Hoofdstuk 4: Vermenigvuldiging en deling in de verzameling der natuurlijke getallen

Hele tekst

(1)

Hoofdstuk 4: Vermenigvuldiging en deling in de verzameling der natuurlijke getallen 1. De vermenigvuldiging in de verzameling der natuurlijke getallen

• Het product van de kardinaalgetallen van twee verzamelingen is gelijk aan het kardinaalgetal van hun productverzameling.

Wiskundige formulering: #A × #B = #(A × B)

• De onderlinge situatie van de verzamelingen speelt bij het product geen rol.

Notatie: a × b = c, a.b = c of ab = c

▪ a en b zijn factoren, c is het product.

• De bewerking die men hier heeft uitgevoerd noemt men de vermenigvuldiging.

• Het resultaat van deze vermenigvuldiging noemt men het product.

• Een gedurig product is een product met meer dan twee factoren.

2. Eigenschappen van de vermenigvuldiging in de verzameling der natuurlijke getallen

• Voor elk tweetal elementen van de verzameling der natuurlijke getallen is het steeds mogelijk een product te bepalen dat eveneens tot de verzameling der natuurlijke getallen behoort. De vermenigvuldiging in de verzameling der natuurlijke getallen is inwendig en overal gedefinieerd.

a,b

 

: a.b

 

• Een gedurig product blijft onveranderd wanneer men de volgorde waarin men de bewerkingen uitvoert, wijzigt. Dit noemt men de associatieve eigenschap van de vermenigvuldiging in de verzameling der natuurlijke getallen.

a,b,c

 

: (a.b).c = a.(b.c) = a.b.c

• De factor 1, eveneens behorende tot de verzameling der natuurlijke getallen, verandert niets aan het product, ongeacht of men de vermenigvuldiging links of rechts uitvoert. Men noemt 1 het neutraal element van de vermenigvuldiging in de verzameling der natuurlijke getallen.

a

  

1

 

: a.1 = a = 1.a

• Een product blijft onveranderd wanneer men de factoren van plaats verwisselt. Dit noemt men de commutatieve eigenschap van de vermenigvuldiging in de verzameling der natuurlijke getallen.

a,b

 

: a.b = b.a

A B

a

b d

c e

f

g

h

i

e f g h i

a b c d e f A

B

(2)

• De factor 0, eveneens behorende tot de verzameling der natuurlijke getallen, levert steeds een product op dat gelijk is aan 0, ongeacht of men de vermenigvuldiging links of rechts uitvoert. Men noemt 0 het

opslorpend element van de vermenigvuldiging in de verzameling der natuurlijke getallen.

a

  

0

 

: a.0 = 0 = 0.a

• Als men een factor met de termen van een som of een verschil vermenigvuldigt, dan kan men elke term van deze som of verschil met deze factor vermenigvuldigen en daarna de verkregen resultaten optellen of aftrekken. Dit noemt men de distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling in de verzameling der natuurlijke getallen.

a,b,c

 

: a.(b + c) = (a.b) + (a.c)

a,b,c

 

: (b + c).a = (b.a) + (c.a)

a,b,c

 

: a.(b – c) = (a.b) – (a.c)

a,b,c

 

: (b – c).a = (b.a) – (c.a)

3. Toepassing van de eigenschappen bij het vermenigvuldigen – Hoofdrekenen

• Vermenigvuldiging door toepassing van de commutatieve en associatieve eigenschap:

◦ Men splitst een factor in meerdere factoren,

◦ men verwisselt de factoren van plaats,

◦ de factoren die men gemakkelijk met elkaar kan vermenigvuldigen neemt men eerst samen door deze tussen haakjes te plaatsen.

Voorbeeld: 25 × 44 = 25 × 4 × 11 = (25 × 4) × 11 = 100 × 11 = 1100

• Vermenigvuldiging door toepassen van de distributieve eigenschap:

◦ Men splitst een factor op in termen van een som of een verschil,

◦ men past de distributieve eigenschap toe.

Voorbeeld: 13 × 4 = (10 + 3) × 4 = (10 × 4) + (3 × 4) = 40 + 12 = 52

4. De vermenigvuldiging in de verzameling der natuurlijke getallen als surjectie

• De relatie R :

×

  

: ... heeft als product ... is een surjectie van

×

naar

die elk koppel natuurlijke getallen afbeeldt op hun product.

Linkstotaal: Elk koppel van

×

heeft ten minste één beeld in

.

