• No results found

Op het basischerm kun je alleen het laatste (en geen voorlaatste) antwoord van een berekening met Ans opvragen.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Op het basischerm kun je alleen het laatste (en geen voorlaatste) antwoord van een berekening met Ans opvragen."

Copied!
18
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

1a 10 000 1, 04 500× − =9 900.

1b 9 900 1, 04 500× − =9 796.

1c Zie de tabel hiernaast.

2a u6≈340, 57 en u7≈356,51.

2b u10≈395, 40 en u11≈405,86⇒vanaf de 12 term.e 3a u3≈330, 07 en u4≈373,35.

3b u11≈419, 44 en u12≈419,60⇒vanaf de 13 term.e 3c Nee, un nadert tot 419,7617696... en bereikt de 420 nooit.

4a u6≈30, 79 en u7≈31, 76.

4b u10≈34,67 en u11≈35,64⇒vanaf de 12 term.e

4c 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 15 14

1 1

dus 0, 975 0, 975 (1 ) 0, 975 0, 975 0, 025 0, 975 39

1

38,56 en 39,53 vanaf 1 15 vanaf 16.

n n

n n n n

n n

n n n n n n n

n

u u

u u u u

u u

u u u u u u u

u

u u n n

= + ⇒ − =

+ +

> ⇒ > ⋅ + ⇒ > + ⋅ ⇒ ⋅ > ⇒ >

+

≈ ≈ ⇒ − = ⇒ =

5a 1 0

(er komt steeds 10 bij en de beginterm is 100) 10 met 100.

n n

u =u + u =

5b 1 0

(er gaat steeds 20 af en de beginterm is 200) 20 met 200.

n n

u =u − u =

5c 1 0

(er wordt steeds met 1,2 vermenigvuldigd en de beginterm is 1000) 1,2 met 1 000.

n n

u = ⋅u u =

5d 1 0

(er wordt steeds met 0,6 vermenigvuldigd en de beginterm is 2000) 0, 6 met 2 000.

n n

u = ⋅u u =

6a Er zijn 11 positieve termen (800 10 73 × >0 en 800 11 73 × <0). 6b Er zijn 17 termen groter dan 10. (ga dit zelf na)

7a Elke term is de som van de termen ervoor. De volgende term is 21 34 55.+ =

7b Op het basischerm kun je alleen het laatste (en geen voorlaatste) antwoord van een berekening met Ans opvragen.

(zie aan het eind van deze uitwerkingen)



Neem GR - practicum 6 door.

8a De kleinste term (TABLE) is u3. 8b De achtste term u7 76, 73 (TABLE). 8c un >500 (TABLE)⇒ ≥n 17⇒vanaf 18 term.e

9a u0=2, u1=3, u2=8, u3=19, u4=46 en u5=111. (TABLE) 9b un >1 000 000 (TABLE)⇒ ≥n 16⇒vanaf 17 term.e

10a vn >un (TABLE)n 10vanaf n =10. 10c un =1 600 (TABLE: n=24)vn un =3 310 (TABLE). 10b vn un >1 000 (TABLE)n 18vanaf n =18.

11a un =1, 04⋅un1−100 (nadat € 100 is opgenomen) met u0=1 000.

11b un <0 (TABLE)n14voor het eerst op 1-1-2021.

datum 1-1-2006 1-1-2007 1-1-2008 1-1-2009 1-1-2010 restschuld 10000 9900 9796 9687,84 9575,35



(2)

G&R havo/vwo D deel 2 7 Discrete dynamische modellen

C. von Schwartzenberg 2/18

12a Hn =1, 08⋅Hn1−30 met H0=275.

12b Hn <150 (TABLE)n 11voor het eerst op 1-7-2019.

12c 8% van 275 is 0, 08 275 22⋅ = ⇒elk jaar 22 Schotse hooglanders verplaatsen.

13a Bn =1, 035⋅Bn1−500 (nadat € 500 is opgenomen) met B 0=17 500.

13b Bij 1-1-2015 hoort n =8 (TABLE)⇒B 8≈18 518,31 (€). 13c Bn 20 000 (TABLE)n17voor het eerst 1-1-2024.

13d 3,5% van 17 500 is 612,50⇒elk jaar 612,50 (€) op te nemen op dat het saldo 17500 (€) blijft.

14a un =1, 04⋅un1−1 000 met u0=10 000.

14b n=10 (TABLE)⇒u10≈2 796,34 (€).

14c (TABLE) 14 (€)

(€)

0 14 975,15 .

Op 1-1-2020 is de schuld afgelost. Hij heeft dan in totaal 14 1 000 975,15 13 024,85n terugbetaald.

u < ⇒n≥ ⇒u ≈ −

× − =

15a u0=20, u1=26, u2=32, u3=38 en u4=44. (TABLE) 15b a=20 en b=6.

15c un =20 6+ n⇒u25=20 6 25 170.+ ⋅ =

16a Het verschil van twee opeenvolgende termen is steeds 5+ ⇒een rekenkundige rij.

16b Recursieve formule: un =un1+5 met u0=13 en directe formule: un =13 5+ ⋅n voor n ≥0.

16c De vijftigste term is u49=13 5 49 258.+ =

16d un =633⇒13 5+ ⋅n =633⇒ ⋅ =5 n 620⇒n=124. Dus de 125 term is 633.e 17a

e Directe formule: 1 023 7 voor 0.

246 1 023 7 246 7 777 111 de 112 term is 246.

n n

u n n

u n n n

= − ⋅ ≥

= ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ = ⇒

17b un <01 023 7 n<0⇒ − ⋅ < −7 n 1 023⇒n>146,1...⇒de eerste 147 term zijn positief.

18a Als je deze getallen twee keer bij elkaar optelt krijg je 100 101⋅ ⇒ + + +1 2 3 ... 100+ =21⋅100 101.⋅ 18b 1 2 3 ... 50+ + + + =12⋅50 51 1275.⋅ =

19a 0 50 50 21

0

rr met 3 0 4 4 en 3 50 4 154. (3 4) 51 (4 154) 4 029.

k

u u k

=

= ⋅ + = = ⋅ + =

+ = ⋅ ⋅ + =

19b

40 1

0 40 2

0

rr met 100 2 0 100 en 100 2 40 20. (100 2 ) 41 (100 20) 2 460.

k

u u k

=

= − ⋅ = = − ⋅ =

− = ⋅ ⋅ + =

19c

30 1

5 30 2

5

rr met 6 5 12 18 en 6 30 12 168. (6 12) 26 (18 168) 2 418.

k

u u k

=

= ⋅ − = = ⋅ − =

− = ⋅ ⋅ + =

19d 12 36 36 21

12

rr met 150 3 12 114 en 150 3 36 42. (150 3 ) 25 (114 42) 1 950.

k

u u k

=

= − ⋅ = = − ⋅ =

− = ⋅ ⋅ + =

20a 0

1 2

rr met 12 en 4 12 4 .

