Eindhoven University of Technology MASTER De resonante gleuf als koppelelement tussen een rechthoekige- en een tweeplaats- golfgeleider de Brouwer, J.A.M.

64  Download (0)

Full text

(1)

Eindhoven University of Technology

MASTER

De resonante gleuf als koppelelement tussen een rechthoekige- en een tweeplaats- golfgeleider

de Brouwer, J.A.M.

Award date:

1966

Link to publication

Disclaimer

This document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Student theses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the document as presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the required minimum study period may vary in duration.

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.

• You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

(2)

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Afdeling Elektrotechniek

Groep Theoretische Elektrotechniek.

DE RESONANTE GLEUF ALS KOPPELELEMENT TUSSEN EEN RECHTHOEKIGE- EN EEN TWEEPLAATS-GOLFGE- LEIDER.

door

J.A.M.de Brouwer

Verslag Tan h~t afstudeerwerk Terricht in de groep THEORETISCHE ELEKTROTECHNIE}

l>ij

Prof.dr.ir.A.A.Th.M. Tan Trier.

ETA-,

20 januari

1966.

(3)

INHOUJ

bIz.

Inleiding

I Theorie van gleuven in een golfpijpwand.

I-I Algernene beschouwingen.

1-2 Rechthoekige gleuven in de brede zijde van een rechthoekige golfpijp.

1-2.1 gerekening van de co~ffici~ntenaOl en bOlo 1-2.2 Bepaling van de amplitude en fase van het elek-

trische veld in de Gleuf.

1-3

Transmissielijn-model van een golfpijp met een resonante gleuf in de brede wand.

1-3.1 Berekening van de elementen in het transmissie- lijn-model.

1-4

Opmerkingen en conclusies.

1

3

3

7 7

11

15

16

24

II Eigenschappen van een, tussen twee evenwijdige llaten

stralende, resonante gleuf. '26

II-I

II-2 II-3 II-4 II-5

II-6

E.1:.-velden tussen platen ten gevolge van E-veld in de gleuf.

Vermogen door gleuf uitgestraald.

Stralingsdiagram.

Transmissielijn-model.

Vergelijking met de eigenschappen van een resonante gleuf zonder platen.

Opmerkingen en conclusies.

27

33 34

39

43 46

Literatuur.

49

(4)

Inleiding.

In ~eel radar-eystemen wordt gebruik gelU.akt van "slotted waveguide"- antennes. Deze antennes best.an uit een rechthoekige golfpijp .et

in een van de wanden een zeker aantal gleuven. Hoewel de positie van

de gleu~en in principe willekeurig is, wordt in de praktijk hoofdza-

kelijk gebruik ge.aakt van longitudinale - en centrale gedraaide

gleu~en. De plaats waar de afzonderlijke gleuven moeten worden aange- bracht, wordt zodanig gekozen, dat een optimaal stralingsdiagram wordt verkregen (met optimaal is bedoeld: bij een gegeven zijlussen- niveau een minimale hoofdbundelbreedte). Zo zal het vermogen dat de eerete gleuf uitkoppelt zeer klein moeten zijn, hetgeen betekent,

dat de as van de gleuf nagenoeg samenvalt .et de hartlijn ~an de golf- pijp. In de praktijk zal de gleuf dan gedeeltelijk o~er d. hartlijn heenvallen, waardoor een juiste bepaling ~an de fase, ~an het

elektrische veld in de gleuf, zeer moeilijk wordt. We zouden dit pro- blee. kunnen omzeilen door de gleufbreedte zodanig te ~ariiren dat de gleuf juist niet over de'hartlijn van de golfpijp valt. De eerete Cen eventueel ook tweede en derde) gleuf moet dus smaller gemaakt worden. Hetzelfde kunnen we bereiken door het midden van de gleuf

te laten samenvallen met de hartlijn, terwijl de gleufas een bepaalde (kleine) hoek aaakt .et de hartlijn. Een nadeel van deze methode is echter dat de polariteit van het elektrische veld butten de antenne niet .eer gelijk is aan die ~an de daaropvolgende gleuven. De rich- ting van het elektrische veld in de gleuf zal namelijk ten ge~olge

van deze gleufverdraaiing over eenzelfde hoek draaien. We kunnen dit nadeel echter elimineren door aan debuitenwand ~an de golfpijp twee eV8nwijdige platen (evenwijdig aan de hartlijn van de golfpijp) aan

te brengen, waar~an de onder~inge afstand zodanig is gekozen, dat el- leen de "grondmode" tussen de pla ten lean propageren.

Bij het opt~liserenvan stralingsdiagrammen ~an gleufantennes wordt ook vaak gebruik gemaakt van ongelijke spatiering van de gleuven.

Als hinderlijke bijkomstigheid treden hierbij ongelljke fasesprongen op tussen de stralingsbronnen onderling.

(5)

-2-

B.t compenser.o hiervan is mogelijk door de gl.uven ov.r g.schikt.

a!standen loodrecht op de hartlijn t. v.rschuiv.n .n tev.n.· ••n hoekverdraaiing aan t. br.ng.n. Ook in dit g.val is h.t duid.lijk dat h.t aanbr.ng.n van bov.ng.noemd. plat.n g.wenst is.

De eig.nschappen van e.n rechthoekig. gl.u! in d. wand van .en rechtho.kig. gol!geleider zijn r •• ds geruim. tijd bekend (zi. o.a.

St.v.nson; litt. 1). In h.t eerste hoo!dstuk van dit rapport zullen d• •igenschappen van .en resonant~ gl.u! echter nogmaals, zij het op .en andere mani.r, worden a!geleid. Bet nut van dit - in teite overbodige - werk is, dat w. een methode voorhanden hebb.n, waar- m.e w. tev.ns de eigenschappen van .en tussen twee .v.nwijdige plat.n stral.nd. r.sonant. gleut kunnen bepal.n. Bierm.e hebben w. due een m mogelijkh.id om onz. r.sultant. te vergelijken.

Voor het ontwerpen van een gleutantenne zijn d. volgende groothed.n - als !unctie van de positie van de gleut in de goltpijpwand .n als tunctie van d. amplitude, tase .n trequ.ntie van het voedende signaal- van belang:

1. Fas. en amplitude van h.t el.ktrische veld in de gleut.

2. Bet door de gleu! uitgestraald. vermogen.

3.

D. retlectie- .n transmissi.-coetticient.n ten gevolge van de gleu!.

In het volgende zullen dez. groothed.n voor zow.l .en resonante gleut zonder - als voor .en resonante gleut m.t platen word.n b.- paald.

(6)

Hoofdstuk 1.

Theorie van gleuven in een Rolfpijpwand.

