Exact Periode 11

Exact Periode 11

1. Elektriciteit

2. Viscositeit

3. Elektroforese

Hoofdstuk 1 Elektriciteit.

1.1 Lading.

Veel toestellen op het laboratorium werken met elektriciteit.

De werking van deze toestellen berust op elektrische lading die stroomt.

We kennen twee soorten lading:

Positieve lading en negatieve lading.

Voor deze namen is gekozen omdat positieve en negatieve ladingen elkaar kunnen opheffen.

(Op dezelfde manier waarop positieve en negatieve getallen samen “nul” kunnen maken.) Het symbool van de grootheid lading is Q of q.

De eenheid van lading is coulomb (C)

1.2 Krachtwerking:

In de figuurtjes hieronder stellen de pijlen elektrische krachten voor.

Ladingen van hetzelfde soort stoten elkaar af.

Ladingen van verschillend soort trekken elkaar aan.

+ -

+ + - -

1.3 Elementaire lading, protonen en elektronen

Lading wordt altijd “gedragen” door voorwerpen of deeltjes. De kleinste geladen deeltjes zijn protonen (positief geladen) en elektronen (negatief geladen). De natuurkundige Millikan ontdekte rond 1900 dat lading gekwantiseerd is. Hij heeft de lading van kleine oliedruppeltjes gemeten en ontdekt dat alle ladingen een veelvoud waren van 1,60.

10 ^–19 C; het “elementair ladingskwantum”. (kwantum = hoeveelheid).

In tabel 7 van BINAS staat het elementair ladingskwantum vermeld: 1,60. 10 ^–19 C.

De lading van een proton is 1,60. 10 ^–19 C. De lading van een elektron i s -1,60. 10 ^–19 C.

Bij een atoom is het aantal protonen en elektronen gelijk; atomen zijn ongeladen.

Protonen bevinden zich in de atoomkern (samen met neutronen die ongeladen zijn).

Elektronen bewegen in banen rond de atoomkern.

Bij ionen is het aantal protonen en elektronen ongelijk; ionen zijn geladen.

Een negatief ion heeft “teveel” elektronen, een positief ion heeft “tekort” aan elektronen.

1.3.1

Bereken de lading van een SO42- - ion in Coulomb.

1.3.2

Een metalen bol is geladen. De lading bedraagt 0,12 C.

a. Heeft de bol teveel of te weinig elektronen?

b. Hoeveel teveel of te weinig?

1.3.3

Stel je voor: Een groep deelnemers zit opgesloten in een klaslokaal. Het wordt benauwd; ze krijgen honger en dorst. Ze missen de bus of de trein.

Er ontstaat spanning; ze willen weg.

Dit is te vergelijken met de grijze pluslading links.

De lading ondervindt afstotende krachten van zijn buren.

Hij wordt aangetrokken door de minlading rechts. Dus: spanning.

Het symbool voor de grootheid spanning is U. De eenheid is volt (V).

UA is de spanning op plaats A.

In de natuurkunde werken we vaak met het begrip spanningsverschil: Het verschil in spanning op twee plaatsen. Het gevolg van spanningsverschil kan zijn dat lading gaat stromen.

UAB is het spanningsverschil tussen plaats A en plaats B.

Voorbeeld (zie hieronder)

Op plaats A is de spanning 12V. Op plaats B is de spanning 4V.

Het spanningsverschil is dus: UAB =12-4= 8V.

+

-

+ + + +

+ +

A B

1.5 Weerstand

R

Weerstand geeft aan hoe moeilijk is de weg voor de stroom bij het doorlopen van het spanningsverschil.

Heel beroemd is de wet van Ohm:

𝐼 = 𝑈

Hierin is :

𝑅

I de stroomsterkte in A

UAB het spanningsverschil in V.

R de weerstand in Ω (Ohm).

𝐼 = 𝑈

𝑅

Schrijf de formule in de vorm R =

1.5.2

Door een stroomdraad loopt een stroom van 26,0 mA. De draad is aangesloten op een spanningsverschil van 1,50V. Bereken de weerstand in ohm.

1.5.3

Een draad is aangesloten op een spanningsverschil van 1,50V. De weerstand van de draad is 3,00 kΩ. Bereken de stroomsterkte door de draad.

1.5.4

De staven rechts zijn van hetzelfde materiaal gemaakt.

