TENTAMEN CONTINUE WISKUNDE HELE STOF
10 januari 2014, 14:00-17:00
• Op de achterzijde staan vier opgaven en een lijstje met formules.
• Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan.
• Motiveer elk antwoord d.m.v. een berekening of redenering.
• Vul op elk tentamenpapier duidelijk leesbaar je naam en collegekaartnummer in.
• Het cijfer is het totaal aantal punten gedeeld door 7 plus 1.
10 1. Bereken lim
x→0
ln(1 + 2x) − 2x
x2 en lim
x→∞
ex+1+ x ex− 1 . 5 2. Gegeven is de functie
f (x) =
1/ cos(13πx) (x < 1),
1 (x = 1),
√4x (x > 1).
Bestaat lim
x→1f (x)? Is f (x) continu in x = 1? Motiveer je antwoorden.
5 3. Bepaal het 3e Taylorpolynoom P3(x) van √6
x + 1 rond x = 0. Geef ook een uit- drukking voor de foutterm E3(x).
4. Gegeven is de functie f (x) = x x2 − 3x + 2.
2 a) Bepaal de verticale asymptoten van f . Bepaal voor elke verticale asymptoot x = a de limieten lim
x↑af (x) en lim
x↓af (x).
3 b) Bepaal de horizontale asymptoten van f voor x → ∞ en x → −∞.
3 c) Bepaal de extremen van f met plaats, aard en grootte. Geef aan of de extremen absoluut of relatief zijn.
2 d) Schets met de in a),b),c) gevonden gegevens de grafiek van f .
ZOZ
1
2
5 5.a) Bepaal alle primitieven van xe−2x. 5 b) Bereken de oneigenlijke integraal
Z 1 0
sin(12π√
√ x)
x · dx.
6. Gegeven is de functie f (x, y) = 2x3 + y3− 3x2− 12x − 3y
2 a) Laat zien dat f geen absolute maxima of minima aan kan nemen.
4 b) Laat zien dat (−1, −1), (2, −1), (−1, 1), (2, 1) de enige stationaire punten zijn van f .
4 c) Ga voor elk van deze punten na of f daarin een maximum of minimum aanneemt of dat het een zadelpunt is.
2 7.a) Gegeven zijn de complexe getallen z = 2 + i, w = 7 − i. Schrijf z/w in de vorm a + bi en bereken |z/w|.
4 b) Schrijf (4 + 4√
3i)10 in de vorm a + bi.
4 c) Bepaal de oplossingen van z4 = 8√
2(1 − i) en teken ze in het complexe vlak.
4 8.a) Bepaal de convergentiestraal van de machtreeks f (x) =
∞
X
n=0
2nxn n + 9. 4 b) Ga na of f (12) convergeert of divergeert. Je mag gebruiken dat P∞
n=1n−α con- vergeert als α > 1 en divergeert als α ≤ 1.
2 c) Ga na of f (0, 49) en f (0, 51) convergeren of divergeren.
Formules goniometrie
sin(x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y;
cos(x + y) = cos x · cos y − sin x sin y;
sinπ6 = cosπ3 = 12; sinπ3 = cosπ6 = 12√
3; sinπ4 = cosπ4 = 12√ 2.
Standaardlimieten voor functies
x→0lim sin x
x = 1; lim
x→∞
1 + a
x
x
= ea;
x→∞lim xp
ex = 0; lim
x→∞
(ln x)p
xq = 0, als q > 0.