1. Algemene beschouwingen.

We gaan uit van een golfpijp met willekeurige doorsnede, uniform in de z-richting. In de wand van deze golfpijp bevindt zich op de plaats z • z een opening van willekeurige vorm.

o

In het algemeen zullen de elektromagnetische golven, die in de golfpijp propageren, een bepaalde veldverdeling over de opening opbouwen. In de pijp zullen dan, ten gevolge van deze veldverde- ling (op te vatten ale stralingsbron) elektromagnetische golven ontstaan, die zich in de pijp in de + en - z-richting zullen voort- planten. Tevena zal de bron ook energie in de ruimte buiten de golfpijp uitzenden.

De in de golfpijp opgewekte velden zijn voor te stellen door de som van een oneindig aantal propagerende en uitdempende normale golfpijpmodi met verschillende amplitude.

We kunnen deze velden dus schrijven als:

1+ .%:. a E+

~

m m-m

z

">

z0

.n+

• z:..

m am-mH+

! -

z:..

b E

-

}

m m-m

z

<

Zo H-

z:.

b H

-

m m-m

(la)

(lb)

+ + - -

Hierin zijn E ,H ,reap. E ,H de transversale veldcomponen-

- m - m - m - m

ten vaneen in do poaitieve, resp. negatieve z-richting, propage- rende normaIe golfpijpmode met rangnummer m.

Voor de berekening van de amplituden a en b maken we gebruik van

n n

het theorems van Lorentz. Zoals bekend, luidt dit voor twee velden

(7)

-4-

die voldoen aan de homogene veldvergelijkingen van Maxwell.

(2 )

Toepassing van (2) op een volume V met rand S geeft met behulp Tan het theorema van G~uss:

~\

<!l x

11

2 -

1

2 x 1!1) •.!l dS • 0

5

(~)

Het oppervlak S 1s een w11lekeurig gesloten oppervlak, waarb1nnen zich geen brollnen bevinden; .!! i8 de normaalvector op S, naar buiten ger1cht.

In ons geva1 nemen we Toor S, het oppervlak dat gevormd wordt door de wand van de golfpijp en de vlakken Sl en S2 loodrecht op de as Tan de pijp. De v1akken Sl en S2 worden bepaa1d door

zl

<

Zo en z2) Zo (z1e tiguur 1).

Fig. 1.

Ste1 nu het Te1d !2' l!2 gegeven door een in de poeitieve z-rich- ting propagerende norma1e mode n, terwij1 het veld !1' ~1 het, door de ve1dverdeling over de gleuf opgewekte, onbekende veld voor- ste1t. DuSI

E+

- r

z

!2

- n • e-n e n

- H+

- r

z

l!2

• h n

- n -n e

(8)

- r

z

! l • E+

• z...

m

en:

-

m am-m0 e

1

- r

z z

>

Zo

lh

• l!+

. z

a h e m

m m-m

+

r

z

}.<

! l • E

- .E-

b e e m

m m-m

+

r

z z0

11

1 .~

- z..

b h e m

m m-m

De amplitude b voIgt dan uit de verge11jking:

n

K<!-

X - nH+ - E+- n X .!!-) • 11 da +

~~<!+

x H+- n - - n!!;n+ X

l() en

da -to

S.

+ wand

~\ C~l

x n+- n

- !

+n x .!!l)S~

• .s

da • 0

ot:

- 2 bn (()\

.in

x

l!n • !.z

da· wand

~~

(§l x

lt

n - !+n x l!l)

en'

da

5,

~ • eenheidsvector in de z-richt1ng

11' • normaalvector op de wand, naar b1nnen w1jzend.)

het veld van een mode 1n de pijp zonder opening overal op de wand (duB ook dat Btuk van de wand, de opening) gelden:

Aangez1en E+

- n voorstelt, sal 1ngenomen door

!

+n x.!!l • ll' • 0 (wanden van de golfp1jp z1jn perfekt gele1dend) De b1jdrage tot de integraal van ], n x.!!l •+ A' 1~ dUB overal nul.

De b1jdrage van ! l x '!!+n •

en'

1s ook overal nul, behalve over het oppervlak, ingenomen door de open1ng. net veld

li

l voldoet 1mmers overal aan de randvoorwaarde ll' x!l •

21

met u1tzonder1ng van de open1ng, waar!l een bepaalde waarde heett.

Ret reaultaat 1s dUBI

. --

S1

n ·ll'da

(9)

-6-

De berekening van a is analoog aAn die van b • Voor het veld

n n,

!2'

~ nemen we nu echter een in de negatieve z-richting propa- gerende mode. Het veld ! l '

li

l , opgewekt door de veldverde11ng over de spleet 1s hetzelfde ala in het voorgaande.

Voor an Tinden we dan:

2 a (5)

n

) \ !

I x

l(

n • .EI da

opening

De uitdrukkingen voor an en bn kunnen ook anders geachreven wor- den. We stellen hiertoe (zie figuur I):

_n' -"'[" x a - -z

I 2 an - -

S

n Uitgeschreven geeft dit:

Ci +

r

z

-)\ (Elor hnz + Elz hn-c ) e n. da gleuf

(6)

2 bn

- -

met: S

n

- \\ .!n

c/>

pij P

x h -n • a

z de.

Uit (6) en (7) blijkt, dat indien het elektriache veld in de opening bekend is, de in de golfpijp opgewekte velden ook bekend zijn. De volgende stap is due de bepaling van d1t elektrische veld. Het is echter zeer moeilijk, zo niet onmogelijk, om hiervoor een algemene uitdrukking te vinden. Voor openingen met een be- paalde vorm (b.v. smalle gleuven) is het echter weI mogelijk om

een vrij nauwkeurige benadering van de grootte van het elek- trische veld te vinden.

(10)

2. Rechthoekige gleuven in de brede zijde van een re~hthoekige

golfpijp.

De eigenschappen van een gleuf in een rechthoekige golfpijp zijn reeds enige tijd bekend. Speciale aandacht werd san dit Hoort openingen besteed door Watson en Stevenson. ~ij ontwikkelden een fundamentele theorie, gebascerd op de veldvergelijkingen. Door Watson werd gevonden dat het elektrische veld in de gleu! bij be- nadering sinusoidaal is, en nul aan de uiteinden van de gleu!. Voor de berekening van het veld maakte hij gebruik van een vereenvoudigd model met de volgende eigenschappen:

1. De breedte van de gleuf is klein ten opzichte van de lengte.

1 ~

In !ormule: 2 log (-) ~ 1 w

(1 • lengte van gleuf;

w • breedte van gleuf)

2. De wand van de golfpijp, waarin zich de glauf bevindt, kan on- eindig groot gedacht worden (randen hebben geen invloed op de velden buiten de pijp).

3.

De golfpijpwand is oneindig goed geleidend en van verwaarloosba- re dikte.

4.

De gleuf is ongeveer een halve golflengte lang (eerste reeonan- tielengte) •

5.

In de golfpijp propageert aIleen de TEOl-mode.

In het volgende zal van de door Watson en Stevenson verkregen re- sultaten dankbaar gebruik gemaakt worden.

