Cover Page
The handle http://hdl.handle.net/1887/44549 holds various files of this Leiden University dissertation.
Author: Zhao, Y.
Title: Deformations of nodal surfaces Issue Date: 2016-12-01
Sommario
I nodi sono le singolarit`a le pi`u semplici di una superficie algebrica, definite localmente dal polinomio x2−yz ∈ C[x, y, z]. Le superfici nodali sono superfici proiettive con soltanto nodi come punti singolari.
Le teorie di Hodge e della deformazione delle superfici nodali sono simili a quelle delle superfici lisce, ad esempio anche le superfici nodali hanno strutture di Hodge pure. Le similarit`a e le differenze sono studiate in dettaglio nei capitoli 2 e 3 della tesi. Il primo, fra i risultati principali di questa tesi, `e il teorema di Torelli infinitesimale per superfici nodali in P3 che afferma che ogni deformazione non-banale di una superficie nodale induce una variazione non-banale di strutture di Hodge.
Una superficie nodale F ha un insieme di nodi pari se esiste un rivestimento doppio f : S → F ramificato esattamente sopra i nodi di F . Nel capitolo 4 si studiano due famiglie di tali superfici di grado sei in P3 con insiemi pari di 56 e 40 nodi rispettivamente.
Si `e trovata una nuova costruzione geometrica di una famiglia universale di superfici con 56 nodi pari, il cui rivestimento doppio S soddisfa h1,0(S) = 3, usando che una qualsiasi tale superficie `e a sua volta il rivestimento doppio di una superficie Θ/[−1] 28-nodale pari dove Θ = S2C `e un divisore theta simmetrico della jacobiana di una curva non-iperellittica C di genere 3 e [−1]
`
e indotta dall’involuzione della jacobiana.
L’involuzione che induce il rivestimento doppio f : S → F d`a una decompo- sizione della struttura di Hodge in autospazi:
H2(S, Q) = H2(S, Q)+⊕ H2(S, Q)−, con H2(S, Q)+= H2(F, Q).
La sottostruttura di Hodge H2(S, Q)− del rivestimento doppio S di una su- perficie pari 40-nodale ha numeri di Hodge (1, 26, 1). Si `e interessati alle sottostrutture irriducibili di Hodge con numeri di Hodge (1, n, 1) con n >
20 poich´e soltanto pochi esempi sono noti. A seguito dello studio di varie costruzioni di tali superfici, si `e mostrato che, tuttavia, H2(S, Q)− ha sempre una sottostruttura con numeri di Hodge (1, 20, 1) che `e indotta dalla defor- mazione di uno schema di Hilbert associato ad una superficie K3. Questi esempi, quindi, non producono nuove strutture di Hodge geometriche di inter- esse.
Nel capitolo finale `e stata usata la teoria dei moduli misti di Hodge, introdotta 115
da Saito, per estendere alcune costruzioni del Capitolo 2 a singolarit`a pi`u generali. Questi risultati permettono di determinare la decomposizione di Hodge di variet`a singolari.
116
