Differentiëren Differentiëren van een functie : het bepalen van de

(1)

Differentiëren pag 1 11-4-2013

Differentiëren

Differentiëren van een functie : het bepalen van de afgeleide functie

De afgeleide f ’(x) van een functie f(x) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f(x).

Figuur 1

𝑓(𝑥)

𝑓′(𝑥)

(2)

Differentiëren pag 2 11-4-2013 Rekenregel:

𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥) 𝑐 ∙ 𝑥^𝑛 → 𝑐 ∙ 𝑛 ∙ 𝑥^𝑛−1

Oefenen

𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥)

𝑣𝑜𝑜𝑟𝑏𝑒𝑒𝑙𝑑 2 𝑥³  6 𝑥²

2 𝑥² ¹₂𝑥²− 2𝑥 →

𝑥⁻² √𝑥 →

2

𝑥 3𝑥 − 2 →

(3)

Toepassingen:

1. raaklijn aan de grafiek in een punt.

Gegeven de functie 𝑓(𝑥) =¹

4𝑥²

Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) in het punt (2,1).

Oplossing f ' (x)=

f ‘(2)=

vergelijking lijn: y = a.x+b a=

invullen: x=2 en y = 1  b=

vergelijking raaklijn:

In Quick Graph kan je uitproberen of het klopt.

oefenen:

1. Gegeven de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥³

Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) in het punt (-1,-1).

Uitproberen in Quick Graph of het klopt.

2. Gegeven de functie 𝑓(𝑥) =_𝑥²₂

Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) in het punt (1,2).

Uitproberen in Quick Graph of het klopt.

(4)

2. Maximum minimum van grafieken.

f(x) heeft een maximum of een minimum als f ’(x)= 0 (en van teken wisselt) oefenen

1. Ga in figuur 1 na dat bovenstaande stelling klopt.

2. Gegeven de functie f(x)=𝑥²−^𝑥

8 3

Bepaal f’(x)

Voor welke waarde van x heeft f(x) een maximum?

Bepaal de maximum waarde van f(x).

3. Buigpunten van grafieken.

Een buigpunt is een punt waarin het verloop van de grafiek verandert van bol naar hol of andersom.

f(x) heeft een buigpunt als f ’’(x)= 0 (en van teken wisselt) f ’’(x) is de tweede afgeleide; de afgeleide van de afgeleide

bol

buigpunt hol

(5)

Differentiëren pag 5 11-4-2013 oefenen

1. Gegeven de functie f(x)=𝑥²−^𝑥

8 3

Bepaal f ’’(x)

Voor welke waarde van x heeft f(x) een buigpunt?

Bepaal ook de y-coördinaat van het buigpunt van de grafiek van de f(x)

4. Functieonderzoek

Gegeven de functie 𝑓(𝑥) = ^𝑥₂²−^𝑥₃³ Bepaal de coördinaten van

a. De nulpunten van f(x).

b. De minima en maxima van f(x).

c. De buigpunten van f(x)

d. Teken de grafiek van f(x) neem x tussen -1 en 2

Gegeven de functie 𝑓(𝑥) = 𝑥²−¹₄𝑥⁴ Bepaal de coördinaten van

a. De nulpunten van f(x).

b. De minima en maxima van f(x).

c. De buigpunten van f(x)

d. Teken de grafiek van f(x) neem x tussen -2 en 2

(6)

5. Maximaliseren

6. Van een vierkant papier (12*12 cm) wordt een bakje gemaakt door de randen omhoog te vouwen.

Bereken het volume als er een rand van 3cm wordt omgevouwen.

Noem de hoogte van de rand x.

Schrijf de formule op waarin staat hoe het volume van x afhangt Bepaal voor welke waarde van x het volume maximaal is.

Tip: Bepaal de afgeleide en stel deze gelijk aan 0

6. De afgeleide van de sinus

De volgende reeks geeft de waarde van sin x x in radialen

sin(𝑥) = 𝑥 −𝑥³ 3!+𝑥⁵

5!− 𝑥⁷ 7! 𝑒𝑛𝑧.

Bepaal de afgeleide van sin (𝑥).