Parabolen met gemeenschappelijke raaklijn

(1)

www.examen-cd.nl www.havovwo.nl

wiskunde B vwo 2016-II

Parabolen met gemeenschappelijke raaklijn

1 maximumscore 4 • 2 (0) 2 0 p f = p + p= 1 • p p( +2)=0 geeft p=0 of p= −2 1

• p=0 geeft f₀( )x =x2 met top (0, 0) 1

• p= − geeft2 f₋₂( )x =

(

x+2

)

2− met top ( 2, 4)4 − − 1

2 maximumscore 4

• Het punt (p+1 ; 2p+1) ligt op k want 2p+ =1 2(p+ −1) 1 1

• Het punt (p+1 ; 2p+1) ligt op de grafiek van f want_p

( 1) 2 1

p

f p+ = p+ 1

• f_p′( )x =2(x−p) 1

• f_p′(p+ = en dit is ook de richtingscoëfficiënt van k1) 2

(dus (p+1 ; 2p+1) is het raakpunt) 1

of

• Voor het gemeenschappelijke punt geldt 2

(x−p) +2p=2x−1 1

• Uitwerken geeft 2 2

(2 2) 2 1 0

x − p+ x+p + p+ = 1

• De discriminant van deze vergelijking is

(

)

2 2

(2p 2) 4(p 2p 1) 0

− + − + + = (dus het gemeenschappelijke punt is

een raakpunt) 1

• 2 2 1

2

p

x= + = +p en y=2(p+ − =1) 1 2p+1

(dus (p+1 ; 2p+1) is het raakpunt) 1

of

• f_p′( )x =2(x−p) 1

• f_p′( )x = geeft 2 x= +p 1 1

• x= +p 1 invullen in de vergelijking van k geeft y=2p+1 1

• Ook (f_p p+ =1) 2p+ (dus 1 (p+1 ; 2p+1) is het raakpunt) 1

Vraag Antwoord Scores

(2)

wiskunde B vwo 2016-II

• De x-coördinaten van Q en R zijn 1 en _p p+1 1

• Het gemiddelde van de x-coördinaten van Q en R is _p 1 1

2 p + + (= 1₂ p+ ) 1 1 • 1 1 2 1 2 0 2( 1) (2 1) 4 1 f p+ = p+ = p + + p 1 • 1 1 2 1 2 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 1 2 p f p+ = − p+ + p= p − + +p p 1 • 1 1 0 2( 1) p(2 1)

f p+ = f p+ (dus de x-coördinaat van S is het gemiddelde _p

van de x-coördinaten van Q en R ) _p 1

of

• De x-coördinaten van Q en R zijn 1 en _p p+1 1

• Het gemiddelde van de x-coördinaten van Q en R is _p 1 1

2 p + + ( 1 2 p 1 = + ) 1

• Voor de x-coördinaat van S geldt _p (x− p)2+2p=x2 1

• 2 2 2

2 2

x − px+p + p=x geeft 2px= p2 +2p 1

• Hieruit volgt 1

2 1

x= p+ (dus de x-coördinaat van S is het gemiddelde _p

van de x-coördinaten van Q en R )_p 1

(3)

wiskunde B vwo 2016-II

• De raakpunten liggen bij x=1 en x=5 1

• De x-coördinaat van S is (het gemiddelde van 1 en 5, dus) 34 1

• De oppervlakte van V is 3 5 5 0 4 1 3 1 ( ) d ( ) d (2 1) d f x x+ f x x− x− x

∫

1

• Een primitieve van f is 0 3 1

3x en een primitieve van f is 4

3 2

1

3x −4x +24x 1

• Een primitieve van 2x−1 is x2−x 1

• De oppervlakte van V is ( 2 2

3 3

8 +16 −20= ) 51₃ 1

of

• De oppervlakte van V is

(

)

(

)

3 5 0 4 1 3 ( ) (2 1) d ( ) (2 1) d f x − x− x+ f x − x− x

∫

1 • 2 0( ) (2 1) 2 1 f x − x− =x − x+ en f₄( ) (2x − x− =1) x2 −10x+25 1

• Een primitieve van 2

2 1

x − x+ is 1₃x3−x2+ en een primitieve van x

2 ₁₀ ₂₅ x − x+ is 1₃x3−5x2+25x 1 • De oppervlakte van V is 2 2 1 3 3 3 (2 +2 =) 5 1 of

• De oppervlakte van V is 3 5 0 4 1 3 ( ) d ( ) d f x x+ f x x

∫

verminderd met de

oppervlakte van de rechthoek en driehoek onder de raaklijn 1

• Een primitieve van f is 0 3 1

3x en een primitieve van f is 4

3 2

1

3x −4x +24x 1

• De oppervlakte van de rechthoek en de driehoek samen is