking:

Het klopt!

y =

3x − 8

^y =

x +18

y y=

3x − 8

^y ^y =

x +18

3x − 8 = x +18

2x 2 = 26

2 ⇒ x = 13

3x − 8 = x +18 ⇒ 3×13− 8 = 13+18 ⇒ 31= 31

(7)

Het uiteindelijke snijpunt van de twee lijnen

Met de berekening hierboven heb je de x-coördinaat van het snijpunt gevonden. We moeten als laatste ook nog de y-coördinaat berekenen. De y-coördinaat vinden we door de x-coördinaat in te vullen in één van de vergelijkingen van de lijnen.

Voorbeeld:

We hebben hierboven gevonden dat .

Als we dit invullen in de vergelijking dan krijgen we: .

Het snijpunt van de twee lijnen is dus: . We hadden ook kunnen invullen in de andere vergelijking:

Opdracht 4

Oefenen met de balansmethode.

I) Los de volgende vergelijkingen op:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

II. Los de volgende vergelijkingen op:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)  

III. Los de volgende vergelijkingen op:

IV. Los de volgende vergelijkingen op:

Opdracht 5

Hieronder staan steeds twee vergelijkingen van een lijn. Bereken het snijpunt van de twee lijnen.

a)

b)

c)

d)  

x = 13

y = 3x − 8 y = 3×13− 8 = 31 13,31

( ) ^x ^{= 13}

y = x +18 = 13+18 = 31.

3x + 4 = 10 x + 3 = 5 x + 7 = 8 2x + 4 = 8 2x + 4 = 12

3x = 9 4x = 12 4x = −16 3x +1= 16 2x − 3 = 11

5x + 2 = 2x + 8 x + 7 = 12 − 4x 2x − 3 = 9 − x 7 = 2x − 3

x − 6 = −2x +12 5x + 3 = 6x − 3

x + 8 = 2x + 9 6x − 4 = 4x − 2 5x − 4 = −4 3− x = 2x − 3

a) 2x − 4 = 7 e) − 3x − 3 = 7 b) 2x − 4 = −7 f ) − 3x − 4 = 17 c) 5x = 1 g)

¹₂

x +1= 0 d) 3x − 3 = 7 h) 6x − 4 = 8

a) 4x + 3 = 2x e) x + 3 = 3− x b) 4x + 5 = 2x +1 f ) 6x + 4 = 3x −1 c) 3x + 4x = 7 g) 3 − x = 2x +1 d) 5x − 3x = 6 h) 3− x = 2x + 3

a) 4− 2x = x −1 e) 2x+ 4 = 6 − x b) 6+ 3x = 5x − 6 f ) 4x− 5 = 5− 4x c)− 3x = 6x + 9 g)− 3− x = 5x − 4 d) 8x+ 4 = −6x + 3x h) x+ 2 = 3+ x

y =

¹₃

x + 5 en y = −4x + 44 y = −

¹₅

x +10 en y = −4x + 29

y = 40x +150 en y = −35x + 7650

y = 1600x + 45000 en y = −

¹₄

x + 51401

(8)

Hoofdstuk 2 - Parabolen

De parabool

Een parabool is een gebogen vorm, een zogenaamde kromme. De vorm ontstaat als je de grafiek tekent van een tweedegraads vergelijking; dat is een vergelijking met x² erin.

Parabolen kom je overal tegen, kijk maar eens naar de afbeeldingen hieronder.

Er zijn twee soorten parabolen, bergparabolen en dalparabolen:

bergparabool dalparabool

Voorbeeld: ! !

Aan de vergelijking kun je zien of het een berg- of dalparabool is. Bij bergparabolen staat er een min-teken voor de x². Je kunt dit gemakkelijk onthouden als je aan smiley’s denkt:

negatief (min) positief (plus)

bergparabool dalparabool

y = −x

²

+ 4 y = x

²

+ 4

(9)

Opdracht 1

Geef van onderstaande vergelijkingen aan of het een bergparabool of een dalparabool is:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

Opdracht 2

Ga naar www.desmos.com en klik op:

Typ onderstaande vergelijkingen in:

Geef nu antwoord op de volgende vragen:

a) Bij welk punt gaat door de y-as?

b) Bij welk punt gaat door de y-as?

c) Kun je aan de hand van antwoord a en b voorspellen waar door de y-as gaat? Teken ook deze grafiek en controleer je voorspelling.

d) Bij welke twee punten snijden de eerste twee grafieken elkaar?

e) Op welke as liggen deze twee snijpunten?

