(re)creatieve wiskunde Jaap Top
JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl
10 mei 2014
(re)creatief ?!
• wiskunde vraagt creativiteit
• “wisconst”
(de kunst van zeker weten. Simon Stevin 1548-1620)
• cre¨eren = scheppen, maken. re -cre¨eren...
Recreatieve wiskunde is populair
Uit artikel van H.W. Lenstra (2005):
Profinite integers do not enjoy widespread popularity among mathematicians. They form an important technical tool in several parts of algebraic number theory and arithmetic geometry, but their recreational virtues have never been recognized.
Er zijn heel veel boeken over recreatieve wiskunde.
Een van de klassiekers is gepubliceerd in 1612:
Probl`emes plaisans et d´electables qui se font par les nombres (aangename en verrukkelijke problemen over getallen)
Een Nederlandstalig boek over recreatieve wiskunde verscheen in 1636 (vele malen herdrukt)
Auteur: Wynant van Westen, kerkorganist te Nijmegen
Het boek is een bewerkte vertaling van “R´ecr´eations Math´ematiques ” (1624) van de Franse Jezu¨ıet Jean Leurechon (onder het pseudonym Hendrik van Etten). Grotendeels bestaat het uit minder moeilijke problemen uit het boek van Bachet.
Een voorbeeld uit “Mathematische Vermaecklyckheden”
(pp. 16–18):
Wynant van Westen legt uit, dat de oplossing verstopt zit in de (klinkers van de) versregel
populeam virgam, mater regina tenebat
In een Engelse vertaling van Leurechons boek:
from numbers’ aid and art, never will fame depart
[Opgave: bedenk een passend Nederlands analogon!]
Nu een eigentijds stukje recreatie: de meest significante decimaal van een positief getal. Voorbeeld:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
11 12 13 14 15 16 17
2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072
18 19 20 21 22
262144 524288 1048576 2097152 4194304
Geen 7 of 9?!
Eerst die statistiek. Dalende rij:
1
1 > 1
2 > 1
3 > 1
4 > 1
5 > 1
6 > 1
7 > 1
8 > 1 9. Alles met 1 ophogen geeft
2
1 > 3
2 > 4
3 > 5
4 > 6
5 > 7
6 > 8
7 > 9
8 > 10 9 . Vervolgens 10log nemen:
10log(2) > 10log(3/2) > 10log(4/3) > . . . > 10log(9/8) > 10log(10/9).
Deze negen getallen zijn positief en tellen op tot 1.
Definitie. Een rij positieve getallen (an)n≥1 voldoet aan de wet van Benford als voor elke j ∈ {1, 2, 3, . . . , 9} geldt
lim
N →∞
#{n ≤ N : an heeft meest signif. decimaal j}
N = 10log(j + 1
j ).
Voorbeeld. Volgens de OEIS voldoet de rij (2n)n≥1 aan de wet van Benford.
Waarom? Schrijf 2 = 10x, dan 2n = 10nx. Hier is x ∈ R en x 6∈ Q.
Schrijf nx = {nx} + [nx] met 0 < {nx} < 1 en [nx] ∈ Z.
De meest significante decimaal van 2n = 10{nx} · 10[nx] hangt alleen af van {nx} = nx mod Z ∈ R/Z:
2n heeft eerste cijfer j ⇔ j ≤ 10{nx} < j + 1
⇔ 10log(j) ≤ {nx} < 10log(j + 1).
Leopold Kronecker bewees in 1884 dat voor elke a ∈ R \ Q de getallen ({na})n≥1 dicht liggen in [0, 1].
Hermann Weyl gaf hier in 1911 een sterker resultaat over:
Stelling. Voor elke a ∈ R \ Q en elke Riemann-integreerbare f : [0, 1] → C geldt
Z 1
0 f (t) dt = lim
N →∞
1 N
n X
n=1
f ({na}).
Toepassen op f (t) :=
( 1 als 10log(j) ≤ t < 10log(j + 1)
0 anders toont
Een recreatieve vraag over eerste decimale cijfers draagt de naam van Gel’fand.
