TeaigeGeeheie  B eiij 9a g  2004

Lu Bouten, JorisMooij

9 augustus 2004

Dit zijn de aantekeningen bij het appli atie uur groepentheorie voor fysi i. Doel is

zoveel mogelijkideeenuithet ollegevanGertHe kmanteverduidelijkenaan dehandvan

symmetriegroepen van mole ulen. Vier voorbeelden worden redelijk onsequent doorhet

hele ollege heen meegenomen: water, ammoniak, methaan en ethaan. Meer informatie

is te vinden in de boeken van Sternberg[8 ℄, Serre [7 ℄ en Miller[5℄ (deze laatste is helaas

uitverko ht).

Nogeenopmerkingbetreendedenotatie. Erzijnvers hillendenotatiesinzwang,voor

groepen,elementen, onjugatieklassenenrepresentaties. ZoiserdeS hon iesnotatievoor

puntgroepenen hunelementen. DeS hon iesnotatiewordtveelvuldiggebruiktbinnende

theoretis he hemieendemole uulfysi a(ziebijv.[1 ℄),meestalin ombinatiemetdenotatie

van Mulliken voorrepresentatiesvan puntgroepen. Danis erde Hermann-Mauginnotatie

die in de rystallograe populair is (zie bijv. [2℄). Tot slot is er de notatie die binnen de

wiskundeminofmeerstandaardis,endiezullenwehiergebruiken. Daarzijndrieredenen

voor: allereerstomdat deze notatieook wordt gebruiktinhetdi taat [3℄ van He kman en

hetdaarom verwarrendzou zijn hiereenandere notatie tegebruiken. Ten tweede is deze

notatie de meest "zuinige" omdat er in deze notatie maar weinig isomorfe groepen zijn

met meerderenotaties. Ten derde zijnwe niet alleengenteresseerd in( rystallogras he)

puntgroepen, waar de S hon ies resp. Hermann-Maugin notatie voor beda ht zijn, maar

bijv. ook indesymmetris he enalternerende groepen.

Lu &Joris,Augustus2004

1 De symmetriegroep van een mole uul 7

1.1 Degroepen O(R 3

) en SO(R 3

) . . . 7

1.2 Denitievande symmetriegroep . . . 8

1.3 Water . . . 8

1.4 Ammoniak . . . 11

1.5 Methaan . . . 12

2 Conjugatieklassen 15 2.1 Water (D 2 ) . . . 15

2.2 Ammoniak(D 3 ) . . . 15

2.3 Methaan(S 4 ) . . . 15

3 Ethaan en het dire t produ t 17 3.1 \Staggered" ethaan. . . 17

3.2 Twee dire te produ ten? . . . 19

4 Redu tie in irreps 20 5 Representatietheorie in de fysi a 23 5.1 Typis hesituatie . . . 23

5.2 Voorbeelden: Quantum me hani a . . . 23

5.3 Voorbeeld: golven en trillingen . . . 25

5.4 Eigenruimtenvan H zijn invariantedeelruimten. . . 26

5.5 Nogmaals golven en trillingen . . . 27

6 Karaktertabellen 30 6.1 Water . . . 30

6.2 Ammoniak . . . 30

6.3 Methaan . . . 31

6.4 Ethaan. . . 31

7 Mole ulaire trillingen 32 7.1 Inleiding . . . 32

7.2 Algemene theorie . . . 32

7.3 Con retevoorbeelden . . . 34

7.3.1 Water . . . 34

7.3.2 Ethaan . . . 34

7.3.3 Symmetriebreking . . . 35

1 De symmetriegroep van een mole uul

1.1 De groepen O(R 3

) en SO(R 3

)

DenieeropR 3

hetstandaardreeleinprodu t:

R 3

R 3

!R : (x ;y)7!x

1 y

1 +x

2 y

2 +x

3 y

3

=:hx ;yi:

De orthogonale groep in 3 dimensies O(R 3

) is gedenieerd als de groep van inverteerbare

lineaireafbeeldingendiehetstandaard inprodu tinvariantlaten:

O(R 3

):=fA: R 3

!R 3

; A islineair; Ais inverteerbaar; hAx ;Ay i=hx ;yi 8x;y2R 3

g:

AlsweeenlineaireafbeeldingAidenti erenmetzijnmatrixtenopzi htevandestandaard

basisvanR 3

,dan ishetinverteerbaarzijnequivalentmetdet(A)6=0en deinvariantievan

hetinprodu tisequivalent met A t

A=I.

Merkop datuithAx ;Ay i=hx;y i 8x;y2R 3

volgt datA delengtevanve toreninR 3

behoudt:

8x2R 3

: jAx j= q

(Ax ) 2

1

+(Ax) 2

2

+(Ax ) 2

3

= p

hAx ;Axi= p

hx;x i=jxj:

Hetomgekeerde is ook waar: voorelke lineaireA geldt datuit hAx;Ax i=hx;x i 8x2R 3

volgt dat hAx ;Ayi = hx;y i 8x;y 2 R 3

. Immers: 8x;y 2 R 3

geldt hx y ;x yi =

hA(x y);A(x y)i = hAx Ay;Ax Ay)i = hAx;Ax i 2hAx;Ayi +hAy;Ay i =

hx ;xi 2hAx ;Ayi+hy;y i,verder: hx y;x yi=hx;x i 2hx;yi+hy;y ienhetresultaat

volgt.

DeelementenvanO(R 3

) hebbenalledeterminant 1: voorA2O(R 3

) geldt

1=det(I)=det(A t

A)=(detA t

)(detA)=(detA) 2

:

Deelementenmetdeterminant+1vormeneenondergroepvanO(R 3

),genaamddespe iale

orthogonale groep in3dimensiesSO(R 3

):

SO(R 3

):=fA:R 3

!R 3

;A2O(R 3

);detA=1g:

Dat dit e ht eenondergroep is volgt eenvoudig uit het feit dat det (AB) =(detA)(detB)

voor alleA;B 2GL(R n

) ( ontroleer eventjes de 3eisen indenitie1.9 in[3 ℄).

Zijw2R 3

metjwj=1,en 2R. Derotatie van R 3

met asw enhoekis delineaire

afbeeldingD

w;

:R 3

!R 3

metD

w;

(v )=valsv2Rw,D

w ;

(v )=( os)v+(sin)wv

alsv2w

?

. De spe ialeorthogonalegroep bestaat pre ies uitallerotatiesinR 3

:

SO(R 3

)=fD

w ;

;w2R 3

;jwj=1;2Rg:

DedraaiingsasRw iswelbepaald tenzij22Z. Merk op datD

w;

=D

w;  .

Zij w 2 R 3

met jwj = 1. De spiegeling van R 3

met als spiegelvlak w

?

= fv 2

R 3

;hv ;wi = 0g is de lineaire afbeelding S

w : R

3

! R 3

met S

w

(v) = v als v 2 Rw,

S

w

(v)=v alsv2w

?

. Allespiegelingenzijnelementenvande orthogonalegroep O(R 3

).

DegroepO(R 3

) bevat dusrotatiesen spiegelingen,ennatuurlijksamenstellingendaar-

te stellen? Merk allereerstop datde afbeelding s:R 3

! R 3

:x7! x, genaamd ruimte-

inversie, in O(R 3

) zit. Merk ook op dat dets = 1, dus s 62 SO(R 3

). Stel nu dat

A 2 O(R 3

) SO(R 3

), dus A is orthogonaal maar A is geen rotatie. Dan is sA wel een

rotatie, want sA2 O(R 3

) en det(sA) = (dets)(detA)= 1
1 =1, dussA 2SO(R 3

).

Er zijn dus een hoek  2 [0;2) en een ve tor w 2 R, jwj = 1 zo dat sA = D

w;

.

Vermenigvuldigen we links en re hts met s en gebruiken we dat s 2

= I, dan vinden we:

A = IA = (s 2

)A = s(sA) = sD

w;

. Je kunt eenvoudig nagaan dat S

w D

w;

= s, dus

A = sD

w;

= (S

w D

w;

)D

w;

= S

w (D

w ;

D

w;

) = S

w D

w;+

. Een dergelijke afbeelding

(draaiing rondomeen as gevolgd door spiegeling in het vlak loodre ht op die as) noemen

we eendraaispiegeling. Pre iezer: de afbeeldingS

w D

w;

heet de draaispiegeling met as w

over hoek ; deas iswelbepaald tenzij22Z.

Kortom, we hebben zojuistingezien dat

O(R 3

) SO(R 3

)=fsD

w;

;w2R 3

;jwj=1;2Rg

=fS

w D

w;+

;w2R 3

;jwj=1;2Rg :

DeorthogonalegroepO(R 3

)bevatdusbehalveallerotatiesookalledraaispiegelingen(met

als spe iaalgevalde spiegelingen).

Merk tot slot op dat alle elementen van O(R 3

) de oorsprong (0;0;0) 2R 3

vast laten.

DeondergroepenvanO(R 3

)hetendanookpuntgroepen, omdat alleelementen(behalvede

identiteit)pre ieseen enkelpunt vast(\invariant")laten.

1.2 Denitie van de symmetriegroep

ZijM eenmole uul bestaandeuit atomen genummerd van 1 tot en met n. Zij verderm

i

de massa van het i e

atoom. We kiezen de oorsprong van R 3

in het zwaartepunt van het

mole uulengeven met(q

1

;:::;q

n )2R

3n

de(evenwi hts) positiesvandeatomenaan. We

veronderstellendattwee atomenalleen gelijkemassa hebbenals ze identiekzijn.