Opdracht 3

Typ onderstaande vergelijking in bij desmos.com:

y = x

²

y = −x

²

− 6 y = −2x

²

+ 2x − 6 y = x

²

− 5x + 6

y = x

²

+ 5x − 6 y = −x

²

− 3x y = −x

²

+ 3x y = x

²

− 6x − 30

y = x

²

+ 5x + 6 y = −x

²

− 5x − 6

y = x

²

+16x + 40

(10)

Geef nu antwoord op de volgende vragen:

a) Is dit een dal- of bergparabool?

b) Bij welk punt gaat de grafiek door de y-as?

c) Bij welke twee punten gaat de grafiek door de x-as?

d) Wat is het laagste punt van deze grafiek?

e) Zoek uit welk getal je moet veranderen in de vergelijking om het laagste punt één hokje omhoog te schuiven. Geef de nieuwe vergelijking.

Tabellen

We gaan nu oefenen met het handmatig tekenen van een parabool. Daarvoor kun je het beste een tabel invullen met een aantal waarden voor x. De y-waarde kun je dan uitrekenen. Dit is nog best lastig met negatieve waarden voor x. Laten we maar kijken:

Voorbeeld

Gegeven is de vergelijking:

y = x

²

+ 4x

- We vullen in:

x = 1 y = (1)

²

+ 4(1)

Er staat nu eigenlijk:

y = 1×1 + 4×1 = 5

Bij x-waarde 1 hoort dus y-waarde 5.

We kunnen nu het punt (1, 5) tekenen.

- We vullen in:

x = 2 y = (2)

²

+ 4(2)

Er staat nu eigenlijk:

y = 2×2 + 4×2 = 12

- We vullen in:

x = 0 y = (0)

²

+ 4(0)

Er staat nu eigenlijk:

y = 0×0 + 4×0 = 0

- We vullen in:

x = −3 y = (−3)

²

+ 4(−3)

Er staat nu eigenlijk:

y = −3 × −3 + 4 × −3 = −3

Bij x-waarde −3 hoort dus y-waarde −3.

We kunnen nu het punt (−3, −3) tekenen.

Rekenmachine

Let op bij het invoeren van negatieve x-waarden op je rekenmachine.

Als je bijvoorbeeld x² wilt uitrekenen met x = −6, dan moet je invoeren:

en niet:

Probeer maar eens wat het verschil is!

✔

✘

(11)

Opdracht 5

Gegeven is de functie: y = x²

a) Neem de tabel over, reken alle y-waarden uit en vul ze in.

b) Wat valt je op als je de y-waarden goed bekijkt?

Opdracht 6

Gegeven is de functie: y = x² − 2x

b) Welke y-waarde hoort bij x = 0?

c) Welke twee x-waarden horen bij y = 0?

Opdracht 7

Gegeven is de functie: y = x² − 6x + 8

b) Welke y-waarde hoort bij x = 0?

c) Welke twee x-waarden horen bij y = 0?

d) Teken een assenstelsel met een x-as en een y-as die allebei lopen van 0 t/m 10.

e) Teken alle zes de punten van opdracht a) in het assenstelsel f) Teken een vloeiende lijn door deze zes punten

Opdracht 8

Gegeven is de functie: y = ½x² − 4x + 10

b) Teken de grafiek van deze functie in het assenstelsel van opdracht 7.

c) Heeft deze grafiek een snijpunt met de y-as? Zo ja, welk punt dan?

d) Heeft deze grafiek één of meer snijpunten met de x-as? Zo ja, welke dan?

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

x

−2 −1 0 1 2 3 4

y

x

0 1 2 3 4 5 6

y

x

0 2 4 6 8

y

(12)

Hoofdstuk 3 - Snijpunten

3.1 Snijpunt met de y-as

Iedere parabool heeft altijd precies één snijpunt met de y-as. Bij opdracht 2 van het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat je de y-coördinaat van het snijpunt met de y-as in de formule kunt zien.

Voorbeeld

Gegeven is de parabool:

Het laatste getal (12) is de y-coördinaat van het snijpunt met de y-as.

Het snijpunt met de y-as is dus:

Opdracht 1

Geef de snijpunten met de y-as van de volgende parabolen: 

a) "

b) "

c) "

d) "

e) "

f) "  

y = x

²

+ 7x +12 (0, 12)

y = x

²

+ 3x + 5 y = x

²

+ 2x − 36 y = −x

²

− 7x −14

y = 2x

²

+ 24x −113

y =

¹₂

x

²

−13x − 2

¹₂

y = −3x

²

+ 40x − 45

(13)

3.2 Snijpunten met de x-as

Een parabool kan nul, één of twee snijpunten hebben met de x-as.

Opdracht 2

Geef van de volgende parabolen aan of ze nul, één of twee snijpunten hebben met de x-as: 

Discriminant

Er is een formule waarmee je kunt uitrekenen of een parabool nul, één of twee snijpunten heeft. Die formule heet de discriminant en ziet er zo uit:

Discriminant:

Als , dan heeft de parabool twee snijpunten met de x-as Als , dan heeft de parabool één snijpunt met de x-as Als , dan heeft de parabool géén snijpunten met de x-as Op de plek van b, a en c vul je de getallen uit de formule in.