12 4 152 4 140 35.

12 16 20 24 ... 152 36 (12 152) 2 952.

n n

u v u n

u n n n

= = ⇒ = + ⋅

= + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

+ + + + + = ⋅ ⋅ + =

20b 0

33 21

rr met 100 en 3 100 3 .

100 3 0 3 100 33,3...

100 3 33 1 100 97 94 ... 1 34 (100 1) 1 717.

n n

u v u n

u n n n

u

= = − ⇒ = − ⋅

= − ⋅ > ⇒ − ⋅ > − ⇒ >

= − ⋅ = ⇒ + + + + = ⋅ ⋅ + =

20c 0

e 24 1

24 2

0

rr met 18 en 7 directe formule: 18 7 .

25 term is 18 7 24 186 (18 7 ) 25 (18 186) 2 550.

n

k

u v u n

u k

=

= = ⇒ = +

= + ⋅ = ⇒

+ = ⋅ ⋅ + =

(3)

21a 0

24 1 2

rr met 30, 62 en 0,15 30, 62 0,15 . Het laatste rondje duurt 30, 62 0,15 24 34,22 sec.

De eindtijd van Carl is 25 (30, 62 34,22) 810,50 sec. Dit is 13 minuten en 30,50 sec.

u v un n

u

= = ⇒ = + ⋅

= + ⋅ =

⋅ ⋅ + =

21b 0

24 1 2

rr met 35, 76 en 0,22 35, 76 0,22 . Het laatste rondje duurt 35, 76 0,22 24 30, 48 sec.

De eindtijd van Sven is 25 (35, 76 30, 48) 828 sec. Dit is 13 minuten en 48 sec.

u v un n

u

= = − ⇒ = − ⋅

= − ⋅ =

⋅ ⋅ + =

22a 0 e 29

21

rr met 20 en ... 20 de 30 term is 20 29.

De som is dus 30 (20 20 29 ) 15 (40 29 ) 2340.

u v un v n u v

v v

= = ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅

⋅ ⋅ + + = ⋅ + =

22b 15 (40 29 )⋅ + v =2340⇒40 29+ v =156⇒29v =116⇒v =4.

22c u0=20 en de 50 term is e u49=20 4 49 216. De som is + = 2150 (20 216) 5 900. + =

23 0 e 11

12

e (de afst

De afstanden per seconde vormen een rr met 4 en ... de 12 term is 4 11.

De afstand na 12 seconden is 12 (4 4 11 ) 6 (8 11 ) 147.

6 (8 11 ) 147 8 11 24, 5 11 16, 5 1, 5.

8 term

u v u v

v v

v v v v

= = ⇒ = + ⋅

⋅ ⋅ + + = ⋅ + =

⋅ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =

e 1

and in de 7 seconde) is u7=4 1, 5 7 14,5 m. De afstand na 8 seconden is + = 28 (4 14, 5) 74 m. + =

24a (valafstand in 1 seconde) e 0 (verschil)

e 5

21

De valafstanden per seconde vormen een rr met 4, 9 en 9, 8.

De valafstand in de 6 seconde is 4, 9 9,8 5 53, 9.

De valafstand na 6 seconden is 6 (4, 9 53, 9)

u v

u

= =

= + ⋅ =

⋅ ⋅ + =176, 4 m.

24b 0 1 2 21

2 2

1 2

4, 9 9,8 voor 0 ... ( 1) (4, 9 4, 9 9, 8 )

( 1) (9,8 9,8 ) 4, 9 4, 9 4, 9 4, 9 4, 9 9,8 4, 9 voor 0.

n n n

u n n S u u u u n n

n n n n n n n n

= + ⋅ ≥ ⇒ = + + + + = ⋅ + ⋅ + + ⋅

= ⋅ + ⋅ + = + + + = + + ≥

24c 2 (algebraïsch of intersect of rijenscherm en TABLE)

2 2

(vold. niet)

4, 9 9,8 4, 9 1960 19 na 20 seconden.

2 1 400

2 399 0

( 21) ( 19) 0

21 19.

Sn n n n

n n

n n

n n

n n

= + + = ⇒ = ⇒

+ + =

+ − =

+ ⋅ − =

= − ∨ =

25a u0=400, u1=600, u2=900, u3=1 350 en u4=2 025. (TABLE) 25b a=400 en b=1, 5.

26a De factor tussen twee opeenvolgende termen is steeds 15001250=65=1,2.

26b recursieve formule: 1 1,2 met 0 1250.

directe formule: 1250 1,2 voor 0.

n n

n n

u u u

u n

= ⋅ =

= ⋅ ≥

26c un >15 000 (TABLE)⇒n14⇒vanaf de 15 term.e

27 10

3

7 118098

0 3 10 54

0 3 0 3 0

mr: met 54 en 118 098 2187 3.

mr: 3 met 54 54 3 2 mr: 2 3 voor 0.

n u

n u

n n

n n

u u r u u r r

u u u u u u n

= ⋅ = = ⇒ = = = ⇒ =

= ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ ≥

28a 0 3 8

0 3 0 0

rr: met 16 en 16384 5 16384 16 16368 3273, 6.

rr: 3273, 6 met 16 16 3273, 6 3 9 804,8.

rr: 9 804,8 3273, 6 voor 0.

n n n

u u v n u u v v

u u n u u u

u n n

= + ⋅ = = ⇒ = − = ⇒ =

= + ⋅ = ⇒ = + ⋅ ⇒ = −

= − + ⋅ ≥

28b 8

3

1 1

5 16384

0 3 8 16

3 1 1 ( 4 4 4 )

0 3 0 0 4 4

mr: met 16 en 16384 1 024 4.

mr: 4 met 16 16 4 mr: 4 n n voor 0.

n u

n u

n n

n n

u u r u u r r

u u u u u u = = n

= ⋅ = = ⇒ = = = ⇒ =

= ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ ≥

29 Een mr heeft te maken met een exponentiële groei en een rr met een lineaire groei.

30a Pythagoras in ∆APS (A=90 )°: AP2+AS2=PS2⇒42+82=PS2⇒80=PS2⇒PS = 80⇒r =ABPS = 1280. 30b mr: un =u0rn met u0=12 en r = 1280 un =12 ( 1280) voor n n 0.

