met de computer bewijzen correct bewijzen Freek Wiedijk

(1)

⇐←0→

met de computer bewijzen correct bewijzen

Freek Wiedijk

Raboud Universiteit Nijmegen

Vakantiecursus Wiskunde

Eindhoven, 26 augustus 2017

Amsterdam, 2 september 2017

(2)

⇐←1→

het vermoeden van Kepler

Johannes Kepler en de zeshoekige sneeuwvlok

Strena Seu De Nive Sexangula, 1611

(3)

⇐←2→

Tom Hales en het Flyspeck-project

(4)

⇐←3→

John Harrison, Intel en HOL Light

(5)

⇐←4→

efficiënt bollen stapelen verschillende dichtste stapelingen

√ π

18 = 74,0480 . . . %

FCC = face-centered cubic = kubisch vlakgecentreerd

HCP = hexagonal close-packed = hexagonale dichtst

(6)

⇐←5→

hexagonale lagen

(7)

⇐←5→

hexagonale lagen

c a

a b c a

b c a b c

c a b c a

a b c a b

b c a b c

c a b c a

a b c a b

a b

c a

(8)

⇐←5→

hexagonale lagen

a

a b

c a

a b

c a

a b

FCC

(9)

⇐←5→

hexagonale lagen

a b a

b

a b a

b

a b a

b

HCP

(10)

⇐←6→

kubisch vlakgecentreerd

a

a b

b

b c

(11)

⇐←6→

kubisch vlakgecentreerd

(12)

⇐←6→

kubisch vlakgecentreerd

(13)

⇐←6→

kubisch vlakgecentreerd

(14)

⇐←6→

kubisch vlakgecentreerd

(15)

⇐←7→

vierkante lagen

(16)

⇐←7→

vierkante lagen

(17)

⇐←8→

het Flyspeck-bewijs de precieze formulering

voor iedere stapeling van bollen met straal één bestaat er een reëel getal c zodat voor het aantal middelpunten N van de gestapelde bollen binnen een groeiende grote bol met straal R geldt dat

N ≤ π

√ 18 R

³

+ cR

²

volume gestapelde bollen: N ·

⁴₃

π volume groeiende grote bol:

⁴₃

πR

³

verhouding volumes: N ·

⁴₃

π

4

3

πR

³

= N R

³

≤ π

√ 18 + c

R

(18)

⇐←8→

het Flyspeck-bewijs de precieze formulering

voor iedere stapeling van bollen met straal één bestaat er een reëel getal c zodat voor het aantal middelpunten N van de gestapelde bollen binnen een groeiende grote bol met straal R geldt dat

N ≤ π

√ 18 R

³

+ cR

²

volume gestapelde bollen: N ·

⁴₃

π volume groeiende grote bol:

⁴₃

πR

³

verhouding volumes: N ·

⁴₃

π

4

3

πR

³

= N R

³

≤ π

√ 18 + c

R

(19)

⇐←8→

het Flyspeck-bewijs de precieze formulering

voor iedere stapeling van bollen met straal één bestaat er een reëel getal c zodat voor het aantal middelpunten N van de gestapelde bollen binnen een groeiende grote bol met straal R geldt dat

N ≤ π

√ 18 R

³

+ cR

²

volume gestapelde bollen: N ·

⁴₃

π volume groeiende grote bol:

⁴₃

πR

³

verhouding volumes: N ·

⁴₃

π

4

3

πR

³

= N R

³

≤ π

√ 18 + c

R

(20)

⇐←9→

Voronoi-cellen

(21)

⇐←10→

verwaarloosbare FCC-compatible functies

4 √

2 = 5,55685 . . .

volume Voronoi-cel van de FCC-stapeling

voor iedere stapeling V

S

bestaat er een functie G(v) met X

v∈VS(0,R)

G(v) ≤ c

1

R

²

vol(Ω(V

_S

, v)) ≥ 4 √

2 − G(v)

(22)

⇐←11→

de lokale annulus-ongelijkheid

X

v∈VS

L(h(v)) ≤ 12

1 1.26 1

0 L(h)

(23)

⇐←12→

19.715 tamme grafen

(24)