2.1. 3erekening van de coefficienten aOl en bOlo

In de literatuur wordt vaRk gesteld, dat een gleuf resonant ie, indien de gleuf in een transmissielijnmode1 voor te stellen ie als een reele impedantie. Dit betekent, dat de reflectie-coefticient ter plaatse van de gleuf een reele waarde heett. Voor een uit de hartlijn van de goltpijp geplaatste en gedraaide gleut kunnen we

(11)

-8-

deze definitie niet handhaven, aangezien de reflectie-coefficient ter plaatse van de gleuf in dat geval niet meer reeel is.

Uit de publicaties van 'Hatson en 'Stevenson is gebleken, dat een andere detinitie meer voor de hand ligt. We kunnen namelijk stel- len, dat een gleuf resonant is, indien de gemiddelde elektrische - en magnetische reactieve energie gelijk zijn; het imaginaire deel van de complexe pointing-vector is dan nul. Er wordt dus in dat geval geen reactieve energie opgenomen, hetgeen voor bijv. een longitudinale gleuf in een trpnsmissielijnmodel een zuiver

reEne impedantie betekent. Bovenstaande detini tie 'V'm resonantie houdt in, dat we bij de berekening van de amplitude en fase van het sinusvormige elektrische veld in de gleuf, aIleen rekening

. .-

behoeven te houden met energ~e-propagerende velden. Dit is dUB aIleen geldig, indien we resonr,nte gleuven beschouwen. In het vol- gende zullen we ons echter beperken tot resonante elenven.

Beachouw een rechthoekige golfpijp met afmetingen a en b in x reap. y richting, en cneindig lang 1~ -z en +z richt1n,-. In de wand ~nn de r1Jp ~~~1~1t z1ch ter plaatse z • 0 een, over een hoek

~ gedraaide, gleuf (zie figuur 2).

6

x

Fig. 2.

(12)

Zoals door Watson reeds werd aangegeven, vcldoet het elektrische veld in de gleuf aan de vergelijking:

voor (8)

v

o

met ~de amplitude van het elektr1sche veld in het midden van

>.

de gleuf, en 1~ - •

'1

Het E-veld, in het v1ak x • 0, is overal buiten de gleuf gelijk aan nul (zie

3,

op bIz.

7 ).

Nemen we san dat aIleen de TEOl-mode in de gclfpijp kan propageren, dan zijn aIleen de coefric1enten &01 en bOl van ~e1ang.

De verge lij kingen (6) en (7) gaan dan over in:

2 &01 SOl • - )\ (E"'lT hOlz + Enz z

hOl~

) ej

~

Z da

gleut

(10)

Stel dat de goltpijp gevoed wordt met een in de positieve z-rich- ting propagerende TEOl-mode met amplitude A.

De magnetische velden h

Olz en hOI ter pleatse van de gleut worden dan gegeven door:

Tr 1ly

• hOly • A ~ j ~ sin ~ A'" 2 1f"

- A (~) COB ~

Verder kunnen '''e de grootheden En'll: en E.,z nog 'schrijven ale:

E'''IT • E '1 C08 {7

Hiermee zijn de integralen (9) en (10) dus geheel bepaald.

( 11)

(12)

(13)

-10-

Het resultaat is:

V A-

. - -

ob

metI

~.

; : cos &

~

cos

~y

I( B) - j sin

~~

J(&-) }

o

+-¥

0 sin ~{ cos

Y:L

b J(9) j sin 'Trb

Y

I( C9 )

f

(15)

.-

I( &-)

} .

cos ~~T\2 + cos

s.E

2

en: J( e) 2

-

2

1 - P I - q

P

} - T

~ cos- f7

-

+

~ 7r

sin {7

q 0

De grootheid SOl is een maat voor het vermogen

POI

dat door de -rEOl-mode wordt getraneporteerd. Immers POI wordt gegeven door:

POI •

t Rel;Jfp!!ol x ~l • .!z

de \ • -

t

501

Voor SOl • - 2 is het getransporteerde vermogen due ~en watt.

Op ana10ge wijze vinden we een in de

~

negati~ve z-r1chting propa- gerende TEOl-golf met amplitude A':

V' A'

)~

2 a

OISOl . -

0b(16)

V' A'

.')

2 b

OI Sen • -

0 (11)

b

De coefficient

bOI

heeft betrekking op de door de gleuf geexci- teerde, in de positieve z-richting propagerende golf, a

Ul

op de

in de negatieve z-richting propagerende golf.

(14)

2.2. Bepaling van de amplitude en rase van het elektrische veld in de gleut.

Om het elektrische veld in de gleu! te kunnen bepalen is het nood- zakelijk. dat we ~ velden binnen en buiten de golfpijp kennen.

In de gleuf moe ten deze .elden continu in elkaar overgaan. Aange- zien de gleu! zeer emal Terondersteld is, is aIleen het magnetische veld langs de gleutae, en het tangentUHe elektrische Teld 100d- recht op de gleufas, van belang. Beperken we ons verder tot re- sonante gleuven, dan spelen slechta de energie prcpagerende Tel- den een role Dit laatste vereenvoudigt het probleem aanzienlijk.

We kunnen nu nl. de continu!teitsvoorwaarde, voer het magnetische en elektrische veld in de gleuf, over laten gaan in de energie-

.-

vergeIijking:

~~ E~(Hl~

+ H\ + H\) dA -

~\E"1rr4~

dA (18)

oR _ ~

De tangentiele magnetische veldcomponenten

H,

worden gegeven door:

cos ~.

7('v ' j t 2

2SI 1

-j I i z

sin & sin ~ + (~) cos &008 b \ e L

2 { 1'"C IC 1t' 2 1['":

l

j(3 z

H " • 801 A ~ j

ra

sin (9- sin

7-

+ (T) cos C!T cos b \ e-

(voor z ~ 0)

3

{'X

"jt' ' j l 2

2Lt 1

e+j

~

z

H

5 •

bOl A -

b

j (\ sin

r:r

sin

7

+

(T)

cos fT cos b ~

(voor z

<.

0) De component II \1 is het magnetische veld in de gleu! ten gevolge Tan een in de poeitieTe z-richting propagerende TEOl-mode met am- plitude A. Het elektriache veld in de gleu! wordt door deze mode geitxciteerd.

H2

,en

H~

zijn de magnetische veldcomponenten van een in de positie- ve respectievelijk negatieve z-richting propagerende TEOI-mode met

(15)

-12-

amplitude aOlA respectievelijk bOlA. Deze twee golven worden op- ge_ekt door het elektr1sche veld in de gleuf.

H

4,

is de magnetische component van het veld buiten de golfpijp.

We kunnen de component

H~

als functte van V

o berekenen, zonder dat het totale veld buiten de golfpijp bekend is. Uit de 8ymmetrie van E en H in de vergelijkingen van Maxwell blijkt namelijk dat een halve golflengte gleuf op te vat ten is als het duale geval van een halve golflengte

diP~~estaat

dus een eenvoudige relatie tue- sen het vermogen door een resonanttt gleuf uitgezonden, en het ver- mogen dat door een dipool wordt uitgezonden (bij gegeven spanning

V

respectievelijk stroom

I ).

