BREAK-EVEN ANALYSE EN LINEAIRE PROGRAMMERING

BREAK-EVEN ANALYSE EN LIN EA IRE PROGRAMMERING door Drs. I. L. E. O o ste rh o ff

1 Inleiding

De break-even analyse w ordt in de bedrijfsekonom ie gebruikt om vast te stellen welke afzet van een bepaald p ro d u k t juist geen verlies meer oplevert. Een grafische voorstelling hiervan w ordt gegeven in Figuur 1. In deze figuur stelt afstand OB de vaste kosten voor: de lijnen BC en OD geven de totale kosten, respectievelijk de totale ontvangsten weer. P is het break-even punt. Bij een afzet, die m inder (meer) eenheden telt dan OA, w ordt verlies geleden (winst gem aakt).

Indien de ondernem er precies w eet, welke hoeveelheid hij van een bepaald produkt kan afzetten kan hij calculeren o f deze afzet al dan niet winstgevend is. Op grond van deze berekening kan hij beslissen o f hij wel o f niet zal overgaan to t de pro d uktie van het artikel.

Meestal echter bestaat er geen zekerheid over de afzetm ogelijkheden. In dat geval is het voor de ondernem er belangrijk, dat hij weet bij welke omvang van de verkopen winst w ordt gem aakt. In Figuur 1 is dat een afzet, die meer eenheden telt dan OA. De ondernem er m aakt dan een subjectieve schatting van de kans op een dergelijke afzet. V eronderstel, dat hij deze kans schat op p%. Op grond van zijn bereidheid de kans, groot (100-p)%, te aanvaarden, dat hij verlies lijdt, beslist de ondernem er o f hij al dan niet zal overgaan to t de p roduktie van het artikel.

De analyse is in deze vorm slechts toepasbaar in twee gevallen. Ten eerste als de desbetreffende ondernem ing slechts één pro d u k t vervaardigt; ten tweede als de ondernem ing m eerdere pro d uk ten vervaardigt in vaste onder­ linge verhoudingen; deze p ro duk ten kunnen dan als één pro d u k t worden

beschouw d. De praktische betekenis van de break-even analyse is dan ook beperkt.

Toch is ook voor de ondernem ing, die m eerdere p ro dukten vervaardigt in veranderlijke onderlinge verhoudingen dezelfde vraag als bij de break-even analyse van belang. Een com plicerende factor is hier dat restricties kunnen gelden voor de p roduktie van de verschillende pro d u k ten , bijv. t.a.v. de hoeveelheid beschikbare arbeid o f de capaciteit van een produktie-installatie. Wel kan m et behulp van de lineaire program m ering worden vastgesteld, bij welke omvang en samenstelling van de produktie een maximale winst w ordt behaald, m aar in vele gevallen bestaat er onzekerheid over de afzetm ogelijk­ heden. Het is dan onzeker o f de gevonden optim ale hoeveelheden van de verschillende pro du kten ook inderdaad kunnen worden afgezet.

O ok in dit geval is het dus van belang, dat w ordt bepaald, bij welke omvang en samenstelling van de verkopen noch verlies w ordt geleden, noch winst w ordt gem aakt. Op grond van zijn schatting van de kans, dat de ver­ kopen zullen vallen in dit ,,niet-verlies-gebied” kan de ondernem er een beslis­ sing nemen. In het volgende zal w orden nagegaan hoe m et behulp van de lineaire program m ering een dergelijk gebied kan w orden gevonden.

2 Methode bij onzekerheid over de afzetmogelijkheden van alle produkten

In deze paragraaf w ordt aan de hand van enkele voorbeelden nagegaan hoe men voor het geval van m eerdere prod u k ten een gebied kan vinden, dat alle afzetkom binaties om vat, die geen verlies opleveren. Er w ordt verondersteld, dat er onzekerheid bestaat over de afzetm ogelijkheden van alle produ kten . A . Twee p ro d u k te n

Een ondernem ing produceert twee artikelen, die we A en B zullen noem en. De resp. verkoopprijzen van A en B zijn ƒ 5,— en ƒ 3 ,—. De variabele kosten per eenheid bedragen resp. ƒ 2,— en ƒ 1,—. In verband m et de beperkte capa­ citeit van twee van de produktiem iddelen, die bij de produktie worden ge­ bruikt, zijn de te produceren hoeveelheden A en B, aan te duiden als x, en x 2 , onderw orpen aan de nevenvoorw aarden:

r X] + 2x2 40, (1) I 2x] + x 2 ^ 50,

I X, , x 2 > 0.