Welke staaf heeft de grootste weerstand? 1 2 3

1.6 Soortelijke weerstand,



Om stoffen, wat weerstand betreft, goed te kunnen vergelijken werkt men met een kubus van 1m bij 1m bij 1 m van die stof.

De weerstand van die kubus noemt men soortelijke weerstand. Soortelijke weerstand is een eigenschap van een stof . Het symbool voor soortelijke weerstand is  (spreek uit rho)

In tabel 8, 9 en 10 van BINAS staan waarden van  formule:

A R l Hierin is

R: weerstand in Ω

 : soortelijke weerstand in Ω.m A: de doorsnede van de geleider in m² l : de lengte van de geleider in m

Met de formule hierboven kan je de weerstand van een metaaldraad uitrekenen als het materiaal en de afmetingen zijn gegeven.

Kijk voor meer uitleg op deze link

A

Een aluminiumstaaf is 1,5m lang. De doorsnede van de staaf is 0,65 mm². Bereken de weerstand in ohm.

1.6.2

De weerstand van een draad is 120Ω . De diameter van de draad is 0,10 mm.

De draad is 2,1m lang.

a. Bereken de doorsnede van de draad in m² 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟² (r = straal)

b. Bereken de soortelijke weerstand van de stof waarvan de draad is gemaakt.

c. Welke stof zou het kunnen zijn?

1.6.3

Een technicus beschikt over constantaandraad met een diameter van 0,12mm.

Hij wil van deze draad een weerstand maken van precies 10 Ω.

Hoeveel cm van de draad moet hij afknippen?

1.7 Stroomsterkte; geleiding.

Met stroomsterkte wordt bedoeld: de hoeveelheid lading die per seconde langs komt.

De eenheid is dus coulomb per seconde (C/s) maar we werken meestal met de ampère (A) De stroomsterkte wordt bepaald door twee dingen

1. Het spanningsverschil UAB

2. De geleiding G

Geleiding geeft aan hoe goed de lading kan stromen. Het hangt af van de afmetingen van de geleider en van de stof waar de geleider van is gemaakt. De eenheid van geleiding is Mho of Siemens (S)

Formule: I = UAB * G Voorbeeld:

Bovenstaande staven zijn van dezelfde stof gemaakt . Staaf 2 heeft de grootste geleiding.

1

2

a. Door een stroomdraad loopt een stroom van 1,00 A. Hoeveel elektronen komen er per seconde langs?

b. Op een batterij staat: 2,00 mAh. Hoeveel Coulomb is dat?

1.7.2 I =UAB * G

Schrijf de formule in de vorm G =

1.7.3

Door een stroomdraad loopt een stroom van 21,0 mA.

De draad is aangesloten op een spanningsverschil van 1,50V.

Bereken de geleiding in S.

1.7.4

Een draad is aangesloten op een spanningsverschil van 1,50V.

De geleiding van de draad is 3,00 kS.

Bereken de stroomsterkte in mA door de draad.

1.8 Soortelijke geleiding; conductiviteit σ.

Om stoffen, wat geleiding betreft, goed te kunnen vergelijken werkt men met een kubus van 1m bij 1m bij 1 m van die stof.

De geleiding van die kubus noemt men soortelijke geleiding.

Soortelijke geleiding, ook wel genoemd conductiviteit, is een eigenschap van een stof . Het symbool voor conductiviteit is σ (spreek uit sigma)

In de tabel hieronder zie je een aantal voorbeelden.

Stof conductiviteit σ (in S·m^-1)

Koper 5,9 .10 ⁷

Aluminium 3,7. 10 ⁷

Silicium 1,6. 10^-3

Messing 1,4. 10 ⁷

PVC 10 ^–13

formule:

l GA Hierin is

G: geleiding in S

σ : conductiviteit in S·m^-1

A: de doorsnede van de geleider in m² l : de lengte van de geleider in m

Met de formule hierboven kan je de geleiding van een metaaldraad uitrekenen als het materiaal en de afmetingen zijn gegeven.

A

Een aluminiumstaaf is 2,5m lang. De doorsnede van de staaf is 0,80 mm². Bereken de geleiding in mS.

1.8.2 l GA

Schrijf de formule in de vorm σ =

1.8.3

De geleiding van een draad is 0,137 S.

De diameter van de draad is 0,15 mm.

De draad is 1,8 m. lang.

a. Bereken de doorsnede van de draad in m^{2 2}

4d A 



b. Bereken de conductiviteit van de stof waarvan de draad is gemaakt.

c. Welke stof zou het kunnen zijn?