Gebleken is dat het vermogen, door

o 0 ~

een halve golflengte gleuf uitgezonden, gegeven wordt door d. groot-

~eidl

Eo

I ,

2

p . 13 - V

).t~ - 0

Het vermogen P is echter ook te berekenen uit:

P • -

t ~~

!..,%l!~'It e., • .!l da

(20)

gleuf

Aangez ien er geen velden zijn, die reactieve energie opnemen, moet

(20)

een relle grootheid zijn. Tevens moeten

(19)

en

(20)

san el~

kaar gelijk zijn. In combinatie met (8) geeft dit:

gleuf

2!..l

coe 21

4

£0

H) de. • 73 )-to • V0 Vo

'*

Dus:

~\

COB

~I-H\

da- - 4w

~:.

73. Vo

gleuf

Uitwerking van (18) geeft dan:

2_ -A b

(16)

. ¥

~

\')

\~ (21) met

't. 66<n

v

o

-.

A

-

Geeombineerd met (13) en (14) geeft d1ta

~"'"

\

SOl

l

• - ; ; -601l ko~

'i1" •

2 ab • A2

Nemen we san dat de golfpijp gevoed wordt met een in de negst1eve z-riehting propagerende TEO I-mode met amplitude A', dan vinden we op ana10ge wijze voar de spanning V' over de gleufa

o

(22)

De co5rfici~nten sOl en b

01 zijn nu bekend. Ze worden gege~en door de vergelijkingen:

\~ \~

&01

· - }? ... \),:l

'001

(

~*)l

· -

)/ -+-

\'C)\l

E~enzo worden de co8ff1cienten sOl en bOl gege~en door:

sen

\ ~ \ ~

· - ~ ~ '~l~

l)' . -

('S )l

01

Y

-+- \)

\l

(25)

(26)

Het vermogen dat door de gleuf wordt uitgestraald, (ale funetie

~an het in de golfpijp geetuurde vermogen) 18 in· beide gevallen:

\~

\.l '3.

·ls \

( ¥

-t

\'<) \ ~)

01 (27)

(17)

-14-

Vergelij%en we onze result~ten met de resultAten die door Steven- son werden verkregen, dan b1ijkt dat ze vo1komen met elkaar over- eenstem:nen. We mogen hier dUB blijkbaar lIit concluderen dat onze definitie van resonantie juist is.

In hoofdstuk II zal de in het voorgaande behandelde theorie toe- gepast worden op gleuven die tUBsen twee evenwijdige platen stra- len. He gaan dan weer uit van de veronderstelling dA.t een gleuf resonant blijft ind1en h1j over een hoek ~gedr3.aid wordt. Dat deze veronderstelling ook in dit geval correct ie, zal moeten blijken uit metingen ean dergelijke cor.fit"t.;.raties.

Alvorens echter nader op deze problemen in te gaan, zullen we ,

eerst het transmissielijn-model van een rechthoeklP,e golfpijp met een resonante gleuf bepalen.

(18)

3.

TransmiBsielijn-model van een golfpijp met een reeonante gleuf in de brede wand.

In het algemeen kan de z-afhankelijkheid van een bepaa1de mode 1n

een golfp1jp beschreven worden met behulp van een transmissielijnmode1.

De lijn zal voor versch111ende modi ve~schillende e1genschappen heb- ben, afhankel1jk van de voortplantingsexponenten

r .

De transver-

n

sale velden van b.v. een in de positieve z-richting propagerende TE-mode kunnen we immers beschr1jven door:

_r

z

~t • e-n e n

-r

z

-r

z (28)

lit

-nh e !1

-L

Zn -nhi e n

met Zn

. -iwjA.o ,

PI""

Nemen we aan dat door de een of andere ocrzaak reflectiea optreaen, dan kunnen we de gereflecteerde golven voorstellen doort

z

~tRn -ne •

+

r

z

1h • - R

--l-

hi e n

- I I n Z -n

n

Deze golven propageren 1n de negatieve z-richting.

Het totale transversale veld in de golfpijp wordt dan:

-r

z + ," Z

~. (e n + R e n ) e

n -n

1

-r

z + ,'" z

l!t . -

Z (e n - Rn e n ) -nhI n

(30)

We zien dat bovenstaande vormen, afgezien van de vectoren e en h'

-n -n

(die de velden 1n het transversale vlak beschr1jven), identiek zijn met de vergelijkingen voor een transmicsielijn.

Voor het transmissielijn-model kunnen we dus de volgende vergelij-

(19)

kingen opachrijven:

-r

z + ,'" Z

V (z) n

+ R n

• e e

n n

In(z) •

+

n

1

e

-P

n z - Rn e+ f'n Z \

Hieruit volgt, dat de impedantie Z beschouwd kan worden ala de n

karakteristieke impedantie Tan het transmissielijn-model Tan de n-de mode. In het algemeen is Z verechillend voor verschillende

n

modi, zodat ook de eigenschappen van de transmissielijnen Terechil- lend zullen zijn. We zullen dua voor elke liode apart een model moe-

ten construeren. ~

In ons geval hebben we echter slechta met "n mode te maken (n.l.

ae TE01-mode), zodat we ook maar 6~n model behoeven te beschouwen.

3.1. Berekening van de elementen in het transmissie11jn-model.

Zoals we in paragraat 2 hebben gezien, geeft een gleuf in de golf- pijpwand aanleiding tot lopende golven met amplituden a01A en bOlA in de positieTe respectieve11jk negatieve z-richting, indien de golfpijp geToed wordt met een in de poaitieve z-richting propage- rende TE01-mode met amplitude A.

Veronderstellen we, dat de gleuf zich bevindt op de plaats Z • 0, dan wordt het totale transversale veld in de pijp voor Z

<

0 gege-

ven door:

-jr-- 01Z +j ~Olz .

! t • A(e + bOl e ) .!vl

A -L(e- j

~Olz

+j~OlZ . (32)

.lit • ZOl - bOl e ) ~l

en voor Z

"?

0:

(20)

De spanningen en stromen in het transmissielijn-mode1 voldoen dan aan:

en:

voor

z<

0

voor z ) 0

Indien de golfpijp gevoed wordt met een in de negatieve z-richting propagerende TEOl-mode met amplitude AI, worden de spanningen en stromen gegeven door:

I01(z) • - AI.

~

"'01

voor %>0

(35)

en:

I01(z) • - AI.

~

L.. (1 + eO'l)

OI

voor z<. 0

De alementen in het model, die de 1nvloed van de gleuf op de velden in de golfpijp beschrijven, zijn nu in principe bekend.

Ze worden bepaald door

(34)

en

(35).

Neem aan, dat de gleuf voorgesteld kan worden door een - nog or.- bekende - vierpool op de plaa.ts _. 0 (zie figuur 3).

De equivalente spanningen aan in- en uitgang worden bepaald door het totale transversale elektriscte veld (zowel inva11ende als gerefleeteerde golven), terwijl de equivalente stromen bepaald worden door het totale magnetische veld.