(4)

G&R havo/vwo D deel 2 7 Discrete dynamische modellen

C. von Schwartzenberg 4/18

30c un <1 (TABLE)⇒n≥9⇒vanaf het 10 vierkant.e

30d vn =

(

un

)

2vn =

(

12 ( 1280)n

)

2=144 (

(

1280 2)

)

n =144 ( 14480)n =144 ( ) voor 59 n n0.

30e 1 mm2=0,01 cm . Dus 2 vn <0, 01 (TABLE)⇒n≥17⇒vanaf het 18 vierkant.e

31 − ⋅2 Sn =15 2 657 205 Sn =15 2657205 2 =1328 595.

32a 11 0,001 (1 2 ) 12 0 1 2

(0, 001 2 )k 4, 095.

k

=

⋅ = ⋅ =

32d

32b 20 100 (1 0,8 ) 21 1 0,8 0

(100 0,8 )k 495,39.

k

=

⋅ = ⋅ ≈

32c 18 200 1,1 1 1,15 (1 1,1 )14 5

(200 1,1 )k 9 011.

k

=

⋅ ⋅

⋅ = ≈

33a 2000 51257,8125

0 1 1 1,5

mr met u =2 000 en r =1, 5⇒un+ =34 171,875 1,5 51257,8125⋅ = ⇒som= =98 515, 625.

33b mr met u0=1, 06 en r =1, 06⇒1, 06 1, 06+ 2+1, 063+1, 064+... 1, 06+ 12=1,06 1,061 1,06 13 ≈17,882.

33c mr met u0=1 en r =1,5⇒ +1 1,5 1, 5+ 2+1,53+... 1,5+ 20=1 1,51 1,5 21 ≈9 973, 770.

33d mr met u0 1,2 en r 1,2 1,2 1,22 1,23 1,24 ... 1,224 1 1,21 1,225 42,816.

= = − ⇒ − + − + − = − − ≈ −

34a un =20 1.1 voor n n0.

34b

9

(TABLE) e

8 20 (1 1,1 )

1 1,1 0

42 8. Dus voor het eerst bij de 9 duurloop.

Hij heeft dan in totaal (20 1,1 ) 272 km afgelegd.

n

k k

u n

=

> ⇒ ≥

⋅ = ⋅ ≈

35

13

12 11,3 (1 1,074 )

1 1,074 0

De omzet per jaar wordt gegeven door 11,3 1.074 met 0 in 1995.

Bij 2007 hoort 12 totale omzet (11,3 1.074 ) 233, 6 miljard dollar.

n n

k k

u n

n

=

= ⋅ =

= ⇒ =

⋅ = ⋅ ≈

36a 5,2 0.8⋅ 7≈1,1 (cm)⇒de toename in de 8 week is e (ongeveer) 11 mm.

36b 2 3 7 5,2 (1 0,8 ) 1 0,8 8 (cm)

(ongeveer)

5,2 5,2 0,8 5,2 0,8 5,2 0,8 ... 5,2 0,8 21, 6 . De plant is in de eerste 8 weken 216 mm gegroeid.

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ≈

36c 2 3 9 5,2 (1 0,8 )1 0,8 10 (cm)

(ongeveer)

5,2 5,2 0, 8 5,2 0,8 5,2 0, 8 ... 5,2 0,8 23,2 . De hoogte van de plant na 10 weken is 18 23,2 41,2 cm.

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ≈

+ =

37a

1 1

1 1

2 2

0

10 (1 1,5 ) 10 10 1,5 1

1 1,5 0,5

0

rr 100 15 voor 0 (100 15 ) ( 1) (100 100 15 ) ( 1) (200 15 ) voor 0.

mr 10 1,5 voor 0 (10 1,5 ) n n 20 20 1,5 voor

n

n n

nk

n k n

n n

k

u n n S k n n n n n

v n T + + n

=

+

=

= + ≥ ⇒ = + = ⋅ + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ≥

⋅ ⋅

= ⋅ ≥ ⇒ = ⋅ = = = − + ⋅ ≥

0.

37b Tn >Sn (TABLE)⇒n≥11.

38

1 0 1 1 0

1 1 1 1 1

Bij deze situatie horen de formules:

1, 038 150 met 5 000 en 0, 038 150 met 5 000.

(nn 1, 038 nn 150 n 1 n 0, 038n nn 150 nn n 0, 038 n 150)

K K K K K K K

K K K K K K K K

= ⋅ − = − = ⋅ − =

= ⋅ − ⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒ − = ⋅ −

(zie aan het eind van deze uitwerkingen)



Neem GR - practicum 7A door.



15

0

14 600 (1 0,75 )

1 0,75 0

mr met 600 en 0, 75.

(600 0, 75 )k 2367, 9.

k

u r

=

= =

⋅ = ⋅ ≈

(5)

39 39a, 39c, 39e en 39f zijn lineaire differentievergelijkingen van de eerste orde.

40a Zie de schermen hiernaast. un nadert tot 26 .23 40b Bij een andere startwaarde nadert un ook tot 26 .23

41a b=2 geeft grenswaarde 5; b =20 geeft grenswaarde 50 en b=5 geeft grenswaarde 12,5.

41b Bij b=2 is de tijdgrafiek dalend. Bij b=20 en b=5 is de tijdgrafiek stijgend.

42a un nadert tot 9,3759, 4.

42b De stippen van de tijdgrafiek liggen om en om boven en onder de grenswaarde.

43a un nadert niet tot een grenswaarde.

43b De termen van zijn om en om positief en negatief. De positieve termen worden steeds groter en de negatieve termen steeds kleiner.

un

44a Zie de tabel hiernaast.

44b e

e

Uit de 3 kolom volgt (7; 11, 5), uit de 4 kolom volgt (11,5; 18,25).

44c Alle punten liggen op de lijn y =1,5x +1.