Anders geschreven na invoering van de spelingsvariabelen y) en y 2 : X, + 2x2 + yi = 40,

(2) 2x| + x 2 + y 2 = 50, . x, , x 2 , y, , y 2 2? 0.

Deze nevenvoorw aarden w orden weergegeven door de lijnen GP en HP in Figuur 2. H et gebied waarin aan deze nevenvoorw aarden is voldaan is OGPH. Er zullen drie verschillende gevallen w orden beschouw d:

(3) 3x] + 2 x 2 = 78

nul bedraagt. We zoeken daarom alle kom binaties van X| en x 2 , die voldoen aan het stelsel:

1

-3x, - 2x2 + y 3 = -78, X, , x 2 , y, , y 2 ^ 0,

y.i = 0.

In dit geval zijn alleen die oplossingen interessant, waarin y , = 0 ; in term en van lineaire program m ering: H et gaat alleen om die oplossingen van het stelsel, waarin y 3 niet in de basis zit. Imm ers alleen dan geldt vergelijking (3), alleen dan is dus de w inst gelijk aan nul. H et gaat im m ers om het zoeken van die kom binaties van x, en x2 , die het tw eedim ensionale equivalent zijn van punt P in Figuur 1.

Een m ethode om alle extrem e waarden van een stelsel vergelijkingen te vinden is de lexicografische variant van de teruggaande S im plexm ethod e. Om te kunnen bereiken, dat alleen de extrem e p u n ten w orden gevonden, waarin y3 de waarde nul heeft, w ordt op het stelsel (4) eerst de Sim plexm ethode toegepast. Dit w ordt weergegeven in Tabel I. Zodra y 3 positief dreigt te w orden, w ordt deze spelingsvariabele uit de basis verw ijderd; y 3 w ord t ver­ der genegeerd, om dat een terugkeer van deze variabele in de basis zonder zin is. Het dan gevonden tableau, tableau 1-2, kan w orden beschouw d als begin- tableau voor de toepassing van de lexicografische variant.

TABEL I. EERSTE VOORBEELD

25 15

Figuur 2. Twee pro d u k ten , tw ee nevenvoorw aarden

De onderstreepte getallen zijn de spilelem enten van de transform aties. In Tabel I vinden we twee extrem e pu n ten , de p u nten A en B in Figuur 2. In vectorvorm kunnen deze w orden weergegeven door:

In dit geval m et twee p ro du k ten kunnen deze p u n ten ook rechtstreeks w or­ den gevonden do or de lijn (3) te snijden m et de nevenvoorw aarden (2).

Iedere kom binatie van X! en x 2 waarvan de grafische voorstelling een punt is op de lijn door A en B voldoet aan de vergelijking (3). De verkoop van een dergelijke kom binatie leidt dus to t het o ntstaan van een w inst, die gelijk is aan nul. Ieder p u n t op de lijn (3) dat ligt tussen de p u n ten A en B kan w orden geschreven als:

(5)

xö + (1'x)

Iedere kom binatie van verkochte hoeveelheden van de produkten A en B die, bij geschikte keuze van X, kan w orden geschreven als:

0 <; X ^ 1, a,b > 0,

w ordt in Figuur 2 voorgesteld do o r een p u n t in het gearceerde gebied. Dit gebied om vat alle kom binaties van x! en x 2 die zonder verlies kunnen w or­ den verkocht. Ieder punt rechts van de lijn (3) geeft een kom binatie van x, en x 2 aan, die bij verkoop een w inst oplevert. Maar wegens de beperkingen, die aan de prod u ktie zijn opgelegd zijn alleen de punten in het gearceerde gebied van belang. De punten A en B in Figuur 2 geven de uiterste m ogelijk­ heden aan van een afzet die noch w inst, noch verlies oplevert. H et gearceerde gebied w ordt enerzijds begrensd do or een horizontale lijn uit B (bij de m inimaal mogelijke x2 w ordt m eer x, verkocht), anderzijds door een verti­ cale lijn uit A (bij de m inimaal mogelijke X! w ord t m eer x 2 verkocht).