◦ De vermenigvuldiging in

is overal gedefinieerd.

◦ (geen enkel roostervakje is leeg)

Rechtseenduidig: Elk koppel van

×

heeft precies één beeld in

.

◦ (geen enkel roostervakje bevat meer dan één element)

Rechtstotaal: Elk element van

is beeld van tenminste één koppel van

×

.

◦ 1 als neutraal element van de vermenigvuldiging in

. (roostervakjes met groene achtergrond)

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48

5 0 5 10 15 20 25 30 35 40

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(3)

Niet linkseenduidig: Sommige elementen van

zijn meermaals beeld van een koppel van

×

.

◦ Commutativiteit van de vermenigvuldiging in

. (rode diagonaal, as van symmetrie)

◦ 0 als opslorpend element van de vermenigvuldiging in

. (roostervakjes met blauwe achtergrond)

◦ Sommige getallen zijn op meer dan twee manieren product van twee getallen.

(groene omcirkeling, niet alle voorbeelden aangeduid)

Samengevat: bitotaal en rechtseenduidig

surjectie.

5. De deling in de verzameling der natuurlijke getallen

• De deling is de omgekeerde bewerking van de vermenigvuldiging.

Notatie: D d = q

▪ D is het deeltal, d is de deler en q is het quotiënt.

• De bewerking die men hier heeft uitgevoerd noemt men de deling.

• Het resultaat van de deling is het quotiënt.

6. Opgaande en niet-opgaande deling in de verzameling der natuurlijke getallen

• Een deling waarbij D = d.q noemt men een opgaande deling.

Notatie:

▪ a

b (Lees: a deelt b of a is deler van b).

▪ a

b (Lees: a deelt niet b of a is geen deler van b).

▪ a

-1 b (Lees: a is veelvoud van b of a is deelbaar door b).

▪ a

-1 b (Lees: a is geen veelvoud van b of a is niet deelbaar door b).

• Een deling waarbij D = d.q + r met r

0 noemt men een niet-opgaande deling.

• De relatie R in

: ... is deler van ... is reflexief.

n

 

: n

n

• De relatie R in

: ... is deler van ... is antisymmetrisch.

a,b

 

: a

b en b

a

a = b

• De relatie R in

: ... is deler van ... is transitief.

a,b,c

 

: a

b en b

c

a

c

• De relatie R in

: ... is deler van ... is niet-totaal.

a,b

 

: a

b en b

a

• De relatie R in

: ... is deler van ... is een niet-totale orderelatie.

7. Bijzondere delingen

• Een getal delen door 0 is onmogelijk.

• 0

0 heeft als quotiënt ieder willekeurig getal.

• Wanneer het deeltal 0 is, dan is het quotiënt steeds 0.

8. Eigenschappen van de deling in de verzameling der natuurlijke getallen

• Niet voor elk tweetal elementen van de verzameling der natuurlijke getallen is het mogelijk een quotiënt te bepalen dat eveneens tot de verzameling der natuurlijke getallen behoort. De deling in de verzameling der natuurlijke getallen is enkel inwendig daar waar de deling een opgaande deling is en bijgevolg niet overal gedefinieerd.

a,b

 

: a : b

 

• Een quotiënt blijft niet altijd onveranderd wanneer men de volgorde waarin men de bewerkingen uitvoert, wijzigt. Het delen in de verzameling der natuurlijke getallen is niet associatief.

a,b,c

 

: (a : b) : c

a : (b : c)

a : b : c

• Het delen in de verzameling der natuurlijke getallen kent geen neutraal element.

a

 

\ {1} : a : 1 = a = 1 : a als a

1

(4)

• Zijn deeltal en deler van elkaar verschillend, dan blijft het quotiënt niet onveranderd wanneer men deeltal en deler van plaats verwisselt. Het delen in de verzameling der natuurlijke getallen is niet commutatief.

a,b

 

: a : b

b : a als a

b

• Het delen in de verzameling der natuurlijke getallen kent geen opslorpend element.

x

 

:

a

 

: a : x = 0 = x : a

• Als men de termen van een som of een verschil door een van nul verschillend getal deelt, dan kan men iedere term afzonderlijk door dit getal delen en daarna de verkregen quotiënten optellen of aftrekken. Dit noemt men de links-distributieve eigenschap van de deling t.o.v. de optelling en aftrekking van natuurlijke getallen.

a,b

 

en c

 

0 : (a + b) : c = (a : c) + (b : c)

a,b

 

en c

 