44d Je moet un in un =1,5un1+1 vervangen door en y un1 door .x

44e Ja, want als je un door en y un1 door vervangt, krijg je steeds x y =1,5x +1.

45a 45b

45c

(voor elke ) De webgrafiek bestaat enkel uit het punt (2, 2).

De rij un is de constante rij un =2 n . 46a Zie de webgrafiek hiernaast.

46b De lijnstukken komen steeds dichter bij elkaar te liggen en naderen het snijpunt van y =x en y =0, 4x +6.

0 2

u = u =1 4 u =2 7 u =3 11, 5 u4=18, 25

1 4

u = u =2 7 u =3 11, 5 u4=18, 25 u =5 28, 375

y

x y =x 1, 5 1 y = x

O

u0u1 u2 u3 u4

y

x

y =x

1, 5 1 y = x

u0

u1

u2

u3

u4

u5

y

x y=x

0, 4 6 y = x+

u0 u1 u2 3 u

(6)

G&R havo/vwo D deel 2 7 Discrete dynamische modellen

C. von Schwartzenberg 6/18

46c 0, 4 6

0, 6 6 10.

De grenswaarde is 10.

x x

x x

= +

=

=

46de Zie de webgrafiek hiernaast.

De grenswaarde is 10 vanwege dezelfde reden als bij 46b.

46f

0 1 2

Voor 10 gaan de lijnstukjes van de webgrafiek stijgend naar (10,10) en voor 10 dalend naar (10,10).

Voor 10 krijg je de constante rij 10, 10, 10, ...

Dus voor elke is de grenswa n

n n

n

u

u

u u u u

u

<

>

= = = =

arde gelijk aan 10.

47a un = −0,75⋅un1+8 met u0=1.

47b Maak in je werkboek de webgrafiek hiernaast.

47c

4 7

4 7 0, 75 8 1, 75 8

4 .

De grenswaarde is 4 .

x x

x x

= − +

=

=

48a De differentievergelijking un = −1,5un1+6 met u0 =1.

48b Maak in je werkboek de webgrafiek hiernaast.

48c Nee, de punten komen steeds verder van het snijpunt van de lijnen y = −1, 5x +6 en y =x af te liggen.

48d De webgrafiek bestaat uitsluitend uit het punt (2, 4; 2, 4), want dit is het snijpunt van de lijnen y = −1, 5x+6 en y =x.

(zie aan het eind van deze uitwerkingen)



Neem GR - practicum 7B door.

49a Er treedt geen convergentie op. 49d Er treedt convergentie op. u =1 0,2200 =250.

49b Er treedt geen convergentie op. 49e Er treedt convergentie op. u =1 0,2200 =250.

49c De startwaarde is gelijk aan de grenswaarde 4. 49f Er treedt convergentie op. u 1 ( 0,86)744 400.

= − − =

50a

1 0

De groeifactor per jaar is 1 0,2 0,8.

Je krijgt: An 0,8 An 300 met A 2500.

− =

= ⋅ + =

50b De rij An convergeert (zie de webgrafiek).

50c 300 (dennenbomen)

1 0,8 1 500 .

A= =

51a Je kunt in de webgrafiek bij elke de waarde van aflezen op de lijn . In de tijdgrafiek zijn deze punten ( , ) ook getekend.

n n

n u y ax b

n u

= +

51b Oefen hier in het werkboek zelf mee. (bestudeer voor de aanpak eerst goed figuur 7.13 in het boek) O

y

x y =x

0, 4 6 y = x+

u0

u1

u3

u0

u2u1 u2

O y

x y =x

1, 5 6 y= − x+

u0 u1 u3

u2



O y

x y =x 0, 75 8

y = − x+

u0 u1

u3

u2u4 u5 u6

(7)

52a rrhet verschil tussen de opeenvolgende termen is constanta=1. (voor zijn er geen voorwaarden)b 52b mrhet quotiënt van twee opeenvolgende termen is constantb=0 en a 0.

53a un =1,05un1+500 met u0=750. 53b u3=1, 05 750 1, 053 + 2500 1, 05 500 500.+ + 53c u6=1, 056⋅750 1, 05+ 5⋅500 1, 05+ 4⋅500 1, 05 500 1, 05+ 3⋅ + 2⋅500 1, 05 500 500.+ ⋅ +

53d factor 1, 05 en beginterm 500.= =

54a Directe formule: ( 0 ) met 1 1 1,55 0,55 10.

Dus 10 1,5 (30 10) 10 20 1,5 voor 0.

n b

n a

n n

n

u u a u u u

u n

= + ⋅ − = = = =

= + ⋅ − = + ⋅ ≥

54b Directe formule: ( 0 ) met 1 1 0,7520 0,2520 80.

Dus 80 0, 75 (100 80) 80 20 0, 75 voor 0.

n b

n a

n n

n

x x a x x x

x n

= + ⋅ − = = = =

= + ⋅ − = + ⋅ ≥

54c Directe formule: ( 0 ) met 1 1 1,05200 0,05200 4 000.

Dus 4 000 1, 05 (1 000 4 000) 4 000 3 000 1, 05 voor 0.

n b

n a

n n

n

K K a K K K

K n

= + ⋅ − = = = =

= + ⋅ − = − ⋅ ≥

55a Differentiaalvergelijking: Kn =1, 04⋅Kn1−150 met K0=800.

55b Directe formule: ( 0 ) met 1 1 1,04150 0,04150 3 750.

Dus 3 750 1, 04 (800 3 750) 3 750 2 950 1, 04 voor 0.

n b

n a

n n

n

K K a K K K

K n

= + ⋅ − = = = =

= + ⋅ − = − ⋅ ≥

55c 0 (TABLE) 7 (bij beide formules) voor het eerst op 1-1-2013.

Ze kan op 1-1-2013 wel nog 150 132 18 euro opnemen.n

K < n

− =

56a Differentiaalvergelijking: An =0, 75⋅An1+50 met A0=100.

56b Directe formule: ( 0 ) met 1 1 0,7550 0,2550 200.

Dus 200 0, 75 (100 200) 200 100 0, 75 voor 0.

n b

n a

n n

n

A A a A A A

A n

= + ⋅ − = = = =

= + ⋅ − = − ⋅ ≥

56c Na 32 uur is n =8⇒A8=200 100 0, 75 8190 (mg).