Op grond van zijn schatting van de kans, dat de verkopen in het gearceerde gebied zullen vallen, beslist de ondernem er. Evenmin als dat in de break-even analyse het geval is w ordt hier verder nagegaan welke van de desbetreffende kom binaties inderdaad kunnen w orden geproduceerd. De break-even analyse beantw oo rdt alleen de vraag, welke omvang en samenstelling van de pro d u k ­ tie leidt to t het o ntstaan van een w inst, die groter is dan o f gelijk aan nul. Geval 2. V eronderstel, dat de vaste kosten ƒ 60,— bedragen. D at im pliceert, dat iedere afzetkom binatie waarvoor geldt:

(7) 3x] + 2 x2 = 60

een winst oplevert, die nul bedraagt. H et op te lossen stelsel is in dit geval:

!

2x, + x 2 + y 2 = 50 -3x, — 2x2 + y 3 = -60

x, , x , , y l , y 2 ^ 0

y.\ = 0.

Uit een vergelijking van de verhoudingsgetallen -j2 , en in tableau II-O blijkt, dat y 3 p o sitief w ordt als x, in de basis w ordt gebracht in plaats van y, o f y2. y 3 m oet dus uit de basis w orden verw ijderd en w orden vervangen door X] ; y 3 kan verder w orden genegeerd.

Tableau II-l kan w orden beschouw d als het begintableau voor de toepassing van de lexicografische variant.

Als extrem e punten w orden gevonden de p u n ten C en D uit Figuur 2. Punt D is het break-even-point, dat m en vindt, als men er a priori van uit

TABEL II. TWEEDE VOORBEELD Tableau no. B.V. W.B.V. Xi X2 y i 40 1 2 II - 0 _{y j} 50 2 1 y s -60 -3_ -2 y s x 2 y i 20 u _ II - 1 y 2 10 - 11 Xi 20 23 y s y> x 2 15 34 II - 2 _{y 2} 15 41 Xi 10 1

;aat, dat alleen p ro d u k t A w ordt geproduceerd. Iedere afzetkom binatie die, >ij geschikte keuze van X, kan w orden geschreven als:

(9)

1 0\

1 5 / + ('-M

0 < 1, a, b, ^ 0;

levert een w inst op, die groter is dan o f gelijk aan nul. In Figuur 2 worden deze kom binaties weergegeven door punten in het gebied rechts van de lijn ICD en boven de x, -as.

Geval 3. V eronderstel, dat de vaste kosten ƒ 30,— bedragen. D at im pliceert, dat de verkopen van p ro d ukt A en B, w aarvóór geldt:

(10) 3x, + 2x2 = 30

leiden to t het ontstaan van een winst nul. Het op te lossen stelsel is nu:

!

2x, + x 2 f y 2 = 50 -3x, — 2x2 + y 3 = -30

xi , x 2 , y, , y 2 > 0 ys = 0

TABEL III. DERDE VOORBEELD Tableau no. B.V. W.B.V. Xl x 2 y> 40 1 2 Ill - 0 _y* 50 2 1 ys -30 -_3_ -2 ys x 2 yi 30 III - 1 _{y 2} 30 - 3 Xi 10 25 ys X] y< 10 -2 III - 2 y 2 35 21 x 2 15 i i

pro d u k t B w ordt geproduceerd. Dan kom t ech ter niet naar voren, dat ook iedere lineaire kom binatie van E en F een break-even pu n t is. Iedere afzet- kom binatie die, bij geschikte keuze van X, kan w orden geschreven als:

(12)

x(o) + (1-x)

0 < X < 1, a, b > 0,

leidt to t het o ntstaan van een w inst, die groter is dan o f gelijk aan nul. In Figuur 2 w orden deze kom binaties aangegeven door de punten in het gebied rechts van de lijn GEFH boven de X! -as.

B. M eer dan Twee P rodukten

De bovengenoem de m ethode kan ook w orden toegepast in gevallen m et drie o f m eer p rod uk ten, waarin onzekerheid bestaat over de afzetm ogelijkheden van al die produk ten . Men vindt als extrem e p u n ten van h et stelsel m eerdere punten, die afzetkom binaties aangeven, waarvan de w inst gelijk is aan nul.