1.9 Geleiding in metalen.

Een eigenschap van metaalatomen is dat eén elektron zo ver van de kern af is dat hij vrij kan bewegen van het ene ion naar het andere. De positieve ionen zitten vast. We noemen dat het ionenrooster.

Als er een spanningsverschil is, bewegen de vrije elektronen door het ionenrooster.

Er loopt dan een stroom door het metaal; alleen de negatieve elektronen zijn in beweging.

De positieve ionen  bewegen niet door het metaal heen . ⁺

+

+ +

+ +

+

+ + +

+ + +

+

+

+

Als er een stroom door een oplossing loopt zijn de positieve en de negatieve ionen in beweging.

De negatieve ionen bewegen naar de pluspool, de positieve ionen bewegen naar de minpool.

In een vloeistoffen stromen de plusladingen dus ook!

1.11 Molaire iongeleidbaarheid 

Bij oplossingen kan de conductiviteit berekend worden uit de concentratie.

Ook moet bekend zijn welke stof is opgelost; met andere woorden: welke ionen in de oplossing zitten.

Bij deze berekening gebruik je de molaire iongeleidbaarheid  (spreek uit: labda).

Deze waarden staan Binas in tabel 41 Formule:

𝜎 = 𝑐(𝑋

) ∙ 𝜆

+ 𝑐(𝑋

) ∙ 𝜆

+ ⋯

Hierin is :

σ de conductiviteit in S·m^-1 c de concentratie in mol.m^-3

𝜆⁰₊ molaire iongeleidbaarheid van het positieve ion in S.m² mol^-1 𝜆⁰₋ molaire iongeleidbaarheid van het negatieve ion in S.m² mol^-1

N a C

l

1.11.1

Oplossing 1 bestaat uit 1,00 mmol HCl in 1 liter water.

Oplossing 2 bestaat uit 1,00 mmol NaCl in 1 liter water.

Welke oplossing heeft de grootste conductiviteit?

1.11.2

De concentratie van een NaCl-oplossing bedraagt 0,010 mol per liter.

Bereken de conductiviteit.

1.11.3

De conductiviteit van een NaCl-oplossing bedraagt 2,2 S·m^-1. Bereken de concentratie.

1.11.4

De conductiviteit van een zilverzout (=AgX) is 1,333 S·m^-1. De concentratie is 0,10 mol·L^-1

a. Bereken de concentratie in mol·m^-3 b. Welk zout is het?

Aan werken met elektriciteit zijn diverse gevaren verbonden.

a. Elektrocutie.

Veel lichaamsfuncties worden vanuit de hersenen elektrisch aangestuurd. Als er een stroom van buiten af ( boven de 10 à 20 mA) door ons lichaam stroomt kan dat dodelijk zijn. Als we op de grond staan (aarde = 0V) en we raken een

leiding aan waar hoge spanning op staat loopt de stroom door ons lichaam naar aarde. De grootte van de stroom hangt af van de spanning en van onze lichaamsweerstand. Een vochtige huid maakt de lichaamsweerstand ca 10 maal lager en dus de stroom 10 maal zo groot….

b. Kortsluiting

Kortsluiting houdt in: een (bijna) weerstand loze verbinding tussen de twee polen van de spanningsbron. De stroom wordt zeer groot waardoor veel warmte vrijkomt. Het gevolg kan zijn dat de isolatie smelt en/of dat er brand ontstaat.

Beveiliging

Zekering

Veel toestellen en installaties zijn beveiligd met een zekering of stop. Een zekering “slaat door” als de stroom te groot wordt. In een

smeltzekering bevindt zich een smeltdraad die bij een bepaalde temperatuur vloeibaar wordt; het contact is verbroken. Op een zekering staat bij welke stroom hij doorslaat. Ook kunnen de letters F (fast) of S (slow) worden vermeld.

Randaarde.

Veel snoeren zijn drie-aderig : Fase, nul en aarde.

Fase is wisselspanning (220V) Kleur: bruin Nul is ca. 0V Kleur blauw

Aarde is exact 0V kleur geel/groen.

De metalen mantel ven toestellen hoort geaard te zijn. Dit gebeurt m.b.v. randaarde.

Met een spanningszoeker kan je op een veilige manier ontdekken of er een spanning op een leiding staat. De punt van de spanningszoeker komt tegen de leiding en je duim houd je tegen de metalen dop. Als er spanning is gaat er via je lichaam een stroom naar aarde lopen.