56d Ja, A=200. (want A8 ligt dichter bij dan A A0, of bekijk een webgrafiek)

57a Om 7:00 uur 10 000 mensen. Om 7:30 uur 10 000 0, 40 (40 000 10 000) 22 000 mensen.

Om 8:00 uur 22 000 0, 40 (40 000 22 000) 29200 mensen. Dus 29200 mensen.

+ ⋅ − =

+ ⋅ − =

57b Differentiaalvergelijking: Pn =Pn1+0, 4 (40 000⋅ −Pn1)=Pn1+16 000 0, 4− ⋅Pn1=0, 6⋅Pn1+16 000.

57c Directe formule: (0 ) met 1 160001 0,6 160000,4 40 000.

Dus 40 000 0, 6 (10 000 40 000) 40 000 30 000 0, 6 voor 0.

n b

n a

n n

n

P P a P P P

P n

= + ⋅ − = = = =

= + ⋅ − = − ⋅ ≥

57d Pn >39000 (TABLE)n7voor het eerst voor n =7.

58a L0=150; L1=150 0,2 (800 150) 280 en + = L2=280 0,2 (800 280) 384.+ =

58b Ln =Ln1+0,2 (800⋅ −Ln1) met L0=150 of Ln =Ln1+160 0,2− ⋅Ln1=0,8⋅Ln1+160 met L0=150.

58c Directe formule: ( 0 ) met 1 1 0,8160 1600,2 800.

Dus 800 0, 8 (150 800) 800 650 0, 8 voor 0.

n b

n a

n n

n

L L a L L L

L n

= + ⋅ − = = = =

= + ⋅ − = − ⋅ ≥

58d Ln >0, 9 800 720 = (TABLE)n 10na 11 dagen is 90% geringd.

59a De hazenpopulatie zal toenemen omdat er weinig lynxen zijn die op de hazen jagen.

De lynxenpopulatie zal toenemen omdat er veel hazen zijn die als voedsel dienen.

59b De hazenpopulatie zal afnemen en de lynxenpopulatie zal afnemen.

59c Uitgaande van (startend met) weinig lynxen en weinig hazen:

toename aantal hazen toename aantal lynxen afname aantal hazen afname aantal lynxen, enzovoort.   59d Bij beide populaties is de periode 8 jaar. 59e Op t =1 is H =10 000 en L=4 600.

59f (fig. 7.15) (7.16)

(fig. 7.15)

Hoogste punten in de hazengrafiek bepalen het meest rechtse punt in het prooi-roofdierdiagram . Laagste punten in de lynxengrafiek bepalen het laagste punt in het proo

• i-roofdierdiagram (fig. 7.16).

(8)

G&R havo/vwo D deel 2 7 Discrete dynamische modellen

C. von Schwartzenberg 8/18

60a

(zie de schermen hiernaast)

Op 1 zijn er 1 025 prooidieren en 152 roofdieren.

Op 5 zijn er 1104 prooidieren en 159 roofdieren.

t t

=

= 60b

(blader door de tabel) Na 25 maanden is het aantal roofdieren maximaal.

Er zijn dan 196 roofdieren.

60c

(bekijk een tijdgrafiek over 300 maanden) 25 jaar zijn 25 12 300 maanden.

De populatie bereikt vier keer een maximum.

⋅ =

61a

(zie de schermen hiernaast)

Op 5 zijn er 666 prooidieren en 153 roofdieren.

Op 15 zijn er 317 prooidieren en 137 roofdieren.

t t

=

= 61b

(het gaat ontzettend traag, de GR loopt voor geen meter)

Uit de tijdgrafiek blijkt dat na 190 maanden de populatie prooidieren voor de tweede keer maximaal is.

Het maximale aantal is 2501.

61c (de maximale waarden nemen juist toe)

(de toppen liggen verder uit elkaar) Na het plotten van de tijdgrafiek blijkt dat de eerste bewering niet waar is

en dat de tweede bewering ook niet waar is .

61d Deze bewering is ook niet waar.

62a 0 (0,25 0, 0015 ) 0 0,25 0, 0015 0 0, 0015 0,25 167.

0 ( 0, 03 0, 00004 ) 0 0, 03 0, 00004 0 0, 00004 0, 03 750.

P R P R R R

R P R P P P

∆ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ ≈

∆ = ⇒ − + ⋅ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

62b De populaties veranderen dan niet meer, dus steeds (voor elke t 0) is Pt =750 en Rt =167.

63a 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0

1,15 0, 006 of met (0,15 0, 006 )

0, 94 0, 00006 met ( 0, 06 0, 00006 )

met 800 en 20 met 800 en 20

t t t t t t t t

t t t t t t t t

P P R P P P P P R P

R R P R R R R R P R

P R P R

= ⋅ − ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = − ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = − + ⋅

= = = =

1 1

In de evenwichtssituatie is en 0 en 0.

0 (0,15 0, 006 ) 0 0,15 0, 006 0 0, 006 0,15 25.

0 ( 0, 06 0, 00006 ) 0 0, 06 0, 00006 0 0, 00006 0, 06 1 000.

t t t t

P P P R R R P R

P R P R R R

R P R P P P

= = = = ⇒ ∆ = ∆ =

∆ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ =

∆ = ⇒ − + ⋅ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

63b 1 1 1 1 1 1

(zie 63a 1 000)

1,25 0, 006 of met (0,25 0, 006 ) .

In de evenwichtssituatie is 0 en 0 .

0 (0,25 0, 006 ) 0 0,25 0, 006 0 0, 006 0,25 42.

Du

t t t t t t t t

P

P P R P P P P P R P

P R

P R P R R R

=

= ⋅ − ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = − ⋅

∆ = ∆ =

∆ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ ≈

s als de vruchtbaarheid van de prooidieren toeneemt, neemt toe en blijft gelijk.R P 63c

1 1 1 1 1 1

Stel dat de natuurlijke sterfte van de roofdieren zo toeneemt, dat de groeivoet 0, 09 wordt.

0, 91 0, 00006 of met ( 0, 09 0, 00006 ) .

In de evenwichtssituatiet t t t t t t t

R R P R R R R R P R

= ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = − + ⋅

(zie 63a 25)

is 0 en 0.

0 ( 0, 09 0, 00006 ) 0 0, 09 0, 00006 0 0, 00006 0, 09 1 500.