V eronderstel, dat een ondernem ing vier p ro du kten pro du ceert, die we A, B, C en D zullen noem en en waarvan de respectieve hoeveelheden worden aangeduid als X] , x 2 , x 3 en x4 .

De pro du k tie is onderw orpen aan twee nevenvoorw aarden, weergegeven door de eerste twee vergelijkingen van het op te lossen stelsel (13). De doelstel- lingsfunctie is de derde vergelijking van het stelsel; deze functie w o rd t gelijk gesteld aan de vaste kosten, die ƒ 56,— bedragen. H et op te lossen stelsel is:

(13) X) + x 2 + x 3 + x 4 + y, = 18, 2x3 + 3x4 + y 2 = 6, -3x, - 4x2 — 5x3 — 6x4 + y 3 = - 56, x, ,x2 ,x3 ,x4 ; y, , y 2 > O, y 3 = o.

Als de behandelde m ethode w ordt toegepast op dit stelsel, w orden er acht extrem e p u n ten gevonden, waarbij y 3 niet in de basis zit. Dan zijn er dus acht kom binaties van x, ,x2 ,x 3 en x4 , waarvan de afzet een w inst nul op ­ levert. Als men de gevonden p unten w eergeeft door de vectoren p, , p 2 , . . . , p8 , w ordt iedere kom binatie van verkopen van de vier p rodukten , die niet leidt to t het on tstaan van een verlies beschreven door:

!

H et gevonden resultaat is wel ju ist, m aar te onoverzichtelijk om nog prak­ tisch bruikbaar te zijn. Dit d o et niets a f aan de theoretische juisth eid van de m ethode; de m ethode lijkt echter alleen praktisch bruikbaar te zijn in geval­ len m et twee o f drie p rodukten.

H et aantal nevenvoorw aarden kan in de gevallen van twee p ro d u k ten zo n­ der bezw aar w orden uitgebreid. In dit geval verandert de overzichtelijkheid van de resultaten niet. H et aantal snijpunten van de lijn: „Doelstellings- functie = Vaste k o ste n ” m et het gebied, waarin aan de nevenvoorw aarden is voldaan blijft, ongeacht het aantal nevenvoorw aarden, twee.

3 Gemengde gevallen met meerdere produkten

Het is denkbaar, dat een ondernem ing niet over de afzetm ogelijkheden van al haar p ro d ukten in onzekerheid verkeert. Men heeft dan te m aken m et gevallen, waarin de p ro d ukten in twee groepen uiteenvallen. In de ene groep, groep I, treft men de p ro d ukten aan, waarvan de afzetm ogelijkheden onzeker zijn; de tweede groep, groep II, om vat de p ro d uk ten, waarvan de afzetm o­ gelijkheden bekend zijn: Men weet precies de m aximale afzet, o f m en weet, dat m en in ieder geval meer kan afzetten dan man kan produceren.

w orden nagegaan, hoe de gevallen, waarin onzekerheid bestaat over de afzet van drie o f m eer p ro du k ten m oeten w orden behandeld.

A. Gem engde gevallen m et één p r o d u k t in groep I

In het geval van twee p ro d u k ten dat werd behandeld, kan m en veronder­ stellen, dat de onderm eer w eet, dat van p ro d u k t A meer eenheden kunnen w orden afgezet dan er kunnen w orden geproduceerd. In dat geval is voor de ondernem er een relevante vraag: „Hoeveel eenheden m oeten er van pro du kt B ten m inste w orden verkocht, op d at er geen verlies w ordt geleden? ” Als deze vraag is beantw oord kan de ondernem er de kans dat inderdaad zoveel eenheden van pro du kt B w orden afgezet, schatten. Op grond van zijn bereid­ heid het risico van verlies te aanvaarden, kan de ondernem er dan een beslis­ sing nem en.

Men kan in dit geval op dezelfde m anier te werk gaan als in de voorgaande paragraaf. Aan de nevenvoorw aarden, die aan de produktie zijn opgelegd voegt m en de voorw aarde toe, dat de waarde van de doelstellingsfunctie gelijk is aan de vaste kosten. Oplossing van dit stelsel geeft de extrem e punten. Maar niet alle gevonden extrem e p un ten zijn relevant. Sommige van deze punten bepalen de m inimaal vereiste afzet van prod uk t A. Maar aan dit gegeven bestaat geen behoefte, om dat er geen onzekerheid over de afzet van A bestaat. Er m oet dus een m ethode w orden gevonden, waarvan de toepas­ sing to t gevolg heeft, dat alleen de relevante extrem e punten w orden gevon­ den.