(21)

z

Z".,

-16-

%cO

Fig. ~.

Uit (34) en (~5) voIgt dan voor %. 0:

II •

zl-

01 (1 -

b~l)

U A -

~

01 (1 + a

01 )

AI

I

-1-

(1 + a ) A + __1__ (1 - b' ) AI

2 • - ZOl 01 ZOI Ql

of:

(~1). {[U]

+

[s] \ (:.)

2 (37)

( ~~) - {l u] - [s 1} C.) . - ,

en:

2

01

met

[u] .(1 0)

0 1

en

[8} -ell 8

12) _ ( b01 1+a01 )

u21

821 1+&01 b

Ol

(22)

Opmerking:

De matrix

[sJ

geeft het verband san tussen de gereflecteerde gol- ven en de invallende golven. Noemen we nl. de gereflecteerde gol- ven near links C

1 en near rechts C

2, dan geldt (zie figuur

4):

of:

(

-

,-

- ...

.,

-',

--

'"

~ ."

•• A

4 - .. - - -

.

........ ./ "-

- - -., ...t•

"

....,. ......."

-- - - -

,·H:t.~,)A' 4. - 1--

- -

-~ (\ +CA.

Fig. 4.

De reflectiecoerfici~nt voor een van links invallende golf wordt

dan bepaald door:

en de transmissiecoeffie1ent door:

Evenzo voor een van rechts invallende golf:

en:

De elenenten van [5] gever- due de reflectie- en transmiosiecoeffi- citinten van de lijn. De matrix wordt ook weI de verstrooiingsmatrix genoemd.

(23)

-20-

Ret verband tUBBen de spanningen VI' V

2 en de atromen II' 12 is a1s voIgts

(;1). [z] (~l )

2 2

mets [z].(Zll Z21 Uit (37) en (38) voIgt dan:

(38)

[z] • {l u J

+ \.

s J 1{ l u] - l s J\

-1. ZOI (39)

En na berekening: (Z11' 222 en Z12 zijn dimenaie40ze grootheden) 1 + S11 - c: - Sll 2

622 + 512 Z11 •

'-'22

1 - S11 - ~....22 + S11 c...22 - 5212 1 - ~ - + 522 - SI1 522

2

+ S12 Z22 •

u 11 (40)

1 - Sll - S22 + S11 522 - S122

met: 511 • bOl 522 • bOl 812 • 521 • 1 + aOl • 1 + aOl

(41)

Bovenstaande uitdrukkingen hebben geen betekenis indien '). -

'S ,..

( ) is dan zu1ver imaginair). Een onderzoek van de functie ~

1eert ons, dat dit het geva1 1s ala &.~ of

y.

~ b; dUB voar een transversale gleuf of een centrale gedraaide gleuf.

(24)

Om dit soort gleuven ook in een vervangingsschema te kunnen onder- brengen, moeten we overgaan op de adm1ttantie-matr1x. Het is nl.

reedsgeru1me tijd bekend, dat een transversale en een centrale gedraa1de gleuf in een transm1ss1el1jn voorgesteld kunnen worden door een ser1e-element. Zoals gebleken is, kunnen we een ser1e- element n1et met behulp van een 1mpedant1e-matr1x beschr1jven. Ket een adm1ttant1e-matr1x is d1t echter weI mogel1jk.

U1t (37) voIgt onm1ddellijk:

Tevana kunnen we stellenl

De op ZOl gereduceerde, grootheden Y11' Y22 en Y12 vo1gen dan u1t:

1 - 811 + 822 - 811 1>22 + 82 Y11 • 12

1 + 8

11 + 8

22 + 811 822

- 8212

1 + 8

11 - 822 - 811 822 + 82 Y22 • 12

1 + 8

11 + 822 + 811 822 - 82

12

Comb1neren we dit weer met (23)-(26), dan v1nden we:

Y11 •

(~)t_ ('1)~r

2.'?{

(-S -

~

..

)~

- ( '<) -

,-<;*)~

Y22 • -

(~)t_ (~,,)l :.l. }1

-

(45)

('~

-

~. )~

('S - ')

")~

2.'i

Y12 • - (~-~~~-...-)-l.

(25)

-22-

U1t (45) b11jkt, dat de adm1ttant1e-matr1x geen beteken1e heert

."

1ndien ~.

'S (')

is rehl). We zijn echter op het ogenb11k al- leen getnteresseerd in die waarden van ~ waarvoor geldt

'<). - 'S

il-

De equivalente vierpool wordt dan bepaald door:

"'6

TIl • Y22 • - Y12 • 2 (46)

2('<)1)

met: '\ 1 • 1m {

'S

(Y,

~ = i) I

of:

~1.

1m

{'S(T • i- b, ~)\

De v1erpool, die aan (46) voldoet, 1s geechetst ~ figuur

5.

t

o---.:~c==:::J---oo

0 ' 0 - - - 0

z=o 7 = 0

Fig.

5.

2(t;"i)2

r • --~~ • genormeerde serieweerstand Tan de gleuf.

~ Voor t7. Tl wordt r:

.2..

Al. '\

120 (~co)'3 i 2

..!.l

2 "7f '"

r • 137i'. >:<J •

&b

8 n b c08 4b en voor Y •

~:

r· 13~ ( ~ )· ~ {I(~)

sin & +

~

J( t7)

co.~1

(£7)

~

( A • golflengte 1n de vrije ruimte)

( ~~. golflengte in de golrp1jp)

Nu deze bijzondere gevallen bekend zijn, kunnen we weer terugkeren naar onze meer algelBene v1erpool. Onder de voonraarde

'S:f:. - 'S"*

(26)

z,

gaat (41) over ina

-s--c;*

2..)/

Z22 • - - - - + --~--

~ ~ ~,. (~+ -C;*)~

,z'i

Z12 • 221 • (~-+'SH)'"•

Een vierpool, die voldoet san (48) 1s ge8chetst in figuur 6.

"

Z:t,.

o----e====:::J----<t---[===:::::J.---<o

0 - - - 0 - - - -

0

7 : 0

Fig. 6.

De genormeerde impedanties Z1 en Z2 zijn zuiver imaginair. Z1j 1ntroduceren dua aIleen fasesprongen.

. De genormeerde shuntconductant1e g 18 een maat voor het door de gleuf uitgestraalde vermogen P •

u

De vierpool-elementen ZI' 2

2 en g worden gegeven door~

1m

'S

Re OS

( r7~~.,. 2 en

(27)

-24-

4. Opmerkingen en conclusies.

De grootheden, die voor het ontwerp van een gleufantenne van direct belang zijn, worden gegeven door de formules (21), (23), (24) en (27).