Dus als de natuurlijke sterfte van de roofdieren toeneemt, neemt toe en blijft gelijk.

P R R

R P R P P P

P R

=

∆ = ∆ =

∆ = ⇒ − + ⋅ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

64a 1 1 1 1 1

1 1 1

0 0

1,38 verder is gegeven: 539 en 202

539 1,38 550 200 550 0, 002 en 0, 90

met 550 en 200 202 0, 90 200 550 200 0, 0002.

t t t t

t t t t

P P a R P P R

a a

R R b P R

P R b b

= ⋅ + ⋅ ⋅ = = ⇒

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = −

= ⋅ + ⋅ ⋅

= = = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ =

64b

max Voer de rijen nu in op de GR.

Blader vervolgens door TABLE.

Na 4 maanden is het aantal roofdieren voor het eerst maximaal met R 205.

64c 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0

1,38 0, 002 of met (0,38 0, 002 )

0, 90 0, 0002 met ( 0,10 0, 0002 )

met 550 en 200 met 550 en 200

t t t t t t t t

t t t t t t t t

P P R P P P P P R P

R R P R R R R R P R

P R P R

= ⋅ − ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = − ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = − + ⋅

= = = =

0 (0,38 0, 002 ) 0 0,38 0, 002 0 0, 002 0,38 190.

0 ( 0,10 0, 0002 ) 0 0,10 0, 0002 0 0, 0002 0,10 500.

P R P R R R

R P R P P P

∆ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ =

∆ = ⇒ − + ⋅ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

64d Ga na dat: Als de vruchtbaarheid van de prooidieren toeneemt, neemt toe en blijft gelijk.R P (zie ook 63b)

61b 61c 61d

(9)

65 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0

1,18 of met (0,18 )

0, 92 met ( 0, 08 )

met beginwaarden en met beginwaarden en 0 (

t t t t t t t t

t t t t t t t t

P P a R P P P P P a R P

R R b P R R R R R b P R

P R P R

P

= ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = − + ⋅ ⋅

∆ = ⇒ 0,18 (gegeven)

0,08 (gegeven)

0,18 ) 0 0,18 0 0,18 800 0, 000225.

0 ( 0, 08 ) 0 0, 08 0 0, 08 5 000 0, 000016.

a b

a R P a R a R R a

R b P R b P b P P b

+ ⋅ ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⇒ = = ⇒ = −

∆ = ⇒ − + ⋅ ⋅ = ⇒ − + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = ⇒ =

66a Als de prooi- en roofdieren elkaar niet beïnvloeden, dan neemt het aantal roofdieren af0<c<1.

66b

1

Als de prooi- en roofdieren elkaar niet beïnvloeden, dan neemt het aantal prooidieren toe 1.

Als de prooi- en roofdieren elkaar wel beïnvloeden, dan zal t kleiner zijn dan t 0 en zal t gro

a

P a P b R

⇒ >

⋅ ⇒ < ter zijn dan c R⋅ t1⇒d >0.

66c 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0

of met ( 1 )

met ( 1 )

met beginwaarden en met beginwaarden en

0 ( 1 )

t t t t t t t t

t t t t t t t t

P a P b R P P P P P a b R P

R c R d P R R R R R c d P R

P R P R

P a b R

= ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = − + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∆ ∆ = − + ⋅ ⋅

∆ = ⇒ − + ⋅ ⋅ 1

1

0 1 0 1 .

0 ( 1 ) 0 1 0 1 .

ba c d

P a b R b R a R

R c d P R c d P d P c P

= ⇒ − + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⇒ =

∆ = ⇒ − + ⋅ ⋅ = ⇒ − + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⇒ =

66d Het getal zal veranderen. 1 is niet afhankelijk van , maar 1 wel.

Verandering van de vruchtbaarheid van de prooidieren heeft dus geen invloed op maar wel op .

c a

d b

a P a R

P R

= =

67

(niet meer vatbaar voor de ziekte)

0, want door de griep zijn er steeds minder mensen die nog gezond zijn, maar vatbaar voor de griep.

0, want steeds meer inwoners worden immuun .

0, want G

I

G Z I

∆ <

∆ >

∆ + ∆ + ∆ = 1 1 1 (gesloten systeem)

1 1 1 1 1 1

2 000 .

Er geldt dan namelijk: t t t tt t tt t t t t 0.

G Z I G Z I

G G Z Z I I G Z I G Z I

+ + = + + =

+ ∆ + + ∆ + + ∆ = + + ⇒ ∆ + ∆ + ∆ =

68a 1 1 1

1 1 1 1 1

0 0, 00018 0,15 .

Omdat t t krijg je t t 0, 00018t tt t 0,15t t .

G Z I Z G I G Z Z

Z Z Z Z Z G Z Z

∆ + ∆ + ∆ = ⇒∆ = −∆ − ∆ = ⋅ ⋅ − ⋅

= + ∆ = + ⋅ ⋅ − ⋅

68b Bij de aanwezigheid van één gezonde inwoner en één inwoner met griep

is de kans dat de gezonde inwoner de griep krijgt van de inwoner met griep gelijk aan 0,00018.

68c 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1

2

0, 00018 , dus 1 900 0, 00018 1 900 100 1 866.

0, 00018 0,15 , dus 100 0, 00018 1 900 100 0,15 100 119.

2 000 2 000 2 000 1 866 119 15.

G G G Z G

Z Z G Z Z Z

G Z I I G Z

G G

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ≈

= + ⋅ ⋅ − ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ≈

+ + = ⇒ = − − ≈ − − =

= 1 1 1 2

2 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 2

0, 00018 , dus 1 866 0, 00018 1 866 119 1 826.

0, 00018 0,15 , dus 119 0, 00018 1 866 119 0,15 119 141.

2 000 2 000 2 000 1 826 141 33.

G Z G

Z Z G Z Z Z

G Z I I G Z

− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ≈

= + ⋅ ⋅ − ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ≈

+ + = ⇒ = − − ≈ − − =

68d 11 10 10 10

11 10 10 10 10

0, 00018 1265 0, 00018 1265 404 1173.

0, 00018 0,15 404 0, 00018 1265 404 0,15 404 435.

G G G Z

Z Z G Z Z

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ≈

= + ⋅ ⋅ − ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ≈

68e (gesloten systeem)

(zie de schermen hierboven)

Voor elke geldt: 2 000 .