Voorbeeld 1. We beschouw en weer het voorbeeld m et twee p ro d u k ten , waar­ in de vaste kosten ƒ 7 8 ,— bedragen. V eronderstel, dat van pro d u k t A bekend is, dat er m eer kan w orden afgezet dan 25 eenheden; (25 is het m aximaal te produceren aantal eenheden). Over de afzetm ogelijkheden van p ro d u k t B bestaat onzekerheid. Bij toepassing van de m ethode van paragraaf 2 worden als extrem e p u n ten gevonden de p un ten A en B uit Figuur 2.

Maar pu n t A is niet relevant. In pu n t A w o rdt de m inim aal vereiste X! bepaald, terwijl x 2 hier groter is dan in p u n t B. Bij het oplossen van het stelsel (4) gaat het alleen om het vinden van de m inimale x 2 . Dus m oet in het stelsel (4) x2 w orden gem inim eerd. H et resultaat zal uiteraard p u n t B zijn (x2 = 6).

In de eerste plaats w ordt op het stelsel (4) de Sim plexm ethode toegepast. De variabele, die straks m oet w orden gem inim eerd w ordt eerst in de basis gebracht. Daarna w ordt de Sim plexm ethode toegepast to t y 3 uit de basis is verdw enen; y 3 w ordt verder genegeerd. Tableau IV-3 is een herschrijving van tableau IV-2, zo, dat de x 2-rij de onderste rij is. Tableau IV-3 is het begin- tableau van een m inim eringsprobleem m et x 2 als doelstellingsfunctie. O m dat y 3 niet in de basis zit en ook niet in de basis zal kom en, w orden alleen de extrem e p u n ten gevonden, die afzetkom binaties weergeven, die leiden to t het ontstaan van een w inst nul. Van deze p u n ten vindt m en dan wegens de m inimering van x2 dat p u n t, dat de m inimale x 2 bevat.

TABEL IV. GEMENGD GEVAL; EERSTE VOORBEELD T a b l e a u n o . B . V . W . B . V . _{X l x 2} 4 0 1 2 I V - 0 _{y 2} 5 0 2 1 y a - 7 8 - 3 - 2 x i y > x 2 2 0 1 2 21 I V - 1 y a 3 0 U 1 " 2 y a - 3 8 i y a y i x 2 1 0 è 3* I V - 2 y a l è 1 * X i 1 9 1 ' 2 y a y i y 2 1 } ?1 I V - 3 X i 1 9 - 1 x 2 1 0 1 *3 y a y a y > 6 4 I V - 4 _{X i} 2 2 2 x 2 6 - 3

In dit geval is x2 m inimaal in tableau IV-4. H et in de basis brengen van y 2 doet de waarde van x 2 toenem en. De eis voor ieder afzetprogram m a, dat geen verlies oplevert is dus:

(15) x 2 > 6

Er m oet worden opgem erkt, dat hier sprake is van een minimerings- probleem , waarin de doelstellingsfunctie zelf niet negatief mag w orden, zon­ der dat dit expliciet in het tableau is vermeld. De konsekw enties hiervan kom en in het volgende nog ter sprake.

Voorbeeld 2. Een ondernem ing produceert vier artikelen, die we A, B, C en D zullen noem en; de hoeveelheden van deze p ro d u k ten zullen w orden aange­ duid als x , , x 2 , x 3 en x4 . H et produktieproces is onderw orpen aan de nevenvoorw aarden:

I

Deze nevenvoorw aarden im pliceren, dat van de vier produkten m aximaal 18, 18, 3 en 2 eenheden kunnen w orden geproduceerd. Er w ordt verondersteld, dat de ondernem ing de zekerheid heeft dat van de p ro d u k ten A, C en D meer eenheden kunnen w orden afgezet dan er m axim aal kunnen worden gepro­ duceerd. H et is echter onzeker hoeveel eenheden van p ro d u k t B kunnen w orden afgezet.

