Tentamen Algebra 3 Maandag 11 juni 2018
Dit is een open-boektentamen, maar je mag niet zonder uitleg naar op- gaven verwijzen. Bewijs je antwoorden en leg uit hoe je eraan komt. Elektro- nische hulpmiddelen, inclusief rekenmachines en telefoons, zijn niet toeges- taan. Nummer je pagina’s. Als je de antwoorden niet op de logische volgorde opschrijft, vermeld dan duidelijk waar welk antwoord staat.
Alle opgaven zijn evenveel waard.
1. Bepaal de Galoisgroep van het polynoom f = X4 − 2X2 + 2 over de volgende lichamen: (a) C, (b) R, (c) Q, (d) F5, (e) F7.
2. Laat√3
7 ∈ R de re¨ele derdemachtswortel van 7 zijn, en ω = e2πi/3∈ C.
Definieer K = Q(ω,√3
7) ⊂ C.
(a) Laat zien dat K/Q een ontbindingslichaam is voor het polynoom X3− 7.
(b) Laat zien dat α = ω +√3
7 een voortbrenger is voor K/Q.
(c) Bereken het minimumpolynoom van α over Q(√3
7) en over Q(ω).
3. (a) Zij p een priemgetal en zij ζp ∈ C een primitieve p-de eenheidswor- tel. Laat zien dat er een deellichaam K ⊂ Q(ζp) bestaat met K/Q cyclisch van graad 5 dan en slechts dan als p ≡ 1 (mod 5).
(b) Zij K ⊂ Q(ζ11) het unieke deellichaam met K/Q cyclisch van graad 5, zoals in (a). Bepaal een expliciete α ∈ Q(ζ11) met K = Q(α), en laat zien dat K omvat is in R.
(c) Is iedere cyclische uitbreiding van Q van graad 5 omvat in een Q(ζp) zoals in (a)?
4. Geef een voorbeeld (met bewijs) van:
(a) Een niet-separable, niet-normale lichaamsuitbreiding;
(b) een expliciete isomorfisme F7[X]/(X2+ 1) → F7[X]/(X2− 3);
(c) een polynoom f ∈ Q[X] met Gal(f ) ∼= S3× (Z/2Z).
