• No results found

(a) Laat zien dat R een niet-commutatieve ring met 1 6= 0 is

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(a) Laat zien dat R een niet-commutatieve ring met 1 6= 0 is"

Copied!
1
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Faculteit Exacte Wetenschappen Ringen en lichamen, deel 1 Vrije Universiteit Deeltentamen 22-10-2014 (15:15-17:15)

• Maak alle opgaven.

• Antwoorden zonder redenering scoren slecht dus geef overal goede redeneringen.

• Als je een onderdeel niet kunt doen dan mag je het resultaat ervan in de rest van de opgave toch gebruiken.

(1) Zij k een lichaam. Gegeven is dat R =a b

0 c



met a, b, c in k



een deelring is van M2(k), de ring van 2 × 2 matrices met co¨effici¨enten in k.

(a) Laat zien dat R een niet-commutatieve ring met 1 6= 0 is.

(b) Bepaal de eenheden en de nuldelers van R.

(2) Zij G = {e, a} een groep met twee elementen, waarbij e het neutrale element is.

Bepaal alle idealen van de groepring RG.

(3) Zij ϕ : R → S een ringhomomorfisme en J een ideaal van S. Laat zien dat ϕ−1(J ) = {r in R met ϕ(r) in J }

een ideaal van R is.

(4) Zij R = Z[√

−7] = {a + b√

−7 met a, b in Z}, een deelring van C. Laat zien dat het ideaal (2, 1 +√

−7) in Z[√

−7] geen hoofdideaal (‘principal ideal’) is. (Hint: gebruik dat de norm N met N (a + b√

−7) = a2+ 7b2 multiplicatief is.) (5) Formuleer in deze opgave ook de stellingen die je gebruikt.

Zij R = Z[√

−5] = {a + b√

−5 met a, b in Z}, een deelring van C. Zij ϕ : R → Z/3Z de afbeelding gegeven door ϕ(a + b√

−5) = a − b.

(a) Laat zien dat ϕ een ringhomomorfisme is met kern (3, 1 +√

−5).

(b) Toon aan dat er een ringisomorfisme R/(3, 1 +√

−5) ' Z/3Z is.

(c) Is (3, 1 +√

−5) een maximaal ideaal van R? Is het een priemideaal van R?

(6) Zij R de polynoomring R[X]. We beschouwen de idealen I = (X2+ 1), J = (X + 1) en K = (X3+ X2+ X + 1) van R.

(a) Laat zien dat er een ringisomorfisme R/K ' R/I × R/J is.

(b) Welk element in R/K beeldt hier af op (2X + 1 + I, 3 + J ) in R/I × R/J ? (7) Zij R een ring (niet noodzakelijkerwijs commutatief of met 1) met idealen I en J . Zij

ϕ : R → R/I × R/J gegeven door x 7→ (x + I, x + J ). Laat zien: ϕ is surjectief dan en slechts dan als I + J = R.

Normering

1a: 6 2: 10 3: 7 4: 10 5a: 8 6a: 6 7: 10

1b: 8 5b: 8 6b: 7

5c: 10 Maximum totaal = 90 Cijfer = 1 + Totaal/10

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

De WD-fractie dient een amendement in (c, zie bijlage), om punt a van het conceptraadsbesluit te wijzigen in 'de componenten uit deze tussenrapportage in de begroting 2012 en

(b) (5 punten) Op hoeveel manieren kan ik deze boeken op een boekenplank zetten zodanig dat alle boeken per onderwerp bij elkaar staan?. (Dus de wiskunde boeken bij

Faculteit Exacte Wetenschappen Complexe-functietheorie deel 2 Vrije Universiteit..

[r]

[r]

[r]

Aangezien het gewijzigde x-factorbesluit betrekking heeft op de vierde reguleringsperiode, is ACM voornemens om bij de vaststelling van de tarieven voor 2017 gebruik te maken van de

5.4.1.3 De netbeheerder bepaalt het verbruik voor het bepalen van het standaardjaarverbruik gas overeenkomstig 5.3.3.1 waarbij voor letter g wordt gelezen: ‘voor niet temperatuur