De stroom laat een lampje oplichten in de spanningszoeker .

De aardlekschakelaar

In de groepenkast bevindt zich vaak een aardlekschakelaar (zie figuur). Een aardlekschakelaar schakelt de stroom uit zodra er stroom naar aarde “weglekt”. De stroom in de faselijn is dan ongelijk aan de stroom in de nullijn. Hier reageert de schakelaar op. Oorzaak is vaak: slechte isolatie.

1.13 Schakelingen

Parallelschakeling

Bij parallelschakeling wordt de stroom vertakt van in deelstromen die als het ware parallel aan elkaar lopen. Het gevolg van

parallelschakeling is dat alle aangesloten toestellen op hetzelfde spanningsverschil zijn aangesloten: 230 V. Als een apparaat wordt uitgezet blijven de andere werken. (Kerstboomverlichting van tegenwoordig)

Serieschakeling

Bij serieschakeling wordt de stroom niet vertakt in deelstromen. Dezelfde stroom gaat dus door alle apparaten.

Als een apparaat wordt uitgezet, gaan ook alle andere apparaten uit. (Kerstboomverlichting van vroeger).

1.14 vermogen

P

In elektrische apparaten wordt energie omgezet. Het vermogen is hoeveelheid energie die per seconde wordt omgezet. Het symbool van vermogen is P. De eenheid is J/s meestal gebruiken we watt (W). Met de onderstaande formule kan het vermogen worden berekend:

P = U·I

1.15 kilowattuur (kWh)

De omgezette energie kan berekend worden uit

tijd P E .

De eenheid van energie is dan Joule. Voor grote energie-eenheden wordt de kilowattuur kWh gebruikt. In de formule hierboven wordt P in kilowatt (kW) ingevuld en de tijd in uur (h). De eenheid van energie wordt dan kWh.

1.15.1

Formules:

UAB = I.R P= UAB. I E =P.t

geef de betekenis van de letters in de formules hierboven. Vermeld ook de bijbehorende eenheden.

1.15.2

a. Op een lamp staat 12V- 35W. Wat betekent dit?

b. Bereken de stroomsterkte in A die door dit lampje loopt als deze brandt.

c. Bereken de weerstand in Ω van dit lampje als deze brandt

d. Hoeveel energie is omgezet als het lampje 8 uur blijft branden? Geef je antwoord in J en in kWh

e. Bereken de kosten als 1 kWh €0,16 kost.

1.15.3

Een stop slaat door bij 10A.

a. Hoeveel lampen van 60 W kunnen maximaal via deze stop worden aangesloten? (spanning van het lichtnet: 230 V)

b. Zijn de lampen in serie of parallel geschakeld? Geef uitleg.

Hoofdstuk 2. Viscositeit

Afschuifspanning en afschuifsnelheid

Het stromingsgedrag van een vloeistof kan beschreven worden aan de hand van het zogenaamde model van Newton:

Stel dat een vloeistof zich tussen twee platen bevindt.

De afstand tussen de twee platen bedraagt x (m). De bovenste plaat heeft een oppervlakte A (m²). Stel dat deze plaat zich naar rechts beweegt, terwijl de onderste plaat stil staat.

Dit noemen we de afschuifsnelheid (‘shear rate’) die wordt aangeduid met ỳ (uitgesproken als gamma punt):

ỳ = snelheidsgradient = dV/dX ỳ = V (m/s) / x (m)

ỳ = afschuifsnelheid (s^-1)

De kracht, die gerelateerd is aan het oppervlak van de bewegende plaat, wordt afschuifspanning (‘shear-stress’), genoemd. Deze laatste wordt aanduid met de Griekse letter τ (tau):

τ = kracht / oppervlakte eenheid ofwel

τ = F / A (in N/m²) = Pa (Pascal)

Bij een vloeistof wordt de relatie tussen de afschuifspanning (τ) en afschuifsnelheid (ỳ) gedefinieerd door de viscositeit η (eta):

η = afschuifspanning / afschuifsnelheid = τ / ỳ η =Pa/s^-1 = Pa.s

Verschillende stromingseigenschappen (flowcurves)

Zoals elders beschreven, zijn er een verschillende parameters die invloed op de viscositeit van een stof kunnen hebben. Alle parameters kunnen, afhankelijk van het soort te meten product, een verschillende uitwerking hebben.