Vul de formules in op de GRt t t en teken vervolgens in het werkboek de grafiek van t.

t G Z I

I

+ + =

69a 1 0 0 0

1 0 0 0 0

, dus 9 408 9 600 9 600 400 0, 00005.

, dus 560 400 0, 00005 9 600 400 400 0, 08.

G G a G Z a a

Z Z a G Z b Z b b

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒ =

= + ⋅ ⋅ − ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ =

69b De tweede dag loopt van 1 tot 2. Verder is 1 9 408 en 1 560.

Dus op de tweede dag hebben 0, 00005 9 408 560 263 mensen griep gekregen.

t = t = G = Z =

⋅ ⋅ ≈

70a Zt =Zt1+0, 0001⋅Gt1⋅Zt1−0,20⋅Zt1.

70b 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02

2 2

0 0 0 0

10 000 0 10 000 10 000 .

0, 0001 9 216 0, 0001 0, 0001 (10 000 ) 0, 0001

0, 0001 9 216 92160 000 92160 000 9 600 en

G Z I G Z Z G

G G G Z G G Z G G G G

G G G Z

+ + = ⇒ + + = ⇒ = −

= − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⇒

⋅ = ⇒ = ⇒ = = =10 000 9 600− =400.

70c 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0, 0001 0,20 1, 65 0, 0001 (10 000 ) 0,20

1,65 2 0, 0001 0,20 0, 0001 0,15 0 0, 0001 ( 1500) 0.

Dus 1500 en 10 000 1500 8500.

Z Z G Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z Z Z

Z G

= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒

⋅ = ⋅ − − ⋅ ⇒ − ⋅ = ⇒ ⋅ − =

= = − =

(10)

G&R havo/vwo D deel 2 7 Discrete dynamische modellen

C. von Schwartzenberg 10/18

71a Het getal 0,8 betekent dat 80% van de personen die op het platteland woont, er een jaar later nog woont.

Het getal 0,04 betekent dat 4% van de inwoners van de stad een jaar later op het platteland woont.

Het getal 0,2 betekent dat 20% van de personen die op het platteland woont een jaar later in de stad woont.

Het getal 0,96 betekent dat 96% van de inwoners van de stad een jaar later nog in de stad woont.

71b 0,8 0,2 1 alle inwoners van het platteland wonen een jaar later weer op het platteland of in de stad.

0, 04 0, 96 1 alle inwoners van de stad wonen een jaar later weer in de stad of op het platteland.

+ = ⇒

+ = ⇒

72a 0,2 0, 8+ =1 en 0, 7+0,3 1.=

72b Bij het eerste stelsel niet, want 0, 4 0,8 1 (en ook 0, 6 0, 2 1). Bij het tweede stelsel wel, want 0,1 0, 9 1 en ook 0,3 0, 7 1.

+

+ ≠

+ = + =

72b Dan kun je niet gebruiken dat xt +yt =xt1+yt1=constant.

72d Er treedt convergentie op (zie de schermen hiernaast).

73a 1 1 (voor elke )

1 1

1 1

1 1

1 1

1

0, 9 0,1 1 en 0,3 0, 7 1 een gesloten systeem 350 250 600 .

0, 9 0,3

0, 9 0,3 (600 )

600 0, 9 180 0,3

0, 6 180 met

t t t

t t t

t t t

t t

t t t

t t

A B

A A B

A A A

B A

A A A

A A A

+ = + = ⇒ ⇒ + = + =

= + ⇒ = + ⋅ −

= − 

= + −

= + 0

180 180

0 1 1 0,6 0,4

(voor 0)

(voor 0) 350

( ) met 450

450 0, 6 (350 450) 450 100 0, 6

600 600 (450 100 0, 6 )

450 100 0, 6

150 100 0, 6

t b

t a

t t t

t

t t t

t

t t t t t

A A a A A A

A

B A

A B

B

=

= + ⋅ − = = = =

= + ⋅ − = − ⋅

= − 

⇒ = − − ⋅

= − ⋅ 

= + ⋅

73b Voor grote is 0, 6t t ≈0, dus At convergeert naar 450 100 0− ⋅ =450 en Bt convergeert naar 150 100 0 150.+ ⋅ =

74a 1 1 (voor elke )

1 1

1 1

1 1

1 1

1 0

0,25 0, 75 1 en 0, 5 0,5 1 een gesloten systeem 4 16 20 .

0,25 0, 5

0,25 0, 5 (20 )

20 0,25 10 0,5

0,25 10 met

t t t

t t t

t t t

t t

t t t

t t

x y

x x y x x x

y x

x x x

x x x

+ = + = ⇒ ⇒ + = + =

== − + ⇒ = + ⋅ −

= + −

= − + =

10 10

0 1 1 0,25 1,25

(voor 0)

(voor 0) 4

( ) met 8

8 ( 0,25) (4 8) 8 4 ( 0,25)

20 20 (8 4 ( 0,25) )

8 4 ( 0,25)

12 4 ( 0,25)

t b

t a

t t t

t

t t t

t

t t t t t

x x a x x x

x

y x

x y

y

− −

= + ⋅ − = = = =

= + − ⋅ − = − ⋅ −

= − 

⇒ = − − ⋅ −

= − ⋅ − 

= + ⋅ −

74b (TABLE)

(dit kan ook met de oorspronkelijke formules)

8 4 ( 0,25) verschilt minder dan 0, 01 van 8 5.