Gegeven is, dat de grootheid „Prijs m inus Variabele Kosten per eenheid” voor de p ro du kten A, B, C en D bedraagt ƒ 3,—, ƒ 4 ,—, ƒ 5,— en ƒ 6 ,—. De vaste kosten bedragen ƒ 7 2 ,—. H et op te lossen stelsel is dus:

f x t + x 2 + x 3 + x4 + y, = 18,

(17) ,[ -3xx — 4| x2 — 52xx3 + 3x.,3— 6x4 +

y-i

x, , x 2 , x 3 , x 4; y. ,

yi

l y 3 = 0. ,

In Tableau V-0 w ord t de variabele, die straks m oet w orden gem inim eerd in de basis gebracht; deze variabele is x 2 .

y 3 verdw ijnt uit de basis en w ordt verder genegeerd. Tableau V -l is het begintableau voor de m inim ering van x 2 . In de basis w ordt gebracht de variabele m et de hoogste positieve waarde in de x 2 -rij, i.c. x 4 . In tableau V-3 zijn er geen positieve elem enten m eer in de x 2 -rij aanwezig; x 2 is minimaal. De eis voor ieder afzetprogram m a, dat geen verlies geeft is dus:

(18) x 2 > 12

TABEL V. TWEEDE GEVAL; TWEEDE VOORBEELD

Het kan voorkom en, dat de variabele die m oet w orden gem inim eerd - noem deze xj^ - tijdens het m inimeringsproces negatief w ordt. Zodra men bij een iteratie b em erkt, dat dit het geval is kan men de berekeningen staken, mag niet negatief w orden; de minimale waarde van x^, die toelaatbaar is, is dus nul. De eis voor ieder afzetprogram m a, dat geen verlies oplevert is dus: (19) x, > 0.

k

Nu zal w orden aangegeven, welke de algemene regels zijn voor gevallen m et één prod u k t in groep I. Een ondernem ing vervaardigt n p ro du kten , waarvan de hoeveelheden zullen w orden aangeduid als x, , x 2 . . . , x^, . . . , x n . De produktie is onderw orpen aan de nevenvoorw aarden:

(20) X + a x + . . . + a x, + . . . + a X + y = b , 11 1 12 2 Ik k ln n ' l ï ’ X + a x + . . . + a x. + . . . + a x + y = b , 21 1 22 2 2k k 2n n 1 2 2’ a x + a x + . m l 1 m2 2 ' ' + am kXk + ‘. . + a mn nx + y m = b m x , x , . . 1 2 . . , x k , . . . , x n ; y i ’ y 2 - 3 IV o

Er w ordt verondersteld, dat voor de pro d u k ten , waarvan de hoeveelheden w orden aangeduid als X! , x 2 , . . . , xjc_j, . . . , x n geldt, dat de in ieder geval mogelijke afzet, aangeduid als C i, c2 , . . . , e k _ i , 0^+ j , . . . , cn , groter is dan o f gelijk aan het m aximale aantal eenheden dat van deze pro­ d u kten kan w orden geproduceerd:

( 21) c > MIN

j i

i= 1 , 2 , ... m,

j = 1,2, . . , k —l , k + 1, . . . , n. Over de afzetm ogelijkheden van het p ro d u kt, waarvan de hoeveelheid w ordt aangeduid als xj, bestaat onzekerheid. De grootheid „Prijs m inus Variabele Kosten per eenheid van pro d u k t j ” bedraagt p:. De vaste kosten bedragen ƒ k , - .

De te volgen gedragslijn is dan:

I. Zet op het opzettableau voor het stelsel vergelijkingen (20), waaraan zijn toegevoegd de vergelijkingen:

(22) p x — p x

K1 1 r 2 2 PkXk • - P n n x + y = p — k,

(23) y = 0.