De fase van het elektrisehe veld in de gleuf, ten opzichte van de fase van het inkomend signaal (amplitude

A),

wordt blijkbaar bepaald door het argument van de funetie ~ ,in het complexe vlak. Een nadere beschouwing van) leert ons dat deze funetie reeel is indien we te maken hebben met een longitudinale gleuf ( ~ • 0), en zuiver imagi- nair in het geval" van een transversale gleuf ( ~~) of een cen- trale gedraaide gleuf (Y • ~ b). De fase van het E-veld in de gleuf is in deze gevallen 00

(- 1800

) res~. 900 ( - 900)~verschoventen op- zichte van de fase van het inkomend signaal op de plaats van het mid- den "'an de gleuf. Voor aIle andere waarden van

rr

en Y is deze fase- verschuiving afhankelijk van de positie vftn de. gleuf. In grafiek I 1s het argument

t

van de functie

'S ( 't) • 1'S Ill..'" f )

als funetie van de hoek ~ , voor verschillende waarden van Y, uitgezet. Uit deze grafiek blijkt dat de gleuven zeer nfluwkeurig aangebracht dienen te worden, Rangezien de fase '('voor kleine waarden van {7 en Y sterk afhankelijk is van ~. Het is verder eenvoudig na te gaan dat geldt:

'f(-&-) --\f'(&-) en f(Y<'ib) -]+ 'f(Y

>

tb).

De fase Tan de reflectie-eoerfici~ntbOl' op de pleats van het mid- den van de gleuf, voIgt rechtstreeks uit de fase van het E-veld in de gleuf. Immers, b

OI is evenredig met (

~

y.)2

1"\

12 e -2 i

'f .

Hieruit voIgt omge~eerd. dat we de fase van het E-veld in de gleuf kunnen bepalen door de fase van de refleetie-coefficient te meten.

Grafiek II geeft het verband tUBsen de absolute waarde van de re- flectie-coefficient en de hoek {} voor versohillende waarden van Y.

Blijkbaar zijn de reflecties minimaal voor kleine waarden van ~

en maximaal voor die waarden van

e-

die I iggen in de buurt van ~Jl . In de praktijk moeten de reflecties zo klein mogelijk zijn, zodat de grafiek aIleen VGor kleine hoeken van belang is.

De waarde van het transmissie-coefficient T kan rechtatreeks worden bepaald ui t grafiek II. Imrners,

T.

1 + a01 • 1 -

I

bOll •

In grafiek III is het door de gleuf uitgestraalde vermogen uitgezet als funetie van de gleufverdraaiing. Rierbij is verondersteld dat het vermogen dat door de"grondgolf" wordt getransporteerd gelijk is

(28)

aan 1 Watt (

I

SOlI .. 2). Uit de grafieken II erl III is het duide- 1ijk, dat we de uitk0ppe1i~g niet willekeurig groot kunnen kiezen, aangezien de reflectiecoeffieient in dat geval ontoelaatbaar groot wordt.

Een voor het o~twerpen van gleufantennee zeer b~likbaar diagra~

is gegeven in grafiek IV. In deze grafiek is het u1tgeetraalde vermogen als funetie van de fasehoek

'f,

met als para:neters de

plaatscoc~rdinaten Y en f} van de gleuf, uitgezet. Is de fase

l'

en het uitgestraalde vermogen gegeven, dan kunnen we de bijbehorende gleufpositie direct uit deze figuur aflezen.

Ret gereflecteerde vermogen P

r en het vermogen F

t dat de gleuf passeert zijn gegeven in de grafieken V en VI (IS~ll .. 2). De som van III, V en VI is steeds, voor elke waarden van ~ en Y, ge1ijk san 1 Watt.

Bij de berekeningen is er van uitgegaan dat de reeonantielengte van de gleuf onafhankelijk is van de gleufverdraaiing & en de uitwijking uit de hartlijn ~ (

8 •

Y - ;b). Voor grote waarnen van

tr

en ~ is dit niet meer het ~eval. De resonantielengte wordt dan sterk be!nvloed door de randen van de golfpijp. We mogen eehter stellen dat voor kleine waarden van

e

en

b

deze resonantielengte- veranderingen gering zijn, ~odat in deze gevaIIen de theorie in.vrij goede overeenstemming zal z1jn met de werkelijkhe1d.

AIle grafieken zijn getekend voor een golfpijp van het type RG-52/u WR-90. De resonantie-frequentie van de besehouwde gleuven is 9250 MHz

(l~ ~

• 8,11 mm.).

(29)

-26-

Hoofdstuk II.

Eigenschappen van een. tussen twee ~ven.ijdige platen atralen- de. resonante gleuf.

Zoals in de i~leiding reeds werd vermeld, zal de polariteit van het elektrische veld van twee, over ongelijke hoeken gedraaide, gleuven niet gelijk zijn. We kunnen dit nadeel elimineren door aan de buitenwand van de golfpijp twee evenwijdige platen te be- vestigen (zie figuur

1).

Fig. 7.

Kiezen we de afstand d tussen de twee platen zodanig, dat aIleen een TEe) -golf (de grondmode) kan propageren, dan staat het E-veld steeds loodrecht op de platen. Dit betekent dus, dat de polariteit van het elektrische veld onafhankelijk is geworden van de hoek ~

waarover de gleuf is gedraaid.

In het volgende zullen _., evenals in hoofdstuk I, van de veronder- stelling uitgaan, dat de gleuf resonant is (lengte van de gleuf~ ~ ).

",

Teven8 nemen we aan, dat de twee platen oneindig groot en oneindig goed geleidend ztjn. In de praktijk kan a&n de la&tste voorwaarde natuurlijk nooit vold&an worden. Zorgen we echter voor een geschik- te aanpassing aan de vr1je ruimte (b.v. platen met hoornachtige uiteinden; zie figuur

1),

dan zullen de afwijkingen met de theorie minimaal zijn.

(30)

Voor ~t upste11en van de energiebalc~n8 I.,p basis vaE !let aangeno- men E-veld in de R:18ufopening, kunnen we r:ebr'(~i~. :nal-:e:1 van de in hoofdstui<. I ontwi kke lde theori". Hiervocr is het be langri,jk (iat we het vu·:no.-;en kennen, dfit door de gleuf wordt uitsestra:11d.

1. E.M.-velden tU8sen platen ten gevolge van E-veld in de gleuf.

We gaan uit van de in figuur 8 getekende configuratie.

Fi.l1'. B.

Het eleh~rischeveld tUBsen de platen (z

>

0) moet voldoen aan de vergelijking van Helmholtz.

(50)

Nemen we &an, dat de z-afhankelijkheid van het elektrische veld gegeven wordt door .2(x,y,z) • !(x,y) e- r'MZ, dan'is (50) te schrij- ven ale:

(51)

(31)

-28-

Vergelijking (51) is op te lossen met behuip van scheiding van variabelen. We beschouwen hiertoe de x- en z-component van het elektrische veld apart. De y-component voIgt dan uit de ~erge­

Iijking V.!(x,y,z) • 0,

Voor de x-component geldt (E (x,y) •x X(x)

Y(y»:

Y(y)

d2

X~x)

+ X(x) d2 Y{y) + k2

x(x) Y(y) •

0 (52)

dx dy2 c

En voor de z-component (Ez(x,y) • F(x)

G(y».

