OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, CONTINUE FUNCTIES IN METRISCHE RUIMTEN (13)
Resultaten
Definitie. Zij (S, d) en (S∗, d∗) metrische ruimtes en f : S → S∗ een functie. We noemen f continu in s0∈ S als
∀ > 0 ∃δ > 0 zodat d(s, s0) < δ ⇒ d∗ f (s), f (s0) < .
Lemma. De projecties πj: Rk → R gegeven door πj(~x) = xj zijn continue afbeel- dingen. Sommen, producten en quoti¨enten van continue afbeeldingen zijn continu.
Stelling. Zij (S, d) een metrische ruimte en f1, . . . , fk: S → R afbeeldingen. De- finieer f : S → Rk door f (s) = f1(s), . . . , fk(s). Dan is f continu desda alle fj
dat zijn.
Definitie. Zij f : S → S∗ een functie. Zij s0∈ S. We schrijven
s→slim0
f (s) = L
voor zekere L ∈ S∗ als voor elke > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d f (s), L < geldt als d(s, s0) < δ.
Opgaven
Opgave 1. Zij (S1, d1), (S2, d2) en (S3, d3) metrische ruimten en f : S1 → S2, g : S2→ S3 continue afbeeldingen. Bewijs dat g ◦ f : S1→ S3continu is.
Opgave 2. Zij f : Rm → Rn een lineaire afbeelding: f (~x) = A~x voor een zekere matrix n × m-matrix A. Bewijs dat f continu is.
Opgave 3. Zij f : S → S∗een continue afbeelding van metrische ruimten en s0∈ S.
Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:
(1) f is continu in s0, (2) lims→s0f (s) = f (s0),
(3) voor elke rij (sn) met limn→∞sn = s0 geldt limn→∞f (sn) = f (s0).
Opgave 4. Zij f : Rn→ R. Stel dat lim~x→~0f (~x) = L. Neem ~x0∈ Rn vast. Bewijs dat voor t ∈ R geldt
t→0limf (t~x0) = L.
Opgave 5. Zij S een vectorruimte en k·k een norm op S. Definieer d(s, t) = ks−tk voor s, t ∈ S. Bewijs dat d een metriek is.