D = b

²

− 4ac D > 0

D = 0 D < 0

a

c

b

d

(14)

Voorbeeld

a=1, b=7 en c=12

Conclusie: de parabool heeft twee snijpunten met de x-as.

a=1, b=7 en c=12

Conclusie: de parabool heeft geen snijpunten met de x-as.

Conclusie: de parabool heeft één snijpunt met de x-as.

Opdracht 3

Bereken de discriminant van de volgende parabolen en geef aan hoeveel snijpunten ze hebben met de x-as. 

a) y = 2x

²

+ 4x + 2 b) y = 2x

²

+4x − 6 c) y = 2x

²

− 5x + 5 d) y = 3x

²

− 3x − 14 e) y = − 2x

²

− 7x − 8 

f) y = − 2x

²

+ 8x − 8 g) y = 10x

²

+ 5x − 1 h) y = − 3x

²

− 3x − 2 i) y = 5x

²

− 20x + 20  y = x

²

+ 7x +12

a = 1 b = 7 c = 12 D = 7

²

− 4⋅1⋅12

= 49 − 48

= 1

y =

¹₂

x

²

− x + 2 a =

¹₂

b = −1 c = 2

D = (−1)

²

− 4⋅

¹₂

⋅2

= 1− 4

= −3

y = −x

²

+ 8x −16 a = −1 b = 8 c = −16

D = 8

²

− 4⋅−1⋅−16

= 64 − 64

= 0

(15)

De abc-formule

De abc-formule:

Voorbeeld

Gegeven is de tweedegraads vergelijking:

In deze vergelijking geldt: a=2, b=8 en c=6. Als je deze waarden invult in de abc-formule, krijg je:

Dit verder uitwerken geeF:

nu splitsen in x1 en x2:

De nulpunten zijn dus: (−1, 0) en (−3, 0).

Rekenmachine

Let op bij het gebruik van de rekenmachine en de abc-formule. Er staat zowel een wortelteken als een breukstreep in de formule. Je moet dus zorgvuldig met haakjes werken. Bovendien moet je soms het kwadraat van een negaRef getal uitrekenen. Ook daarvoor moet je haakjes gebruiken.

Voorbeeld van de abc-formule in de rekenmachine:

Gegeven is de vergelijking:

In de rekenmachine ziet dat er zo uit: .

Hierna vervang je de + door een −; zo krijg je de tweede x-waarde.

Opdracht 4

Bereken van de onderstaande parabolen de nulpunten met behulp van de abc-formule.

a) y = 2x

²

+ 10x + 8 b) y = 2x

²

+4x − 16 c) y = 2x

²

− 20x d) y = 2x

²

− 12x e) y = 2x

²

− 12x + 16 f) y = 3x

²

− 6x

g) y = 3x

²

+ 18x +24 h) y = 3x

²

+ 30x + 48 i) y = −6x

²

+ 12x + 48 j) y = −6x

²

− 12x + 48 k) y = −3x

²

+ 18x −24 l) y = 4x

²

+ 24x y = 2x

²

+ 8x + 6

x

_1,2

= − b ± b

²

− 4ac

2a = − 8 ± 8

²

− 4⋅2⋅6 2 ⋅2

x

_1,2

= − 8 ± 64 − 48

4 = − 8 ± 16

4 = − 8 ± 4 4

x

₁

= − 8 + 4

4 = −1 en x

₂

= − 8 − 4 4 = −3

y = 2x

²

−12x +16

− −12 + ( (−12)

²

− 4 × 2 ×16 )

( ) ^{÷ 2 × 2} ^{( )}

x

_1,2

= − b ± b

²

− 4ac

2a

(16)

m) y = 4x

²

+ 24x + 32 n) y = −5x

²

+ 30x − 40 o) y = −5x

²

− 10x − 40 p) y = 5x

²

− 10x − 40

q) y = −4x

²

− 8x + 32 r) y = −4x

²

+8x + 32 s) y = 7x

²

+ 14x t) y = 7x

²

− 28 

3.3 Snijpunten van een parabool en een lijn

Een parabool kan ook snijpunten hebben met een lijn. Om die snijpunten te berekenen, stel je de formules aan elkaar gelijk, en los je die op met behulp van de abc-formule.

Voorbeeld

Gegeven is de lijn:

Het snijpunt bereken je als volgt:

Abc-formule toepassen:

De x-coördinaten zijn dus 0 en 4. Invullen in de formule van de lijn (of de parabool) geeft:

: Leerjaar 1 - Periode 2

Wiskunde - MBO Niveau 4

: Noorderpoort MBO Niveau 4

: H.J. Riksen