Dus vanaf 5.

t t

x x t

t

= − ⋅ − = ⇒ ≥

=

75a

(miljoen) (miljoen) ( ) 0, 6 ( 1) 0,2 ( 1)

( ) 0, 4 ( 1) 0,8 ( 1) met (0) 0,8 en (0) 1,2

N t N t R t

R t N t R t

N R

= ⋅ − + ⋅ −

= ⋅ − + ⋅ −

= =

75b 0,6 0, 4 1 en 0,2 0,8 1 een gesloten systeem ( 1) ( 1) 0,8 1,2 2 (voor elke ). ( ) 0, 6 ( 1) 0,2 ( 1)

( ) 0,6 ( 1) 0,2 (2 ( 1))

( 1) 2 ( 1)

( ) 0, 6 ( 1) 0, 4 0,2 ( 1) ( ) 0, 4

N t R t t

N t N t R t

N t N t N t

R t N t

N t N t N t

N t

+ = + = ⇒ ⇒ − + − = + =

= ⋅ − + ⋅ − 

⇒ = ⋅ − + ⋅ − −

− = − − 

= ⋅ − + − ⋅ −

= ⋅

0,4 0,4 4 2

1 1 0,4 0,6 6 3

2 2 2 2 (voor 0)

3 3 3 15

( 1) 0, 4 met (0) 0,8

( ) ( (0) ) met

( ) 0, 4 (0,8 ) 0, 4

t b

a

t t t

N t N

N t N a N N N

N t

− + =

= + ⋅ − = = = = =

= + ⋅ − = + ⋅

2 2

2 2

3 15

3 15

4 2 (voor 0)

3 15

( ) 0, 4 ( ) 2 ( 0, 4 ) ( ) 2 ( )

( ) 0, 4

t t

t t

N t R t

R t N t

R t

= + ⋅ ⇒ = − + ⋅

= − 

= − ⋅

75c 23 152 23

23

Voor grote is 0, 4 0, dus ( ) convergeert naar 0 . Op den duur kijken miljoen personen naar zender N.

t t N t + =

(11)

76a ( ) ( 1) 0,10 ( 1) 0,2 ( 1) 0, 06 ( 1) ( ) 0,84 ( 1) 0,2 ( 1) met (0) 800.

J t J t J t V t J t

J t J t V t J

= − − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ −

= ⋅ − + ⋅ − =

76b V t( ) 0,06= J t( 1) 0,88+ V t( 1) met (0) 1200.V = 76c Je hebt niet te maken met een gesloten systeem.

76d Maak een schets van de plot hiernaast.

76e ( ) 400 én (tegelijkertijd ook) ( ) 400 (TABLE) 44.

Dus vanaf 44.

J t V t t

t

< < ⇒ ≥

= Diagnostische toets

D1a u6≈402 en u9≈409. (TABLE)

D1b un >409, 9 (TABLE)⇒n ≥14⇒vanaf de 15 term.e D1c De rij nadert naar 409, 939.

D2a u0=1, u1=4, u2=20, u3=87, u4=325 en u5=1100. (TABLE) D2b un >1 000 000 (TABLE)⇒n≥12.

D3a un =1, 045⋅un1−500 met u0=6 000.

D3b n=12 (TABLE)⇒u12≈2 443,27 (€).

D3c (TABLE) 18 (€)

(€)

0 18 176, 67 .

Hij moet 18 500 176, 67 8 823,33n terugbetalen.

u < ⇒n ⇒u ≈ −

× − =

D4a Recursieve formule: un =un1+7 met u0=25 en directe formule: un =25 7+ n voor n0.

D4b un =130⇒25 7+ ⋅n =130⇒7⋅n=105⇒n =15. Dus de 16 term is 130.e

D5a

25 25

0 25 21

0 0

8 25 5 5 en 8 25 5 195 k (8 5) 26 ( 5 195) 2 470.

k k

u u u k

= =

= ⋅ − = − = ⋅ − = ⇒

=

− = ⋅ ⋅ − + =

D5b

29 29

0 29 21

0 0

5 en 8 29 5 227 k (8 5) 30 ( 5 227) 3330.

k k

u u u k

= =

= − = ⋅ − = ⇒

=

− = ⋅ ⋅ − + =

D6a 0

(TABLE of) 1 2

rr met 18 en 12 directe formule: 18 12 voor 0.

150 18 12 150 12 132 11.

Dus 18 30 ... 150 12 (18 150) 1 008.

n n

u v u n n

u n n n

= = ⇒ = + ≥

= ⇒ + = ⇒ = ⇒ =

+ + + = ⋅ ⋅ + =

D6b 0

(TABLE of) 1 2

rr met 180 en 8 directe formule: 180 8 voor 0.

100 180 8 100 8 80 10.

Dus 180 172 ... 100 11 (180 100) 1 540.

n n

u v u n n

u n n n

= = − ⇒ = − ≥

= ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ =

+ + + = ⋅ ⋅ + =

D7a mr met 0 800 en 1,25 recursieve formule: 1 1,25 met 0 800 en directe formule: 800 1,25 voor 0.

n n

n n

u r u u u

u n

= = ⇒ = ⋅ =

= ⋅ ≥

D7b un >20 000 (TABLE)⇒n≥15. Dus vanaf de 16 term.e

D8a 11

10 10 100 (1 1,08 )

1 1,08

0 0

(100 1, 08 )k 1 664,55.

k

k k

u

= =

= ⋅ = ⋅ ≈

∑ ∑

D8b

14 15

100 (1 1,08 ) 1 1,08 0

(100 1, 08 )k 2 715,21.

k

=

⋅ = ⋅ ≈

D9a 1

5 5242880 1 4

mr met 1310 710 en 4 1310 710 4 5 242 880.

5 20 80 ... 1310 710 1 747 625.

n n

u r u +

= = ⇒ = ⋅ =

+ + + + = =

D9b 1,15 1,15+ 2+1,153+... 1,15+ 20=1,15 1,151 1,15 21 =117,810.

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Wij krijgen signalen door van diverse gemeentes dat klachten met betrekking tot hoogfrequent- en ultrasoon geluid niet speelt.. Dit is echter niet waar, wanneer wij politie

Als Maria Magdalena Zijn vrouw was (zoals voorgesteld door de velen die beweren dat Jezus gehuwd was), waarom voorzag Hij dan niet in de zorg voor haar, vermits zij daar ook stond

In de volgende zinnen heeft iemand een hoop onzin bedacht.. Markeer de zin- volle zinnen met een „J“ en de onzinnige met

Vraag 3 In deze opgave is X een willekeurige niet-lege verzameling en Y een vast gekozen deelverzameling van X. Uit hoeveel elementen bestaat

2p 9 „ Geldt deze bewering uitsluitend voor erfelijke mutatie, uitsluitend voor somatische mutatie of voor beide typen mutatie.. A Deze bewering geldt uitsluitend voor

Hier zijn twee redenen voor: (1) de bewe- ging van de pastorale diagnostiek heeft een Ameri- kaanse achtergrond, waarin men het onderscheid tussen pastoraat en geestelijke

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of

3p 24  Construeer in de figuur op de bijlage de impulsverandering die Mathilde krijgt door het passeren van