Om de stromingseigenschappen van een vloeistof onder invloed van verschillende parameters duidelijk in beeld te brengen, wordt er veelal gebruik gemaakt van viscositeitcurves. Aan de hand van deze viscositeitcurves staan hieronder enkele verschillende stromingseigenschappen, ingedeeld onder de verschillende parameters.

Parameter: Afschuifsnelheid Newtons stromingseigenschap

Toelichting

Op het moment dat de afschuifsnelheid (shear rate) verhoogd wordt, zal de viscositeit dalen en vice versa. Hier spreekt men ook wel van shear- thinning. (b.v. polymeren, haargel en verf)

Dilatante stromingseigenschap

Toelichting

Op het moment dat de afschuifsnelheid (shear rate) verhoogd wordt, zal de viscositeit stijgen en vice versa. Hier spreekt met ook wel van shear- thickening. (b.v. maïzena, keramische pasta en cement.)

Thixotrope stromingseigenschap

Toelichting

Op het moment dat de viscositeit gemeten wordt onder een vaste afschuifsnelheid en voor langere tijd, zal de viscositeit dalen. (ketchup)

Rheopectische stromingeigenschap

Toelichting

Op het moment dat de viscositeit gemeten wordt onder een vaste afschuifsnelheid en voor langere tijd, zal de viscositeit stijgen.

Begrippen;

Dynamische viscositeit (η);

- Absolute viscositeit; Kogelvalproef, rotatieviscositeitmeter met kegel/plaat.

- Relatieve viscositeit; Melt-index (=uitstroomsnelheid), Brookfield (spindel).

Dynamische viscositeit 1 kg.m^-1.s^-1

1 Pa.s = 1 Poiseuille (Pl)

1 Poise (P) = 0,1 Pa.s (afgeleide eenheid cP = centipoise) 1 RPM = rotaties per minuut

Kinematische viscositeit 1 m²∙s^-1

1 Stokes = cm²∙s^-1

1 Inleiding

Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en van gassen) die aangeeft hoe ondoordringbaar de vloeistof is voor een vast voorwerp. Anders gezegd met de grootheid viscositeit wordt aangegeven hoe "stroperig" een vloeistof is.

De viscositeit van alcohol is dus laag, die van glas (glas is een vloeistof !) zeer hoog.

2 De wet van Stokes.

We gaan uit van een ijzeren kogeltje dat door de olie beweegt.

De zwaartekracht is groter dan de opwaartse kracht : het kogeltje zinkt.

Op grond van de tweede wet van Newton zou je verwachten dat het kogeltje versneld omlaag gaat. Maar dat is niet zo.

De wrijvingskracht is volgens de wet van Stokes recht evenredig met de snelheid . formule:

F = 6. . .r.vW   Hierin is

FW : de wrijvingskracht (N) die het kogeltje van de vloeistof ondervindt, η : de viscositeit (Pa.s)

r: de straal van het kogeltje (m)

v: de (constante) snelheid (m/s) waarmee het kogeltje door de olie beweegt.

De snelheid zal net dus zo lang toenemen totdat de drie krachten die op het kogeltje werken elkaar in evenwicht houden. Als dat evenwicht is bereikt valt het kogeltje met constante snelheid door de olie.

De drie krachten zijn :

1. Fz = mk.g = ρk.Vk.g = 4/3 π r ³ρk. g 2. Fopw = G verplaatste vloeistof = mvv .g= ρo.Vk.g

= 4/3 π r³ρo. g

3. Fw = 6 π.η.r.v De wet van Stokes.

Als er evenwicht is geldt:

Fz = Fopw + Fw

Dit geeft, gecombineerd met de drie krachten-formules,

  

= 2

9.( - ). g.r v

k o

2

Bovenstaande formule stelt ons in staat om met een eenvoudige valproef de viscositeit van olie te bepalen.

Hoofdstuk 3 Electroforese

Electroforese is een scheidingstechniek die o.a. wordt toegepast bij eiwitten in bloedserum.

De eiwitten worden aangebracht op een plaatje met een gel. Het plaatje bevindt zich tussen twee condensatorplaten waartussen een spanningverschil heerst. De scheiding vindt plaats door de elektrische kracht die op de eiwitten werkt. Hierdoor komen de eiwitten in beweging.

De elektrische kracht werkt uiteraard alleen op geladen eiwitten.

De beweging wordt tegengewerkt door de wrijvingskracht.

Volgens de wet van Stokes groeit de wrijvingskracht met de snelheid.

Er ontstaat een evenwicht tussen deze beide krachten bij een bepaalde snelheid v.