0 : (a – b) : c = (a : c) – (b : c)

• Een quotiënt blijft onveranderd wanneer men deeltal en deler vermenigvuldigt met of deelt door een zelfde van nul verschillend getal.

a

 

en

b,c

 

0 : (a : b) = (a × c) : (b × c)

a

 

en

b,c

 

0 : (a : b) = (a : c) : (b : c) 9. Toepassing van de eigenschappen bij het delen - Hoofdrekenen

• Toepassing van de distributieve eigenschap:

◦ Men splitst het deeltal in termen van een som of een verschil,

◦ men deelt elke term afzonderlijk en past de links-distributieve eigenschap toe.

Voorbeeld: 138 : 2 = (100 + 30 + 8) : 2 = (100 : 2) + (30 : 2) + (8 : 2)

= 50 + 15 + 4 = 69

• Men vermenigvuldigt of deelt het deeltal en de deler met of door een zelfde van nul verschillend getal zodat men twee factoren verkrijgt waarvan men het quotiënt makkelijker kan bepalen.

Voorbeeld: 1000 : 25 = (1000 : 5) : (25 : 5) = 200 : 5 = 40 10. Toepassing van de distributieve eigenschap bij het vermenigvuldigen - stelling

Stelling: Een natuurlijk getal eindigend op één of meer nullen is altijd een veelvoud van 3 vermeerderd met dit cijfer.

Bewijs: stel: y is een natuurlijk getal eindigend op een nul

 

x

 

: x.10 = y (1) (kenmerken van deelbaarheid) uit (1)

y = x.(9 + 1) = x((3.3) + 1) = 3.3.x + x

Bewijs: stel: y is een natuurlijk getal eindigend op twee nullen

 

x

 

: x.100 = y (2) (kenmerken van deelbaarheid) uit (2)

y = x.(99 + 1) = x((3.33) + 1) = 3.33.x + x

Bewijs: stel: y is een natuurlijk getal eindigend op drie nullen

 

x

 

: x.1000 = y (3) (kenmerken van deelbaarheid) uit (3)

y = x.(3.333 + 1) = x((3.333) + 1) = 3.333.x + x

Bewijs: stel: y is een natuurlijk getal eindigend op vier nullen

 

x

 

: x.10000 = y (4) (kenmerken van deelbaarheid) uit (4)

y = x.(3.3333 + 1) = x((3.3333) + 1) = 3.3333.x + x

11. De geheeltallige deling of modulus deling in de verzameling der natuurlijke getallen

• Is in de verzameling der natuurlijke getallen een deling een niet opgaande deling waarbij D = d.q + r met r

0 , dan noemt men de rest de modulus van D bij deling door d.

Notatie:

▪ D mod d = r

▪ D % d = r

(5)

12. De deling in de verzameling der natuurlijke getallen als gewone relatie

• De relatie R :

×

  

: ... heeft als quotiënt ... is een gewone relatie van

×

naar

die elk koppel natuurlijke getallen, waarvan het eerste element een veelvoud is van het tweede element afbeeldt op hun quotiënt.

Niet linkstotaal: Van ten minste één koppel van

×

is geen beeld gedefinieerd in

.

◦ Delen door 0 is niet gedefinieerd (of verboden), behalve voor 0 0. (roostervakjes met rode achtergrond)

◦ De deling in

is niet overal gedefinieerd. (roostervakjes met oranje achtergrond)

Niet rechtseenduidig: Ten minste één koppel van

×

heeft meer dan één beeld in

.

◦ Het koppel (0,0) heeft ieder natuurlijk getal als beeld. (roostervakje met gele achtergrond)

Rechtstotaal: Elk element van

is ten minste éénmaal beeld van een koppel van

×

.

◦ Is de deler 1 dan is het quotiënt gelijk aan het deeltal. (roostervakjes met groene achtergrond)

Niet linkseenduidig: Sommige elementen van

zijn meermaals beeld van een koppel van

×

.

◦ Is het deeltal 0, dan is het quotiënt steeds gelijk aan 0. (roostervakjes met blauwe achtergrond)

◦ Een getal is altijd quotiënt van al zijn veelvouden. (groene lijnen)

Samengevat: rechtstotaal

gewone relatie.

13. De deling in de verzameling der natuurlijke getallen als functie

• De relatie R :

×

0

 

: ... heeft als quotiënt ... is een functie van

×

0 naar

die elk koppel natuurlijke getallen, waarvan het eerste element een veelvoud is van het tweede element en het tweede element niet nul is, afbeeldt op hun quotiënt.