Denitie 1.1: De symmetriegroep G(M) van een mole uul M in R 3

wordt gedenieerd

door:

G(M):=fA2O(R 3

); 8i9j met m

i

=m

j enAq

i

=q

j g:

Het is dus de ondergroep ( ontroleer zelf even de punten 1 tot en met 3 in denitie 1.9

van [3 ℄) van transformaties in O(R 3

) die het mole uul invariant laten. Nog weer anders

gezegd: hetisdegroepvanallerotatiesendraaispiegelingendieelk atoomvanhetmole uul

overvoeren ineenatoom van hetzelfde type.

1.3 Water

Als eerste voorbeeld bes houwen we het water mole uul, H

2

O (zie g. 1). Uit de guur

blijkt duidelijk dat de symmetriegroep G(H

2

O) behalve de eenheid E nog de volgende

elementenbevat:

 De rotatie R over eenhoek  om de as l

R

die loopt door het zuurstofatoom en de

oorsprong;

 Despiegeling T inhetvlak  waarinhetmole uulligt;

 De spiegeling in het vlak 

RT

. Ga na dat deze spiegeling niets anders is dan de

samenstelling R T van de twee vorige operaties (samenstellingen van fun ties lees je

altijdvanre htsnaarlinks,dusR T betekent\eerstspiegelen(T),danroteren(R )").

In dit bijzondere geval blijkthetniet uit te maken in welke volgorde je de operaties

samenstelt (R T = TR , de elementen R en T ommuteren), maar in het algemeen

maakt de volgordevan de samenstellingweldegelijkvers hil.

Alsweeenbasiskiezenzodathetzuurstof-atoomopdez-asligtendewaterstof-atomen

inhetxz-vlak(dus zoalsing. 1), vindenwe de volgendematri es bijdezeelementen:

E = 0



1 0 0

0 1 0

0 0 1 1

A

; R=

0



1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A

; T =

0



1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A

:

Dematrix van R T kun je dire t ops hrijven, maar je kunt hem natuurlijk ook berekenen

doorhetmatrix-produ tvan R metT tenemen:

R T = 0



1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A 0



1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A

= 0



1 0 0

0 1 0

0 0 1 1

A

:

Jekunt ontrolerendathetsamenstellen (vermenigvuldigen)van dezeelementenniets

nieuws meer oplevert; bijv. R 2

= E, T 2

= E, TR = R T, et etera. Dit betekent dat we

nu een ondergroep van G(H

2

O) hebben gevonden, namelijk H := fE;R ;T;R Tg. Jekunt

eenpogingwagenomnog meerelementenvande symmetriegroepG(H

2

O)tevinden,maar

dezepoging zal gedoemdzijn te mislukken: er zijn ernamelijk niet meer. Waarom dit zo

iszullenwehieronderinzien.

We s hrijven even de vermenigvuldigingstabel op van de ondergroep H die we zojuist

hebbengevonden:

H

H O



RT



T

l

R

(a) (b) ( )

z

x

y

Figuur1: Watermole uul, H

2

O. (a) Zijaanzi ht. (b)Symmetrien: de rotatie-as l

R

van de

rotatieRovereenhoekendespiegelingsvlakken

T en

RT

behorendebijdespiegelingen

E R T RT

E E R T RT

R R E RT T

T T RT E R

RT RT T R E

Merk op dat de vermenigvuldigingsregelspre ies overeenkomen met die van de groep D

2

(gedenieerdin [3 ℄ voorbeeld1.12), alsje de elementenop de voorde handliggende wijze

identi eert. DegroepH lijktdusergsterkopdegroepD

2

. Beidegroepen zijnnatuurlijk

niet identiek (want H bestaat uit transformatiesin R 3

, terwijl de elementen van D

2 per

denitietransformatiesinR 2

zijn),maar voorde rest lijken ze welheel ergveel op elkaar.

Alsjepuurletopde\algebra"(dusdevermenigvuldigingsregels)ennietop denotatievan

de elementen of op hun interpretatie, dan kun je geen onders heid maken tussen de twee

groepen. We zeggen in dit geval dat de groepen H en D

2

isomorf zijn. We komen later

(o.a.inhoofdstuk3 van[3 ℄) nog indetailterug ophet belangrijkebegripisomore.

1

We moeten nu nog inzien of we inderdaad alle elementen van de symmetriegroep van

H

2

O hebben gevonden, d.w.z. of H = G(H

2

O). Dit kun je als volgt beredeneren. Het

zuurstofatoom,latenwezeggendatditatoomnummer1is,moetdoordeelementenvande

symmetriegroepop zijn plekgelatenworden. Oftewel: vooralleA2G(H

2

O): Aq

1

=q

1 .

Het probleemredu eert dus 2

tot eenprobleemin hetvlak doorde twee waterstof atomen

enloodre htopq

1

. Detweewaterstof-atomenvormeneenlijnstuk,ofteweleenregelmatige

2-hoek, waarvan desymmetriegroep inhetvlakperdenitieD

2

is(zie [3 ℄voorbeeld1.12).

Eenanderemanierominte ziendatG(H

2

O)=H,isomeen oordinatensysteemtekiezen

en dan expli ietde oplossingen A te bepalen van het stelsel vergelijkingen Aq

i

=q

i voor

i=1;2;3. Dezelaatste manierlijktmiss hieneenvoudiger(dire ter),maarvoormole ulen

meteengrote symmetriegroep(desymmetriegroep vanmethaanheeftbijv. 24 elementen)

isdit laatste e ht enormveel werk.

Merk tenslotteop: als we denieren a:=R ;b:= T en :=R T,dan voldoen e;a;b en

aan de vermenigvuldigingsregels van de viergroep van Klein V

4

(zie [3 ℄ voorbeeld 1.7).

Ga dit even na! Dit betekent dat de symmetriegroep G(H

2

O) behalve isomorf met D

2



ook isomorf is met V

4

. En net zo goed zijn D

2 en V

4

isomorf. Je ziet dat \dezelfde"

groep in vers hillende gedaantes voor kan komen. Zoals we later zullen zien, hebben al

deze realisaties van dezelfde groep ook dezelfde eigens happen. Dit is een van de sterke

puntenvan groepentheorie: als jeeen bepaaldegroep goed begrijpten zijn eigens happen

kent, dan weet je meteen ook de eigens happen van alle groepen die isomorfzijn met die

bepaaldegroep. Hierziejedeta tiek vande wiskundige: vergeet alleirrelevantedetailsen

on entreerje op de zaken die van belang zijn;dit levert eenalgemeen toepasbaretheorie

op.

1

Nouvooruit,to heventjesdeformeledenitie: tweegroepenGenKhetenisomorf alsereenbije tieve

afbeelding :G!K bestaatdiedevermenigvuldigingsstru tuurbehoudt,d.w.z. (ab)=(a)(b)voor

allea;b2G;hierbijisabhetprodu tinGen(a)(b)hetprodu tinK. Inditvoorbeeldkunjenemen

G = H, K = D

2

en de afbeelding  : H ! D

2

is vastgelegd door (E) = e, (R ) =r, (T) = t en

(R T)=rt(maarjezouderolvanHenD2 ookkunnenverwisselen).

2

Gana,datalsjejebasisvanR 3

zokiestdatq

1

opdez-asligt,uitdeeisAq

1

=q

1

8A2G(H

2

O)volgt

datdematri esvandeelementenA2G(H2O)<O(R 3

)tenopzi htevandezebasis vandevorm



0

0

001



1.4 Ammoniak

Het ammoniakmole uul NH

3

is weergegeven in g. 2. In de guur kun je meteen enkele

transformatiesin de symmetriegroep G(NH

3

) van ammoniak NH

3

herkennen: r is de ro-

tatie over een hoek 2=3 om de as l

r

door de oorsprong en het stikstof atoom. t is de

spiegelinginhetvlak

t

doorde oorsprong,hetstikstofatoomenhetwaterstofatoomH

1 .

Samenstellenvan deze transformatieslevert bovendien de elementen r 2

(deinverse van r,

ofwelrotatie deandere kant op),rt(despiegelinginhetvlakdoorH

2

,Nen deoorsprong)

enr 2

t (despiegeling inhetvlak doorH

3

,N en deoorsrpong). Jekunt nagaan datandere

ombinaties niks nieuws opleveren en datook het nemen van inverses niks nieuws oplev-

ert, dus fe;r;r 2

;t;rt;r 2

g is een ondergroep van G(NH

3

). Via eenzelfde redeneringals we

gebruiktenvoor hetgeval van water kun je inzien datdeze ondergroep isomorfis met D

3

enbovendiendat ditook allesis: G(NH

3

)=fe;r;r 2

;t;rt;r 2

g. Immers,hetstikstofatoom

moetop z'nplaats worden gehouden; hetprobleemredu eert dustot eenprobleeminhet

vlak doorde drie waterstof atomen. Deze zijn gerangs hikt in een gelijkzijdige driehoek,

waarvan de symmetriegroepperdenitieD

3 is.