⇐←13→

23.242 niet-lineaire ongelijkheden

tan( π

2 −0.74) >

−x

1

x

3

− x

2

x

4

+ x

1

x

5

+ x

3

x

6

− x

5

x

6

+ x

2

(−x

2

+ x

1

+ x

3

− x

4

+ x

5

+ x

6

) v

u u u u t

4x

2







x

2

x

4

(−x

2

+ x

1

+ x

3

− x

4

+ x

5

+ x

6

) + x

1

x

5

(x

2

− x

1

+ x

3

+ x

4

− x

5

+ x

6

) +

x

3

x

6

(x

2

+ x

1

− x

3

+ x

4

+ x

5

− x

6

)

− x

1

x

3

x

4

− x

2

x

3

x

5

− x

2

x

1

x

6

− x

4

x

5

x

6







(25)

⇐←14→

HOL Light een lemma uit het boek van Hales

Dense Sphere Packings: a Blueprint for Formal Proofs

(26)

⇐←15→

hetzelfde lemma in HOL Light

let NORM_CAUCHY_SCHWARZ = prove

(‘!(x:real^N) y. x dot y <= norm(x) * norm(y)‘, REPEAT STRIP_TAC THEN MAP_EVERY ASM_CASES_TAC

[‘norm(x:real^N) = &0‘; ‘norm(y:real^N) = &0‘] THEN ASM_SIMP_TAC[NORM_EQ_0_IMP; DOT_LZERO; DOT_RZERO;

REAL_MUL_LZERO; REAL_MUL_RZERO] THEN

MP_TAC(ISPEC ‘norm(y:real^N) % x - norm(x:real^N) % y‘ DOT_POS_LE) THEN REWRITE_TAC[DOT_RSUB; DOT_LSUB; DOT_LMUL; DOT_RMUL; GSYM NORM_POW_2;

REAL_POW_2; REAL_LE_REFL] THEN REWRITE_TAC[DOT_SYM; REAL_ARITH

‘&0 <= y * (y * x * x - x * d) - x * (y * d - x * y * y) <=>

x * y * d <= x * y * x * y‘] THEN

ASM_SIMP_TAC[REAL_LE_LMUL_EQ; REAL_LT_LE; NORM_POS_LE]);;

(27)

⇐←15→

hetzelfde lemma in HOL Light

let NORM_CAUCHY_SCHWARZ = prove

(‘!(x:real^N) y. x dot y <= norm(x) * norm(y)‘, REPEAT STRIP_TAC THEN MAP_EVERY ASM_CASES_TAC

[‘norm(x:real^N) = &0‘; ‘norm(y:real^N) = &0‘] THEN ASM_SIMP_TAC[NORM_EQ_0_IMP; DOT_LZERO; DOT_RZERO;

REAL_MUL_LZERO; REAL_MUL_RZERO] THEN

MP_TAC(ISPEC ‘norm(y:real^N) % x - norm(x:real^N) % y‘ DOT_POS_LE) THEN REWRITE_TAC[DOT_RSUB; DOT_LSUB; DOT_LMUL; DOT_RMUL; GSYM NORM_POW_2;

REAL_POW_2; REAL_LE_REFL] THEN REWRITE_TAC[DOT_SYM; REAL_ARITH

‘&0 <= y * (y * x * x - x * d) - x * (y * d - x * y * y) <=>

x * y * d <= x * y * x * y‘] THEN

ASM_SIMP_TAC[REAL_LE_LMUL_EQ; REAL_LT_LE; NORM_POS_LE]);;

(28)

⇐←16→

een klein voorbeeld: bewijs met inductie

n

X

i=1

i = n(n + 1)

2

(29)

⇐←16→

een klein voorbeeld: bewijs met inductie

0

X

i=1

i = 0 (0 + 1) 2

n

X

i=1

i = n(n + 1) 2

⇓

n+1

X

i=1

i = (n + 1)((n + 1) + 1)

2

(30)

⇐←16→

een klein voorbeeld: bewijs met inductie

0

X

i=1

i = 0 (0 + 1) 2

n

X

i=1

i = n(n + 1) 2

⇓

n+1

X

i=1

i = (n + 1)((n + 1) + 1) 2

n+1

X

i=1

i =

n

X

i=1

i + (n + 1) = ( n(n + 1)

2 ) + (n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1)

2

(31)

⇐←17→

Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking

(32)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

#

(33)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

#g ‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n*(n + 1)) DIV 2‘;;

val it : goalstack = 1 subgoal (1 total)

‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n * (n + 1)) DIV 2‘

#

(34)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

#g ‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n*(n + 1)) DIV 2‘;;

‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n * (n + 1)) DIV 2‘

#e INDUCT_TAC;;

val it : goalstack = 2 subgoals (2 total) 0 [‘nsum (1..n) (\i. i) = (n * (n + 1)) DIV 2‘]

‘nsum (1..SUC n) (\i. i) = (SUC n * (SUC n + 1)) DIV 2‘

‘nsum (1..0) (\i. i) = (0 * (0 + 1)) DIV 2‘

#

(35)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

#g ‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n*(n + 1)) DIV 2‘;;

‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n * (n + 1)) DIV 2‘

#e INDUCT_TAC;;

‘nsum (1..0) (\i. i) = (0 * (0 + 1)) DIV 2‘

#NSUM_CLAUSES_NUMSEG;;

val it : thm =

|- (!m. nsum (m..0) f = (if m = 0 then f 0 else 0)) /\

(!m n.

nsum (m..SUC n) f =

(if m <= SUC n then nsum (m..n) f + f (SUC n) else nsum (m..n) f))

#

(36)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

#g ‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n*(n + 1)) DIV 2‘;;

‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n * (n + 1)) DIV 2‘

#e INDUCT_TAC;;

‘nsum (1..0) (\i. i) = (0 * (0 + 1)) DIV 2‘

#NSUM_CLAUSES_NUMSEG;;

val it : thm =

|- (!m. nsum (m..0) f = (if m = 0 then f 0 else 0)) /\

(!m n.

nsum (m..SUC n) f =

(if m <= SUC n then nsum (m..n) f + f (SUC n) else nsum (m..n) f))

#e (REWRITE_TAC[NSUM_CLAUSES_NUMSEG]);;

‘(if 1 = 0 then 0 else 0) = (0 * (0 + 1)) DIV 2‘

#

(37)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

‘(if 1 = 0 then 0 else 0) = (0 * (0 + 1)) DIV 2‘

#e ARITH_TAC;;

val it : goalstack = 1 subgoal (1 total) 0 [‘nsum (1..n) (\i. i) = (n * (n + 1)) DIV 2‘]

#

(38)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

‘(if 1 = 0 then 0 else 0) = (0 * (0 + 1)) DIV 2‘

#e ARITH_TAC;;

#e (REWRITE_TAC[NSUM_CLAUSES_NUMSEG]);;

‘(if 1 <= SUC n then nsum (1..n) (\i. i) + SUC n else nsum (1..n) (\i. i)) = (SUC n * (SUC n + 1)) DIV 2‘

#

(39)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

#e (ASM_REWRITE_TAC[]);;

‘(if 1 <= SUC n then (n * (n + 1)) DIV 2 + SUC n else (n * (n + 1)) DIV 2) = (SUC n * (SUC n + 1)) DIV 2‘

#

(40)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

#e ARITH_TAC;;

val it : goalstack = No subgoals

#

(41)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

#e ARITH_TAC;;

val it : goalstack = No subgoals

#top_thm();;

val it : thm = |- !n. nsum (1..n) (\i. i) = (n * (n + 1)) DIV 2

#

(42)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

let TRIANGULAR_SUM = prove

(‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n*(n + 1)) DIV 2‘, INDUCT_TAC THENL

[REWRITE_TAC[NSUM_CLAUSES_NUMSEG] THEN ARITH_TAC;

REWRITE_TAC[NSUM_CLAUSES_NUMSEG] THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN

ARITH_TAC]);;

(43)

⇐←18→

HOL Light sessie: doelen en tactieken

let TRIANGULAR_SUM = prove

(‘!n. nsum (1..n) (\i. i) = (n*(n + 1)) DIV 2‘, INDUCT_TAC THEN

ASM_REWRITE_TAC[NSUM_CLAUSES_NUMSEG] THEN ARITH_TAC);;

(44)

⇐←19→

formele bewijzen in de computer

Coq en Isabelle

(45)

⇐←20→

formalisaties van George Gonthier

iedere vlakke kaart is kleurbaar met vier kleuren

iedere eindige groep van oneven orde is oplosbaar

(46)

⇐←21→

het criterium van N.G. de Bruijn

eenvoudige checker die volledige wiskundige correctheid garandeert

(47)

⇐←22→

de drie revoluties in de wiskunde

bewijzen rigoreus formeel

bewijzen rigoreus

bewijzen

(48)

⇐←23→