De blogger en wiskundige John D. Cook rekende in de zomer van 2013 na:
Voor 1 < n < 1010 geldt: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en alle m, m, m, m, m, m, m, m komen niet voor als rij eerste cijfers van 2n, 3n, 4n, . . . , 9n.
De bachelorscriptie van onze alumnus Jaap Eising (2013) bevat de volledige antwoorden op “Gel’fand’s Question”:
Vraag 1 hebben we al beantwoord. Vraag 2 en 3 hebben beide als antwoord: NEE.
Ongeveer tegelijk met het afronden van Eisings scriptie gaf blog- ger/wiskundige David Radcliffe eveneens dit antwoord.
Jaap Eising
(en de rest van het bestuur van de Fysisch-Mathematische
Om vraag 2 te beantwoorden: schrijf 2n = αn × 10m voor een niet negatief geheel getal m, en 1 < αn = 10{nx} < 10.
Het eerste cijfer van 2n krijg je dan door αn naar beneden af te ronden.
Hetzelfde doen we met 5n: dus 5n = γn × 10k met k geheel en 1 < γn < 10.
Omdat 2n × 5n = 10n, moet wel gelden αn × γn = 10.
Zou voor n > 1 gelden dat [αn] = 2 is en [γn] = 5, dan is αn meer dan 2 (maar minder dan 3) en γn zit tussen 5 en 6, dus dan zou hun product meer dan 10 (en minder dan 18) zijn!
Eenzelfde soort argument werkt voor Vraag 3:
Zou het eerste cijfer van elk van 2n tot en met 9n hetzelfde zijn, dan weer vanwege αn × γn = 10 plus het gegeven dat αn en γn afgerond hetzelfde zijn,
volgt 3 < αn, γn < 4, dus datzelfde eerste cijfer is 3.
Maar 4n = 2n × 2n = α2n × 102m heeft dan als eerste cijfer een 9 of een 1, dus geen 3.
Hoeveel verschillende rijtjes eerste cijfers in
2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n, 9n?
Hoogstens 98 = 43046721 mogelijkheden.
In werkelijkheid veel minder!
Noteer 2n = 10{nx} × 10m en 3n = 10{ny} × 10k.
Het rijtje eerste cijfers van 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 8n, 9n hangt alleen af van a = {nx} en b = {ny}.
Immers, 4n = 2n × 2n en 5n = 10n/2n en 6n = 2n × 3n en
Voorbeeld: eerste cijfers van 2n, . . . , 6n, 8n, 9n gelijk aan 8, 9, 8, 1, 8, 7, 9.
Dan moet
8 ≤ 10a < 9, 9 ≤ 10b < 10, 80 ≤ 102a < 90,
1 ≤ 101−a < 2, 80 ≤ 10a+b < 90, 700 ≤ 103a < 800,
90 ≤ 102b < 100.
Oplossing: 0, 95154 < a < 0, 95424 en 0, 9772 < b < 1 voldoen.
De mogelijke condities op a = {nx} delen R/Z op in 55 intervallen.
Idem: de condities op b = {ny} delen R/Z op in 24 intervallen.
Voor (a, b) ∈ R/Z × R/Z levert dat 55 × 24 = 1320 rechthoekjes.
Dan zijn er de condities die het eerste cijfer van 6n, oftewel van 10{nx+ny} bepalen.
De getekende grenzen in de (a, b)-torus bij de ongelijkheden voor 10a en 10b en 10a+b verdelen het gebied in 1955 stukjes.
Samen met het speciale geval n = 1 en met de 9 mogelijkheden voor het eerste cijfer van 7n = 10{nz} · 10`, met z = 10log(7):
volgt dan dat er maximaal 9 × 1955 + 1 = 17596 rijtjes kunnen voorkomen als eerste cijfers van 2n t/m 9n.
Als toepassing van het 3-dimensionale analogon van de eerder genoemde resultaten van Kronecker en Weyl, volgt dat behalve de eerste rij 2, 3, 4, . . . , 9, die allemaal voor oneindig (
4 ∞
) veelwaarden van n voorkomen!
De details hierover verschijnen binnenkort in de American Math- ematical Monthly:
Tot slot mag organist Wynant van Westen nog een keer alle registers opentrekken. . .