De groep S

3

is de groep van alle bije tieve afbeeldingen van de verzameling f1;2;3g

naarzi hzelf (zie ook [3 ℄ voorbeeld 1.8). We zullennu laten zien datde groepen G(NH

3 )

enS

3

isomorfzijn. Hiertoeasso ierenwe elkelementvanG(NH

3

) meteenpermutatievan

de3waterstofatomenH

1

;H

2 enH

3

(zie ookg.2). Zohoortbijderotatier depermutatie

123

231

. Despiegelingtkomt overeen metdepermutatie 123

132

,deverwisselingvanH

2 en

H

3

. Deoverigeelementenkunjevindendoorsamenstellen,ofookdooreendire teinspe tie

vanguur2. Jekuntdannagaandatdevermenigvuldigingsregelsinbeidegroepenhetzelfde

zijn: zo is bijvoorbeeldrtinderdaadgeasso ieerd met de samenstelling



1 2 3

2 3 1



1 2 3

1 3 2



=



1 2 3

2 1 3



:

Dus elkelement van G(NH

3

) levert een bije tieve afbeelding van de verzameling f1;2;3g

naar zi hzelf. Omgekeerd levert elke permutatie van de waterstof atomen maximaal een

element van G(NH

3

)op,omdat hetstelselfq

1

;:::;q

4 g R

3

opspant.

3

Bovendienkomt elke

3

Een lineaireafbeelding A:R 3

!R 3

ligtvolledigvastalsjeaangeeft wat debeeldenAq

i

zijnvaneen

H

3

H

2

H

1 N



r 2

t



t



rt l

r

(a) (b)

Figuur2: Ammoniakmole uul,NH

3

. (a)Zijaanzi ht. (b)Symmetrien: de rotatie-asl

r van

derotatier overeenhoek2=3ende driespiegelingsvlakkenbehorendebijdespiegelingen

2

mogelijke permutatie van waterstof-atomen (3! = 6 in totaal) ook daadwerkelijk overeen

met eenelement uit G(NH

3

)zoals jeeenvoudig nagaat.

Samenvattend hebben we zojuist eenbije tieve afbeelding van de groep G(NH

3 ) naar

de groepS

3

gedenieerd,diebovendiennog eensde vermenigvuldigingsstru tuurbewaart.

Dus de groepen G(NH

3 ) en S

3

zijn isomorf. We hadden al gezien dat we G(NH

3 ) ook

isomorfismet D

3

. Dit betekent datookD

3 en S

3

isomorfegroepenzijn.

1.5 Methaan

Figuur 3 is eenplaatjevan methaan CH

4

. We nummerende vier waterstofatomen op de

volgende manier: atoom 1 op positie q

1

=(1;1;1), atoom 2 op positie q

2

= (1; 1; 1),

atoom 3 op positie q

3

=( 1;1; 1) en atoom 4 op positie q

4

=( 1; 1;1). Het koolstof

atoomzitindeoorsprongenkrijgtnummer5. Wezullenlatenziendatdesymmetriegroep

voormethaanCH

4

isomorfismet de symmetris he groep S

4 .

Merk allereerstop dat hetC atoom op zijnplek moetworden gelaten; dit gaat e hter

automatis h goed omdat het in de oorsprong ligt. Elk element van G(CH

4

) levert een

permutatieopvandevierwaterstofatomen. Immers,alsA2G(CH

4

)danbeeldtAelkeq

i

(voor i=1;2;3;4) af op eenq

j

(met j 2f1;2;3;4g); bij dezeA hoort dan de permutatie



A 2 S

4

gedenieerd door

A

(i) := j als Aq

i

= q

j

(dit is e ht een permutatie, want zijn

inverse isgegeven door

A

1). Opdezemanierhebbenweeenafbeelding:G(CH

4 )!S

4

gedenieerd.

Deze afbeeldingis inje tief 4

: bijeengegeven permutatievan de vierwaterstof atomen

hoortmaximaal een element vandesymmetriegroepG(CH

4

);immers,R 3

wordtopgespan-

nendoorhetstelselve toren fq

1

;:::;q

4 g.

We laten nuzien dat ooksurje tief is. We moeten dusvoorelkelement  inS

4 een

afbeeldingmaken inG(CH

4

)diedewaterstofatomenpermuteertvolgensdepermutatie.

We doen dit opzo'n manier datmeteen duidelijkzal zijndat ookde vermenigvuldiging

stelselve torenfq

i gdatR

3

opspant.

4

Een afbeelding f : X ! Y heet inje tief als elke y 2 Y hooguit een origineel in X heeft, d.w.z.

8x12X8x22X :f(x1)=f(x2) =) x1=x2. f heetsurje tief alselkey2Y tenminsteeenorigineelin

X heeft, d.w.z.8y2Y9x2X :y=f(x). f heet bije tief ofinverteerbaar alsf inje tiefensurje tiefis,

dusalselkey2Y pre ieseenorigineelinX heeft.

H

1

H

2

H

3 H

4

C

H

1

H

2

H

3 H

4

H

1

H

2

H

3 H

4

H

1

H

2

H

3 H

4

(a) (b) ( ) (d)

Figuur 3: Methaan, CH

4

. (a) zijaanzi ht; (b) spiegelvlak van A

(12)

; ( ) spiegelvlak van

A ;(d)spiegelvlakvan A .

behoudt,d.w.z.dat(AB)=(A)(B)vooralleA;B 2G(CH

4

). We kunnendan onmid-

dellijk on luderendateenisomorsmeis 1

,endusdatde groepenG(CH

4 ) enS

4

isomorf

zijn(wat we noterenals G(CH

4 )



= S

4 ).

Eerst e hter een stellinkje over de symmetris he groep S

n

(zie [3 ℄ voorbeeld 1.8). We

gebruikende ykel notatieuit [3℄ voorbeeld2.11.

Stelling 1.1: De groep S

n

wordt voortgebra ht door de naburige verwisselingen: 

1

=

(12);

2

= (23);:::;

n 1

= (n 1;n), dus elke permutatie in S

n

kan worden ges hreven

alsprodu tvannaburigeverwisselingen(enhun inverses, maardatzijnwederomnaburige

wisselingen).

Bewijs:

Voor1i<j<ngeldt: (i;j+1)=(j;j+1)(i;j)(j;j+1). Doorherhaaldtoepassenvan

dezeregelzienwedatweuitdenaburigeverwisselingenalleverwisselingenkunnenmaken.

Verder is elke k- ykel te s hrijven als een produ t van verwisselingen: (i

1

;i

2

;:::;i

k ) =

(i

1

;i

2 )(i

2

;i

3 ):::(i

k 1

;i

k

). 2

Eenvoorbeeldje: inS

4

geldt (134)=(13)(34)=(23)(12)(23)(34) . Destellingheeft als

onsequentie dat om de surje tiviteit van  aan te tonen, we kunnenvolstaan door voor

elkvan de permutaties (12);(23) en (34) inS

4

een element in G(CH

4

) aan te wijzen dat

dewaterstofatomenpermuteertvolgensde gegeven permutatie. Welnu,neem tenopzi hte

van de basisuitg. 3:

A

(12) :=

0



1 0 0

0 0 1

0 1 0

1

A

; A

(23) :=

0



0 1 0

1 0 0

0 0 1 1

A

en A

(34) :=

0



1 0 0

0 0 1

0 1 0 1

A

:

Je ontroleert gemakkelijk dat de gegeven afbeeldingen in G(CH

4

) zitten, immers (12) is

de spiegeling in het vlak x

2 +x

3

= 0, (23) is de spiegeling in het vlak x

1 x

2

= 0 en

(34) is de spiegeling in het vlak x

2 x

3

= 0. Het origineel onder  voor willekeurige

permutatie in S

4

vindt je nu door deze permutatie te s hrijven als produ t van naburige

verwisselingen;hetorigineelonderisdanhetprodu tvandebijbehorendematri es. Dus

bijv. A

(134) :=A

(23) A

(12) A

(23) A

(34)

2G(CH

4

); hetmoge duidelijk zijn datdan inderdaad

geldt (A

(134)

)=(134). Kortom:  issurje tief en inje tief, dusbije tief. Deinverse van

isgegeven door 1

:S

4

!G(CH

4

): 7!A



waarbijA



zoalszojuistgedenieerd.

Totslothetbehoudvandevermenigvuldiging. Hetiseenvoudiginteziendatdeinverse

 1

de vermenigvuldigingbehoudt: laat =

i

1



i

2 :::

in 2S

4

en  =

j

1



j

2 :::

jm 2S

4

deontbindingeninprodu tenvan naburigeverwisselingenvantweewillekeurigeelementen

; 2S

4

zijn. Danis:

 1

()=A



=A



i

1 :::

in



j

1 :::

jm

=A



i

1 :::A



in A



j

1 :::A



jm

=A

 A



= 1

()

1

():

Maarhieruitkunje meteen on luderendatzelf ookde vermenigvuldigingbehoudt:

(AB)=



 1

(A)

 1

(B)



=



 1

(A)(B)



=(A)(B)

voor alleA;B 2G(CH

4 ).

We kunnen dus on luderen dat G(CH

4 )



= S

4

. In het bijzonder heeft de symme-

bepalendoordire t(uitg. 3)allemogelijkerotaties, spiegelingen,et . aftelezen,zou de

kansgroot zijn dat je er eenaantal over het hoofd had gezien. Bovendien krijg je via dit

isomorsmeendenotatievan deelementenvanS

4

automatis heenduidelijkenotatievoor

de elementen van G(CH

4

) adeau.

