Een Stapel ingewokkelds Jaap Top
JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl
Ik ben 9 maanden jonger dan de FMF.
Proficiat met deze Dies!
4 jaar jonger dan FMF is:
Mijn favoriet... Diederik
Deze voordracht is opgedragen aan de FMF,
... en aan Diederik,
die veel te weinig in mijn Stapel Donald Ducks voorkomt.
Onderwerp: Stapel(en).
Dat begint met wat zelfbedachte data:
(x2 + y2)3z2 = (x3 − 3xy2)2.
(x2 + y2)3z2 = (x3 − 3xy2)2,
welke (x, y, z) ∈ R3 voldoen hieraan?
• Alle punten met x = y = 0: de z-as voldoet.
Sterker: de vgl. is opgebouwd uit veelvouden van x6, x4y2, x2y4, y6. Dus die z-as voldoet wel “zes keer”.
(x2 + y2)3z2 = (x3 − 3xy2)2,
welke (x, y, z) ∈ R3 voldoen hieraan?
• Voor z = 0 staat er x2(x − y√
3)2(x + y√
3)2 = 0.
Dus ook de y-as en de lijnen z = 0 = x ± y√
3 voldoen (zelfs
“dubbel”).
(x2 + y2)3z2 = (x3 − 3xy2)2,
welke (x, y, z) ∈ R3 voldoen nog meer?
• Voor z = ±1 staat er (x2 + y2)3 = (x3 − 3xy2)2, oftewel y2(y + x√
3)2(y − x√
3)2 = 0.
Dus ook op de hoogten z = ±1 vinden we drie (dubbele) lijnen.
En verder?
De vergelijking laat zich schrijven (tenminste, buiten de z-as, maar die kennen we...) als
z2 = (x3 − 3xy2)2 (x2 + y2)3 .
Noteer t := x/y (oplossingen met y = 0 kennen we allemaal al...), dan:
z2 = (t3 − 3t)2 .
De grafiek van t 7→ (t3−3t)2
(t2+1)3:
functie is even;
minimum 0 voor t2 = 3 en voor t = 0;
maximum 1 voor t2 = 1/3;
functie is dalend van 1 naar 0 voor −∞ < t ≤ −√ 3;
functie is stijgend van 0 naar 1 voor −√
3 ≤ t ≤ −13√ 3;
functie is dalend van 1 naar 0 voor −13√
3 ≤ t ≤ 0;
functie is stijgend van 0 naar 1 voor 0 ≤ t ≤ 13√
√ √3;
Conclusie: de vergelijking
(t3 − 3t)2
(t2 + 1)3 = z2 voor vaste z en onbekende t, heeft:
• 3 oplossingen als z = 0;
• geen oplossingen als z < −1 of z > 1;
• 6 oplossingen als −1 < z < 1 en z 6= 0.
Ter herinnering: t hier is x/y uit onze oorspronkelijke vergelijking.
Dus als −1 < z < 1 en z 6= 0, dan vinden we 6 oplossingen t1, t2, . . . t6,
en dus 6 lijnen met vergelijking tjy = x op de hoogte z.
In R3 krijg je dus alle oplossingen van
(x2 + y2)3z2 = (x3 − 3xy2)2
door op de diverse hoogtes tussen −1 en 1 deze lijnen tjy = x te
In FabLab Groningen kan je dat uitvoeren met behulp van een 3D printer, of met een lasersnijder die de verschillende laagjes keurig voor je uit hout of golfkarton snijdt.
Is dit de wokkel van de toekomst?
De wiskundige theorie achter figuren zoals deze heet de ‘alge- bra¨ısche meetkunde van regeloppervlakken’ (ruled surfaces).
Regeloppervlakken van graad 3 zijn rond 1850 geclassificeerd door Arthur Cayley.
De classificatie van de vierdegraads regeloppervlakken werd be- gonnen door Cayley en ook Luigi Cremona 140 jaar geleden. Na de tweede wereldoorlog gingen o.a. Oene Bottema en nog re- center Igor Dolgachev hierop door. Pas in 2009 is het helemaal
Ons voorbeeld is een regeloppervlak van graad 8. Het is een variant op de ‘cono¨ıde van Pl¨ucker’ die door Julius Pl¨ucker in de 19de eeuw werd beschreven. Ook de Belg Eug`ene Catalan bestudeerde in die tijd oppervlakken vergelijkbaar met de onze.
Toepassingen van regeloppervlakken vind je o.a. in de scheeps- bouw, in de architectuur (‘afwikkelbare oppervlakken’), en in de computationele meetkunde.
