HOE GROOT IS DE KNIKLENGTE ?

ConstructieMechanica 3

7-17 Stabiliteit van het evenwicht

• Inleiding

• Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad)

• Systemen met meer dan één vrijheidsgraad

• Buigzame staaf (oneindig veel vrijheidsgraden)

• Statisch bepaalde op druk belaste staaf

• Algemene aanpak met de D.V.

• Verend ingeklemde buigzame staven

• Gekoppelde systemen

• Knik en de EUROCODE 3

• 2^e orde effecten

• Naknikgedrag

• Initiële scheefstand, vergrotingsfactor

• Vergrotingsfactor voor buigzame staven

• Bezwijken door instabiliteit

CTB2210 COLLEGE 12

BASISGEVAL VOOR DE ENKELZIJDIG VEREND

INGEKLEMDE STAAF

HOE GROOT IS DE KNIKLENGTE ?

ρ ρ

π

π ρ π

4 10 4

: met 4

1 /

1 1

1

k 2

k

2 2 2

2 k

+

⇒ ≈ +

=

= +

=

=

l l

l l

EI rl l

EI l

r l

EI F

k

KNIKLENGTE NEEMT TOE !

ONGESCHOORDE AAN TWEE ZIJDEN VEREND INGEKLEMDE STAAF

AANPAK ?

r 1

r 2

AFLEIDING : uitgangspunt gelijke kniklengte !

l rechterdee 10 :

4

linkerdeel 10 :

4

2

* 2

* 2 2 2

1

* 1

* 1 1 1

EI l met r

l l

EI l r met

l l

k k

= +

=

= +

=

ρ ρ ρ ρ

1) Stijfheidsverhoudingen op basis van l :

2) Van ρ

naar ρ (op basis van l i.p.v. l

, l

):

^;

^;

* 2 1

1

*

1

l

l l

l ρ ρ

ρ

ρ = =

3) Uitwerken levert:

ONHANDIG

WANT l₁ en l₂ ZIJN ONBEKEND !

;

;

1

1

EI

l r EI

l

r =

= ρ

ρ

2 2 2

1 1 1

4 10 4 10

l l l

l l l

l

ρ

ρ ^{= +}

+

=

VERVOLG

Voer nieuwe variabelen in :

Verwerk dit in de formule voor de kniklengte :

 



 

 − +

 =





 

 − 4 + 4 4 4

2 2

2 2 2 1

1 1 2

1

l

l l

l l l

l l

l η l η

Uiteraard geldt:

1 2

2

1

l l l l l

l + = ⇔ = −

Na enig rekenwerk volgt:

l l

l l

2 1

1 2

2 1

2

1

;

η η

η η

η η

= +

= +

2 2

1 1

4 10 10 ;

4 η ρ

η = + ρ = +

De kniklengte wordt nu:

( ) _



 





+ + + −

= +

−

 =





 

 − +

=

2 1

2 1

2 1

2 1

1 1 1

1 1 2 1

4 4 4

4 4

4 η η

η η η η η η

η ^{l l l l l l l l}

l l l

l l l

Herschrijven levert:

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

2 2

2 1

2 1

2 2 1

2 2

2 1

2 2 2

2 1 2 1

2 2 1

2 2 2 2

1 1 2 2

4

4 4

4 4

l l

l l l

l l l

k k

+ ×

−

= +

+ ×

+

−

= + + +

+

= −

η η

η η

η η

η η

η η

η η η η

η η

η η

η η η

Knikkracht (Euler):

( )

( )

2

2 1

2 1

2 2 1

2 2

4 l

F EI

l F EI

k

k k

π η

η η

η

η η

π

− × +

= +

=

ONGESCHOORDE VEREND INGEKLEMDE KNIKSTAVEN

ONGESCHOORD

( )

( )

EI l r EI

l r met

l F EI

2 2

2 2

1 1

1 1

2 2

2 1

2 1

2 2 1

k

10 ; 4

10 ; 4

4 :

= +

=

= +

=

− × +

= +

ρ ρ η

ρ ρ π η

η η η η

η η

Knikkracht op basis van enkelzijdig verend ingeklemde staaf

r 1

r 2

GESCHOORDE VEREND INGEKLEMDE KNIKSTAVEN

( )

( )

EI rl

l F EI

k

= +

= +

ρ

π ρ

ρ

: met

. 5

2 5

2 2 2

2

LET OP :

BENADERINGSFORMULE ! BIJZONDER GEVAL, gelijke veren

GESCHOORD

GESCHOORDE VEREND INGEKLEMDE KNIKSTAVEN

“Veilige” benaderingsformule van Newmark:

Oefenen op constructies, zie dictaat blz 204 t/m 222b

( )( )

( )( )

EI l r EI

l r

l F EI

k

2 2

1 1

2 2

2 1

2 1

: met

5 . 5

2 5

2 5

=

=

+ +

+

= +

ρ ρ

π ρ

ρ

ρ ρ

ALGEMEEN GEVAL GESCHOORD

SAMENVATTING VEREND INGEKLEMDE STAVEN

EI rl l

l

l EI l

F r

= +

= + ⇒

=

ρ ρ

π met:

4 10

4 1 1

1 ^k

2 2 k

GESCHOORD ONGESCHOORD

ONGESCHOORD

( )

( )

EI l r EI

l r met

l F EI

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

2 1 2 1

2 2 1 k

10 ; 4

10; 4 4 :

= +

=

= +

=

− × +

= +

ρ ρ η

ρ ρ π η

η η η η

η η

( )( )

( )( )

EI l r EI

l r

l F EI

k

2 2 1

1

2 2

2 1

2 1

: met

. 5

5

2 5 2 5

=

=

+ +

+

= +

ρ ρ

π ρ

ρ

ρ ρ

DIVERSE VOORBEELDEN VAN VEREND INGEKLEMDE STAVEN WORDEN UITGEWERKT OP HET COLLEGE

GESCHOORD ONGESCHOORD

F F F F

12,0 m

10,0 m

12,0 m Alle staven,

EI = 1500 kNm²