2 Conjugatieklassen

ZijG eengroep, x 2G eenelement. De onjugatieklasse van x is de deelverzamelingvan

Ggedenieerddoor

[x℄:=fgxg 1

:g2Gg:

Alsy 2[x℄,zeggen we daty ge onjugeerd ismet x. Ditis eenequivalentierelatie:

 re exiviteit: x=exe 1

2[x℄,dus xis ge onjugeerd metx (voorelke x2G);

 symmetrie: alsx=gyg 1

,dan isg 1

xg =y,dusals x ge onjugeerd ismet y,dan is

y ookge onjugeerd met x (voorallex;y2G);

 transitiviteit: als x = gyg 1

en y = hzh 1

(met x;y;z;g;h 2 G), dan is x =

ghzh 1

g 1

= (gh)z(gh) 1

; dus als x ge onjugeerd is met y, en y met z, dan is x

ookge onjugeerd met z.

Zoals zal blijken betekent het ge onjugeerd zijn van twee symmetrie operaties in de

ontext van puntgroepen dat ze van hetzelfde type zijn (rotatie, re e tie, et .) en dat de

een in de ander kan worden overgevoerd door middel van een symmetrie operatie in de

symmetriegroep.

2.1 Water (D

2 )

De symmetriegroep G van water, isomorf met D

2

, is abels. Dit betekent dat voor alle

g;h 2G:hgh 1

=g. Elke onjugatieklassebestaat dusuit een element: [e℄=feg; [r℄=

frg; [t℄=ftgen[rt℄=frtg. Detwee spiegelingentenrtzijnweliswaarbeidevanhetzelfde

type (\spiegeling"),maar ze zijn nietge onjugeerd omdat ze niet inelkaarover tevoeren

zijn d.m.v. een operatie uit de symmetriegroep (dat zou namelijk een rotatie over =2

moeten zijn,en die zit niet inG). Merk op datde twee spiegelvlakken voorhetmole uul

vers hillendebetekenishebben: deeen valtsamenmet hetvlakwaaarinhetmole uulligt,

deander staat daarloodre ht op.

2.2 Ammoniak (D

3 )

Desymmetriegroep Gvanammoniakis isomorfmet D

3

. Wevindenals onjugatieklassen:

[e℄ = feg; [r℄ = fr;r 2

g en [t℄ = ft;rt;r 2

tg. De elementen uit [t℄ zijn spiegelingen en de

elementen uit [r℄ zijn rotaties over 2=3 (zie ook g. 2). De spiegelvlakken zijn in elkaar

over te voeren door een rotatie in G, dus de spiegelingen zijn ge onjugeerd. De rotaties

zijn in elkaar over te voeren door spiegelingen uit G, dus ook de rotaties zijn allemaal

ge onjugeerd.

2.3 Methaan (S

4 )

Desymmetriegroep van methaan isisomorf met S

4

. De onjugatieklassen van S

4

zijn via

dit isomorsme tevertalen naar de onjugatieklassenvan G(CH

4

). Depermutaties in S

n

van een bepaald ykeltype, gekarakteriseerd door een partitie van n, vormen samen een

onjugatieklasse, zie stelling 2.14 [3 ℄ en stelling 4.5 [4℄ voor een bewijs. Voor n= 4 leidt

partitie representant aantal

4 (1234) 3!=6

3;1 (123)

4

3

2!=8

2;2 (12)(34)

4

2

=2!=3

2;1;1 (12)

4

2

=6

1;1;1;1 e 1

Wenummerendevierwaterstofatomenvanmethaanweerzoalsinhetvorigehoofdstuk,

zie g. 3. De partitie 2;1;1 karakteriseert de onjugatieklasse [(12)℄ = f(12), (23), (34),

(13),(24),(14)gvanS

4

;ditlevertdusde onjugatieklasse[A

(12)

℄=fA

(12)

;A

(23)

;:::;A

(14) g

van G(CH

4

). Dit zijn allemaal spiegelingen in vlakken door twee overstaande parallelle

ribbenvan dekubus; hetspiegelvlakbehorendebijA

12

isweergegeven ing. 4(a) en gaat

door C, H

3 en H

4

. Merk op: er zijn pre ies 6 paren overstaande parallelle ribben in de

kubus.

De onjugatieklasse in S

4

gekarakteriseerd door de partitie 3;1 is [(123)℄ = f(123),

(124), (134), (234), (132), (142), (143), (243)g. Dit levert meteen een onjugatieklasse

[A

(123)

℄ inG(CH

4

) op,waarvan de elementen dedraaiingenovereenhoek 2=3om eenas

dooreen van de waterstof atomen en het C atoom (zie g. 4(b)) zijn. Er zijninderdaad

4 van ditsoortassen en omdat er nuweleen vers hil istussen links-en re htsom draaien

levert ditpre ies 8draaiingenop.

De elementen uit de onjugatieklasse gekarakteriseerd door de partitie 2;2 (namelijk

f(12)(34);(13)(2 4);(1 4)( 23 )g) komen overeen met de draaiingen over  (merk op dat bij

een draaiing over een hoek  links- en re htsom draaien hetzelfde is) om assen door de

middens van twee tegenover elkaar liggende zijvlakken van de kubus (zie ook g. 4( )).

Merk op: erzijnpre ies 3 van dit soortassen.

Deelementenuitdeklassegekarakteriseerddoordepartitie4totslotzijndraaispiegelin-

gen over=2omeenasdoordemiddensvantwee tegenoverelkaarliggendezijvlakken van

de kubus(zie ookg. 4(d)). Erzijn 3 van zulkeassen en hetonders heidtussen links-en

re htsomdraaienlevert de 6elementenvan de onjugatieklasseop.

1

2

3 4

(a)

1

2

3 4

(b)

1

2

3 4

( )

1

2

3 4

(d)

Figuur4: Representantenvan onjugatieklassenvan desymmetriegroep van methaan. (a)

de spiegeling A

(12)

; (b) de rotatie A

(132)

; ( ) de rotatie A

(12)(34)

; (d) de draaispiegeling

A

(1423)

, bestaande uit de draaiing over de x-as over =2, gevolgd door spiegeling in het

3 Ethaan en het dire t produ t

3.1 \Staggered" ethaan

Van het mole uul ethaan, genoteerd C

2 H

6

, bestaande uit twee koolstof atomen en zes

waterstof atomen, bestaan twee vers hillende versies: het zogeheten \e lipsed ethane" en

het \staggered ethane". Wij bestuderen hier de staggered versie, die is ge



llustreerd in

guur5,waarbijdetwee koolstofatomenopdez-asliggenendezeswaterstofatomenzijn

gerangs hikt in twee gelijkzijdige driehoeken, parallel aan hetxy-vlak. Dee lipsed versie

wordt verkregen uit de staggered versie door de bovenste \helft" over 2=6 radialen te

draaienomdelengte-asvanhetmole uul,zodatdewaterstofatomenpaarsgewijstegenover

elkaarstaan.

WezijnweergeinteresseerdindesymmetriegroepG=fg2O

3

(R) ; \g(C

2 H

6 )=C

2 H

6 00

g

vanditmole uul. Denieerhiertoe: H :=fg2G; glaat de koolstof atomenop zijnplekg.

Dan is H een ondergroep van G, wat je gemakkelijk na gaat (zie denitie 1.9 van [3 ℄).

DenieerverderV :=G H =fg 2G; g62Hg, d.w.z. ditzijn de overige elementenvan

G(die dekoolstof atomendusverwisselen).

We vestigenonzeaanda htnueerstopde groepH. Aangeziende tweekoolstofatomen

ophun plekmoetenblijven,blijfteenprobleemin2 dimensiesover. HetisduidelijkdatH

maximaalD

3

kanzijn,desymmetriegroepvaneengelijkzijdigedriehoekintweedimensies.

Doorde gegeven onderlinge liggingvan de twee driehoeken (zie ook guur 5(b)) blijktH

inderdaad de hele D

3

te zijn,i.e. H = fe;r;r 2

;t;rt;r 2

tg. Waarbij r de rotatie over 2=3

omde z-as isen tde spiegeling inhetxz-vlak.

DeverzamelingV bevat eeninteressant element: de ruimte-inversie s:R 3

!R 3

:x7!

x. Merk op dat s 2

= e, oftewel s = s 1

. Merk bovendien op dat s in het entrum

van O(R 3

) zit (d.w.z. s ommuteert met elke A 2 O(R 3

)), en dus ook in het entrum

van G. Bekijk nu de afbeelding linksvermenigvuldiging met s: L

s

: G ! G : g 7! sg.

Merk op dat we door beperking tot H en V twee afbeeldingenkrijgen: L

s 



H

: H ! V

en L

s 



V

: V ! H die elkaars inverse zijn. Op deze manier krijgen we dus een bije tie

tussenH en V, wat betekent datwe Gnu helemaalkennen: G=H[V =H[L

s (H)=

fe;r;r 2

;t;rt;r 2

t;s;sr;sr 2

;st;srt;sr 2

tg.

We onderzoeken nu de stru tuur van de groep G in wat meer detail. We zullen laten

(a) (b)

Figuur 5: \Staggered" ethaan,C H . (a)Zijaanzi ht;(b)bovenaanzi ht.

zien datG



= C

2

D

3

, hetdire t produ tvan C

2 en D

3

(zie opmerking 3.18 [3℄). Hiertoe

denieren we de afbeelding " : G ! f1; 1g door "(g) = 1 als g 2 H en "(g) = 1 als

g 2V. Controleer even dat " eenhomomorsme is (waarbijde groepsoperatie in f1; 1g

de gewone vermenigvuldigingis). Denieer N :=fe;sg. Hetvolgendegeldt:

1. G=NH:=fnh:n2N;h2Hg.

2. N\H=feg.

3. N / G, hetgeen volgt uit Stelling 3.2 [3℄ en de observaties dat N < G en N =

fsg[feg=[s℄[[e℄.

