De inverse van een matrix Laat

Laat A een n × n matrix zijn.

Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = In de oplos- sing X = C heeft.

[ A | In] rijoperaties

−−−−−−−−→ [ In| C ] Merk op dat

[ In| A] inverse rijoperaties

←−−−−−−−−−−−−− [ Cn| I_n]

waarmee de matrixvergelijking C X = I_nis opgelost met oplossing X = A.

Er geldt dus:

A C = In ⇐⇒ C A = In

I.A.M. Goddijn

De inverse van een matrix

Conclusie

Laat A een n × n matrix zijn.

Als er een matrix C bestaat zodat A C = I_ndan geldt ook C A = I_n.

Eigenschappen

Laten A enB inverteerbare n × n matrices zijn en c 6= 0 een scalar. dan geldt:

a. A⁻¹ is een inverteerbare matrix en (A⁻¹)⁻¹ = A b. c A is een inverteerbare matrix en(c A)⁻¹ = 1

c A⁻¹ c. A B is een inverteerbare matrix en (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

I.A.M. Goddijn

De inverse van een matrix

Gevolg c.

Als A₁, A₂, · · · , A_k inverteerbare n × n matrices zijn dan is A1A2· · · A_k een inverteerbare matrix en

(A1, A2· · · A_k)⁻¹ = A⁻¹_k · · · A⁻¹₂ A⁻¹₁ . Als A inverteerbare matrix is dan is A^k

een inverteerbare matrix en

(A^k)⁻¹ = (A⁻¹)^k.

Notatie

(A^k)⁻¹ wordt genoteerd als A^−k.

Definitie

Een elementaire matrix is een matrix die bij voorver- menigvuldiging precies ´e´en rijoperatie uitvoert.

I.A.M. Goddijn

De inverse van een matrix

Voorbeeld

Veronderstel dat we in een n × r matrix A rij k met een fac- tor α (α 6= 0) willen vermenigvuldigen.

Laat E de n × n matrix zijn met:

ei,j =







1 als i = j i 6= k α als (i, j) = (k, k) 0 anders

(1 ≤ i, j ≤ n)

en B = EA dan B =















 A₁

... αA_k

... An

















Voorbeeld

Veronderstel dat we in een n × r matrix A de rijen k en l willen verwisselen.

Laat E de n × n matrix zijn met:

e_i,j =











1 als (i, j) = (k, l) 1 als (i, j) = (l, k) 1 als i = j i 6= k en l 0 anders

(1 ≤ i, j ≤ n)

en B = EA dan

I.A.M. Goddijn

De inverse van een matrix

Voorbeeld, vervolg

B =

























 A1

... A_l

... A_k

... A_n



























← l − de rij

← k − de rij

Voorbeeld

Veronderstel dat we in een n × r matrix A α maal rij k bij rij l willen optellen. Laat E de n × n matrix zijn met:

ei,j =







1 als i = j

α als (i, j) = (l, k) 0 anders

(1 ≤ i, j ≤ n)

en B = EA dan B =

















A₁ ... A_l + αA_k

... A_n

















I.A.M. Goddijn

De inverse van een matrix

Stelling

Een elementaire matrix is inverteerbaar en de inverse is een matrix van dezelfde vorm.

Laat E een elementaire n × n matrix zijn en A een n × r matrix. We bekijken in het volgende steeds E A.

Verwisselt E twee rijen van A dan E⁻¹ = E.

Vermenigvuldigt E een rij van A met α (α 6= 0) en F is dezelfde matrix als E waarbij α wordt vervangen door α⁻¹ dan E⁻¹ = F .

Telt E, α maal een rij van A bij een andere rij op en F is dezelfde matrix als E waarbij α wordt vervangen door

−α dan E⁻¹ = F .

Stelling

Een elementaire matrix is inverteerbaar en de inverse is een matrix van dezelfde vorm.

Laat E een elementaire n × n matrix zijn en A een n × r matrix. We bekijken in het volgende steeds E A.

Verwisselt E twee rijen van A dan E⁻¹ = E.

Vermenigvuldigt E een rij van A met α (α 6= 0) en F is dezelfde matrix als E waarbij α wordt vervangen door α⁻¹ dan E⁻¹ = F .

Telt E, α maal een rij van A bij een andere rij op en F is dezelfde matrix als E waarbij α wordt vervangen door

−α dan E⁻¹ = F .

I.A.M. Goddijn

De Fundamentele stelling over inverteerbare matrices

Stelling

Laat A een n × n matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen equivalent.

a. A is inverteerbaar.

b. De matrixvergelijking A x = b heeft precies ´e´en oplossing voor elke b ∈ Rⁿ.

c. De matrixvergelijking A x = 0 heeft alleen de triviale oplossing.

d. De gereduceerde echelonvorm van A is In. e. A is het product van elementaire matrices.

matrices

Stelling, vervolg f. rank(A) = n.

g. dim(null(A)) = 0.

h. De kolomvectoren van A zijn lineair onafhankelijk.

i. De kolomvectoren van A spannen Rⁿ op.

j. De kolomvectoren van A vormen een basis voor Rⁿ. k. De rijvectoren van A zijn lineair onafhankelijk.

l. De rijvectoren van A spannen Rⁿ op.

m. De rijvectoren van A vormen een basis voor Rⁿ.