Fel = Fw

en dus:

.r.v . 6 d =

V

q.^ 

In deze formule is

q

V het spanningsverschil.

bepaalde tijd (bijvoorbeeld: een kwartier) op een verschillende plaats op het plaatje zijn.

Voor de snelheid geldt:

v = q. U 6 rd





Aangenomen dat de ladingen van de eiwitten gelijk zijn, zie je uit de formule hierboven dat de grote eiwitten (grote r) het langzaamst over het plaatje gaan.

Na kleuring van het plaatje zie je donkere banden op de plaatsen waar de eiwitten zijn uitgekomen na hun "race". Als bepaalde eiwitsoort oververtegenwoordigd is duidt dit op een ziekte.

Oefenopgaven; Elektroforese en de wet van Stokes v

r F

 6  

1.

Hierboven zie je een afbeelding van een electroforeseplaat Waarin eiwitten hebben bewogen.

a. Welke horizontale krachten werken op de eiwitten tijdens het bewegen?

b. Hoe verklaar je dat de eiwit 2 rechtser ligt dan eiwit 1?

S T A R T

EIWIT 1 EIWIT 2

2.

Wat is de symbool en de eenheid van viscositeit?

3.

Een bolletje heeft straal 1,53 mm.

Het kogeltje beweegt met een snelheid van 13,2 cm∙s^-1 door olijfolie.

a. Bereken de wrijvingskracht in N die het kogeltje ondervindt.

b. Welke andere krachten werken op het kogeltje?

13,2 cm/s

4

Hieronder zie je hoe eiwitten zich hebben verplaatst in een elektroforese cel.

De lading van de eiwitten zijn 1,6.10^-19 C

Links is de startplaats rechts zie de positie na 10,0 minuten.

Bereken de snelheid van de eiwitten

Bereken de elektrische veldsterkte tussen de condensatorplaten.

De viscositeit van de gel op de elektroforese plaat is 125 Pa.s. Bereken de grootte ( de straal) van de eiwit moleculen.

3,9 cm 10,0 cm

5

In een aquarium bevindt zich water (dichtheid 1,00.10 ³ kg∙m^-3 ) In het water stijgt een luchtbelletje met snelheid 2,10 cm∙s^-1 . De straal van het luchtbelletje is 0,500 cm.

De massa van het belletje mag je verwaarlozen.

Bereken de opwaartse kracht in N die op het belletje werkt.

De snelheid van het belletje is constant . Wat volgt hieruit voor de wrijvingskracht ? v

6

3 3

3 4 6 1 6

r d V

vloeistof e

verplaatst gewicht

F mg F

v r F

bol opw z w



















Een stalen kogeltje (diameter 3,5 mm) valt met constante snelheid door olie.

De dichtheid van de olie is 859 kg.m^-3.

Het kogeltje legt een afstand van 10 cm af in 4,7s a. Bereken het volume van het kogeltje in m³ b. Bereken de massa van het kogeltje in kg c. Bereken de snelheid van het kogeltje in m∙s^-1

d. Bereken de grootte van de zwaartekracht in N die op het kogeltje werkt.

e. Bereken de grootte van de opwaartse kracht in N die op het kogeltje werkt f. Bereken de wrijvingskracht in N

g. Bereken de viscositeit van de olie in Pa∙s.

h. Kijk of je antwoord in overeenstemming is met de formule:

v ).g.d - .(

=

2 o

k 

  18

1

i. Teken de kogel en de driekrachten die op de kogel werken (in de juiste verhouding)

Hoofdstuk 4 Meerdere Vergelijkingen met meerdere variabelen

- Uitleg oplossen 2 vergelijkingen met 2 onbekenden - Uitleg Matrixrekenen (Apart Dictaat)

Opgaven

Opgave 1.

2 pils en 1 cola kost € 6,40 1 pils en 1 cola kost € 4,15 Bereken de prijs van 1 cola.

Bereken de prijs van 1 pils . Opgave 2.

2 koffie en 3 thee kost € 10,10 3 koffie en 1 thee kost € 8,50 Bereken de prijs van 1 thee.

Bereken de prijs van 1 koffie . Opgave 3.

1 wijn en 3 jus kost €11,60 2 wijn en 2 jus kost €11,20 Bereken de prijs van 1 wijn.

Bereken de prijs van 1 jus.

Opgave 4.

2 spa en 3 ice tea kost € 9,70 4 spa en 1 ice tea kost € 8,90