4. H/G, hetgeen volgt uitStelling 3.11[3 ℄ en hetfeitdat H=Ker".

We kunnen nu dusopmerking 3.18 [3 ℄ toepassen en on luderendat G=N H. Omdat

N



= C

2 en H



= D

3

isdusG



= C

2

D

3 .

Een soortgelijk tru je is algemener toepasbaar, voor alle mole ulen die symmetris h

zijn onderruimte-inversie. Inplaats vande afbeelding "gebruiken we nude determinant-

afbeeldingdet .

Stelling 3.1: Zij G de symmetriegroep van een mole uul M, zodanig dat s, de ruimte-

inversie,inG zit. DenieerK:=fg2G; det(g)=1g,dan geldt: G



= C

2

K.

Bewijs:

Merk op dat voor alle g 2 G : det(sg) = det(g) (hier gebruiken we dat de ruimte 3-

dimensionaal is). Linksvermenigvuldigingmet s levert nu, net als hierboven, een bije tie

tussen K := fg 2 G; det(g) = 1g en W := G K = fg 2 G; det(g) = 1g. Denieer

N :=fe;sg, dan N



= C

2

. Merk nuop:

1. G=NK;

2. N\K =feg;

3. K=Ker detdusK/G(St. 3.11en Vb.3.12 [3 ℄);

4. N/G want N isbevat inhet entrumvan G.

Destellingvolgtnuonmiddellijkuitdedenitievanhetdire tprodu t(zieopmerking3.18

[3 ℄). 2

Terug naar het voorbeeld ethaan. We hebben a htereenvolgens gevonden dat G =

NH =NKwaarbijN =fe;sg,H=fe;r;r 2

;t;r;rt;r 2

tgenK =fe;r;r 2

;st;rst;r 2

stg.

DegroepenH (isomorfmetD

3

) enK zijnisomorfviahetisomorsmegegeven doorr 7!r

en t7!st.

Desymmetriegroepvanethaanis bovendienisomorfmetD

6 . D

6

isde symmetriegroep

vaneenregelmatige6-hoekinhetvlak. Noteerderotatie over2=6 met endespiegeling

in de x-as met . Figuur 5(b) geeft aan wat hetisomorsme tussen D

6

en G is:  7! sr 2

3.2 Twee dire te produ ten?

Merknogevenop: wehebbennutweedenitiesvoorhetdire tprodu t,dievanopmerking

3.18 [3 ℄ en die van opgave 1.3 [3 ℄, noteer deze respe tievelijk met  en 

1:3

. We moeten

dusnog even laten zien datN K



= N 

1:3

K. Vooralleg 2N K geldt dater unieke

elementenzijn n2N enk 2K zodanig datg=nk (zie opmerking 3.15 [3 ℄). Denieernu

eenafbeelding : NK !N

1:3

Kdoor: (nk):=(n;k). Hetisduidelijkdat bije tief

is. Wemoetendusnogbewijzendat eenhomomorsmeis. Vooralleg

1

;g

2

2NK zijn

er unieke n

1

;n

2

2 N en k

1

;k

2

2 K zodanig datg

1

= n

1 k

1 en g

2

=n

2 k

2

. Dan volgt met

behulpvan dedenitievan hetprodu tinopgave 1.3 [3 ℄

(n

1 k

1 ) (n

2 k

2 )=(n

1

;k

1 )(n

2

;k

2 )=(n

1 n

2

;k

1 k

2

)= (n

1 n

2 k

1 k

2 );

Dus nog te bewijzen n

2 k

1

= k

1 n

2

. Merk hiertoe op: n

2 k

1

= k

1 k

1

1 n

2 k

1 en k

1

1 n

2 k

1 2 N

omdat N /N K. Dus n

2 k

1

= k

1

n met n = k 1

1 n

2 k

1

2 N. Op eenzelfde manier, met

behulpvanK/NK,vindenwen

2 k

1

=kn

2

metk =n

2 k

1 n

1

2

2K. Omdatdes hrijfwijze

van n

2 k

1

alsprodu tvaneersteenelementuitK gevolgd dooreenelement uitN uniekis,

volgtuit k

1

n=kn

2

datk=k

1

enn=n

2

,ofteweln

2 k

1

=k

1 n

2 .

4 Redu tie in irreps

In dit hoofdstuk zullen we een eenvoudig voorbeeld geven van hoe een redu ibele rep-

resentatie opsplitst in irredu ibele omponenten. Het voorbeeld is afkomstig uit [8 ℄. Het

voorbeeldisnietzozeerinteressantvanwegezijndire tetoepasbaarheid,maarwegevenhet

omdat een goed begripvan representatietheorie onmisbaaris voortoepassingen van groe-

pentheorie inde fysi a. Het begrijpen van dit voorbeeld is een noodzakelijke voorwaarde

vooreenbegripvan de volgendehoofdstukken.

Bes houw de symmetriegroep van ammoniak; dezeis isomorfmet D

3

zoals we hebben

gezien. Webekijkennude3-dimensionalerepresentatie:D

3

!GL

3

(C) van D

3

gedeni-

eerddoor:

(r):=

0



0 0 1

1 0 0

0 1 0 1

A

; (t):=

0



1 0 0

0 0 1

0 1 0 1

A

:

De overige matri es liggen vast vanwege de homomorsmeeigens hap van , bijvoorbeeld

rt2D

3

wordt gerepresenteerd door:

(rt)=(r)(t)= 0



0 0 1

1 0 0

0 1 0 1

A 0



1 0 0

0 0 1

0 1 0 1

A

= 0



0 1 0

1 0 0

0 0 1 1

A

:

Hoeweetjenudatdezedenitie(van)geentegenstrijdigheidbevat? Bijvoorbeeld,zou

(r)(t)welgelijk zijnaan(t)(r)(r) (zoalszou moeten opgrond van de homomorsme

eigens hapvan)? Welnu,jezouditnatuurlijkexpli ietkunnengaan ontrolerenvooralle

relevanteprodu tenvan (g)-tjesmetg2D

3

,maar datisveel werk. Jekunt hetalsvolgt

snellerinzien: herinnerje (ofleeshet nainhoofdstuk2) hetisomorsmetussenD

3 en S

3 .

De rotatie r kwam hierbij overeen met de permutatie (123) van de drie waterstofatomen

en de spiegeling t kwam overeen met de verwisseling (23). Bovenstaande representatie is

nietsandersdan deafbeeldingdieaan eenpermutatiezijnpermutatiematrix toevoegt; dat

diteen homomorsmeishebben we inVoorbeeld3.10 [3 ℄ algezien.

We vragen ons nu af: is de representatie  redu ibel? Dat wil zeggen: kunnen we

een basis van C 3

vinden zo dat t.o.v. die nieuwe basis, alle matri es (g) in blokvorm

zijn? Omdat deze representatie 3-dimensionaalis, zijn er eigenlijk maar twee niet- auwe

blokvormen mogelijk: een 11 blok met een 22 blok (wat niet verder kan worden

opgesplitst intwee 11 blokken), of drie11 blokken. In representatietheorie taal: de

3-dimensionalerepresentatie zou miss hienopgesplitstkunnenwordenineen ombinatie

van een 1-dimensionaleen een 2-dimensionaleirrep, of in drie1-dimensionale irreps. Het

zou ooknog kunnendat zelfirredu ibelis,endan kunnenwe hem dusniet inblokvorm

krijgen (nouja,een33 blok,maar datis auw).

Als redu ibel is,daniserdusiniedergevaleen11-blok. Wegaandusopzoeknaar

een1-dimensionaleinvariantedeelruimtevanC 3

. Dieissnelgevonden: deeendimensionale

lineaire deelruimte W = [[w℄℄ = fw; 2 Cg van C 3

opgespannen door de ve tor w =

(1;1;1) is invariant.

5

We kunnen nu onmiddellijk on luderen dat  redu ibelis. Om de

redu tie expli ietuitte voeren,moet ere hter nog meergebeuren.

5

Inderdaad,voorelkeg2D3 verwisselt(g)de3 oordinatenvaneenve torinC 3

opdeeenofandere

manier. Alsde oordinatenidentiekzijn,heeftdatgeenee t. Dustoepassenvan(g) opeen ve toruit

W,de deelruimtevanve torenmet3identieke oordinaten, levertweerdezelfdeve torop; i.h.b.ligtdie

Om een andere invariante deelruimtete vinden,merken we op dat elke (g) in O

3 (R)

zit,en dusinU

3

(C). Hieruitvolgt, dathetorthogonaal omplement

W

?

:=fv 2C 3

:hv;wi=0 8w2Wg=[[(1; 1;0);(0;1; 1)℄℄

ook eeninvariantedeelruimteis,zoalsde volgendestelling aantoont.

Stelling4.1: Zij:G!U(C N

)eenunitairerepresentatievaneengroepG. AlsW C N

eeninvariante deelruimteis,dan isookW

?

:=fv2C N

:hv;wi=0 voorallew2Wgeen

invariante deelruimtevande representatie.

Bewijs:

We moetenlaten zien: als v2W

?

,dan ligtook(g)v 2W

?

,en welvooralleg2G. Dus

stelv2W

?

. Dan ishv;wi=0voorallew2W. Omdat(g) unitairis,is

h(g)v;(g)wi=hv;wi=0 voorallew2W en alleg2G.