I.A.M. Goddijn

Determinanten

De determinant van een n × n matrix is een getal dat on- gelijk is aan 0 als de matrix inverteerbaar is en gelijk aan 0 als dit niet het geval is.

Opmerking

Op zich is het een bijzonder verschijnsel dat ´e´en getal bepaald of een n × n matrix inverteerbaar is.

Voorbeeld Als A =

"

a b c d

#

a, b, c, d scalairen dan is A alleen

inverteerbaar als ad − bc 6= 0. De determinant van A wordt gedefinieerd door ad − bc.

Notatie det(A) of |A|

Definitie Laat A =





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a21 a22 a23

a31 a32 a33



.

Dan

det(A) = a11

a₂₂ a₂₃ a32 a33

− a₁₂    

a₂₁ a₂₃ a31 a33

+ a13

a₂₁ a₂₂ a31 a32

    .

I.A.M. Goddijn

Determinanten

Definitie

Als A een n × n matrix dan heet de matrix die wordt verkregen door de i-de rij en j-de kolom (1 ≤ i, j ≤ n) van A te schrappen, de minor van a_ij.

Notatie A_ij

Dit heeft gevolg dat nu voor de determinant van een 3 × 3 matrix geschreven kan worden:

det(A) = a11 det(A11) − a12 det(A12) + a13 det(A13)

=

3

X

j=1

(−1)^1+ja_1j det(A_1j).

Definitie

Laat A een n × n matrix zijn met n ≥ 2.

Dan is de determinant van A gelijk aan:

det(A)

= a11 det(A11) − a12 det(A12) + · · · + (−1)ⁿa1n det(A1n)

=

n

X

j=1

(−1)^1+ja_1j det(A_1j).

I.A.M. Goddijn

Determinanten

Definitie

Als A een n × n matrix is dan heet C_ij = (−1)^i+jdet(A_ij) de (i, j) cofactor van A.

Met deze definitie kan det(A) dus geschreven worden als:

det(A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + · · · + a_1nC_1n

=

n

X

j=1

a1jC1j.

De cofactorstelling

Laat A een n × n matrix zijn met n ≥ 2. Dan kan det(A) op de volgende tee manieren worden berekend.

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · · + ainCin

=

n

X

j=1

aijCij. en

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + · · · + anjCnj

=

n

X

i=1

aijCij. .

Gevolg

Als A een n × n matrix is dan det(A^T) = det(A).

I.A.M. Goddijn

Determinanten

Definitie

Een n × n matrix A heet een bovendriehoeksmatrix als aij = 0 voor 1 ≤ j < i ≤ n en een onderdriehoeksmatrix als a_ij = 0 voor 1 ≤ i < j ≤ n.

Stelling

De determinant van een onder-of bovendriehoeksmatrix is het product van de elementen op de hoofddiagonaal.

Als A een n × n matrix is dan det(A) = a₁₁a₂₂· · · a_nn.

Stelling

Laat A een n × n matrices zijn. Dan geldt:

a. Als A een nulrij heeft dan det(A) = 0.

b. Als de matrix B wordt verkregen door twee rijen van A te verwisselen dan det(B) = − det(A).

c. Als A twee gelijke rijen heeft dan det(A) = 0.

d. Als de matrix B wordt verkregen door een rij van A met een factor k te vermenigvuldigen dan

det(B) = k det(A).

e. Als B en C de matrices zijn zodat Cj = Bj = Aj

(1 ≤ j ≤ n, j 6= i) en C_i = A_i + B_i dan det(C) = det(A) + det(B).

I.A.M. Goddijn

Determinanten

Stelling, vervolg

Laat A een n × n matrices zijn. Dan geldt:

f. Als de matrix B wordt verkregen door een veelvoud van ´e´en rij bij een andere rij op te tellen dan

det(B) = det(A).

Opmerking

Als in deze stelling rijen door kolommen worden vervangen dan blijft zij geldig. Dit is een gevolg van het feit dat det(A^T) = det(A).

Stelling

Laat E een elementaire matrix zijn.

a. Als E twee rijen van Inverwisselt dan det(E) = −1.

b. Als E een rij van I_n met een factor k vermenigvuldigt dan det(E) = k.

c. Als E een veelvoud van ´e´en rij van I_n bij een andere rij optelt dat det(E) = 1.

Stelling

Als A een n × n matrix is en E is een n × n elementaire matrix dan det(E A) = det(E) det(A).

I.A.M. Goddijn

Determinanten

Gevolg

Als E₁, E₂, · · · , E_k elementaire n × n matrices zijn dan det(E₁E₂· · · E_k) = det(E₁) det(E₂) · · · det(E_k).

Stelling

Een n × n matrix A is inverteerbaar dan en slechts dan als det(A) 6= 0.

Stelling

Als A een n × n matrix is dan det(k A) = kⁿdet(A).

Stelling

Als A en B n × n matrices zijn dan det(A B) = det(A) det(B).

Stelling

Als A een inverteerbare n × n matrix is dan det(A⁻¹) = 1

det(A).

I.A.M. Goddijn