P

lil. Beschouw het gevonden tableau als het begintableau van een toepassing van de Sim plexm ethode voor een m inim eringsprobleem m et xj, als doelstel- lingsfunctie. Zoek van dit probleem de optim ale oplossing:

a. Als de minimale waarde van x^ - noem deze q - positief o f nul is, is de eis voor ieder afzetprogram m a, dat geen verlies oplevert:

(24) x k > q .

b. Als tijdens het m inim eringsproces de waarde van x^ negatief w ordt, k u n­ nen verdere berekeningen achterw ege blijven. De eis voor ieder afzetprogram ­ ma, dat geen verlies oplevert is dan:

(25) x > 0. K

B. Gem engde gevallen m et twee p ro d u k te n in groep I

Als er twee produkten zijn, waarvan de afzetm ogelijkheden onzeker zijn, zijn alleen die extrem e p unten van het desbetreffende stelsel vergelijkingen rele­ vant, die voor m instens één van beide p ro d u k ten een afzet vereisen, die kleiner is dan de vereiste afzet van dat p ro d u k t bij de andere extrem e punten van het stelsel. Dit kan w orden verduidelijkt aan de hand van Figuur 3. Het b etreft hier een geval, waarin de p ro d u k ten 1 en 2 to t groep 1 behoren, terwijl alle andere produkten to t groep II behoren. Als het stelsel op de aangegeven m anier w ordt opgelost worden alle extrem e punten gevonden. De punten A, B, C, D, E en F in Figuur 3 zijn de grafische weergaven van de waarden van x, en x 2 in deze extrem e punten. Dan zijn alleen de punten A, B en C relevant. Bij de andere p u nten beh o ort een grotere afzet van het eerste produkt e n /o f van het tw eede p rod u kt; en het gaat er immers om de minimale afzet van deze twee pro d uk ten te bepalen, waarbij geen verlies w ordt geleden.

H et heeft dan geen zin de niet-relevante extrem e p u nten te bepalen. Dit kan w orden b ereikt door m inim ering van de param etrische doelstellings- functie:

(26) g' = X, x, + X2 x 2 ,

onder de nevenvoorw aarden van het stelsel vergelijkingen, w aaruit de break- even-punten w orden bepaald. Imm ers, als m en de doelstellingsfunctie (26) m inim eert door param etrische program m ering toe te passen voor 0 < ^i, X2 < 00 vindt m en de p u n ten links onder in Figuur 3. Men kan de doelstellingsfunctie (26) ook schrijven als:

g' X 2

(27) g " = f - = x > +_{A| Al} ofwel

(28) g = x, + Xx2 ( 0 < X < - ) .

Voorbeeld. Een ondernem ing produceert 3 p ro du kten , die we A, B en C zullen noem en: de hoeveelheden van A, B en C w orden aangeduid als X! , x 2 en x 3 . H et produktieproces is onderw orpen aan de nevenvoorw aarden:

( x, + 2x2 + 2x3 < 40 (29) | 2xi + x 2 + x 3 < 50 V -X] i X 2 , x 3 ^ 0

Van de drie p ro du kten kunnen dus m axim aal respectievelijk 25, 20 en 20 eenheden w orden geproduceerd. Er w ordt verondersteld, dat de onder­ neming de zekerheid heeft, dat van pro d u k t C in ieder geval m eer dan 20 eenheden kunnen w orden afgezet. Over de afzetm ogelijkheden van de p ro ­ d u k ten A en B bestaat onzekerheid. De grootheid „Prijs minus Variabele Kosten per eenheid” bedraagt voor A, B en C respectievelijk ƒ 3 ,—, ƒ 2 ,— en ƒ 1,—- De vaste kosten bedragen ƒ 7 8 ,—. H et probleem dat m oet w orden

opgelost is dus: M inimeer g = X] + Xx2 . O nder de nevenvoorw aarden: ! x, + 2x2 + 2x3 + y, = 40,

2x] + x 2 + x 3 + y 2 = 5 0 ,

-3x, - 2x2 - x3 + y 3 = -78, x, , x 2 , x 3; y, , y 2 > 0, ys = 0.

Tableau VI-2 is het begintableau voor de oplossing van dit param etrische m inim eringsprobleem . De elem enten in de doelstellingsfunctie zijn hier: — j + 1? X en - 2+ ? X . Deze elem enten zijn kleiner dan of gelijk aan nul voor respectievelijk X <L | en X < § . Tableau VI-2 is dus optim aal voor

0 <. X < | . In de basis w ordt gebracht de variabele, die h o o rt bij de m inimale waarde van het q u o tië n t van h et elem ent in de gc-rij enerzijds en m inus het elem ent in de gX-rij anderzijds voor negatieve elem enten in deze laatste rij; in tableau Vl-2 is dit dus x 3.

(31)

TABEL VI. GEMENGD GEVAL; DERDE VOORBEELD

Figuur 4. Gem engd geval m et tw ee p ro d u k ten in groep I.