Omdat de afbeelding 

jW

(g) : W ! W inverteerbaar is, kunnen we \voor alle w 2 W"

vervangen door\voor alle(g)w2W"(want W =(g)W). S hrijven we bovendienw 0

in

plaats van (g)w, dan krijgen we: h(g)v;w 0

i = 0 vooralle w 0

2 W en alle g 2 G. Maar

datbetekent pre ies dat(g)v 2W

?

vooralleg2G, wat wewildenbewijzen. 2

Hetzou kunnendatde 2-dimensionaleinvariantedeelruimteW

?

ookweertes hrijven

isalsdire tesomvantwee1-dimensionaleinvariantedeelruimtes;ofditzoisofniet,zienwe

dadelijk. Eerstzullenwederepresentaties hrijvenalsdire tesom=

jW



jW

?;ofwel,

geformuleerdinmatrix terminologie: we brengende matri es (g) op blokvorm. Hiervoor

transformerenwenaarde nieuwebasis: (1;1;1);(1; 1;0);(0;1; 1). Voor(r) krijgenwe:

0



1 1 1

1 1 0

0 1 1

1

A 0



0 0 1

1 0 0

0 1 0 1

A 0



1 1 1

1 1 0

0 1 1

1

A 1

= 0



1 0 0

0 1 1

0 1 0

1

A

envoor(t):

0



1 1 1

1 1 0

0 1 1

1

A 0



1 0 0

0 0 1

0 1 0 1

A 0



1 1 1

1 1 0

0 1 1

1

A 1

= 0



1 0 0

0 1 1

0 0 1

1

A

:

Enziedaar,wehebbeninblokvorm(uiteraardzijnookdeanderematri esnabasistrans-

formatie in blokvorm, immers dit zijn produ ten van blokvorm matri es). S hematis h

weergegeven:

0



 1

A

= 0





jW



jW

? 1

A

hetgeen de vertaling is inmatrix terminologie van \=

jW



jW

?". We zien bovendien

aan de matri es hierboven dat de representatie 

jW :D

3

! GL(W) equivalent is met de

triviale representatie.

6

Derepresentatie

jW

? ziet erniet e ht bekenduit.

6

We hadden ookeen andere basis kunnenkiezen, bijv. de volgendeorthonormale basis

vanC 3

:

f

1

= 1

p

3

(1;1;1); f

2

= 1

p

6

( 2;1;1); f

3

= 1

p

2

(0; 1;1):

Merk op dat f

1

W opspant, terwijl W

?

wordt opgespannen door f

2 en f

3

. Als we (r)

s hrijventenopzi hte van dezebasiskrijgen we:

0

B

 1

p

3 1

p

3 1

p

3

2

p

6 1

p

6 1

p

6

0

1

p

2 1

p

2 1

C

A 0



0 0 1

1 0 0

0 1 0 1

A 0

B

 1

p

3 2

p

6 0

1

p

3 1

p

6 1

p

2

1

p

3 1

p

6 1

p

2 1

C

A

= 0

B



1 0 0

0 1

2 1

2 p

3

0 1

2 p

3 1

2 1

C

A

en voor(t)krijgen we:

0

B

 1

p

3 1

p

3 1

p

3

2

p

6 1

p

6 1

p

6

0

1

p

2 1

p

2 1

C

A 0



1 0 0

0 0 1

0 1 0 1

A 0

B

 1

p

3 2

p

6 0

1

p

3 1

p

6 1

p

2

1

p

3 1

p

6 1

p

2 1

C

A

= 0



1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A

Nu herkennen we de twee-dimensionale representatie

jW

?: hijis equivalent met de stan-

daard representatie van D

3

! Deze representatie is irredu ibel, dus we kunnenniet verder

gaan en het22-blok opsplitsenintwee 11blokken.

Samenvattend: we hebben de driedimensionale\permutatie" representatie  op C 3

=

W W

?

expli iet geredu eerd tot een dire te som  = 

W



W

?, waarbij 

W

: G !

GL(W) een eendimensionale irrep is (namelijk de triviale) en 

W

?

: G ! GL(W

?

) een

tweedimensionaleirrepis (namelijkequivalentmet de standaardrepresentatievan D

3 ).

5 Representatietheorie in de fysi a

5.1 Typis he situatie

Latenwealvastinhetkortmotiverenwaaromweeigenlijkge



nteresseerdzijninirredu ibele

representaties endebijbehorendeirredu ibelekarakters. Inhetvolgendehoofdstukkomen

we hiernog eens uitvoerig opterug wanneerwemole ulaire trillingenbespreken.

Eentypis he situatiein de fysi ais datwe eenve torruimteW gegeven hebben en op

dieve torruimteeenzelfgeadjungeerde(lineaire)operatorH : W !W. Verderhebbenwe

eengroep G(de\symmetriegroepvan hetsysteem") eneenrepresentatie:G!GL(W)

die ommuteert met H:

(g)H =H(g) vooralleg2G. (1)

In deze situatie kunnenwe met behulp van groepentheorie allerlei eigens happen van

het spe trum 7

van de operator H a eiden, zonder dat we de operator H pre ies hoeven

te kennen. We buiten aldus de symmetrieen van de operator H uit om iets over zijn

eigenwaarden te wetente komen. Terillustratievolgen nutwee voorbeelden.

5.2 Voorbeelden: Quantum me hani a

W isdeve torruimtevan\ket's"ji,dusdeve torruimtevanmogelijketoestandenvanhet

quantumsysteem (denk bijv. aan de ve torruimte van alle mogelijke golun ties van een

deeltje). H isdeHamiltoniaanvanhetsysteemenGisde(abstra te)symmetriegroepvan

deHamiltoniaan. Deelementengvandeabstra te symmetriegroep Gzijngerepresenteerd

alsoperatoren (g) op W die ommuterenmet H.

Hetbovenstaandekomjeinallerleivariatiestegen; wezullennueenspe iekvoorbeeld

naderbes houwen: het(niet-relativistis he)vrije deeltje. Neem

W =L 2

(R 3

)\="

n

:R 3

!C 



 Z

R 3

j (x)j 2

dx <1 o

;

deruimtevanallemogelijke(kwadratis hintegreerbare)golun tiesdiedetoestandvaneen

deeltje(in3 dimensies)bes hrijven. Dit iseenve torruimte: je kuntgolun tiesoptellen:

(

1 +

2

)(x ):=

1 (x)+

2

(x ) 8x2R 3

voor

1

;

2

2W,en ook s alairvermenigvuldigen:

( )(x):= (x ) 8x2R 3

voor 2W;2C. H isde Hamiltoniaan,inditgevaldusH = r 2

. Desymmetriegroep

vanHisdegroepEvanEu lidis hebewegingen,datwilzeggendegroepvantransformaties

van R 3

!R 3

voortgebra ht doorde rotaties, spiegelingenen translaties. Debijbehorende

representatie van dezegroepis:

:E !U(L 2

(R 3

)): 7! Æg 1

:

7

Inheteindig-dimensionalegevalishetspe trum vaneenlineaireafbeeldingpre iesdeverzamelingvan

Het irkeltje\Æ"isdewiskundigenotatievoorhetsamenstellen vanfun ties.

8

Hetgroepse-

lement g wordt dus gerepresenteerd als de afbeeldingdie een golun tie afbeeldtop de

golun tie Æg 1

;geevalueerd inhetpuntx2R 3

isde waarde van denieuwe golun tie:

(g)

(x ):=( Æg 1

)(x )= g 1

(x)

:

Jevraagt je miss hienaf: waarom dieinverse van g? Welnu,als je dieweg zou laten,dan

jegeenhomomorsmehebben. Deinverseisnoodzakelijkomdegoedevolgordetekrijgen:

(gh) = Æ(gh) 1

= Æ(h 1

g 1

)= Æ(h 1

Æg 1

)=

=( Æh 1

)Æg 1

=(g)( Æh 1

)=(g) (h)

= (g)(h)

enditgeldtnatuurlijkvooralle 2L 2

(R 3

). Verderis(g)duidelijklineairvoorelkeg2E,

dus is inderdaadeen representatie. Verder is unitair,dat wil zeggen hijbehoudt het

omplexeinprodu top W:

h(g) ;(g)i= Z

R 3

(g 1

x) (g 1

x)dx= Z

R 3

(y )(y )dy=h ;i

vooralleg2E en ;2L 2

(R 3

);wehebbenhierdesubstitutiey=g 1

xuitgevoerd(merk

op dat de bijbehorendeJa obiaan de waarde 1 heeft). Tot slot: je kunt nagaandat (g)

en de HamiltoniaanH inderdaad ommuteren, d.w.z.[(g);H℄=0,vooralleg2E.

Ditvoorbeeldlatenweverdervoorwathetis;toepassingvangroepentheorieishierwat

ingewikkelder doordat de ve torruimte W oneindig-dimensionaal is. We hebben het met

name genoemd omje eenidee te geven van waar en op welke wijze je groepentheoriezoal

tegenkomt indefysi a. Indequantumme hani a barsthettrouwensvandetoepassingen;

enkele voorbeelden(waarwe verderniet op ingaan)zijn:

 Spin: heeftte maken met rotatiesymmetrie.

 Bosonen/ fermionen: heeft te maken metpermutatiesymmetrie.

 De Dira vergelijking voor het vrije deeltje: deze is af te leiden m.b.v. de Lorentz

groep, degroepvan spe iaal-relativistis hetransformatiestusseninertiaalstelsels.