2 2

G(y) d

F~X)

+

F(x)

d

G~Y)

+

k~ F(x)

G(y) • 0 (53)

dx dy

~

We zullen ons nu beperken tot de berekening van Ex(x,y). De bere- kening van Ez(x,y) is analoog. De functies X(x) en

Y(y)

voidoen aan&

De oplossingen van (54) zijn te schrijven ale:

jk x -jk x

x(x) • A

e x +

B

e x

(55)

Y(y) • C

cos

kyY

+

D

sin kyY

Uit de randvoorwaarde E (x,y) • 0 voor y • 0 en y • d voIgt dan:

x

H1ermee is dUB E (x,y,z) ~heel bepaald. De vol1edige oplo8sing x

wordt gegeven door:

(32)

n-O

0 0

Ex(x,y,z) •

z:.

o

jk x -jk x -

r

z

x + B x ) 0 .. n~y n dk

e e " s _n d e . x

jk x e x

- 0 voor y - 0 en y •

nR v sin

--a:-- '

e

(57) (56)

d).

- r

nz

- r

nz

• dkx

n1l'v

sin -,~ e d

• i!!:. ( ...

M (k )

n-O ) n x

--

Evenzo voor de z-component (E z

_

~Clo

jk x

E (x,y,z) • ~ Q (k ) e x

z n-0

--

n x

De component E (x,y,z) wordt bepaald door de vergelijking V.~

-

O.

y

Dit geett:

0 -

· z: (

n-O __\ N (k )n x

met j kx l' -')\

.E1£.

d N,,-

r

n Q.",. 0

(58)

Het elektrische veld tUBsen de platen moet nu in het vlak z • 0 op de plaats van de gleut gelijk zijn san het e1ektrische veld in de gleut, en buiten de gleut gelijk aan nul zijn. Het elektrische veld in de gleut kunnen we gelijk stellen aan (zie hootdstuk I):

V 1'[ ..,

E

"1-

...22w cos ~21

{

- l < ' < l voor _ w

<

~< w

(59)

Ontbinding in x- en y-componenten geett:

Ey • E"'1 C08 9

Ex - - E" sin&

(60)

Uit de continulteitevoorwaarde in het vlak z • 0 voIgt danl

-E"

sin&- •

z: ( -

dk

x

n-O \

--

0 . M (k )n x ejkxx s ni nd7['y

E"'t

cos 6' -

£ \

n.O __dkx • NnCkx )

jk x

e x coe _ M .n'TLv

d

(61 )

(33)

-30-

De constanten M (k ) en N (k ) kunnen we berekenen door gebruik te

n x n x jk x Ii1\:

maken van de orthogonaliteit Tan de !uncties e • en sin d

resp. cos

n~Y

Vermeni~~ldigen

we beide vergelijkingen (61) met

-jq~x m~y -Jq x ~

e • sin d reap. e ~C08 d • en integreren daarna over dat gedeelte van het vlak z • 0 dat gelegen is tU8sen de twae platen, dan vinden we voor M(k ) resp. N (k )

n x n x

_ d

1

(r '

It -jk x

- Mn (kx ) •

'itd \

dx ) d,. E"t sin () sin

T

e x

- - 0

En na ui twerking (w« 1)a

(62)

{ s n - +'1 n"R"C

d j c o s -n

nC ~

d

( ) V0 A ( 1 C08 'f { n"l( C _ j

Nn .kx • -2d cos v 2 cos - d

(:) - r

2 S1.n -. n1\ c \d

+ 1(f)2- cf>2008

~ I l

cos nd'1fC + j sin nd1t"c

l1 ~

.eta

eJU

Y' \ .

( -nlT

~ d

1 :::

c;-

~

sin

tT ±.

k

x cos~)1

De Telden tussen de platen kun:1en gesplitst worden in TE- en TM- _

modi, met een discreet spectrum in de ,.-richting (bepaald door de plaata!stand d) en een continu spectrum in de x-richting.

(34)

Ste1 hiertoe:

De constanten AE(k) en CE(k) hebben betrekking op de TE-modi;

_M M n n

K-(k) en D (k) op de TM-mod1.n n

Een nadere beeohouw1ng van de ve1den 1eert ons, dat de E-ve1den van de TE- resp. TM-modi moe ten vo1doen aan:

E ~ AE(k)

x

..

n

---.-.

E jk

CE(k)

Y n

~ • ..1!L •

BM(k)

en: n

E . .1\

DM(k) Y

"7

n

voor de TE-modi

voor de TM-modi

De tota1e ve1den worden dan gegeven door de Terge1ijkingen

(64)

en

(65).

(Z1e To1gende b1adz1jde).

Uit

(64)

en

(65)

b1ijkt onmidde11ijk dat we voor n • 0 a11e~n te maken hebben met een elektrisch veld in de y-richting (po1ariteit onafhanke1ijk Tan tT ). We moeten de afstand tUBsen de platen dUB zodanig kiezen dat a11een de TE-o -mode kan propageren. Propagatie van energie is mogelijk indienl

of:

(66)

Aangezien k re@e1 moet zijn, moet tevens ge1den:

(61)

Hieruit vo1gt dan dat a11een de TEo -mode kan propageren ale vol- daan word t san:

(68) en: - ko

<

k

<

k0

(35)

-32-

'fE-modi (E • 0)

-

z

Ex

E (

dk •

Ali .

A' (k) ejkx i n":y -j

ra

nZ

0 \ d n sn d e

-- .

Ey.f.

Cdk.

jk. A'(k) ejkx cos.D.!LZ e- j

(3n

Z

o ) n d

-- -

Hx - -

..,~ f. (

dk • jk 0

~.

0 A'(k) e jkx coe nr.y e-jtanz

o 0 } n n d

H:r- "')..0;

.Ldk

---

0 n ;

of!'n

0

A~(k)

ejkx 8in n::t e - jPn

'

00 -

B. - - ..

;'0 ~ 5_

dk 0 (k2 + (n:)2) 0

A~(k)

ejkx

C08 n;:t:

e-j

{3n'

••.•• (64)

TV-modi (H - 0)

Z

••••• (65)

meta

r .

n j

rn

A

(36)

De veiden van de TE

k '-mode worden bepaald door (64) voor n •

o.

,0

~

Ey • \ dk • N0(k) ejlo:: e- j ~oz

--

1

~ -

dk . . -j (1 z

H

. -

• (lo • N (k) eJkx e 0

x ~)4o 0

-- -

_04 ~ z

I

~

dk • k • No (k) ·kx ., 0

Hz

... -

eJ e

~)Ao

--

met:

en:

2. Vermogen door de gleuf uitgeetraald.

Nu aIle velden tUBBen de platen bekend zijn, kunnen we ook het ver- mogen, dat door de gleuf wordt u1tgestraaId, berekenen.

