Lineaire afbeeldingen (transformaties)
Afbeeldingen (transformaties)e
Tot nu toe hebben matrices alleen een boekhoudkundige rol gespeeld (opslag van co¨effici¨enten en rechterleden van stelsels vergelijkingen).
Bij veel toepassingen worden matrices echter gebruikt om afbeeldingen (transformaties) te beschrijven.
Door een m × n matrix A wordt een afbeelding vastgelegd die aan iedere x ∈ Rn een vector Ax ∈ Rm toevoegt.
Definitie
Als T : Rn→ Rm een afbeelding is dan is het domein van T gelijk aan Rn,
codomein van T gelijk aan Rm
bereik van T gelijk aan{T (x) | x ∈ Rn}.
Definitie
Een afbeelding T : Rn→ Rm heet
surjectief of ‘op’ als het bereik gelijk is aan het codomein:
bij elke b ∈ Rmbestaat minstens ´e´en x ∈ Rn zodat T (x) = b.
injectief of ‘´e´en-´e´enduidig’ als voor elke b ∈ Rmde vergelijking T (x) = b ten hoogste ´e´en oplossing heeft.
En als je dit niet meer wist: kijk dan nog eens naar de volgende video.
Definitie
Een afbeelding T : Rn→ Rm heet lineair als T (u + v) = T (u) + T (v) voor alle u, v ∈ Rn T (cu) = cT (u) voor alle u ∈ Rn en alle c ∈ R.
Stelling
Als A een m × n matrix is en de afbeelding T : Rn→ Rm wordt gegeven door T (x) = Ax dan is T lineair.
Bewijs.
Als A = [a1a2. . . an] , u =
u1
u2
.. . un
, v =
v1
v2
.. . vn
en c ∈ R dan
T (u + v) = A(u + v) = (u1+ v1)a1+ (u2+ v2)a2+ . . . + (un+ vn)an
= (u1a1+ v1a1) + (u2a2+ v2a2) + . . . + (unan+ vnan)
= (u1a1+ u2a2+ . . . + unan) + (v1a1+ v2a2+ . . . + vnan)
= Au + Av = T (u) + T (v) en
T (cu) = A(cu) = (cu1)a1+ (cu2)a2+ . . . + (cun)an
= c(u1a1) + c(u2a2) + . . . + c(unan)
= c(u1a1+ u2a2+ . . . + unan)
= cAu = cT (u)
Opgaven
§1.8, Opgave 3
T : R3→ R3wordt gegeven door T (x) = Ax waarbij
A =
1 0 −2
−2 1 6
3 −2 −5
. Verder b =
−1 7
−3
.
Bepaal een vector x zodat T (x) = b en onderzoek of x uniek is.
1 0 −2 −1
−2 1 6 7
3 −2 −5 −3
∼
1 0 −2 −1
0 1 2 5
0 −2 1 0
∼
1 0 −2 −1
0 1 2 5
0 0 5 10
∼
1 0 −2 −1
0 1 2 5
0 0 1 2
We weten nu al dat x bestaat en uniek is.
1 0 −2 −1
0 1 2 5
0 0 1 2
∼
1 0 0 3
0 1 0 1
0 0 1 2
zodat x =
3 1 2
.
§1.8, Opgave 9
Bepaal alle vectoren x ∈ R4 die onder de afbeelding x → Ax worden
afgebeeld op de nulvector. Hierbij A =
1 −4 7 −5
0 1 −4 3
2 −6 6 −4
.
1 −4 7 −5 0
0 1 −4 3 0
2 −6 6 −4 0
∼
1 −4 7 −5 0
0 1 −4 3 0
0 2 −8 6 0
∼
1 −4 7 −5 0
0 1 −4 3 0
0 0 0 0 0
∼
1 0 −9 7 0
0 1 −4 3 0
0 0 0 0 0
x1, x2zijn dus basisvariabelen en x3, x4zijn vrije basisvariabelen
1 0 −9 7 0
0 1 −4 3 0
0 0 0 0 0
Als x3= t en x4= s (t, s ∈ R) dan x1= 9t − 7s en x2= 4t − 3s.
In vectorvorm:
x = t
9 4 1 0
+ s
−7
−3 0 1
(t, s ∈ R)
Matrixvoorstelling van een lineaire afbeelding
We weten nu dat elke m × n matrix A een lineaire afbeelding beschrijft.
Maar is het ook zo dat bij elke lineaire afbeelding T : Rn→ Rmeen m × n matrix te vinden is zodat T (x) = Ax voor alle x ∈ Rn? We zullen laten zien dat dit inderdaad het geval is.
Voorbereiding
Als T : Rn→ Rm dan:
T (c1v1+ c2v2 + . . . + cpvp) = c1T (v1) + c2T (v2) + . . . + cpT (vp)
voor alle vectoren v1, v2, . . . , vp en getallen c1, c2, . . . , cp∈ R
Laat e1 =
1 0 ... 0
, e2 =
0 1 ... 0
, . . . , en =
0 0 ... 1
.
Dan x =
x1
x2 ... xn
= x1e1 + x2e2 + . . . + xnen zodat
T (x) = T (x1e1 + x2e2 + . . . + xnen)
= x1T (e1) + x2T (e2) + . . . + xnT (en)
= [T (e1) T (e2) . . . T (en)] x
Stelling
Bij elke lineaire afbeelding T : RN → Rmbestaat een unieke m × n matrix A zodanig dat T (x) = Ax voor alle x ∈ Rn.
Hierbij:
A = [T (e1) T (e2) . . . T (en)]
A wordt de standaardmatrix bij T genoemd.
Voorbeeld (Schalen met een factor 0.5)
Voorbeeld (Schalen met een factor 0.5)
Voorbeeld (Roteren om 0 over een hoek φ)
Voorbeeld (Roteren om 0 over een hoek φ)
Opgave
§1.9, opgave 3
De afbeelding T : R2→ R2die punten roteert om de oorsprong over een hoek 3π
2 (tegen de wijzers van de klok in) is lineair.
Bepaal de standaardmatrix A bij T .
T (
"
1 0
# ) =
"
0
−1
# en T (
"
0 1
# ) =
"
1 0
# dus
A =
"
0 1
−1 0
#
Opgaven
§1.9, opgave 3
De afbeelding T : R2→ R2die punten roteert om de oorsprong over een hoek −3π
4 (met de wijzers van de klok mee) en vervolgens spiegelt in de x1-as is lineair.
Bepaal de standaardmatrix A bij T .
T (
"
1 0
# ) =
"
−√12
√1 2
# en T (
"
0 1
# ) =
" 1
√ 2
√1 2
# dus
A =
"
−√12 √12
√1 2
√1 2
#