 De energieniveaus van het waterstofatoom zijn te berekenen door louter gebruik te

maken van de symmetrieen van hetsysteem (dit wordt behandeldinhet ollege Lie

Theorie).

 Ook de energieniveaus van de quantum-me hanis he harmonis he os illator zijn te

berekenenmetbehulpvan derelevante symmetriegroep.

 Dezgn. sele tieregelszijn ook uitingenvan symmetrie.

8

Twee fun tiesf:X !Y eng:Y !Z kunjesamenstellentoteennieuwefun tiegÆf:X!Z;het

ideeisdatjeeerstf laatwerkenendaarnag,dus(gÆf)(x):=g f(x)

voorx2X. Laatjenietverwarren

doordenotatie: jemoetsamenstellingvanfun tiesvanre htsnaarlinkslezen! Samenstellenisasso iatief:

5.3 Voorbeeld: golven en trillingen

Eenandervoorbeelddatpastinhetalgemene kaderiseenketenvangekoppeldeharmonis-

he os illatoren. Dit voorbeeld is als het goed is reeds behandeld bij het ollege Golven

en trillingen, waar het vinden van de oplossingen van de bewegingsvergelijkingen in feite

neerkwamop hetgokkenvande juisteAnsatz. Hierzullenwes hetsenhoejedoorgebruik

temaken vanrepresentatietheoriedeoplossingendaadwerkelijkkunta eiden|zondergok-

werk.

In on reto, bes houw eeneendimensionaalmassa-veersysteem bestaande uit N punt-

massa's,waarbijelke puntmassaisverbondenmet zijnbeideburen. Wenoterende uitwij-

kingen als x = (x

1

;:::;x

N ) 2 R

N

=: W. We kiezen periodieke randvoorwaarden en

we nemen alle massa's en veer onstanten identiek; we krijgen dan de volgende beweg-

ingsvergelijkingen:

m d

2

x

j

dt 2

= (x

j+1 x

j

)+ (x

j 1 x

j

) j =1;:::;N

waarbij x

0 := x

N en x

N+1 := x

1

; m is de massa van een willekeurige puntmassa en is

de veer onstante van een veertje tussen twee naburige puntmassa's. Zij H 2 GL(R N

) de

operator metals matrixt.o.v.de standaardbasisvan R N

:

H = 0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B



2 1 0 0 ::: 0 1

1 2 1 0 ::: 0 0

0 1 2 1 ::: 0 0

0 0 1 2 ::: .

.

. .

.

.

.

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

.

0 0 0 0 ::: 2 1

1 0 0 0 ::: 1 2

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A :

We kunnende bewegingsvergelijkingen dan alsvolgts hrijven:

d 2

dt 2

x=

m Hx:

Merk op dat H zelf-geadjungeerd is. Wat is de symmetriegroep van het systeem? Een

symmetriedieoverduidelijkaanwezigis,isde\translatie"-symmetrie: alsjedepuntmassa's

y lis h verwisselt via x

j 7! x

j+1

(met x

N 7! x

1

) verandert er niets wezenlijks aan het

systeem. We nemen dus alssymmetriegroep G=C

N

=fe;r;:::;r N 1

g. De representatie

:C

N

!GL(W)van desymmetriegroepop deve torruimtevanuitwijkingenisals volgt

gedenieerd:

(r j

)(x

1

;:::;x

N

):=(x

1+j

;:::;x

N+j

) (2)

waarbij de indi es modulo N gerekend worden. Je gaat eenvoudig na dat  en H om-

muteren,zodatweinderdaadinhetalgemenekaderzittendataanhetbeginvandithoofd-

stuk is bes hreven. We zullen spoedig zien wat groepentheorie in deze situatie te bieden

5.4 Eigenruimten van H zijn invariante deelruimten

We gaan hier weer uit van de algemene situatie bes hreven in paragraaf 5.1. Het doel

dat we nastreven is het doen van uitspraken over het spe trum van de operator H; in

het eindig dimensionale geval is het spe trum van een operator pre ies de verzameling

van eigenwaarden van die operator. We zullenzien datkaraktertheorie onsvertelt hoeveel

vers hillendeeigenwaardenerinhetspe trumvoorkomenenwatdeontaardingsgraden zijn,

d.w.z.wat dedimensiesvan de eigenruimtenzijn.

Noteer de eigenruimte van H bij eigenwaarde k

j

met W

kj

. Merk nog even op: W =

L

j W

k

j

(wantHiszelf-geadjungeerd). Het ru ialepuntishetvolgendegevolgvanvergelij-

king(1) .

Stelling 5.1: Voorallej isW

k

j

eeninvarianteruimteonderde representatie.

Bewijs:

Neem j vast. Voorallew2W

k

j geldt:

H (g)w

= H(g)

w= (g)H

w=(g)(Hw)=(g)(k

j w)=k

j

(g)w

vooralle g 2 G. Oftewel: vooralle g 2G is ook (g)w eeneigenve tor van H bij eigen-

waarde k

j

. Dus: alsw2W

k

j

,dan ook(g)w2W

k

j

vooralleg2G. 2

Dit betekent datde dire te somsplitsingW =W

k

1

W

k

2

:::W

k

r

(r ishetaantal

vers hillendeeigenwaarden), leidttot desplitsing:

=

k1



k2

:::

kr

; (3)

waarbij

k

i :=





W

k

i

de beperkingvan tot W

k

i is.

We veronderstellen nu dat H op V natuurlijke ontaarding heeft voor G, d.w.z. dat

de 

k

i

's allemaal irrepszijn. Als we geennatuurlijke ontaarding hebben, spreken we van

toevallige ontaarding. Zit je in deze situatie dan is in de regel voor G niet de volledige

symmetriegroepgekozen,d.w.z.hetsysteembezit(verborgen)symmetriedienognietwordt

gebruikt.

Nemen we nu het spoor van vergelijking (3) , dan leidt dit tot een opsplitsing van

X:=Tr()ineensom van irredu ibelekaraktersX

k

i

:=Tr(

k

i ):

X =X

k1 +X

k2

+:::+X

kr :

Dit is waarom we voor groepen tabellen maken van de irredu ibele karakters 

i

. Door

inprodu ten te nemen met deze getabelleerde karakters kunnen we te weten komen hoe

vaakwelkeirrepvoorkomtindeontbindingvan. Doorhetoptellenvanallevoorkomende

karakters gewogen met hun multipli iteiten weten we hoeveel vers hillende eigenwaarden

H heeft. Het karakter geevalueerd te e geeft de dimensie van de irrep. Als we dusweten

welke karakters voorkomen, kennen we ook de ontaardingsgraden (we weten e hter niet

5.5 Nogmaals golven en trillingen

We keren nog even terug naar de keten van harmonis he os illatoren. De representatie

:C

N

!GL(R N

) gedenieerdin(2)heeft hetvolgendespoor:

X(r j

)=Tr((r j

))= (

N alsj =0

0 als j=1;:::;N 1

Dekaraktertabelvan C

N

is gegeven door(zie ook[3℄,Voorbeeld 4.15):

C

N

e r r

2

... r j

... r N 1



0

1 1 1 ... 1 ... 1



1

1  

2

...  j

...  N 1



2

1 

2

 4

...  2j

...  2(N 1)

.

.

. .

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



k

1 

k

 2k

...  jk

...  k(N 1)

.

.

. .

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



N 1

1  N 1

 2(N 1)

...  j(N 1)

...  (N 1)

2

waarbij :=e 2i=N

. Het inprodu thX;

k

i= 1 voor allek; alle irrepskomen dus pre ies



een maal voor inde representatie. Als er natuurlijke ontaarding zou zijn,dan zou elke

eigenruimte van H pre ies overeenkomen met een irrep. In het bijzonder zou elke eigen-

ruimtedaneendimensionaalzijnenzouHpre iesN vers hillendeeigenwaardenhebben;de

opsplitsingvanW ineigenruimtenvanHzoudanpre iesovereenkomen metdeopsplitsing

van W ininvariantedeelruimtesonder .

Dit ise hter niet hetgeval. Immers, zijx een ve tor uit de invariantedeelruimtevan

W behorendbijde irrepmet karakter 

k

,d.w.z.steldat:

(r j

)x=e 2ijk=N

x:

Dangeldt:

Hx=2x (r)x (r 1

)x=(2 e 2ik=N

e

2ik=N

)x=2



2 2 os 2

k

N



x:

We zien datvoork 1;k 6=N=2 deeendimensionaleinvariantedeelruimtenmet karakter



k en 

N k

allebei bevat zijn in dezelfde eigenruimte van de operator H, namelijk die

behorendebijeigenwaarde4 4 os 2

k

N

. Dusdieeigenwaardenzijnopz'nminsttweevoudig

ontaard. We hebben blijkbaargeennatuurlijkeontaarding,maar toevallige ontaarding.

Maar het is wel heel toevallig dat er zoveel eigenruimten opsplitsen in meer dan een

invariante deelruimte: het lijkt erop dat we een symmetrie vergeten zijn en dat C

N niet

de hele symmetriegroep is. Inderdaad: enig denkwerk leidt tot hetinzi ht datwe de hele

ketenookkunnen\omkeren"zonderdaterietswezenlijksverandert. Noemenwehetnieuwe

element van desymmetriegroep t,dan kunnenwe ookonzerepresentatie uitbreiden:

(t)(x

1

;x

2

;:::;x

N )=(x

N

;x

N 1

;:::;x

1 ):

Ga na dat de nieuwe symmetriegroep pre ies D

N

is (dediedergroep van orde 2N), i.h.b.

dat rt = tr N 1

, en dat deze  inderdaad een representatie vormt, en dat de nieuwe 

Het blijkt dat wanneer je met deze grotere symmetriegroep D

N

aan de slag gaat, de

toevallige ontaarding verdwijnt en in plaatsdaarvan de operator H natuurlijk ontaard is.