De gem1ddelde energiestroom door de gleuf is (we integreren de Poyntingyector over het oppervlak van de gleur):

1 vJ

P • -

i \

d

1

(d

"'I

E; H'\ (70 )

-...t ..\N

Substitutie van

(59),

(68) en

(69)

in

(10)

geeft:

(

stel: k 1 cos (J •

T

~ sin

r

en kol •

T

~)

2 ~-~

rr

_ 1lI V

o

l (1 I

sin2, . '

{C08(T

sin (l)

p • 1t"c.) JA d · } d

r-a . V

1 - 2 .

/ 0 0 cos

f

COB

r-

(11)

Bovenataande integraal kan numeriek worden berekend. De met behulp

~an .en digitale rekenmachine verkregen resultaten zijn voor enke- le waarden ~an

e-

in tabel 1 opgenomen.

(37)

-34-

'!!-.

(j

r...,..

Gl(\

I>

° 0,70226 .

50 0,69749

15

0

0,65994

'00 -0,5411'

45 0

0,'7087

600 0,19016

15

0

0,05220

85 0

0,00596

Tabe1 L

3.

Stra1ingsdiagram.

A1vorens het tranemissie1ijn-mode1 van een resonante gleuf tus8en twee platen te construeren zu11en we eerst nRgaan hoe het stra- 1ingediagram afhangt van de hoek "...

De gain ~an een antenne wordt meestal gedefiniierd als het quo- tient van de energiestroomdichtheid in een bepaa1de richt1ng en de gemiddelde energiestroomdichtheid in aIle richtingen. Is de gain voor aIle richtingen bekend, dan is het stralingsdiagram van de antenne bepaald.

Ter vereenvoud1ging van de berekeningen zUlle~ we aIleen de velden ver van de gleuf beschouwen (golf%onc.). We kunnen hier gebruik ma- ken van de zadelpuntbenadering.

We gaan ult van de vergelijking voor het elektrieche veld (verg.

69).

E

~ -

dk No(k) j(kx -

Ii

0 k2' z) (72)

'" e

y

- 0 -

Stel: ef>(k) - lac -

Jk2

0 - k2w Z-A\f'(k) (73)

(38)

(74) Het zadelpunt wordt nu gegeven door die k-waarde (k 3 ks) waarvoor geldtl

~

o.

!.t

k

dk • x + z

J

k'2.

~

kQ • 0

o

Hieruit volgt dan

(x •

r sinol en

z.

r cosQl (zie fig.

9 )):

. -

ko r o.!. - k sin 0'..

Fig.

9.

We

kunnen de functie ~(k) in de omgeving van het zadelpunt ontwikkelen in een reeks van Taylor:

(12) wordt dam

Stel datI

(39)

-36-

Dan is:

j,p (k

s) 00

~

d

~

U exp.

t

j

cr

2 +

e N (k )

E •

vi t

\f/(ks ) +

J !

'Y"(k )

y o s

--

2 . B j A

'+' '"

(ks )

+

6

Indien Aeen grote waarde heeft kunnen we de termen in de expo- nent, die evenredig zijn met

~

'

(~)~

enz. verwaarlozen. De niet exponentiele factor in de integrand gaat voer grote A OYer in No(k.), zodat we deze voor het integraalteken kunnen brengen.

In ons geval is

- k .r o 1 .r

k 2

o cos 0("

De grootheid A komt blijkbaar overeen met de afstand r tUB8en de gleuf en de plaats van het besehouwde veld. Hieruit voIgt, dat we bovenstaande benaderingen mogen toepassen indien we aIleen ~e vel- den ver van de gleut besehouwen ( golfzone ). Het elektriBche veld

in de golfzone is dus bij bensdering gelijk sans en

Ey

.-

cos(~

coso-sinet...)

008 &coso(, - . 2 1 - (cos&"sinoL )

e

- j (k r - - )'if

o 4

(16)

00 2

Opm.: De integraal

I

ej Ci •

--

noemd. Zij is gelijk

d <i' wordt de integra.l van Fresnel ge-

san

rr.

ej E" .

De velden H en H volgen uit de vergelijking van Maxwells

x z

(40)

Het is eenvoudig na tegaan, dat in het zade1punt ge1dt:

- - X . _ j k~E ~E

b

z 0 r y

en

. -

j ko r.! Ey (77)

Met andere woorden: de operator

V

komt in het zade1punt overeen met de vector - j k U ( 0 . (~ , 0, ~) is de eenheidsvector

. o-r - r r r

in de 'Z.-richting).

In het zade1punt gaat de verge1ijking van Maxwell due over in:

De energiestroom per opperv1akte en per tijdeeenheid in de rich- ting U- r is dan:

p' •

~

Re (! x

ill • t ~;'oRe {!

x

(J4.

X

!*))

" 0k ~

• 2 ., ~o (E .E ) U

oow/ Y Y -r

En na subetitutie van (76) in (79):

I

V

1

2

p' • _ _.;;0_ _

Tfd2

c...Jr

o •

2 2

cos f" oos oL r

"iT )

J

cos(T cos c?"sinet

1

1 - cos2vAoSIn 2cK.. - rU (80)

(81) am het tota1e vermogen, door de gleuf uitgestraa1d, te vinden, moe- ten we (80) integreren over het opperv1ak, bepaa1d door a ~ y ~ d,

7C' / " K

-2~01.~2 enr-constant.

d

¥

p •

f

dy

f

r:P , d ol..

0> -!f

ol.

Due:

Het tota1e vermogen P is ook reede (zij het op een andere wijze) in paragraaf 11-2 bepaa1d (for~ule 71). Aangezien er nergens ener- gie kan worden opgeelagen of verdwijnen, moet (81) ge1ijk zijn san (71). Na uitwerking van (81) blijkt dat dit inderdaad het gevs1 is.

Verder wordt de gemidde1de energiestroomheid in aIle richtingen ge-

(41)

-38-

geven door:

pgem

. -

1trdp

Hieruit voIgt Toor de gain in een bepaalde richting:

(82 )

f ~oS(T

coser-sinaL) } 2

t

1 - coa:.:t 8- sin:toe..

2 I Tr' 2

sin fT {coati- sin~)

t

d f\

2 A cos ~

I

I

COB (- ,-

rV'l -

o

2 2

1i' cos f" cos 0(.

-T

g - -ppi gem

In onderstaand diagram is de gain ala functie van c/.- voor verschil- lende waarden van ~ uitge~et. Dit diagram noemen we het atralings- diagram van de gleuf met platen. We zien dat voor kleine waarden van ~ het Btralingsdiagram nagenoeg niet verandert, terwijI voor grotere ..aarden van

rr

de maximale gain (oJ- - 0) afneemt. Tevena b11jkt, dat de bundelbreedte (bepaald door de 3 db punten), voor toenemende waarden van ~, toeneemt.

'to

-~.

So

,,;

~o·

10 -80·

,.0

<_-C;o

Figure

Updating...

References

Related subjects :