8 0 ? ? ? ? ? ? ? 1

7 0 ? ? ? ? ? ? 1 ?

6 0 ? ? ? ? ? 1 ? ?

5 0 ? ? ? ? 1 ? ? ?

4 0 ? ? ? 1 ? ? ? 2

3 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ?

2 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 x ! ! ! ! ! ! ! !

0 1 2 3 4 5 6 7 8

 N

0

8 0 ? ? ? ? ? ? ? 1

7 0 ? ? ? ? ? ? 1 ?

6 0 ? ? ? ? ? 1 ? ?

5 0 ? ? ? ? 1 ? ? ?

4 0 ? ? ? 1 ? ? ? 2

3 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ?

2 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

(6)

Niet linkstotaal: Van ten minste één koppel van

×

0 is geen beeld gedefinieerd in

.

◦ De deling in

is niet overal gedefinieerd. (roostervakjes met oranje achtergrond)

Rechtseenduidig: Elk koppel van

×

0 heeft ten hoogste één beeld in

.

◦ (Geen enkel roostervakje bevat meer dan één beeld)

Rechtstotaal: Elk element van

is ten minste éénmaal beeld van een koppel van

×

0.

◦ Is de deler 1 dan is het quotiënt gelijk aan het deeltal. (roostervakjes met groene achtergrond)

Niet linkseenduidig: Sommige elementen van

zijn meermaals beeld van een koppel van

×

0.

◦ Is het deeltal 0, dan is het quotiënt steeds gelijk aan 0. (roostervakjes met blauwe achtergrond)

◦ Een getal is altijd quotiënt van al zijn veelvouden. (groene lijnen)

Samengevat: rechtseenduidig

functie.

14. Eigenschappen van deelbaarheid in de verzameling der natuurlijke getallen

• Een getal dat deler is van twee getallen deelt ook de som van deze twee getallen.

◦ x

a en x

b

x

a + b

• Een getal dat deler is van twee getallen deelt ook het verschil van deze twee getallen.

◦ x

a en x

b

x

a – b met b

a

• Een getal dat deler is van twee getallen deelt ook het product van deze twee getallen.

◦ x

a en x

b

x

a.b

• Een getal dat deler is van een eerste getal maar geen deler is van een tweede getal, is geen deler van de som of het verschil van deze van deze getallen.

◦ x

a en x

b

x

a + b en x

a – b (met a > b)

• Een getal dat deler is van een gegeven getal, is ook deler van elke veelvoud van dit gegeven getal.

◦ x

a en b

-1 a

x

b

15. Kenmerken van deelbaarheid in de verzameling der natuurlijke getallen

• 10 en veelvouden van 10:

◦ Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer rechts een nul is.

◦ Een getal is deelbaar door 100 als de laatste twee cijfers rechts nullen zijn.

◦ Een getal is deelbaar door 1000 als de laatste drie cijfers rechts nullen zijn.

• Priemfactoren van 10:

◦ Een getal is deelbaar door 2 als het laatste cijfer rechts even is.

◦ Een getal is deelbaar door 5 als het laatste cijfer rechts een 0 of een 5 is.

• Machten van de priemfactoren van 10:

◦ Een getal is deelbaar door 4 als de laatste twee cijfers rechts een getal vormen dat deelbaar is door 4.

◦ Een getal is deelbaar door 25 als de laatste twee cijfers rechts een getal vormen dat deelbaar is door 4.

◦ Een getal is deelbaar door 8 als de laatste drie cijfers rechts een getal vormen dat deelbaar is door 8.

◦ Een getal is deelbaar door 125 als de laatste drie cijfers rechts een getal vormen dat deelbaar is door 125.

• 3 en het kwadraat van 3:

◦ Een getal is deelbaar door 3 als de som der cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 3.

◦ Een getal is deelbaar door 9 als de som der cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 9.

• 11:

◦ Een getal is deelbaar door 11 als het verschil tussen de som der cijfers van de oneven rang, desnoods vermeerderd met 11, en de som der cijfers van de even rang deelbaar is door 11.

• Overige getallen:

◦ Een getal is deelbaar door 6 als het tegelijk deelbaar is door 2 en 3.

◦ Een getal is deelbaar door 12 als het tegelijk deelbaar is door 3 en 4.

Afbeelding

Updating...

Referenties

Updating...

Gerelateerde onderwerpen :