We zullendithiernietexpli ietuitwerkenvooralgemeneN,omdat derepresentatietheorie

voorD

N

(voorwillekeurigeN)netietsverdergaatdanwatopdit ollegewordtbehandeld.

9

Wel zullen we het spe iale geval N = 5 bes houwen, want de karaktertabel van D

5 is

bekend(zie [3 ℄,hoofdstuk6):

D

5

e r r

2

t



1

1 1 1 1



2

1 1 1 1



3

2 (+ 1

) (

2

+ 2

) 0



4

2 (

2

+ 2

) (

4

+ 4

) 0

met =e 2i=5

. VoorX :=Tr krijgenwe nu:

D

5

e r r 2

t

X 5 0 0 1

Je gaat eenvoudig na dat hX;

1

i = 1, hX;

2

i = 0, hX;

3

i = 1 en hX;

4

i = 1, dus

X=

1 +

3 +

4

. Kortom, splitstop inirredu ibelerepresentaties: =

1



3



4 ,

waarbij 

1

= 

jW1 , 

3

= 

jW3 en 

4

= 

jW4

beperkingen zijn van  tot invariante

deelruimtenW

1 , W

3 en W

4

van W = W

1

W

3

W

4

= R 5

. De vraag is nu, of H op de

invariantedeelruimtesW

1 ,W

3 enW

4

vers hillendeeigenwaardesheeft;isdithetgeval,dan

isH natuurlijkontaard (met betrekking tot desymmetriegroep D

5 ).

Welnu,stel x2W

1

(hoe ziet xerdan uit?). Dan:

Hx=(2I 

1

(r) 

1 (r

1

))x=(2 1 1)x=0;

immers

1

isequivalentmetdetrivialerepresentatievanD

5 . 

3

isequivalentmetde(twee-

dimensionale)standaardrepresentatievanD

5

,dus,tenopzi htevaneengoedgekozenbasis

vanW

3 :



3

(r)+

3 (r

1

)=



os 2

5

sin 2

5

sin 2

5 os

2

5



+



os 2

5

sin 2

5

sin 2

5

os 2

5



=



2 os 2

5

0

0 2 os 2

5



:

Dus,als x2W

3 :

Hx=(2I 

3

(r) 

3 (r

1

))x=



2 2 os 2

5



x

Tenslotte, de representatie

4

ziet er,wederomt.o.v.de juistebasis, als volgtuit:



4 (r)=



os 4

5

sin 4

5

sin 4

5

os 4

5



en ietssoortgelijksvoor

4 (r

1

),dusals x2W

4 :

Hx=(2I 

4

(r) 

4 (r

1

))x=



2 2 os 4

5



x:

9

Voordegenteresseerde lezer: derepresentatiesvanD

N

zijnteverkrijgenuitdievanC

N

doormiddel

Deze drie eigenwaardes zijn onderlingvers hillend; dus H is natuurlijk ontaard (met be-

trekkingtotde symmetriegroep D

3 ).

Het bovenstaande verhaal kan gegeneraliseerd worden tot algemene N, waarbijje nog

twee gevallen moet onders heiden, nl. N even en N oneven. Om de irreps van D

N te

vinden, is het het handigst om representaties van C

N

te indu eren. Dit is niet moeilijk

en vrijre ht-toe-re ht-aan, maar we zullen het hierniet doen omdat dit ollege algenoeg

stofbehelst. Totslotzijopgemerktdatdoormiddelvanzgn.proje tie-operatoren (ziebijv.

[8 ℄)hetbovendienmogelijkisomde zgn.\eigenmodes"van deketen teberekenen,datwil

zeggenexpli ietaf teleidenhoe de eigenve torenvanH eruitzien.

6 Karaktertabellen

We gaan nu de karaktertabel bepalenvoor de vier voorbeelden die we steeds bekijken in

dit appli atie ollege: water (V

4



= D

2

), ammoniak (D

3



= S

3

), methaan (S

4

) en ethaan

(C

2

D

3 ).

6.1 Water

In opgave 4.2 [3 ℄ hebben we alle irredu ibele representaties gevonden van D

2



= V

4 . Dit

leidtonmiddellijktot:

V

4

e a b

D

2

e r t rt



1

1 1 1 1



2

1 1 1 1



3

1 1 1 1



4

1 1 1 1

6.2 Ammoniak

De karaktertabel van D

3



= S

3

is ook snel gevonden. Een irredu ibele representatie is

uiteraardde triviale representatie 

1 :D

3

!GL

1

(C) :g7!(1). Eenandere reedsbekende

representatieisde standaardrepresentatie 

3 :D

3

!GL

2

(C) van D

3

,vastgelegd door:



3 (r):=



os 2

3

sin 2

3

sin 2

3

os 2

3



; 

3 (t):=



1 0

0 1



:

Destandaardrepresentatieis irredu ibel, immersvoor

3

:=Tr

3 geldt:

h

3

;

3 i=

1

6 1
2

2

+2



2 os 2

3



2

+3
0 2

!

=1:

Als we de determinant nemen, dan levert dit eeneendimensionale(dus irredu ibele) rep-

resentatie op, namelijk 

2 : D

3

! GL

1

(C) : g 7! det

3

(g). Inderdaad, de afbeelding

det: GL

N

(C) ! C



is zelf een homomorsme, en samenstellen van twee homomorsmes

levert weer een homomorsme op. Deze representatie is duidelijk niet equivalent met de

triviale representatie (want 

2

(t) = ( 1)). Met behulp van Gevolg 5.11 volgt dire t dat

we alle (onderling inequivalente) irrepsvan D

3

te pakken hebben. De karaktertabel volgt

eenvoudig doorhetspoorte nemen.

D

3

e r t

S

3

e (123) (12)



1

1 1 1



2

1 1 1

 2 1 0

6.3 Methaan

Wezullenhiergeena eidinggeven vandekaraktertabelvanS

4

. Inplaatsdaarvanponeren

we hiergewoon dekaraktertabelvanS

4 .

S

4

e (12) (12)(34) (123) (1234)



1

1 1 1 1 1



2

1 1 1 1 1



3

2 0 2 1 0



4

3 1 1 0 1



5

3 1 1 0 1

Uiteraardis 

1

het karakter van detrivialerepresentatie.

Het karakter 

4

is afkomstig van de standaardrepresentatie van S

4

, opgevat als de

symmetriegroep van methaan. Merk op dat het karakter van de standaardrepresentatie

van eenrotatie D

w;

indriedimensiesaltijd2 os+1is,waarbijderotatie hoekis;dit

isdus onafhankelijkvan de rotatie-as w. Hieruit volgt: 

4

(12)(34)

=2 os ()+1= 1

en

4 123

=2 os (2=3)+1=0 (zie ookhoofdstuk2). Het element (1234) is eenrotatie

over =2 gevolgd doorruimte inversies(zie hoofdstuk2)). Dit betekent dat

4

(1234)

=

2 os (=2) 1= 1. Verderis 

4 (12)

het spoorvan eenmatrix van eenspiegeling in

een vlak en dus gelijk aan 1 (kies een basis met twee basisve toren in het spiegelvlak en



een er loodre ht op). Er moet vervolgens nog ge ontroleerd worden dat het zo verkregen

karakter lengte1 heeft. Wel: (

4

;

4 )=(3

2

+6
1 2

+3
( 1) 2

+6
( 1) 2

)=24=1.

Hetkarakter 

2

isde tekenrepresentatievan S

4

,d.w.z.de representatie

S

4

!GL

1

(C) : 7!

(

(1) als  even is

( 1) als  oneven is.

Jekunt 

2

e hter ook opvatten als hetkarakter van de representatie dieje krijgt door de

determinant-afbeeldingen de standaardrepresentatiesamentestellen.

Hetkarakter

5

ishetkarakterdatafkomtvanhettensorprodu tvandeirrepshorende

bij de karakters 

2 en 

4

. Je ontroleert gemakkelijk dat dit tensor produ t een irrep

oplevert: (

5

;

5 )=(

2



4

;

2



4 )=(3

2

+6
( 1) 2

+3
( 1) 2

+6
1 2

)=24=1.

Het derde karakter 

3

tenslotte kun je a eidenuit de eisendat P

5

i=1 n

2

i

=24 waarbij

n

i

=

i

(e) (Gevolg 5.11 [3 ℄), dat(

3

;

i

) =0voori=1;2;4;5 en dat (

3

;

3

)=1. Als je

goed kijkt, kun je de twee-dimensionale representatie van D

3

, een ondergroep van S

4 , in

terugvinden.

6.4 Ethaan

De karaktertabel van C

2

D

3

volgt met behulp van opgave 5.4 [3 ℄ onmiddellijk uit de

karaktertabellenvan C

2 en D

3

. We vinden:

C

2

D

3

e r t s sr st



1+

1 1 1 1 1 1



2+

1 1 1 1 1 1



3+

2 1 0 2 1 0



1

1 1 1 1 1 1



2

1 1 1 1 1 1

 2 1 0 2 1 0