19

In Figuur 4 geven alle p u n ten in het gearceerde gebied kom binaties van X! en x 2 weer, die leiden to t het o n tstaan van een w inst, die groter is dan o f gelijk aan nul. De x 2 -as in Figuur 4 is getekend m et een schaal, die twee maal zo groot is als de schaal van de X] -as, zodat duidelijk blijkt, dat de pu nten A, B en C niet op één lijn liggen.

Iedere afzetkom binatie van de p rodukten A en B, die kan worden geschre­ ven als:

(32)

Xi + X2 + X3 = 1, o < X, ,X2 ,X3 < 1, a,b > 0.

Nu zal w orden nagegaan hoe het algemeen geval m et twee pro du kten in groep I kan w orden opgelost. Een ondernem ing p roduceert n artikelen, waar­ van de hoeveelheden w orden aangeduid als: X! , x 2 , . . . , Xg, . . . , x^, . . . , xn . H et p roduktieproces is onderw orpen aan de nevenvoorw aarden:

(33) . x + a x + . . . + a x + . . . + a x + . . . + a x 11 1 12 2 _{] g g} Ik k l n n x + a x + . . . + a x + . . . + a , x, + . . . + a x 21 1 22 2 _{2g g} 2k k 2n n 2 2 + a x + . . . + a x + . . . + a x + . . . + a _{x + y = b} m m m2 2 _{m g g} mk k mn n , x 2 , . . . , x , . . . , x , . . g k . x ; y , y n 1 2 •• ym > 0.

Van alle p ro d u k ten , behalve de p ro d u k ten waarvan de hoeveelheden w or­ den aangeduid als Xg en x^, is bekend, dat de m inimaal mogelijke afzet - aan te duiden als cj voor p ro d u k t j - groter is dan o f gelijk aan het m aximale aantal eenheden dat kan w orden geproduceerd:

(34)

ai j > °

i = 1 , 2 , ... .. m.

j = 1,2, . . . , g, . . . , k, . . . n.

Over de afzetm ogelijkheden van de pro d uk ten g en k bestaat onzekerheid. De te volgen gedragslijn is dan:

I. Z et op het opzettableau voor de vergelijkingen van het stelsel (33), waar­ aan zijn toegevoegd de vergelijkingen:

(35) (36)

-p x — p x

H 1 r 2 2 P x -_{g g} PkXk p Xn n - k

0

II. Pas op het stelsel de Sim plexm ethode toe to t yp uit de basis is verdwe­ nen: yp w ordt verder genegeerd.

III. Beschouw het gevonden tableau als begintableau voor de oplossing van het probleem :

M inimeer Xg + Ax^, 0 < A < 00

onder de nevenvoorw aarden, gegeven in (33), (35) en (36).

IV. De tijdens het proces (III) gevonden pu nten zijn de relevante extrem e punten van het stelsel.

Geval C. G em engde gevallen m e t drie o f meer p ro d u k te n in groep I

Als groep 1 drie o f m eer p ro d u kten om vat, bijvoorbeeld q stuks, zal men een param etrische doelstellingsfunctie m oeten m inim eren m et q —1 param eters: (37) g= X +

1 X X + 2 2 + X X ,_{q q} o< X , X , - 2 3 X <_q

V oor param etrische program m ering m et m eerdere param eters zijn m ethoden ontw orpen, die echter tam elijk gecom pliceerd zijn.' )

Bovendien werd reeds geconstateerd, dat de gevallen waarin groep I drie o f m eer pro d u k ten om vat, resultaten opleveren, die weliswaar juist zijn, maar geen praktische betekenis hebben. H et is immers moeilijk, zo niet on m o ­ gelijk, in de praktijk een schatting te m aken van de kans, dat de afzet zal liggen in een bepaald gebied, als dit gebied meer dan twee dimensies heeft.

LITERATUUR

(1) A. Charnes and W. W. Cooper - Management Models and Industrial Applications o f Linear

Programming.

J. Wiley and Sons, New York and London, 1961.

(2) Y. Ijiri - Management Goals and Accounting fo r Control. North Holland Publishing Company, Amsterdam, 1965.

(3) C. van de Panne - Collegedictaten Programmeringsmethoden. Rijksuniversiteit Groningen,

196 7/68.